Šis tekstas yra šiek tiek papildytas mano pranešimas matematikos mokytojams šių metų lapkričio 22 dieną atvežusiems savo mokinius į 6-ąją Vakarų Lietuvos moksleivių matematikos olimpiadą Klaipėdos universitete. Jame aptariu šiuos klausimus. Kas tie ignoruojami esminiai matematikos bruožai? Kodėl vadovėlinė mokyklinė matematika turėtų jų neignoruoti? Kaip pasireiškia ignoravimas ir neignoravimas? Galiausiai, ką reiškia frazė ,,vadovėlinė mokyklinė matematika“?
Esminiai matematikos bruožai:
- kiekviena sąvoka yra tiksliai apibrėžiama, o sąvokų apibrėžimai yra loginių išvedimų pagrindas;
- kiekvienas teiginys yra tiksliai suformuluotas, visada aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma;
- kiekvienas teisingas teiginys gali būti pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu;
- matematika yra koherentiška: tai audinys, kurį sudaro sąvokos ir gebėjimai, logiškai suausti į vieną visumą;
- matematikos žinios yra kuriamos tikslingai, todėl kiekviena standartinėje mokymo programoje pateikiama sąvoka ar gebėjimas turi savo konkrečią paskirtį.
Kodėl esminiai matematikos bruožai turėtų atsispindėti mokyklinėje matematikoje? Pasiremsime 2022 patvirtinta programa, kurioje rašoma:
- Matematikos dalyko tikslas – sudaryti galimybę kiekvienam mokiniui, mokantis matematikos, ugdytis matematinį ir statistinį raštingumą, kuris šiame dokumente suprantamas kaip įgytas gebėjimas matematiškai samprotauti ir taikyti įgytas kompetencijas, sprendžiant įvairias realias, aktualias ir mokiniams suprantamas problemas.
2023 patvirtintame matematikos mokymo ir mokymosi gerinimo plane rašoma:
- Šio Plano tikslas – padėti kiekvienam mokiniui patirti sėkmę mokantis matematikos, užtikrinant matematikai mokyti ir mokytis būtinas sąlygas bei akcentuojant mąstymo gebėjimų stiprinimą.
Citatose minimi matematinis samprotavimas ir matematinis mąstymas yra vertingiausi gebėjimai įgyjami mokantis matematikos. Gebėjimas spręsti uždavinius apsiribojant atsakymo radimu yra beprasmiai, jei nesugebame įrodyti gauto atsakymo teisingumą. Tam, kad pavyktų pasiekti numatytų tikslų ir matematikos mokymasis taptų prasmingu, mokyklinės matematikos turiniui būtini esminiai matematikos bruožai.
Kaip esminiai matematikos bruožai atsispindi ar neatsispindi vadovėlinėje mokyklinėje matematikoje iliustruosiu pavyzdžiais. Šiame pranešime aptarsiu funkcijos apibrėžimus ir funkcijos grafikų transformacijas. Palyginsiu, kaip šios temos paprastai yra nagrinėjamos vadovėlinėje mokyklinėje matematikoje ir kaip jos galėtų būti nagrinėjamos atsižvelgiant į esminius matematikos bruožus. Komentuosiu šių temų pristatymą vadovėliuose, ne tik atnaujintuose, bet ir kelių pastarųjų dešimtmečių laikotarpiu išleistuose vadovėliuose.
Pirmasis esminis matematikos bruožas susijęs su sąvokos apibrėžtimi. Tai svarbu, nes matematiniai objektais yra tiksliai apibrėžiamos abstrakcijos. Matematinis objektas apibrėžiamas savo savybėmis, nurodant lygiai tiek savybių, kiek jų reikėtų norint įrodyti bet kurią kitą sąvokos savybę. Mes nesugebėtume įrodyti, kad du matematiniai objektai yra lygūs arba nuspręsti apie jo priklausomybę kuriai nors objektų klasei, jei nesusitartume dėl juos apibrėžiančių savybių. Pavyzdžiui, ar duotas trikampis yra lygiašonis, turime susitarti kurios trikampių savybės apibrėžia lygiašonį trikampį: kraštinių ilgiai ar kampų dydžiai. Matematiniu požiūriu ir vienas, ir kitas pasirinkimai yra galimi. Bet jei pasirinkome dvi lygias kraštines turintį trikampį vadinti lygiašoniu, tai užduotis reikalaujanti nustatyti, kad dvi lygiašonio trikampio kraštinės yra lygios – nesusipratimas. Matysime, kad tokio pobūdžio nesusipratimai yra būdingi funkcijos sampratai.
Funkcijos sampratos
Funkcijos sampratos keistumus iliustruosime tipiška funkcijos tyrimo užduotimi.
Kairėje esančiame eskize turėtume įžvelgti visas funkciją apibrėžiančias savybes, reikalingas jos tyrimui. Dešinėje matome, kad tyrimui reikia rasti funkcijos apibrėžimo sritį, reikšmių sritį ir kitas nurodytas jos savybes. Pagal iliustraciją mokinys eskize turi įžvelgti daugiau, negu jame iš tikro yra pavaizduota. Pavyzdžiui, jis turi suprasti, kad funkcijos apibrėžimo sritis ir reikšmių sritis nusitęsia į begalybę ir, kad ten ji turi arba neturi kitų tyrime nagrinėjamų savybių – teigiama ar neigiama, didėjanti ar mažėjanti, yra didesnių ir mažesnių reikšmių ar nėra. Šis pavyzdys rodo, kad funkcijos apibrėžtimi laikomas funkcijos grafiko eskizas, t.y. tik grafiko dalis. Matome, kad funkcijos tyrimui suteikiama tik dalis informacijos. Kitą informacijos dalį lieka nuspėti arba ieškoti apibrėžtyje neįvardintų papildomų susitarimų. Galima įsivaizduoti kokią nuomonę apie matematiką sudaro mokiniui tokios jam siūlomos užduotys.
Toliau bandysiu komentuoti tik vieną aspektą – funkcijos apibrėžimo sritis nėra laikoma funkcijos apibrėžimo dalimi. Vadovėliuose yra daug funkcijos apibrėžimo variantų. Vienuose jų apibrėžimo sritis nėra apibrėžimo dalimi, kituose jų apibrėžimo sritis yra apibrėžimo dalimi. Bet, nepriklausomai nuo funkcijos apibrėžimo, jos apibrėžimo sritį reikia rasti remiantis papildomais susitarimais, kaip pateiktoje iliustracijoje, arba anksčiau atliktų užduočių sukaupta patirtimi.
Mūsų vadovėliuose, dabartiniuose ir ankstesniuose, galima rasti skirtingų funkcijos apibrėžimų. Kad būtų paprasčiau, aptarsime du funkcijos apibrėžimų tipus. Viename jų apibrėžimo sritis nėra funkcijos apibrėžimo dalimi, kitame jų apibrėžimo sritis yra funkcijos apibrėžimo dalimi. Problema ir klaidos atsiranda tada, kai tame pačiame vadovėlyje naudojami skirtingi funkcijų apibrėžimai.
Pirmą funkcijos sampratos tipą iliustruoja sekanti apibrėžtis iš 2004 metų vadovėlio.
Taisyklę, kuri kiekvienai vieno kintamojo reikšmei priskiria vienintelę kito kintamojo reikšmę, vadiname funkcija. Pirmąjį kintamąjį vadiname funkcijos nepriklausomu kintamuoju (argumentu), o antrąjį – priklausomu kintamuoju. Aibę tų reikšmių, kurias gali įgyti nepriklausomas kintamasis, vadiname funkcijos apibrėžimo sritimi. Aibę tų reikšmių, kurias įgyja priklausomas kintamasis, – funkcijos reikšmių sritimi.
Kitame to paties vadovėlio puslapyje ši apibrėžtis papildoma susitarimu.
Kai funkcija yra išreikšta formule ir nėra atskirai nurodyta, kokias reikšmes gali įgyti nepriklausomas kintamasis, sakome, kad funkcijos apibrėžimo sritį sudaro visos šio kintamojo reikšmės, su kuriomis formulės reiškinys turi prasmę.
Šio tipo funkcijos sampratos skiriamuoju bruožu laikome apibrėžimo srities statusą – funkcijos apibrėžimo sritis gali būti nurodoma atskirai. Funkcijos apibrėžimo srities radimas gali būti jos tyrimo dalimi. Tokią funkcijos sampratą vadinsime funkcija-reiškiniu, kadangi, pagal nurodytą susitarimą, apibrėžimo sritis nustatoma kaip reiškinyje. Viskas būtų gerai, jei tokios apibrėžties būtų laikomasi visais atvejais. Bet taip nėra. Netgi pati funkcijos samprata priklauso nuo konkretaus vadovėlio.
Pacituota funkcijos apibrėžtis turi daugiau ypatybių. Pirmajame sakinyje naudojamas bendrumo kvantorius ,,kiekvienas“ nenurodant kintamojo reikšmių srities. Tokiu atveju netaisyklingai naudojama predikatų logikos sąvoka. Predikatų logikos ignoravimas yra būdingas visai mūsų mokyklinei matematikai. Trečiuoju funkcijos-reiškinio apibrėžties sakiniu sužinome, kad funkcijos apibrėžimo sritis yra aibė, kuriai gali priklausyti funkcijos argumentai. Tai gal gali ir nepriklausyti?
Panašų apibrėžimo srities statusą – pagalbinį – turi sutvarkytų porų apibrėžtis (Mirin et al., 2020). Būtent, funkcija yra bet kuri sutvarkytų porų aibė f, kuriai teisinga savybė: jei (x,y1) ir (x,y2) priklauso f, tai y1 = y2 .
Yra daug priežasčių tam, kad apibrėžimo sritis būtų funkcijos apibrėžties dalimi. Viena jų yra dviejų funkcijų lygybės sąvoka. Būtent, dvi funkcijos yra lygios, jei jų apibrėžimo sritys yra lygios ir jų reikšmės yra lygios su kiekviena argumento reikšme iš bendros apibrėžimo srities. Kitokio pobūdžio pavyzdys yra galimybė kvadratinės šaknies funkcijai būti kvadratinės funkcijos atvirkštine funkcija, nes tam reikia siaurinti kvadratinės funkcijos apibrėžimo sritį iki neneigiamų realiųjų skaičių aibės.
Antrą funkcijos sampratos tipą iliustruoja sekanti apibrėžtis iš 2010 metų vadovėlio.
Kintamojo x funkcija f yra apibrėžta (duota) kai žinoma:
-
- kintamojo x reikšmių aibė X, kuri vadinama funkcijos f apibrėžimo sritimi;
- funkcijos f reikšmių aibė Y, kuri vadinama funkcijos reikšmių sritimi;
- nurodyta taisyklė, kaip kiekvienam elementui iš apibrėžimo srities (pirmosios aibės X) priskiriamas vienintelis elementas iš reikšmių srities (antrosios aibės Y).
Šios sampratos skiriamuoju bruožu yra funkcijos reikšmių srities tapatinimas su funkcijos reikšmių aibe (angl. co-domain and range are the same). Todėl šią funkcijos sampratą vadinsime siurjektyviąja funkcija. Žinant taisyklę, funkcijos f reikšmių sritis apibrėžiama jos reikšmėmis f(x) su kiekvienu apibrėžimo srities elementu x. Pagal šią sampratą, funkcija yra duota, kai žinoma taisyklė ir jos apibrėžimo sritis. Tokiai funkcijos sampratai, anksčiau minėtoje tipiškoje funkcijos tyrimo užduotyje jos pirmoji dalis neturi prasmės. Funkcijos apibrėžimo sritis turėtų būti nurodoma prieš formuluojant užduotį apie funkcijos tyrimą. Bet taip nėra. Vadovėliuose, kuriuose naudojama siurjektyviosios funkcijos samprata, matome užduotis reikalaujančias nustatyti funkcijos apibrėžimo sritį. Tuo būdu ignoruojamas matematinės apibrėžties taisyklingumas.
Pasirinkimas tapatinti funkcijos reikšmių sritį ir funkcijos reikšmių aibę apsunkina kai kurių funkcijų apibrėžimus. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis yra funkcija, jei funkcijos apibrėžime galime pasirinkti tokią jos reikšmių sritį, kuri neprivalo sutapti su prasmę turinčių reikšmių aibe. Tokiems pavyzdžiams nagrinėti galėtų tikti funkcijos apibrėžtis, kurioje pasirenkame ne tik taisyklę, bet ir tos taisyklės apibrėžimo ir reikšmių sritis.
Tegul X ir Y yra skaičių aibės. Funkcija f yra taisyklė, kuri kiekvienam X aibės elementui priskiria vienintelį aibės Y elementą.
Aibė X yra funkcijos f apibrėžimo sritis, aibė {f(x): x ϵ X} yra jos reikšmių aibė ir funkcija žymima taip f: X → Y. Pastarajame apibrėžime funkcijos f reikšmių aibė neprivalo sutapti su jos reikšmių sritimi Y. Taip apibrėžtos funkcijos f grafiku yra aibė {(x,y) ϵ X×Y: x = f(x) }. Todėl anksčiau minėtoje funkcijos (grafiko) tyrimo užduotyje neturi prasmės reikalavimas rasti funkcijos apibrėžimo sritį ir jos reikšmių sritį. Ką pasakytumėte apie tokią užduotį: Duota 2 + 3 = 5; Rasti skaičių du ir trys sumą. Atėjo laikai, kada panašios užduotys tampa realybe.
Čia aptarėme tik keletą funkcijos apibrėžties aspektų. Mokyklinėje matematikoje turėtume atvirai kalbėti apie skirtingų funkcijos apibrėžčių pasirinkimų sunkumus ir galimybes. Keičiantis mokinių gebėjimams suvokti abstrakcijas, galėtume į tai atsižvelgti neaukodami esminių matematikos bruožų. Daugybę kartu teko girdėti, kad vieno ar kito matematikos dalyko nesupras mūsų mokiniai, todėl mokyti reikia paprasčiau, nesvarbu, kad tai gali turėti maža prasmės.
- Kodėl funkcijai svarbi jos apibrėžimo srities? – paklaus skeptikas.
Bent jau todėl, kad galėtume atsakyti į klausimą, ar dvi funkcijos yra lygios. Kol to negalime padaryti, mūsų populiariausia funkcijos samprata nėra vienareikšme apibrėžtimi. Pažvelkime, kaip vadovėlyje pristatoma sudėtinė funkcija.
Šiame pavyzdyje nėra jokios užuominos apie nagrinėjamų funkcijų apibrėžimo sritis, nors funkcijos y = g(x) apibrėžimo sritimi galėtų būti visa realiųjų skaičių aibė, bet sudėtinėje funkcijoje y=f(g(x)) argumentas x negali įgyti neigiamas reikšmes. Šiuo atveju kyla klausimas: Ar funkcija y = g(x) išlieka ta pačia, kai tampa sudėtinės funkcijos dalimi? Mūsų vadovėlinė mokyklinė matematika nesuteikia galimybių atsakyti į šį klausimą.
- O ką veikti su sudėtinėmis funkcijomis? – vėl paklaus skeptikas.
Sudėtinės funkcijos įgalina matematiškai tiksliai kalbėti apie geometrinių figūrų panašumą. Sakoma, kad dvi figūros yra panašios, jei viena figūra yra vaizdas kitos figūros atlikus tam tikras geometrines transformacijas-funkcijas (postūmis, atspindys, sukinys, ištempis/sąspūdis).
- O kam mums kažką žinoti matematiškai tiksliai? Tokiems dalykams pakanka informacinių technologijų, dirbtinio intelekto, – sakys tas pats skeptikas.
Panašu, kad mūsų matematikos programas atnaujino taip pat skeptikas. Likusi šio teksto dalis iliustruoja esminius matematikos bruožus ir funkcimio mąstymo galimybes lavinant mokinių matematinį samprotavimą.
Kvadratinės funkcijos grafikų transformacijos
Matematiškai tiksliai pristatoma kvadratinės funkcijos grafikų transformacijų tema galėtų iliustruoti dar vieną esminę matematikos savybę – koherentiškumą. Ji galėtų į vieną visumą apjungti geometrines transformacijas ir funkcijas, geometriją ir algebrą.
Nagrinėjant kvadratinės funkcijos f grafikus patogu naudoti dvi pagalbines funkcijas fa ir ha:
Dėl pagalbinės funkcijos fa viskas aišku, o dėl kitos pagalbinės funkcijos galima pačiam atlikti sekančią veiklą, įrodyti funkcijų f ir ha lygybę:
Šioje vietoje verta prisiminti parabole vadinamos geometrinės figūros apibrėžimą. Tai geometrinė vieta taškų, kurie yra vienodu atstumu nutolę nuo duotojo taško A (židinio) ir duotosios tiesės L (direktrisės).
Funkcijos f : R→R grafiku yra koordinatėmis reiškiamų taškų aibė Gf = {(x,y) ϵ R2: y = f(x) }.
Teorema. Kvadratinės funkcijos grafiku yra parabolė.
Sekantys eskizai parodo, kaip pagalbinės funkcijos fa grafikai priklauso nuo parametro a.
Šie grafikai gaunami vienas iš kito naudojant geometrine transformaciją, vadinamą dilatacija (ištempis/sąspūdis).
Dilatacija ištempia arba suspaudžia funkcijos fa grafiką. Tuo tarpu ha funkcijos grafikas gaunamas iš fa grafiko ją stumiant, atspindint ir sukant. Iš pastarųjų transformacijų sudaryta sudėtinė funkcija vadinama kongruencija.
Sudėtinė funkcija sudaryta iš dilatacijos ir kongruencijos vadinama panašumo transformacija arba panašumu. Apibendrinantis teiginys yra toks.
Teorema. Bet kurių dviejų kvadratinių funkcijų grafikai yra panašūs.
Detaliau apie geometrines transformacijas mokyklinėje matematikoje galima rasti Norvaiša (2024).
Išvados
Šio teksto pirmoje dalyje bandėme paaiškinti, kaip pasireiškia esminių matematikos bruožų ignoravimas vadovėliuose. Čia aptarėme tik keletą funkcijos apibrėžties ir jos taikymo aspektų. Įvairaus pobūdžio problemos būdingos visoms mūsų mokyklinės matematikos temoms. Be to, jos yra įsisenėjusios. Pavyzdžiui, apie funkcijos sampratos problemas mūsų vadovėliuose panašiai rašė A. Kavaliauskas dar 2008 metais. Mokyklinės matematikos problemų nemažėja. Sekant H.-H. Wu, ir mūsų mokyklinę matematiką galima būtų vadinti specialiu vardu – vadovėline mokykline matematika (žr. Wu, 2018). Vienas iš skiriamųjų jos bruožų yra matematinės apibrėžties taisyklingumo aukojimas įsivaizduojamam paprastumui.
Antroji teksto dalis – kvadratinės funkcijos grafikų transformacijos – iliustruoja matematikos mokymo galimybes. Funkcijos sąvoka gali tapti mūsų matematikos mokymą vienijančia idėja. Tai ne tik matematiškai taisyklingas matematinės apibrėžties traktavimas. Dar daugiau, tai funkcinio mąstymo idėja. Ji išreiškia gebėjimą suvokti ir analizuoti ,,kintamuosius dydžius“ ir jų funkcinę priklausomybę. Funkcinis mąstymas yra rišamoji priemonė jungianti geometriją, aritmetiką ir algebrą. Funkcinio mąstymo idėją šia prasme pasiūlė vokiečių matematikas Felix Klein 20 amžiaus pradžioje (žr. Weigand et al., 2016). Jo planas žinomas kaip Meraner Lehrplan buvo sėkmingai įgyvendinamas tarpukario Lietuvos matematikos mokyme. Ar sugebėsime pratęsti tarpukario matematikų ir matematikos mokytojų įdirbį mokyklinėje matematikoje parodys ateitis.
Literatūra
Ambraškienė, A. Chrapačienė, R. Kavoliūnaitė, A. Navickienė, V. Silvanavičius, R. Švelnikienė, M. Vosylienė. Matematika. Išplėstinis kursas, 11 klasei. Pirmoji knyga, Šviesa, 2010.
Edwards and M.B. Ward. The role of Mathematical Definitions in Mathematics and in Undergraduate Mathematics Courses. In: M.P. Carlson, Ch. Rasmussen (Eds.), Making the Connection. Research and Teaching in Undergraduate Mathematics Education, pp. 223-232, Mathematical Association of America, 2008.
Gedminienė, D. Riukienė, I. Šukienė, J. Jačauskaitė, I. Brazauskienė. Matematika. Vadovėlis. Horizontai. 9 klasė, 2 dalis. Šviesa, 2023.
Intienė, A. Skūpas, V. Stakėnas, E. Stankus, V. Vitkus. Matematika 11. I dalis. TEV, 2004.
A. Kavaliauskas. Matematinių objektų ypatumai. Funkcija. Liet. Mat. Rink. LMD darbai. 48/49, 2008, 105-108.
Mirin, K. Weber, N. Wasserman. What is a function? In: Sacristán, A.I., Cortés-Zavala, J.C. & Ruiz-Arias, P.M. (Eds.). (2020). Mathematics Education Across Cultures: Proceedings of the 42nd Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Mexico. Cinvestav / AMIUTEM / PME-NA.
R. Norvaiša. Geometrinės transformacijos mokyklinėje matematikoje. Liet. Mat. Rink. LMD darbai, 65, 2024, 45-75.
H.G. Weigand, W. McCallum, M. Menghini, M. Neubrand, G. Schubring (Eds.) The Legacy of Felix Klein. ICME 13, Hamburg 2016.
Winicki-Landman and R. Leikin. On Equivalent and Non-Equivalent Definitions: Part 1. For the learning of Mathematics 20, 1, 17-21, 2000
H.-H. Wu. The Content Knowledge Mathematics Teachers Need. Y. Li et al. (eds.), Mathematics Matters in Education, Advances in STEM Education, 2018, 43-91.