Rgp 162012
 

Neretas pašnekovas išgirdęs tokį klausimą suabejoja ar tik ne apie numerologiją kalbu. Deja, tenka aiškinti, kad kalbu apie matematiką ir tokia abejonė suprantama. Mokyklinės matematikos programoje neradau reikalavimo suprasti, kas yra skaičius. Ten yra reikalavimai ,,perskaityti, užrašyti žodžiais, skaitmenimis, standartine išraiška skaičius“,  ,,atlikti aritmetinius veiksmus su realiaisiais skaičiais“,  ,,skaičių priskirti skaičių aibei“ ir panašiai.

Mokykloje nėra numatyta svarstyti klausimą: ,,Kas yra skaičius?“ Tačiau panašius klausimus kelia ir į juos atsako numerologija.  Numerologijos idėjos reguliariai aiškinamos ir populiarinamos televizijos laidose patogiausiu žiūrovams laiku. Tuo tarpu knygynuose jau senai (apie 20 metų) nėra literatūros skirtos papildyti mokyklines žinias apie matematiką. Tokia padėtis yra visų mūsų pasirinkimo pasekmė; patys paruošėme mokyklines programas ir žinių vertinimo sistemas, ruošdami būsimus mokytojus aiškiname tik kaip spręsti paprasčiausius standartinius uždavinius, o vadovėlių ir papildomos matematinės literatūros leidybą palikome laisvajai rinkai ir ES struktūrinių fondų (ne)malonei.

Vis dėlto, ką galima pasakyti apie skaičiaus sampratą? Mokyklą baigę jaunuoliai, geriausiu atveju, žino, kad natūralusis skaičius yra abstrakti sąvoka reiškianti baigtinio objektų rinkinio elementų kiekį ir žino kaip su jais atlikti aritmetikos veiksmus.  Tą patį matyt galima pasakyti ir apie racionaliųjų skaičių žinias. Apie iracionaliuosius skaičius mokykloje pasakoma tik tiek, kad tai yra trupmena neišreiškiami realieji skaičiai, o realieji skaičiai yra racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių sąjunga (nepaisant tokio apibrėžimo daromos loginės klaidos). Galiausiai galima tikėtis moksleivį teigiant, kad realieji skaičiai yra geometrinės tiesės taškai ir kiekvieną realųjį skaičių atitinka vienintelis taškas ant tokios tiesės.

Tokias žinias apie skaičiaus sampratą numato mūsų mokyklinės matematikos programa. Bet tai iš esmės yra dar antikos laikų matematikos žinios. Išskyrus tai, kad antikos laikais skaičiais buvo vadinami tik natūralieji skaičiai, o vietoje realiųjų skaičių buvo tiriami geometriniai dydžiai (angl. magnitudes), pavyzdžiui, tiesės atkarpos. Pitagoriečių atradimas, kad dydžiai nebūtinai išreiškiami natūraliųjų skaičių santykiais, dabar sakytume iracionaliųjų skaičių atradimas, buvo svarbiausias matematikos atradimas.  Tiksliau apie šiuos dalykus rašo J. Alm pirmame savo knygos skyriuje.

Šiuo įrašu norime tik bendrais bruožais paminėti šiuolaikinėje matematikoje dominuojančius požiūrius į realiuosius skaičius ir to žinojimo reikšmę mokslo kontekste. Dėl tam tikrų matematikos vystymosi ypatumų, 19 amžiuje realieji skaičiai buvo ,,atskirti“ nuo geometrinės tiesės; šis procesas vadintas ,,analizės aritmetizavimu“.   Realusis skaičius tapo tam tikrą struktūrą turinčios aibės elementu; toji struktūra apibrėžia aritmetikos veiksmus ir tvarką tarp elementų bei jų ,,tankumą“.  Tokia aibė vadinama realiųjų skaičių sistema. Ji apibrėžiama aksiomų pagalba (D. Hilbertas) arba ją konstruojant iš natūraliųjų ar racionaliųjų skaičių (KWeierstrassas, ChMaray, RDedekindas, GCantoras E. Heine ir kiti; trumpa apžvalga ir nauja realiųjų skaičių konstrukcija yra Liangpan Li  straipsnyje). Realiuosius skaičius atskyrus nuo geometrinės tiesės, liko prielaida, vadinama Dedekindo-Cantoro aksioma: tarp realiųjų skaičių aibės ir geometrinės tiesės egzistuoja abipus vienareikšmė atitiktis, o atstumas tarp tiesės taškų yra lygus skirtumui tarp atitinkamų skaičių.

Tokio atskyrimo pasekmė yra atsiradusi laisvė įvairiai interpretuoti kontinuumą, vadinamą aritmetiniu kontinuumu, t.y. ,,tiesės“ tolydumą apibūdinančią sąvoką, priešpastatant ją diskretumo sąvokai. Antikos laikų dichotomija tarp skaičių ir dydžių pastarąjį šimtmetį evoliucionavo į nepaprastai margą paveikslą. Be to, reikia turėti galvoje, kad greta realiųjų skaičių aibės, turime hiperrealiųjų skaičių aibę, siurrealiųjų skaičių aibę ir įvairias jų konstrukcijas (žr.  P. Ehrlicho straipsnį) . Kiekviena tokia skaičių sistemų pretenduoja į naują aritmetinio kontinuumo variantą (žr.  S. Fefermano požiūrį į kontinuumą čia ir J.L. Bell istorinę apžvalgą čia).

Iš kitos pusės, atskirti nuo tiesės realieji skaičiai naudojami fizikinių dydžių matavimo rezultatams reikšti; pavyzdžiui, realiaisiais skaičiais reiškiami ilgis, plotas, tūris, masė, laikas, greitis, pagreitis ir t.t. Tokiu atveju realiųjų skaičių sistemos savybės perkeliamos atitinkamo fizikinio dydžio savybėms. Gali būti taip, kad fizinės sistemos savybės keičiasi pakeitus aritmetinio kontinuumo sampratą. Kyla klausimas: Kuri iš anksčiau minėtų kontinuumo sampratų yra tinkamesnė fizikiniam kontinuumui reikšti?

Bet tai dar ne viskas. Fizikai jau senai bando atskirti fizikinius objektus nuo matematinių objektų. Skirtingi fizikiniai objektai turi skirtingas savybes, kurių neprivalo išreikšti realaus skaičiaus samprata. Dar 19 amžiuje, šią aplinkybę savo darbuose akcentavo G. Frege. Pagal jį, R. Dedekindo ir G. Cantoro realiųjų skaičių konstrukcijos nėra susiję su realiuoju pasauliu, kuriame tie skaičiai naudojami. Frege pasiūlė natūraliųjų skaičių (The Foundations of Arithmetic) ir realiųjų skaičių (The Basic Laws of Arithmetic)  apibrėžimo būdus, kurie naudoja, abstrakcijos principu vadinamą, ekvivalenčių klasių formavimą ir apibendrina dydžio matavimo rezultatą. Dėl B. Russello paradokso, šie rezultatai nebuvo iki galo išplėtoti. 2000 metais B. Hale pasiūlė realiųjų skaičių konstrukciją, kuri patobulinta Frege konstrukciją. Nepriklausomai nuo šios darbų krypties, matematikas H. Whitney, atsižvelgdamas į fizikinių dydžių specifiką,  1968 metų straipsnyje pasiūlė dar vieną būdą apibrėžti realiuosius skaičius kaip operatorius veikiančius virš tam tikros struktūros.

Šios pastabos yra pavyzdys to, kaip matematikos sąvokos formuoja fizikos ir kitų gamtos mokslų sąvokas. Nuo 19 amžiaus matematikai kurdami naujas sąvokas netaiko atitikimo realiai tikrovei kriterijaus. Jį pakeitė matematikos vidiniai kriterijai – grožis, naudingumas, loginis neprieštaringumas ir panašiai. Naudojant M. Steinerio terminologiją iš knygos The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem (1998), matematikos sąvokos vadintinos antropocentrinėmis sąvokomis. Apie kitus matematikos sąvokų naudojimo fizikoje pavyzdžius rašėme praeitame įraše.

Grįžtant prie to, nuo ko pradėjome, galima būtų svarstyti kuriuo keliu pasukti tobulinant skaičiaus sampratos aiškinimą mokykloje. Be abejonės tai priklauso nuo matematikos mokymo tikslo pasirinkimo (žr. įraše). Dabar programoje formuluojamas tikslas vargu ar suderinamas su rimtesniais programos keitimais. Be to, lieka atitinkamų vadovėlių rašymo, mokytojų pasiruošimo ir žmonių nuomonės apie matematiką formavimo problemos.

Įdomią patirtį aptariamoje srityje turi vokiečių matematinio ugdymo sistema. Po 1960 metų rytų ir vakarų Vokietijose buvo pasirinkta matematinio ugdymo kryptis, pavadinta ,,moksline orientacija“. Tai reiškė loginio griežtumo reikalavimą visame mokyklinės matematikos kurse. Pavyzdžiui, nuo 6 klasės pradedama teiginius įrodinėti, racionalieji skaičiai apibrėžiami naudojant ekvivalentumo klases ir t.t.  (žr. HGrieselio tekstą). Greta mokslinės orientacijos krypties diegiama ir taikymams orientuota matematikos ugdymo kryptis. Tuo atveju, neatsisakant loginio giežtumo, bandoma kita realiųjų skaičių apibrėžimo metodika grindžiama minėtomis G. Frege  įdėjomis (žr. kitą HGrieselio tekstą).

Realiojo skaičiaus apibrėžimo (Amerikos) mokykloje problemas aptaria T.W. Gamelin straipsnyje What really are real numbers?

P.S. Įdomu tai, kad fizikinių sąvokų ir matematikos objektų santykio tyrimo srityje nemažai nuveikė lietuvių mokslininkas Liubomiras Kulviecas (1928-1995), buvęs VPU profesorius. Jis parašė daug darbų, kuriuose aiškino mechanikos sąvokų tobulinimo būtinumą; jų esmė ta, kad negalima su fizikiniais dydžiais elgtis kaip su bedimensiniais skaičiais. Savo daktaro disertacijoje Kulviecas pasiūlė naują aksiominę laiko sampratą, atskirdamas fizinį laiką nuo laiko momento ir jo trukmės. Kulviecas plačiau žinomas kaip mokslo istorikas tyręs I. Newtono darbus.

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>