Sau 192025
 

Vadovėlinei mokyklinei matematikai būdinga žinių pateikimo forma yra terminai, simboliai, taisyklės, pavyzdžiai ir daug panašaus pobūdžio pratimų. Toks mokymo turinys nemotyvuoja ir atgraso nuo mokymosi matematikos. Alternatyviu mokyklinės matematikos turiniu yra įrodinėjimu grindžiamos matematikos žinios. Tokiam turiniui formuoti reikalingos matematiškai taisyklingos sąvokos ir matematikos mokytojų pasirengimas mokyti įrodinėjant teiginius. Šiame tekste aptarsime dalmens sąvoką, kas su ja negerai matematikos vadovėliuose ir kaip kitaip galima būtų traktuoti dalmenį.

Dalmuo yra dalybos veiksmo rezultatas, viena iš pagrindinių aritmetikos ir algebros sąvokų. Pagal 2022 metais atnaujintą programą su dalmeniu mokinius supažindiname antroje klasėje. Tada dalybos veiksmas apibrėžiamas tik tarp natūraliųjų skaičių. Todėl tuo metu dalmuo yra natūralusis skaičius ir tai yra papildomas reikalavimas jo apibrėžime. Bendru atveju natūraliųjų skaičių dalybos rezultatu yra trupmena. Šio fakto, dalmens ir trupmenos lygybės, įrodymas reikalauja trupmenų aritmetikos supratimo ir todėl galėtų būti aiškinamas maždaug šeštoje klasėje. Pats faktas formuluojamas ir įrodomas 1.2 teorema sekančiame skyrelyje. Šiame skyrelyje apibrėždami dalmenį, formuluodami dalmens egzistavimo faktą ir jį įrodydami nepaisėme pedagoginių reikalavimų susijusių su matematikos abstrakcijų sudėtingumu. Kituose skyreliuose atsižvelgiame į besimokančiojo galimybes ir patirties ribotumą.

Antrame skyrelyje komentuojame vadovėlinę dalmens natūraliųjų skaičių aibėje sampratą. Aptariame kaip ši samprata galėtų atrodyti taisyklingai apibrėžiant dalmens sąvoką (2.1 apibrėžtis) ir jo savybių įrodinėjimo galimybes. Trečiame skyrelyje pagal panašų planą aptariame dalmens sąvokos ir trupmenos sąvokos santykį. Galiausiai tekstą baigiame keliomis bendro pobūdžio pastabomis apie skaičiaus sampratą mokyklinėje matematikoje.

1. Dalmuo elementariojoje matematikoje

Padalyti natūralųjį skaičių Latex formula iš natūraliojo skaičiaus Latex formula reiškia rasti tokį skaičių Latex formula, su kuriuo būtų teisinga lygybė Latex formula. Toks skaičius Latex formula vadinamas dalmeniu. Natūraliųjų skaičių dalyba pradinėje mokykloje apibrėžiama tik tuo atveju kai dalmuo Latex formula taip pat yra natūralusis skaičius. Tuo atveju sakoma, kad Latex formula yra Latex formula kartotinis.

Pradėsime nuo dalmens sąvokos apibrėžties elementariojoje matematikoje.

1.1 apibrėžtis.  Tarkime, kad Latex formula ir Latex formula yra natūralieji skaičiai, Latex formula. Latex formula dalosi iš Latex formula, jei egzistuoja toks skaičius Latex formula, su kuriuo teisinga lygybė Latex formula. Toks skaičius Latex formula vadinamas dalmeniu ir žymimas Latex formula.

Šioje apibrėžtyje yra prielaida, kad skaičius su nurodoma savybe egzistuoja. Jei toks skaičius egzistuoja, jis vadinamas dalmeniu. Tokia sąvokos apibrėžtis yra įprasta matematikoje. Ji reikalauja įrodymo, kad matematinis objektas su nurodytomis savybėmis – skaičius šiuo atveju – tikrai egzistuoja. Tai padarysime sekančia teorema. Tiksliau, 1.2 teorema įrodo ne tik skaičiaus egzistavimą, ji įrodo tą skaičių esant trupmena su nurodytais skaitikliu ir vardikliu.

1.2. teorema. Bet kuriems natūraliesiems skaičiams Latex formula, Latex formula ir Latex formula teisinga lygybė

Latex formula

Įrodymas.  Tegul Latex formula ir Latex formula yra natūralieji skaičiai ir Latex formula. Remdamiesi žemiau nurodytomis savybėmis gauname lygybes

 

 

ką ir reikėjo įrodyti. 

Sprendžiant pagal šios teoremos įrodymą, dalmens pilna tos sąvokos apimtimi nagrinėjimas būtų įmanomas po to, kai susipažįstama su trupmenų aritmetika. Tačiau galima ir kitaip, modifikuoti dalmens sąvokos apibrėžtį naudojant skaičių tiesę, kurios taškais yra skaičiai. Tada pakanka dalmens sąvoką apibrėžti nurodant, kaip atitinkamas skaičius randamas skaičių tiesėje. Tą mes darome trečiame skyrelyje (žr. 3.3 apibrėžtį).  Sekančiame, antrame skyrelyje pratęsime natūraliųjų skaičių dalybos nagrinėjimą kai dalmuo yra natūralusis skaičius ir kol kas nesinaudosime skaičių tiese.

Pastaroji teorema rodo, kad dalmuo yra dalybos su liekana atskiru atveju.  Priminsime dalybos su liekana teiginį.

1.3 teorema. Tarkime, kad Latex formula ir Latex formula yra sveikųjų skaičių pora, be to Latex formula yra teigiamas. Egzistuoja vienintelė sveikųjų skaičių pora Latex formula ir Latex formula, kuriems teisingi sąryšiai

Latex formula

Kai Latex formula, tai Latex formula vadinamas nepilnuoju dalmeniu, o Latex formula vadinamas liekana. Jei Latex formula, tai Latex formula yra dalmuo 1.1 apibrėžties prasme. Dalmuo skiriasi nuo nepilnojo dalmens 1.3 teoremos sąryšių kontekste. Šis skirtumas parodo ar vieną natūralųjį skaičių dalijant iš kito gaunama liekana, ar ne.

Dalmens ir nepilno dalmens skirtumo nepaisymas sukelia painiavą vadovėliuose. Abu jie tapatinami su trupmena kai norima trupmeną išreikšti mišriuoju skaičiumi ir kai norima pagrįsti pagrindinę trupmenos savybę. Dalyba su liekana įgalina trupmeną išreikšti specialaus pavidalo dešimtainiu skaičiumi. Priminsime, kad dešimtainis skaičius yra baigtinių dešimtainių skaičių riba:

Latex formula

čia Latex formula natūralusis skaičius, o Latex formula skaitmenys.

1.4. teorema. Kiekviena trupmena yra lygi baigtiniam arba periodiniam dešimtainiui skaičiui. Be to, jei Latex formula yra trupmena, tai kiekvienas dešimtainio skaičiaus skaitmuo gaunamas pasirinkus pakankamai didelį Latex formula ir dalijant Latex formulaLatex formula su liekana. 

Nesuprastinama trupmena Latex formula lygi baigtiniam dešimtainiam skaičiumi, kai jos vardiklis Latex formula su kuriais nors natūraliaisiais skaičiais Latex formula ir Latex formula.

Toliau aptarsime natūraliųjų skaičių dalybą, kai rezultatas yra natūralusis skaičius.

 

2. Dalmuo natūraliųjų skaičių aibėje

Pagal 2022 m. patvirtintą matematikos programą, dalmuo mokomas nuo antrosios klasės. Toliau kiekvienoje klasėje šios žinios yra pildomos. Pakomentuosime 5 klasės matematikos vadovėlio [2] dalmeniui skirtus epizodus.

Paveikslėlyje skirtinga spalva pažymėtos dvi frazės. Pirmoje jų apibrėžiamas dalmens terminas, o antroje frazėje rašoma, kad ,,dalyba yra veiksmas, atvirkštinis daugybai“.  Kitoje antros frazės dalyje yra implikacija ..jei Latex formula, tai Latex formula„, nurodant, kad jos paskirtis tikrinti skaičiavimo teisingumą. Dėl tokios ryšio su daugyba paskirties tai nėra dalmens sąvokos apibrėžtis. Bet taisyklinga dalmens apibrėžtis yra senesniuose vadovėliuose ([3],  90 pusl.). Kita vadovėlio turinio problema yra tikslumas, nenurodoma simbolių Latex formula, Latex formula ir Latex formula reikšmių sritis, kaip ir daugelyje kitų vadovėlio vietų. Tik iš pavyzdžių ir platesnio konteksto galima numanyti, kad dalmuo šiame fragmente yra natūralusis skaičius. Bet tai svarbu, nes dalmens reikšmė gali būti lygi  trupmenai remiantis 1.2 teorema.

Natūraliųjų skaičių dalybos kontekste dalmens sąvoka galėtų būti apibrėžiama sekančiu būdu.

2.1 apibrėžtis. Teigiamiems natūraliesiems skaičiams Latex formula, Latex formula, Latex formula, jei teisinga lygybė Latex formula, tai sakoma, kad Latex formula dalo Latex formula, o Latex formula vadinamas dalmeniu Latex formula dalijant iš Latex formula ir žymimas simboliu Latex formula.

Dėl matematinės apibrėžties loginės formos sprecifikos, reikia suprasti, kad Latex formula dalo Latex formula su dalmeniu Latex formula  tada ir tik tada, kai Latex formula. Skirtingai nuo 1.1 apibrėžties, 2.1 apibrėžtyje papildomai reikalaujame, kad dalmuo būtų natūralusis skaičius. Sąvokos prasmę ir naudą iliustruosime jos naudojimo pavyzdžiais.

Pagal 2022 m. patvirtintą programą, 5 klasėje naudojant vaizdinius modelius siūloma išsiaiškinti, kodėl bendruoju atveju yra teisinga lygybė

Latex formula                                                                              (1}

Simbolių galimų reikšmių aibė programoje nenurodoma. Nepastebėjau ir vadovėliuose šios lygybės nagrinėjimo. Matematiškai tikslios dalmens sąvokos naudingumo iliustracijos dėlei, (1) lygybės teisingumą išsiaiškinsime čia.

Tarkime, kad Latex formula, Latex formula, Latex formula yra teigiami natūralieji skaičiai ir Latex formula dalo Latex formula, t.y. Latex formula yra natūralusis skaičius. Pagal prielaidą ir 2.1 apibrėžtį, teisinga lygybė Latex formula. Remiantis šia lygybe ir daugybos jungiamumo dėsniu, teisingos lygybės

Latex formula

Gavome, kad Latex formula dalo Latex formula ir dalmuo Latex formula yra lygus Latex formula, ką ir reikėjo įrodyti. Įrodyme naudojome dalmens vienatį, kurią vadovėlyje būtų privalu taip pat įrodyti.

Jei įrodant (1) lygybę atsisakytume prielaidos, kad Latex formula dalo Latex formula, tai programoje suformuluota lygybė turėtų prasmę
vietoje dalmens naudojant trupmenas:

Latex formula

Pastaroji lygybė susijusi su kitu programoje greta esančiu sakiniu: ,,trupmenos Latex formula daugyba iš natūraliojo skaičiaus apibrėžiama kaip tokių pačių trupmenų sumavimas“, t.y. Latex formula dėmenų suma:

Latex formula

Vadovėlis šį programos siūlymą įgyvendina savaip. Pateikęs vieną pavyzdį, apibrėžimą pakeičia taisykle

Latex formula

Grįžkime prie dalmens ir prie (1) lygybės. Parodysime, kad ji naudinga įrodant tai, kas kitame vadovėlio puslapyje vadinama pagrindine dalmens savybe.

Kas tai? Žodžiais formuluojama taip: dalinį ir daugiklį padalijus arba padauginus iš to paties natūraliojo skaičiaus, dalmuo nepakinta. Mūsų komentuojamame vadovėlyje randame tik šios savybės iliustraciją:

Latex formula

Kokių nors matematinio pagrindimo požymių nėra. Tačiau šia savybe remiamasi toliau tame pačiame vadovėlyje pagrindžiant pagrindinę trupmenos savybę teigimu, kad trupmena yra dalmuo; be įrodymo vadovėlyje tai tik nieko nereiškiantys žodžiai. Tačiau pagrindinė dalmens savybė yra pagrindžiama senesniuose vadovėliuose ([3], 94 pusl.).

Toliau įrodysime cituotą pagrindinę dalmens savybę, kai dalmuo yra natūralusis skaičius. Būtent šis atvejis yra vadovėlio iliustracija pateikiama vietoje savybės pagrindimo. Bet net ir tokiu atveju jos negalima taikyti analogiškai trupmenų savybei pagrįsti, nes trupmenos skaitiklis ir vardiklis nėra tas pats, kas dalinys ir daliklis natūraliųjų skaičių dalyboje, kai dalmuo yra tik natūralusis skaičius. Pagrindinei trupmenų savybei pagrįsti reikia kito įrodymo.

Toliau apie pagrindinę dalmens savybę. Pirma įrodysime teoremą apie dalmenį, kai dalinys ir daliklis dauginami iš to paties natūraliojo skaičius.

2.2 teorema. Tarkime, kad Latex formula, Latex formula, Latex formula yra teigiami natūralieji skaičiai ir Latex formula dalo Latex formula. Tada Latex formula dalo Latex formula ir dalmuo

Latex formula

Įrodymas.  Natūralųjį skaičių Latex formula pažymėkime raide Latex formula. Pagal prielaidą ir dalmens apibrėžimą Latex formula.  Naudodami šią lygybę ir daugybos jungiamumo dėsnį gauname kitas dvi lygybes

Latex formula

Tai rodo, kad Latex formula dalo Latex formula ir dalmuo lygus Latex formula dalybos iš Latex formula dalmeniui, ką ir reikėjo įrodyti.

Antra, įrodysime teoremą apie dalmenį, kai dalinys ir daliklis dalinami iš to paties natūraliojo skaičius.

2.3 teorema. Tarkime, kad Latex formula, Latex formula, Latex formula yra teigiami natūralieji skaičiai, Latex formula dalo Latex formula, o Latex formula dalo Latex formula ir Latex formula. Tada Latex formula dalo Latex formula ir dalmuo

Latex formula

Įrodymas. Kaip ir anksčiau, tegul Latex formula. Remiantis dalmens apibrėžtimi reikia įrodyti, kad

Latex formula

Remiantis (1) lygybe ir prielaida Latex formula gauname šias dvi lygybes

Latex formula

ką ir reikėjo įrodyti.

Tuo būdu įrodėme pagrindinę dalmens savybę ir baigėme dalmens natūraliųjų skaičių aibėje nagrinėjimą. Toliau aptarsime atvejį kai dalmuo gali būti lygus trupmenai.

 

3. Dalmuo ir trupmena

Jau beveik tris dešimtmečius mūsų vadovėliuose trupmenos apibrėžiamos jas pakeičiant dalmeniu, t.y. trupmena apibrėžiama kaip natūraliųjų skaičių dalybos rezultatas. Bet taip buvo ne visada. Prieš daugiau kaip tris dešimtmečius iš estų kalbos į lietuvių kalbą išverstuose 5 ir 6 klasės vadovėliuose ([3] ir [4]) trupmenos sąvoka ir dalmens sąvoka buvo skirtingos, parodant atitinkamų reikšmių lygybę.

Cituojų estų 5 klasės vadovėlį: ,,jeigų vienetą padalytune į 4 lygias dalis, tai kiekviena dalis būtų lygi vienai ketvirtajai Latex formula; trys tokios dalys – trims ketvirtosioms, arba trims ketvirtadaliams Latex formula“ ([3], 148 pusl.). Bendru atveju šis trupmenos apibūdinimas skamba taip: ,,vieną ar kelias lygias vieneto dalis vadiname trupmena“. Čia raktinė frazė vieneto dalis.

Dabar cituoju estų 6 klasės vadovėlį: ,,Jau žinote, kad paprastoji trupmena parodo, į kiek lygių dalių padalytas vienetas ir kiek tokių dalių paimta. <…> Parodysime, kad paprastąją trupmeną galima laikyti natūraliųjų skaičių dalmeniu“ ([4], 27 pusl.). Tam tikslui autoriai paaiškino kaip 3 obuolius padalinti 4 vaikams po lygiai ir kokiu būdu vienam vaikui tenka trys ketvirtadaliai obuolio. Samprotavimų naudojant pavyzdį rezultatas Latex formula. Išvada: ,,kiekvieną paprastąją trupmeną galima laikyti dalmeniu dalybos, kurios dalinys – trupmenos skaitiklis, daliklis – trupmenos vardiklis“. Neturėtume pamiršti, kad šis sakinys skirtas mokiniui, kuris metus laiko mokėsi trupmenų aritmetikos be jų tapatinimo su dalmeniu. Be to, šiuo sakiniu teigiama dviejų skirtingų matematinių objektų reikšmių lygybė, bet ne sąvokų tapatumas.

Atsitiko taip, kad skirtingų objektų reikšmių lygybė buvo interpretuota kaip dviejų sąvokų – trupmenos ir dalmens – tapatumas. Priminsime trupmenos apibūdinimą 5 klasės vadovėlyje ,,Matematika ir pasaulis“ [1] .

Kairiojo puslapio apačioje matomas jau anksčiau cituotas sakinys iš estų 5 klasės vadovėlio. Dešiniojo puslapio apačioje trupmenos ir dalmens sąvokų tapatumas sulyginamas su atitinkamų objektų reikšmių lygybe:

Trupmenas galima gauti dalijant vieną arba kelis vienetus į lygias dalis. Todėl sakoma, kad trupmena yra dalmuo, gautas vieną skaičių dalijant iš kito, t.y.

Latex formula      Latex formula      Latex formula

 

Šios išnašos raktinė frazė dalijant vieną arba kelis vienetus. Šia fraze tapatinami du skirtingi to paties skaičiaus gavimo būdai. Jie atitinka dvi skirtingas sąvokas – trupmeną ir dalmenį. Paaiškinsime tai detaliau.

Trupmena Latex formula, pagal obuolių pjaustymo procedūrą, gaunama, pirma, vienetu laikomą obuolį dalinant į keturias lygias dalis. Antra, trys tokios dalys sudaro reikalingą trupmeną. Atlikę šią procedūrą skaičių tiesėje, pirma, dalindami intervalo Latex formula ilgį į keturias lygias dalis gauname intervalą Latex formula, kurio dešinysis galas yra vienetinė trupmena Latex formula. Antra, apjungę tris gautus to paties ilgio nuosekliai vienas greta kito gulinčius intervalus gausime intervalą, kurio dešinysis galas yra (paprastoji) trupmena Latex formula, kaip pavaizduota paveikslėlyje.

Dalmuo Latex formula, kaip rašoma 6 klasės estų vadovėlyje, gaunamas skaičių 3 (tris vienetus) dalijant į keturias lygias dalis. Šios procedūros atlikimas skaičių tiesėje galėtų reikšti intervalo $[0,3]$ ilgio dalijimą į keturias lygias dalis. Pirmojo šiuo dalijimu gauto intervalo dešinysis galas yra dalmuo Latex formula, kaip pavaizduota paveikslėlyje.

Simboliais Latex formula ir Latex formula pažymėtų taškų gavimo procedūros yra skirtingos. Todėl yra skirtingos sąvokos, kuriomis nusakomos procedūros. Galima spėti, kad abu taškai sutampa. Bet tam reikia loginių argumentų padedančių tai įrodyti. Pavyzdžiai su obuolių dalinimu rodo, kad tai turėtų būti įmanoma.

Trupmena ir dalmuo skaičių tiesėje. Geometrinėje tiesėje laisvai pasirenkami du taškai. Kairysis taškas tapatinamas su skaičiumi 0 (nulis), o dešinysis taškas tapatinamas su skaičiumi 1 (vienas). Atkarpa Latex formula vadinama vienetine atkarpa, o skaičius 1 vadinamas vienetu. Į dešine nuo vieneto atidedant atkarpas, kongruenčias Latex formula, gaunami taškai, kurie tapatinami su natūraliaisiais
skaičiais Latex formula. Taip papildyta geometrinė tiesė vadinama skaičių tiese.

3.1 apibrėžtis. Realusis skaičius yra taškas skaičių tiesėje.

Skaičių tiesės ypatybė ta, kad geometrinis taškas su skaičiumi ir atkarpos Latex formula ilgis, kaip dydis, yra tapatinamas su skaičiumi, kuris gaunamas perstumiant atkarpą taip, kad Latex formula sutaptų su Latex formula. Tada atkarpos Latex formula dešinį galą atitinkantis skaičius yra jos ilgis. Atskiru atveju, vienetinės atkarpos Latex formula ilgis lygus 1.

Kitame apibrėžime naudojame tokią terminologiją. Intervalą Latex formula pastumiant į dešinę nuo nulio taip, kad 0 atsidurtų taške Latex formula. Perstumto intervalo dešinysis galas atsidurs atstumu Latex formula nuo 0 ir jį pavadinsime taško Latex formula antruoju kartotiniu tašku. Su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi Latex formula, taško Latex formula Latex formula-tasis kartotinis taškas yra dešinysis galas intervalo gauto intervalą Latex formula perstumiant taip, kad nulis sutaptų su tašku Latex formula.
Gauname seką taškų su vienodais tarpais tarp gretimų taškų.

Tegul Latex formula ir Latex formula. Jei Latex formula, tai taško Latex formula-tieji kartotiniai yra natūralieji skaičiai. Trupmeną apibrėšime apibendrindami natūraliuosius skaičius.

3.2 apibrėžtis. Tarkime, kad Latex formula yra nelygus nuliui natūralusis skaičius ir skaičių tiesės vienetinė atkarpa Latex formula yra padalinta į Latex formula vienodo ilgio atkarpų. Nuo nulio pirmosios gautos atkarpos dešinysis galas yra vienetinė trupmena, žymima simboliu Latex formula. Su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi Latex formula, taško Latex formula Latex formula-tasis kartotinis yra trupmena Latex formula.

Trupmena yra taškas skaičių tiesėje (skaičius) reiškiamas simboliu Latex formula, kuriame Latex formula yra natūralusis skaičius vadinamas skaitikliu, o nuliui nelygus natūralusis skaičius Latex formula vadinamas vardikliu.

3.3 apibrėžtis. Tegul Latex formula ir Latex formula yra nelygūs nuliui natūralieji skaičiai. Latex formula dalybos iš Latex formula veiksmo rezultatas, vadinamas dalmeniu ir žymimas simboliu Latex formula, yra dešinysis galas arčiausiai nulio esančios atkarpos, kurią gauname Latex formula ilgio atkarpą Latex formula dalindami į Latex formula vienodo ilgio atkarpų.

Tegul Latex formula yra ilgis atkarpos, kurią gauname atkarpą Latex formula dalindami į Latex formula vienodo ilgio atkarpų. Tada Latex formula.  Taigi Latex formula yra dalmuo ir pagal 1.1 apibrėžtį.

Pagal 3.3 apibrėžtį, dalmuo yra skaičius, nes tai yra taškas skaičių tiesėje. Bet neaišku ar dalmuo yra trupmena, nes toks skaičius gaunamas  dalinant vienetinio ilgio intervalą Latex formula. Tačiau teisinga kita teorema.

3.4 teorema. Dalmuo Latex formula lygus trupmenai Latex formula.

Įrodymas. Du skaičiai yra lygūs, jei atitinkami taškai skaičių tiesėje sutampa. Parodysime, kad Latex formula yra dešinysis galas arčiausiai nulio esančios atkarpos, kurią gauname atkarpą Latex formula dalindami į 4 vienodo ilgio atkarpas. Nesunku atkarpą Latex formula padalinti į tris lygias dalis. Neaišku, kaip šią atkarpą padalinti į keturias lygias dalis. Tam panaudosime pagrindinę trupmenos savybę, pagal kurią Latex formula, t.y. 3 yra taško Latex formula 12-kartotinis taškas arba dešinysis galas atkarpos, gaunamos jungiant 12 Latex formula ilgio atkarpas.

Turime atkarpą Latex formula, padalintą į 12 kongruenčių atkarpų. Pirmoji, kurios kairysis galas yra 0, pažymėta melsva spalva. Kadangi Latex formula, jas nuosekliai jungiame į keturias grupes, pažymėtas I, II, III, IV, po 3 atkarpas ,kiekvienoje grupėje. Pirmoje grupėje esančios trys kongruenčios atkarpos išreiškia mėlynosios atkarpos dešiniojo galo Latex formula 3-iąjį kartotinį, rausva spalva pažymėtą tašką, kuris tokiu būdu žymi skaičių išreiškiamą trupmeną Latex formula. Apjungę kiekvienoje grupėje esančias atkarpas gauname keturias kongruenčias atkarpas, kurios dalo atkarpą Latex formula į keturias lygias dalis. Todėl rausvos spalvos taškas taip pat žymi dalmenį Latex formula, ką ir reikėjo įrodyti.

Komentaro moralas: taisyklinga sąvokos matematinė apibrėžtis įgalina objektų savybes įrodyti. 

Tuo tarpu dabartiniuose vadovėliuose ,,trupmena kaip dalmuo“ mintis formuluojama įvairiai. Yra štai tokia šios minties forma:

Čia yra ištrauka iš 2023 metais publikuoto vadovėlio. Įdomus šios minties pateikimo būdas. Ją galima aptikti tik nuosekliai skaitant vadovėlį, nes ji yra skyrelyje …… ,,Kaip padauginti natūralųjį skaičių iš trupmenos?“ (kas galėtų pagalvoti ten ieškoti?). Nesvarbu kodėl, bet ,,nuo šiol natūraliųjų skaičių dalybos veiksmą (sic) galėsime rašyti kaip trupmeną“.

4. Pabaigai apie skaičiaus sampratą

Pagrindinis aritmetikos ir algebros mokymo sudėtingumas susijęs su skaičiaus samprata. Akademinėje matematikoje skaičius yra tam tikros algebrinės struktūros elementas. Dėl savo abstraktumo tokia skaičių sistemos samprata nėra naudojama mokyklinėje matematikoje. Padarius politinį sprendimą, kad matematikos mokymas(is) turėtų lavinti matematinį mąstymą mokyklinės matematikos turinys turėtų paisyti ir esminių matematikos savybių, ir psichologinių bei intelektualinių mokinių savybių. Pagrindine matematikos savybe yra jos teiginių įrodomumas. Savo ruožtu būtina teiginių įrodomumo sąlyga yra matematikos sąvokų apibrėžimų taisyklingumas. Todėl požiūris į skaičių kaip į abstraktų simbolį nepadeda sąvokų matematiškai taisyklingam traktavimui.

Atsižvelgiant į pedagoginius reikalavimus mokyklinei matematikai pradiniame ugdyme skaičius gali būti traktuojamas kaip nuoseklaus skaičiavimo elementas, o pats nuoseklus skaičiavimas naudojamas pagrįsti visus mokyklinės aritmetikos faktus. Tuo būdu gauname Peano aksiomų sistemos pakaitalą mokyklinėje matematikoje. Plečiant natūraliųjų skaičių aibę būtina modifikuoti ir skaičių sistemos sampratą. Skaičius svarbus ne kaip individas, bet kaip tam tikras savybes turinti sąryšių sistema pagrindžianti aritmetinius veiksmus. Prisimenant Kantoro-Dedekindo aksiomą apie tvarką išsaugančią abipus vienareikšmę atitikti tarp realiųjų skaičių aibės ir geometrinės tiesės, natūraliu skaičių sistemos mokyklinėje matematikoje pagrindu galėtų tapti skaičių tiesė. H.-H. Wu įrodė, kad gauta skaičių sistema yra pakankama įrodyti pagrindiniams mokyklinės matematikos faktams ([5]).

5. Literatūra

[1] N. Cibulskaitė ir M. Stričkienė. Matematika ir pasaulis. 5 klasė. TEV, 2006.

[2] V. Meškauskaitė, V. Pipirienė, Ž. Stundžienė. Matematika Visiems. 5 klasė. 1 dalis. TEV, 2024.

[3] E. Nurkas ir A. Telgma. Matematika. Vadovėlis 5 klasei. Kaunas, Šviesa, 1992.

[4] E. Nurkas ir A. Telgma. Matematika. Vadovėlis 6 klasei. Kaunas, Šviesa, 1993.

[5] H.-H. Wu. Teaching school mathematics to prospective teachers. European Mathematical Society Magazin, 122, 2021, pp. 39-45.

 Leave a Reply

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

(required)

(required)