Vadovėlinei mokyklinei matematikai būdinga žinių pateikimo forma yra terminai, simboliai, taisyklės, pavyzdžiai ir daug panašaus pobūdžio pratimų. Toks mokymo turinys nemotyvuoja ir atgraso nuo mokymosi matematikos. Alternatyviu mokyklinės matematikos turiniu yra įrodinėjimu grindžiamos matematikos žinios. Tokiam turiniui formuoti reikalingos matematiškai taisyklingos sąvokos ir matematikos mokytojų pasirengimas mokyti įrodinėjant teiginius. Šiame tekste aptarsime dalmens sąvoką, kas su ja negerai matematikos vadovėliuose ir kaip kitaip galima būtų traktuoti dalmenį.
Dalmuo yra dalybos veiksmo rezultatas, viena iš pagrindinių aritmetikos ir algebros sąvokų. Pagal 2022 metais atnaujintą programą su dalmeniu mokinius supažindiname antroje klasėje. Tada dalybos veiksmas apibrėžiamas tik tarp natūraliųjų skaičių. Todėl tuo metu dalmuo yra natūralusis skaičius ir tai yra papildomas reikalavimas jo apibrėžime. Bendru atveju natūraliųjų skaičių dalybos rezultatu yra trupmena. Šio fakto, dalmens ir trupmenos lygybės, įrodymas reikalauja trupmenų aritmetikos supratimo ir todėl galėtų būti aiškinamas maždaug šeštoje klasėje. Pats faktas formuluojamas ir įrodomas 1.2 teorema sekančiame skyrelyje. Šiame skyrelyje apibrėždami dalmenį, formuluodami dalmens egzistavimo faktą ir jį įrodydami nepaisėme pedagoginių reikalavimų susijusių su matematikos abstrakcijų sudėtingumu. Kituose skyreliuose atsižvelgiame į besimokančiojo galimybes ir patirties ribotumą.
Antrame skyrelyje komentuojame vadovėlinę dalmens natūraliųjų skaičių aibėje sampratą. Aptariame kaip ši samprata galėtų atrodyti taisyklingai apibrėžiant dalmens sąvoką (2.1 apibrėžtis) ir jo savybių įrodinėjimo galimybes. Trečiame skyrelyje pagal panašų planą aptariame dalmens sąvokos ir trupmenos sąvokos santykį. Galiausiai tekstą baigiame keliomis bendro pobūdžio pastabomis apie skaičiaus sampratą mokyklinėje matematikoje.
1. Dalmuo elementariojoje matematikoje
Padalyti natūralųjį skaičių iš natūraliojo skaičiaus
reiškia rasti tokį skaičių
, su kuriuo būtų teisinga lygybė
. Toks skaičius
vadinamas dalmeniu. Natūraliųjų skaičių dalyba pradinėje mokykloje apibrėžiama tik tuo atveju kai dalmuo
taip pat yra natūralusis skaičius. Tuo atveju sakoma, kad
yra
kartotinis.
Pradėsime nuo dalmens sąvokos apibrėžties elementariojoje matematikoje.
1.1 apibrėžtis. Tarkime, kad ir
yra natūralieji skaičiai,
.
dalosi iš
, jei egzistuoja toks skaičius
, su kuriuo teisinga lygybė
. Toks skaičius
vadinamas dalmeniu ir žymimas
.
Šioje apibrėžtyje yra prielaida, kad skaičius su nurodoma savybe egzistuoja. Jei toks skaičius egzistuoja, jis vadinamas dalmeniu. Tokia sąvokos apibrėžtis yra įprasta matematikoje. Ji reikalauja įrodymo, kad matematinis objektas su nurodytomis savybėmis – skaičius šiuo atveju – tikrai egzistuoja. Tai padarysime sekančia teorema. Tiksliau, 1.2 teorema įrodo ne tik skaičiaus egzistavimą, ji įrodo tą skaičių esant trupmena su nurodytais skaitikliu ir vardikliu.
1.2. teorema. Bet kuriems natūraliesiems skaičiams ,
ir
teisinga lygybė
Įrodymas. Tegul ir
yra natūralieji skaičiai ir
. Remdamiesi žemiau nurodytomis savybėmis gauname lygybes
ką ir reikėjo įrodyti.
Sprendžiant pagal šios teoremos įrodymą, dalmens pilna tos sąvokos apimtimi nagrinėjimas būtų įmanomas po to, kai susipažįstama su trupmenų aritmetika. Tačiau galima ir kitaip, modifikuoti dalmens sąvokos apibrėžtį naudojant skaičių tiesę, kurios taškais yra skaičiai. Tada pakanka dalmens sąvoką apibrėžti nurodant, kaip atitinkamas skaičius randamas skaičių tiesėje. Tą mes darome trečiame skyrelyje (žr. 3.3 apibrėžtį). Sekančiame, antrame skyrelyje pratęsime natūraliųjų skaičių dalybos nagrinėjimą kai dalmuo yra natūralusis skaičius ir kol kas nesinaudosime skaičių tiese.
Pastaroji teorema rodo, kad dalmuo yra dalybos su liekana atskiru atveju. Priminsime dalybos su liekana teiginį.
1.3 teorema. Tarkime, kad ir
yra sveikųjų skaičių pora, be to
yra teigiamas. Egzistuoja vienintelė sveikųjų skaičių pora
ir
, kuriems teisingi sąryšiai
Kai , tai
vadinamas nepilnuoju dalmeniu, o
vadinamas liekana. Jei
, tai
yra dalmuo 1.1 apibrėžties prasme. Dalmuo skiriasi nuo nepilnojo dalmens 1.3 teoremos sąryšių kontekste. Šis skirtumas parodo ar vieną natūralųjį skaičių dalijant iš kito gaunama liekana, ar ne.
Dalmens ir nepilno dalmens skirtumo nepaisymas sukelia painiavą vadovėliuose. Abu jie tapatinami su trupmena kai norima trupmeną išreikšti mišriuoju skaičiumi ir kai norima pagrįsti pagrindinę trupmenos savybę. Dalyba su liekana įgalina trupmeną išreikšti specialaus pavidalo dešimtainiu skaičiumi. Priminsime, kad dešimtainis skaičius yra baigtinių dešimtainių skaičių riba:
čia natūralusis skaičius, o
skaitmenys.
1.4. teorema. Kiekviena trupmena yra lygi baigtiniam arba periodiniam dešimtainiui skaičiui. Be to, jei yra trupmena, tai kiekvienas dešimtainio skaičiaus skaitmuo gaunamas pasirinkus pakankamai didelį
ir dalijant
iš
su liekana.
Nesuprastinama trupmena lygi baigtiniam dešimtainiam skaičiumi, kai jos vardiklis
su kuriais nors natūraliaisiais skaičiais
ir
.
Toliau aptarsime natūraliųjų skaičių dalybą, kai rezultatas yra natūralusis skaičius.
2. Dalmuo natūraliųjų skaičių aibėje
Pagal 2022 m. patvirtintą matematikos programą, dalmuo mokomas nuo antrosios klasės. Toliau kiekvienoje klasėje šios žinios yra pildomos. Pakomentuosime 5 klasės matematikos vadovėlio [2] dalmeniui skirtus epizodus.
Paveikslėlyje skirtinga spalva pažymėtos dvi frazės. Pirmoje jų apibrėžiamas dalmens terminas, o antroje frazėje rašoma, kad ,,dalyba yra veiksmas, atvirkštinis daugybai“. Kitoje antros frazės dalyje yra implikacija ..jei , tai
„, nurodant, kad jos paskirtis tikrinti skaičiavimo teisingumą. Dėl tokios ryšio su daugyba paskirties tai nėra dalmens sąvokos apibrėžtis. Bet taisyklinga dalmens apibrėžtis yra senesniuose vadovėliuose ([3], 90 pusl.). Kita vadovėlio turinio problema yra tikslumas, nenurodoma simbolių
,
ir
reikšmių sritis, kaip ir daugelyje kitų vadovėlio vietų. Tik iš pavyzdžių ir platesnio konteksto galima numanyti, kad dalmuo šiame fragmente yra natūralusis skaičius. Bet tai svarbu, nes dalmens reikšmė gali būti lygi trupmenai remiantis 1.2 teorema.
Natūraliųjų skaičių dalybos kontekste dalmens sąvoka galėtų būti apibrėžiama sekančiu būdu.
2.1 apibrėžtis. Teigiamiems natūraliesiems skaičiams ,
,
, jei teisinga lygybė
, tai sakoma, kad
dalo
, o
vadinamas dalmeniu
dalijant iš
ir žymimas simboliu
.
Dėl matematinės apibrėžties loginės formos sprecifikos, reikia suprasti, kad dalo
su dalmeniu
tada ir tik tada, kai
. Skirtingai nuo 1.1 apibrėžties, 2.1 apibrėžtyje papildomai reikalaujame, kad dalmuo būtų natūralusis skaičius. Sąvokos prasmę ir naudą iliustruosime jos naudojimo pavyzdžiais.
Pagal 2022 m. patvirtintą programą, 5 klasėje naudojant vaizdinius modelius siūloma išsiaiškinti, kodėl bendruoju atveju yra teisinga lygybė
(1}
Simbolių galimų reikšmių aibė programoje nenurodoma. Nepastebėjau ir vadovėliuose šios lygybės nagrinėjimo. Matematiškai tikslios dalmens sąvokos naudingumo iliustracijos dėlei, (1) lygybės teisingumą išsiaiškinsime čia.
Tarkime, kad ,
,
yra teigiami natūralieji skaičiai ir
dalo
, t.y.
yra natūralusis skaičius. Pagal prielaidą ir 2.1 apibrėžtį, teisinga lygybė
. Remiantis šia lygybe ir daugybos jungiamumo dėsniu, teisingos lygybės
Gavome, kad dalo
ir dalmuo
yra lygus
, ką ir reikėjo įrodyti. Įrodyme naudojome dalmens vienatį, kurią vadovėlyje būtų privalu taip pat įrodyti.
Jei įrodant (1) lygybę atsisakytume prielaidos, kad dalo
, tai programoje suformuluota lygybė turėtų prasmę
vietoje dalmens naudojant trupmenas:
Pastaroji lygybė susijusi su kitu programoje greta esančiu sakiniu: ,,trupmenos daugyba iš natūraliojo skaičiaus apibrėžiama kaip tokių pačių trupmenų sumavimas“, t.y.
dėmenų suma:
Vadovėlis šį programos siūlymą įgyvendina savaip. Pateikęs vieną pavyzdį, apibrėžimą pakeičia taisykle
Grįžkime prie dalmens ir prie (1) lygybės. Parodysime, kad ji naudinga įrodant tai, kas kitame vadovėlio puslapyje vadinama pagrindine dalmens savybe.
Kas tai? Žodžiais formuluojama taip: dalinį ir daugiklį padalijus arba padauginus iš to paties natūraliojo skaičiaus, dalmuo nepakinta. Mūsų komentuojamame vadovėlyje randame tik šios savybės iliustraciją:
Kokių nors matematinio pagrindimo požymių nėra. Tačiau šia savybe remiamasi toliau tame pačiame vadovėlyje pagrindžiant pagrindinę trupmenos savybę teigimu, kad trupmena yra dalmuo; be įrodymo vadovėlyje tai tik nieko nereiškiantys žodžiai. Tačiau pagrindinė dalmens savybė yra pagrindžiama senesniuose vadovėliuose ([3], 94 pusl.).
Toliau įrodysime cituotą pagrindinę dalmens savybę, kai dalmuo yra natūralusis skaičius. Būtent šis atvejis yra vadovėlio iliustracija pateikiama vietoje savybės pagrindimo. Bet net ir tokiu atveju jos negalima taikyti analogiškai trupmenų savybei pagrįsti, nes trupmenos skaitiklis ir vardiklis nėra tas pats, kas dalinys ir daliklis natūraliųjų skaičių dalyboje, kai dalmuo yra tik natūralusis skaičius. Pagrindinei trupmenų savybei pagrįsti reikia kito įrodymo.
Toliau apie pagrindinę dalmens savybę. Pirma įrodysime teoremą apie dalmenį, kai dalinys ir daliklis dauginami iš to paties natūraliojo skaičius.
2.2 teorema. Tarkime, kad ,
,
yra teigiami natūralieji skaičiai ir
dalo
. Tada
dalo
ir dalmuo
Įrodymas. Natūralųjį skaičių pažymėkime raide
. Pagal prielaidą ir dalmens apibrėžimą
. Naudodami šią lygybę ir daugybos jungiamumo dėsnį gauname kitas dvi lygybes
Tai rodo, kad dalo
ir dalmuo lygus
dalybos iš
dalmeniui, ką ir reikėjo įrodyti.
Antra, įrodysime teoremą apie dalmenį, kai dalinys ir daliklis dalinami iš to paties natūraliojo skaičius.
2.3 teorema. Tarkime, kad ,
,
yra teigiami natūralieji skaičiai,
dalo
, o
dalo
ir
. Tada
dalo
ir dalmuo
Įrodymas. Kaip ir anksčiau, tegul . Remiantis dalmens apibrėžtimi reikia įrodyti, kad
Remiantis (1) lygybe ir prielaida gauname šias dvi lygybes
ką ir reikėjo įrodyti.
Tuo būdu įrodėme pagrindinę dalmens savybę ir baigėme dalmens natūraliųjų skaičių aibėje nagrinėjimą. Toliau aptarsime atvejį kai dalmuo gali būti lygus trupmenai.
3. Dalmuo ir trupmena
Jau beveik tris dešimtmečius mūsų vadovėliuose trupmenos apibrėžiamos jas pakeičiant dalmeniu, t.y. trupmena apibrėžiama kaip natūraliųjų skaičių dalybos rezultatas. Bet taip buvo ne visada. Prieš daugiau kaip tris dešimtmečius iš estų kalbos į lietuvių kalbą išverstuose 5 ir 6 klasės vadovėliuose ([3] ir [4]) trupmenos sąvoka ir dalmens sąvoka buvo skirtingos, parodant atitinkamų reikšmių lygybę.
Cituojų estų 5 klasės vadovėlį: ,,jeigų vienetą padalytune į 4 lygias dalis, tai kiekviena dalis būtų lygi vienai ketvirtajai ; trys tokios dalys – trims ketvirtosioms, arba trims ketvirtadaliams
“ ([3], 148 pusl.). Bendru atveju šis trupmenos apibūdinimas skamba taip: ,,vieną ar kelias lygias vieneto dalis vadiname trupmena“. Čia raktinė frazė vieneto dalis.
Dabar cituoju estų 6 klasės vadovėlį: ,,Jau žinote, kad paprastoji trupmena parodo, į kiek lygių dalių padalytas vienetas ir kiek tokių dalių paimta. <…> Parodysime, kad paprastąją trupmeną galima laikyti natūraliųjų skaičių dalmeniu“ ([4], 27 pusl.). Tam tikslui autoriai paaiškino kaip 3 obuolius padalinti 4 vaikams po lygiai ir kokiu būdu vienam vaikui tenka trys ketvirtadaliai obuolio. Samprotavimų naudojant pavyzdį rezultatas . Išvada: ,,kiekvieną paprastąją trupmeną galima laikyti dalmeniu dalybos, kurios dalinys – trupmenos skaitiklis, daliklis – trupmenos vardiklis“. Neturėtume pamiršti, kad šis sakinys skirtas mokiniui, kuris metus laiko mokėsi trupmenų aritmetikos be jų tapatinimo su dalmeniu. Be to, šiuo sakiniu teigiama dviejų skirtingų matematinių objektų reikšmių lygybė, bet ne sąvokų tapatumas.
Atsitiko taip, kad skirtingų objektų reikšmių lygybė buvo interpretuota kaip dviejų sąvokų – trupmenos ir dalmens – tapatumas. Priminsime trupmenos apibūdinimą 5 klasės vadovėlyje ,,Matematika ir pasaulis“ [1] .
Kairiojo puslapio apačioje matomas jau anksčiau cituotas sakinys iš estų 5 klasės vadovėlio. Dešiniojo puslapio apačioje trupmenos ir dalmens sąvokų tapatumas sulyginamas su atitinkamų objektų reikšmių lygybe:
Trupmenas galima gauti dalijant vieną arba kelis vienetus į lygias dalis. Todėl sakoma, kad trupmena yra dalmuo, gautas vieną skaičių dalijant iš kito, t.y.
Šios išnašos raktinė frazė dalijant vieną arba kelis vienetus. Šia fraze tapatinami du skirtingi to paties skaičiaus gavimo būdai. Jie atitinka dvi skirtingas sąvokas – trupmeną ir dalmenį. Paaiškinsime tai detaliau.
Trupmena , pagal obuolių pjaustymo procedūrą, gaunama, pirma, vienetu laikomą obuolį dalinant į keturias lygias dalis. Antra, trys tokios dalys sudaro reikalingą trupmeną. Atlikę šią procedūrą skaičių tiesėje, pirma, dalindami intervalo
ilgį į keturias lygias dalis gauname intervalą
, kurio dešinysis galas yra vienetinė trupmena
. Antra, apjungę tris gautus to paties ilgio nuosekliai vienas greta kito gulinčius intervalus gausime intervalą, kurio dešinysis galas yra (paprastoji) trupmena
, kaip pavaizduota paveikslėlyje.
Dalmuo
, kaip rašoma 6 klasės estų vadovėlyje, gaunamas skaičių 3 (tris vienetus) dalijant į keturias lygias dalis. Šios procedūros atlikimas skaičių tiesėje galėtų reikšti intervalo $[0,3]$ ilgio dalijimą į keturias lygias dalis. Pirmojo šiuo dalijimu gauto intervalo dešinysis galas yra dalmuo
, kaip pavaizduota paveikslėlyje.
Simboliais ir
pažymėtų taškų gavimo procedūros yra skirtingos. Todėl yra skirtingos sąvokos, kuriomis nusakomos procedūros. Galima spėti, kad abu taškai sutampa. Bet tam reikia loginių argumentų padedančių tai įrodyti. Pavyzdžiai su obuolių dalinimu rodo, kad tai turėtų būti įmanoma.
Trupmena ir dalmuo skaičių tiesėje. Geometrinėje tiesėje laisvai pasirenkami du taškai. Kairysis taškas tapatinamas su skaičiumi 0 (nulis), o dešinysis taškas tapatinamas su skaičiumi 1 (vienas). Atkarpa vadinama vienetine atkarpa, o skaičius 1 vadinamas vienetu. Į dešine nuo vieneto atidedant atkarpas, kongruenčias
, gaunami taškai, kurie tapatinami su natūraliaisiais
skaičiais . Taip papildyta geometrinė tiesė vadinama skaičių tiese.
3.1 apibrėžtis. Realusis skaičius yra taškas skaičių tiesėje.
Skaičių tiesės ypatybė ta, kad geometrinis taškas su skaičiumi ir atkarpos ilgis, kaip dydis, yra tapatinamas su skaičiumi, kuris gaunamas perstumiant atkarpą taip, kad
sutaptų su
. Tada atkarpos
dešinį galą atitinkantis skaičius yra jos ilgis. Atskiru atveju, vienetinės atkarpos
ilgis lygus 1.
Kitame apibrėžime naudojame tokią terminologiją. Intervalą pastumiant į dešinę nuo nulio taip, kad 0 atsidurtų taške
. Perstumto intervalo dešinysis galas atsidurs atstumu
nuo 0 ir jį pavadinsime taško
antruoju kartotiniu tašku. Su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi
, taško
-tasis kartotinis taškas yra dešinysis galas intervalo gauto intervalą
perstumiant taip, kad nulis sutaptų su tašku
.
Gauname seką taškų su vienodais tarpais tarp gretimų taškų.
Tegul ir
. Jei
, tai taško
-tieji kartotiniai yra natūralieji skaičiai. Trupmeną apibrėšime apibendrindami natūraliuosius skaičius.
3.2 apibrėžtis. Tarkime, kad yra nelygus nuliui natūralusis skaičius ir skaičių tiesės vienetinė atkarpa
yra padalinta į
vienodo ilgio atkarpų. Nuo nulio pirmosios gautos atkarpos dešinysis galas yra vienetinė trupmena, žymima simboliu
. Su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi
, taško
-tasis kartotinis yra trupmena
.
Trupmena yra taškas skaičių tiesėje (skaičius) reiškiamas simboliu , kuriame
yra natūralusis skaičius vadinamas skaitikliu, o nuliui nelygus natūralusis skaičius
vadinamas vardikliu.
3.3 apibrėžtis. Tegul ir
yra nelygūs nuliui natūralieji skaičiai.
dalybos iš
veiksmo rezultatas, vadinamas dalmeniu ir žymimas simboliu
, yra dešinysis galas arčiausiai nulio esančios atkarpos, kurią gauname
ilgio atkarpą
dalindami į
vienodo ilgio atkarpų.
Tegul yra ilgis atkarpos, kurią gauname atkarpą
dalindami į
vienodo ilgio atkarpų. Tada
. Taigi
yra dalmuo ir pagal 1.1 apibrėžtį.
Pagal 3.3 apibrėžtį, dalmuo yra skaičius, nes tai yra taškas skaičių tiesėje. Bet neaišku ar dalmuo yra trupmena, nes toks skaičius gaunamas dalinant vienetinio ilgio intervalą . Tačiau teisinga kita teorema.
3.4 teorema. Dalmuo lygus trupmenai
.
Įrodymas. Du skaičiai yra lygūs, jei atitinkami taškai skaičių tiesėje sutampa. Parodysime, kad yra dešinysis galas arčiausiai nulio esančios atkarpos, kurią gauname atkarpą
dalindami į 4 vienodo ilgio atkarpas. Nesunku atkarpą
padalinti į tris lygias dalis. Neaišku, kaip šią atkarpą padalinti į keturias lygias dalis. Tam panaudosime pagrindinę trupmenos savybę, pagal kurią
, t.y. 3 yra taško
12-kartotinis taškas arba dešinysis galas atkarpos, gaunamos jungiant 12
ilgio atkarpas.
Turime atkarpą , padalintą į 12 kongruenčių atkarpų. Pirmoji, kurios kairysis galas yra 0, pažymėta melsva spalva. Kadangi
, jas nuosekliai jungiame į keturias grupes, pažymėtas I, II, III, IV, po 3 atkarpas ,kiekvienoje grupėje. Pirmoje grupėje esančios trys kongruenčios atkarpos išreiškia mėlynosios atkarpos dešiniojo galo
3-iąjį kartotinį, rausva spalva pažymėtą tašką, kuris tokiu būdu žymi skaičių išreiškiamą trupmeną
. Apjungę kiekvienoje grupėje esančias atkarpas gauname keturias kongruenčias atkarpas, kurios dalo atkarpą
į keturias lygias dalis. Todėl rausvos spalvos taškas taip pat žymi dalmenį
, ką ir reikėjo įrodyti.
Komentaro moralas: taisyklinga sąvokos matematinė apibrėžtis įgalina objektų savybes įrodyti.
Tuo tarpu dabartiniuose vadovėliuose ,,trupmena kaip dalmuo“ mintis formuluojama įvairiai. Yra štai tokia šios minties forma:
Čia yra ištrauka iš 2023 metais publikuoto vadovėlio. Įdomus šios minties pateikimo būdas. Ją galima aptikti tik nuosekliai skaitant vadovėlį, nes ji yra skyrelyje …… ,,Kaip padauginti natūralųjį skaičių iš trupmenos?“ (kas galėtų pagalvoti ten ieškoti?). Nesvarbu kodėl, bet ,,nuo šiol natūraliųjų skaičių dalybos veiksmą (sic) galėsime rašyti kaip trupmeną“.
4. Pabaigai apie skaičiaus sampratą
Pagrindinis aritmetikos ir algebros mokymo sudėtingumas susijęs su skaičiaus samprata. Akademinėje matematikoje skaičius yra tam tikros algebrinės struktūros elementas. Dėl savo abstraktumo tokia skaičių sistemos samprata nėra naudojama mokyklinėje matematikoje. Padarius politinį sprendimą, kad matematikos mokymas(is) turėtų lavinti matematinį mąstymą mokyklinės matematikos turinys turėtų paisyti ir esminių matematikos savybių, ir psichologinių bei intelektualinių mokinių savybių. Pagrindine matematikos savybe yra jos teiginių įrodomumas. Savo ruožtu būtina teiginių įrodomumo sąlyga yra matematikos sąvokų apibrėžimų taisyklingumas. Todėl požiūris į skaičių kaip į abstraktų simbolį nepadeda sąvokų matematiškai taisyklingam traktavimui.
Atsižvelgiant į pedagoginius reikalavimus mokyklinei matematikai pradiniame ugdyme skaičius gali būti traktuojamas kaip nuoseklaus skaičiavimo elementas, o pats nuoseklus skaičiavimas naudojamas pagrįsti visus mokyklinės aritmetikos faktus. Tuo būdu gauname Peano aksiomų sistemos pakaitalą mokyklinėje matematikoje. Plečiant natūraliųjų skaičių aibę būtina modifikuoti ir skaičių sistemos sampratą. Skaičius svarbus ne kaip individas, bet kaip tam tikras savybes turinti sąryšių sistema pagrindžianti aritmetinius veiksmus. Prisimenant Kantoro-Dedekindo aksiomą apie tvarką išsaugančią abipus vienareikšmę atitikti tarp realiųjų skaičių aibės ir geometrinės tiesės, natūraliu skaičių sistemos mokyklinėje matematikoje pagrindu galėtų tapti skaičių tiesė. H.-H. Wu įrodė, kad gauta skaičių sistema yra pakankama įrodyti pagrindiniams mokyklinės matematikos faktams ([5]).
5. Literatūra
[1] N. Cibulskaitė ir M. Stričkienė. Matematika ir pasaulis. 5 klasė. TEV, 2006.
[2] V. Meškauskaitė, V. Pipirienė, Ž. Stundžienė. Matematika Visiems. 5 klasė. 1 dalis. TEV, 2024.
[3] E. Nurkas ir A. Telgma. Matematika. Vadovėlis 5 klasei. Kaunas, Šviesa, 1992.
[4] E. Nurkas ir A. Telgma. Matematika. Vadovėlis 6 klasei. Kaunas, Šviesa, 1993.
[5] H.-H. Wu. Teaching school mathematics to prospective teachers. European Mathematical Society Magazin, 122, 2021, pp. 39-45.