Skirtingi požiūriai į mokyklinės matematikos mokymą ir mokytojų rengimą

Santrauka. Įvertinsime atnaujintą matematikos programą, jos įgyvendinimo ypatumus ir matematikos mokytojų rengimą, bei jų kvalifikacijos klausimus. Aptarsime specialiąsias dalyko žinias, kurios yra būtinos kokybiškam matematikos mokymui, bet nėra suteikiamos studijuojant universitetinę matematiką ar pedagogikos studijų modulį. Požiūrių skirtumus iliustruosime trupmenos sąvokos pavyzdžiu. Galiausiai aptarsime ministerijos parengtą matematikos mokymo ir mokymosi gerinimo planą bei jo vykdymą.

Atnaujintos matematikos programos (toliau tiesiog programos) vertinimas priklauso nuo jos atnaujinimo tikslo. Tačiau jis nėra akivaizdus. Programa yra rezultatas projekto: ,,Skaitmeninio ugdymo turinio kūrimas ir diegimas“. Projekto tikslas – atnaujinti bendrojo ugdymo turinį ir užtikrinti veiksmingą jo diegimą. Čia yra naudojamas žodis ,,turinys“, kurio reikšmė svarbi vertinant įvykdyto projekto rezultatą – atnaujintą matematikos programą. 

Lietuvių kalbos žodyne žodžiui ,,turinys“ priskiriamos kelios reikšmės. Pirma, ,,prasminės sandaros elementų visuma; esmė, pagrindinė prasmė: Knygos turinys, mokymo turinys ir metodai, uždavinio turinys, sąvokos turinys“. Antra, ,,antraščių sąrašas: gale knygos pridėtas turinys, visai tikslinga dėti turinys tarp pratarties ir pačio veikalo teksto“.

Šios dvi žodžio ,,turinys“ reikšmės skirtingos. Viena jų siejama su prasme, kita siejama su antrašte. Kiekvieną kartą naudodami žodį ,,turinys“ turime būti atsargūs kurią iš dviejų reikšmių turima galvoje. Reikalą komplikuoja minėto projekto pavadinime naudojamas būdvardis ,,skaitmeninis“? Anglų kalba šias skirtingas reikšmes galima išreikšti skirtingais žodžiais subject matter ir content.

Kai kurie programų atnaujinimo pradžiai skirtų diskusijų dalyviai (Z. Kairaitis) prisimena, kad tą kart sąvokos taip ir liko neišgrynintos. Man pačiam dalyvaujant kompetencijų aprašų kūrimo grupėje ir svarstant skaitmeninę kompetenciją nepavyko nei pačiam išsiaiškinti ką reiškia frazė ,,Skaitmeninio turinio kūrimas“, nei kolegoms sukelti abejonių dėl jos dviprasmiškumo.

Gali būti, kad siekiant gauti Europos socialinio fondo finansavimą švietimui, terminų dviprasmiškumas buvo naudingas politine prasme. Pastaruoju metu programų atnaujinimo įgyvendinimas politikų vertinamas remiantis antrąja žodžio ,,turinys“ prasme, kaip ,,antraštė“. Sakoma nauji vadovėliai nereikalingi, nes, cituoju ministrą, ,,jeigu atsiranda viena papildoma tema, nebūtinai reikia naujo vadovėlio“. Arba sakoma ,,mūsų mokytojai turi pakankamai kompetencijos, kad gali mokyti ir be vadovėlių“.    

2019 metais ministro patvirtintose bendrųjų programų atnaujinimo gairių 40 punkte rašoma: ,,Dalyko turinys sudaro sąlygas ugdytis kompetencijas, bendrojoje programoje jis pateikiamas nuosekliai, atsižvelgiant į atitinkamo mokslo akademinė logiką, metodologiją ir paisant mokinių amžiaus tarpsnių ypatumų.“ Pagal šį sakinį, programa turėtų būti vertinama adekvatumo matematikos mokslo žinioms aspektu. 

Šiame tekste, vengdamas žodžio ,,turinys“ dviprasmiškumo ir prasmę siedamas su žiniomis, naudosiu dvi frazes: mokyklinės matematikos žinios ir mokyklinės matematikos turinys.  

Mokyklinės matematikos žinios – sąvokos, jų savybės ir pagrindimo būdai, procedūros ir jų pagrindimo būdai, taikymai už matematikos ribų ir jų pagrindimas. Ši frazė skirta reikšti LKŽ minimą prasmės reikšmę kai kalbama apie turinį.

Mokyklinės matematikos turinys – temos, terminai, procedūros, faktai, su matematika siejami pavyzdžiai iš įvairiausių sričių (fraktalai ir panašiai). Ši frazė skirta reikšti LKŽ minimą antraštės reikšmę kai kalbama apie turinį.

Mathematics subject matter knowledge refers to knowledge of the discipline’s body of concepts procedures, and processes, of deriving results and warrants for these processes. Mathematics subject matter knowledge within mathematics knowledge for teaching includes awareness of definitions and their implications and of representations and rationales for problem-solving processes.- (Encyclopedia)

Mes kalbėsime apie skirtingus požiūrius į  mokyklinės matematikos žinias. Kitaip tariant, kalbėsime apie skirtingus požiūrius į matematikos mokymo prasmę. Mokyklinės matematikos turinys yra svarbus tiek, kiek jis padeda atskleisti mokyklinės matematikos žinias.

 Pirmas požiūris – matematikos mokymas grindžiamas ,,natūralia“ intuicija, procedūrų mokymu ir uždavinių sprendimu. Čia ,,natūrali“ intuicija – mąstymo polinkiai susiformavę žmogaus evoliucijos eigoje ir jo gyvenimo patirtyje. Šis požiūris identifikuojamas atidžiai nagrinėjant pastarųjų dešimtmečių matematikos vadovėlius. Toliau pirmasis požiūris bus vadinamas vadovėline mokykline matematika (Vadovėlinė MM).  

Svarbi pastaba. Čia ir toliau ,,vadovėlinis“ reiškia mokyklinės matematikos žinias, kurios iki šiol tradiciškai pateikiamos vadovėliuose. Vadovėlinė matematika  gali turėti skaitmeninę formą, filmuotos medžiagos formą. Turinio skaitmeninimas nebūtinai reiškia matematikos žinių pateikimo būdo keitimą. Mūsų atveju skaitmenizuotas vadovėlis turi tas pačias matematikos mokymo problemas kaip ir jo popierinis pirmtakas. Gal būt skaitmeninimas iš tikro labiau mokiniams patraukli forma, bet ji gali būti tokia pat nepatraukli perteikiamų žinių nesupratimo požiūriu.

Vadovėliniam MM būdingas sąvokos aiškinamos nurodant kokius ir kaip galima spręsti uždavinius naudojant pristatomas sąvokas, sąvokų savybės pagrindžiamos iliustruojant jas atskirais atvejais, pagrindimui naudojamos realaus pasaulio situacijos. Dažniausiai ignoruojama sąvokos matematinė apibrėžtis, nesirūpinama sąvokos savybių matematiniu pagrindimu. Matematinio objekto apibrėžtis skiriasi nuo ,,žodžio apibrėžties“ kasdieninėje kalboje. Leksikografijoje ,,žodžio apibrėžtis“ yra jo reikšmės aiškinimas. 

Antras požiūris – matematikos mokymas grindžiamas ,,lavinama“ intuicija, procedūrų mokymu ir matematiniu samprotavimu. Čia ,,lavinama“ intuicija – mąstymo polinkiai formuojami lavinant matematinio samprotavimo gebėjimus. Šis požiūris identifikuojamas atidžiai nagrinėjant tarptautinės bendruomenės atliekamų matematikos mokymo mokslinių tyrimų rezultatus. Toliau antrasis požiūris bus vadinamas samprotavimo mokykline matematika (Samprotavimo MM).

Kartais matematinis samprotavimas traktuojamas tik kaip nauja su likusiu turiniu nesusijusi tema. Samprotavimo MM būdingas viso turinio pateikimas vadovaujantis matematinio samprotavimo principais (H.-H. Wu):

1. Matematiniai apibrėžimai yra pagrindas;
2. Kiekvienas teiginys pagrindžiamas matematiniu samprotavimu;
3. Matematiniai teiginiai yra tikslūs;
4. Matematikos žinios sudaro susijusią sistemą;
5. Matematikos žinios siekia konkrečių tikslų.

Matematikos mokymo moksliniai tyrimai rodo, kad mokinių pasiekimai žemi todėl, kad jie nesupranta vadovėlinės MM. Vadovėlinė MM negali aiškiai ir korektiškai paaiškinti tai, ką mokiniai turėtų išmokti. Mes negalime galutinai nuspręsti žemų pasiekimų priežastis tol, kol visiems mokiniams nebus prieinama samprotavimo MM. Kol kas dalis matematikos mokytojų dėl įvairių priežasčių atsisako bandyti patys aiškintis samprotavimo MM, o tuo labiau naudoti ją mokymui. Toliau  bandysime iliustruoti ir vadovėlinę MM, ir samprotavimo MM.

Trupmenų aritmetika  Vadovėlinėje MM trupmena apibrėžiama kaip simbolis sudarytas iš skaitiklio ir vardiklio,

arba kaip skaičius turintis atitinkamą simbolinę išraišką.

Skaičių tiesė naudojama kaip viena iš daugelio trupmenos iliustravimo priemonių:

Tačiau skaičiaus samprata neaptariama. Nesant tokios sampratos, trupmena mokinių dažnai tapatinama su skaičių, skaitiklio ir vardiklio, pora.

Siekiant trupmenai suteikti matematinę prasmę trupmena tapatinama su dalmeniu.  Dalmuo, kaip ir trupmena, nėra apibrėžiami kai dalmuo nėra sveikas skaičius.

Samprotavimo MM skaičius, trupmena, dalmuo ir trupmenų aritmetika apibrėžiami naudojant skaičių tiesė ne kaip vieną iš daugelio pavyzdžių, bet kaip pagrindą. Skaičius yra skaičių tiesės taškas. Turėdami skaičių tiesę su joje nurodytais natūraliaisiais skaičiais, ji pildoma trupmenomis.

Dalmuo yra apibrėžiamas bet kuriai natūraliųjų skaičių porai ir tik po to įrodomas jos ryšys su trupmena.

Atkarpos dalinimas į lygias dalis nepriklauso nuo to ar m yra n kartotinis ar ne.

Dalmens ir trupmenos tapatinimą iliustruosime įrodydami lygybę   . Du skaičiai 2:3 ir lygūs, jei jie yra tame pačiame skaičių tiesės taške.

Trupmenų aritmetiką iliustruosime trupmenų sumos apibrėžtimi.

Skirtumai tarp vadovėlinės MM ir samprotavimo MM:

• Pirmas skirtumas tai apibrėžtis: ji yra skirtinga abiejuose požiūriuose. Matematinė apibrėžtis įvardija apibrėžiamo objekto savybes, kurios toliau naudojamos aritmetikai. Trupmenos atveju apibrėžtis nurodo, kaip trupmena randama skaičių tiesėje. Vadovėlinės MM apibrėžtis yra simbolio apibūdinimas ir pavyzdžių rinkinys.
• Antras skirtumas tai savybės pagrindimo pobūdis. Vadovėlinės MM atveju pagrindimui naudojamas atskirais atvejis, pavyzdys. Samprotavimo MM atveju pagrindimą sudaro argumentai naudojami atskiriems atvejams, bet galiojantys visiems tos pačios klasės objektams.
• Abu skirtumai yra pirmi du matematinio samprotavimo principai. Samprotavimo MM iliustruojantys trupmenų aritmetikos teiginiai paimti iš 2013 metais parengtų ,,Matematinio ugdymo bendrojo ugdymo mokykloje gairių”.

Kitos vadovėlio ištraukos iliustruoja lygties sampratos pristatymą.

Kaip skaitytojas galėtų sau atsakyti į klausimą, kas yra lygtis? Jei nežinomasis x gali įgyti reikšmes skirtingas nuo -3 ir 3, tai ką reiškia lygybė x² = 9? Klaidinga lygybė? Tai ką reiškia simbolis = ? Kaip spręsti tai, kas prieštaringa?

Jei pirmoje eilutėje nežinomojo x reikšmė nėra lygi -3, tai kodėl ji tokia tampa trečioje eilutėje? Kaip spręsti lygtį, kuri neturi sprendinio?

Vadovėliuose paprastai nėra paaiškinama, kad lygtis yra klausimas: su kuria nežinomojo x reikšme teisinga lygybė? Kad lygties sprendimas prasideda darant prielaidą: tegul x yra sprendinys. Po tokios prielaidos, visi atliekami veiksmai nekeičia lygybės dėl konkrečių matematinių priežasčių, kurias bent kartą reikėtų įvardinti. Ar vadovėlio skaitytojas supranta tas priežastis? Jei ne, tai lygties spendimas yra tikėjimu pagrįstas ritualas.

Matematikos mokytojui reikalingos žinios  Vadovėlinė MM yra mokiniams skirtos matematikos žinios. Iki šiol bandėme įtikinti, kad mokiniams dabartiniuose vadovėliuose esančių žinių nepakanka. Dar prasčiau yra su mokytojui reikalingų matematikos žinių prieinamumu.  Pamokoje mokytojas susiduria su situacijomis reikalaujančiomis žinių, kurių nėra ne tik vadovėlyje, bet jų jis negauna nei viename savo profesinės karjeros etape.

Iš mano kalbos apie samprotavimo MM turėtų būti aišku, kad mūsų matematikos mokytojai turi labai ribotas galimybes susipažinti su mokyklai tinkamu matematiniu samprotavimu. Natūralu, kad jo nėra universitetinėje matematikoje. Mūsų matematikos didaktika yra bendrosios didaktikos dalis ir matematinio samprotavimo supratimo bei įgūdžių taip pat nesuteikia. Bet matematikos mokymas yra matematikos krypties studijų dalis.

Apie du požiūrius į matematikos mokytojų rengimą. Pirmas požiūris – matematikos mokytoju gali būti kiekvienas baigęs matematikos studijas matematikos kryptyje ir įgijęs pedagoginio modulio žinias ir praktiką mokykloje. Antras požiūris – minėtas rengimas nesudaro galimybių įgyti matematikos mokymo specialiųjų turinio žinių. Šioms žinioms perteikti būsimiesiems matematikos mokytojams rekalingas ,,lygiagretusis“ studijų būdas.

Grupės mokslininkų iš VU/MRU/VK citata apie mokytojų rengimo būdus iš jų 2016 metų studijos skirtos mokytojų rengimo modeliui aptarti:

Sunku komentuoti. Dabartiniame mokytojų rengimo reglamente šis požiūris yra įgyvendintas.

Matematikos mokymo ir mokymosi gerinimo planas  Toks planas buvo parengtas ir ministro patvirtintas 2023 metų pavasarį. Plano įgyvendinimo laikotarpis iki 2030 metų. Plane numatytų veiklų stebėsenai paskirta žmonių grupė, kuriai priklausau ir aš. Kokia šio plano vykdymo padėtis šiuo metu?

Pirma, numatyta ,,Stiprinti tyrimais grįstą metodinę paramą matematikos mokymosi turiniui kurti, mokymo ir mokymosi procesui gerinti“. Šios veiklos atsakingu vykdytoju yra NŠA ir LMT. Man žinoma, kad LMT savo dalį, skelbti kvietimą vykdyti mokslinius tyrimus edukologijos mokslo kryptyje, įvykdė. NŠA veikla tyrimų srityje man nežinoma.

Antra, numatyta ,,Stiprinti matematikos mokymą sudarant mokytojams galimybes tobulinti profesinę kvalifikaciją bei parengiant kokybiškas mokymosi priemones“. Šią veiklą vykdo NŠA ir įvairūs pedagoginiai centrai. Veiklos vykdyme dalyvauja ir VU matematikai. Šiandien (vasario 19) MIF-e renkasi pirmoji 30 mokytojų grupė siekianti tobulinti profesinę kvalifikaciją. Spėju, kad panašią veiklą vykdo kiti pedagoginiai centrai. Šiai veiklų grupei priklauso ir skaitmeninių priemonių kūrimas.

Trečia, numatyta ,,Gerinti matematikos mokymo ir mokymosi sąlygas, kurti ir palaikyti mokymuisi palankią aplinką, įskaitant ikimokyklinį ugdymą ir neformalųjį vaikų švietimą“. Tarp kitų veiklų šioje dalyje numatyta kelti kvalifikacinius reikalavimus vadovėlių recenzentams. Svarbi šios dalies veikla – teminis naujai parengtų matematikos vadovėlių vertinimas. Už šią veikla atsakinga NŠA.

Ketvirta, numatyta ,,Tobulinti matematikos pasiekimų patikrinimo sistemą – užtikrinti, kad mokinių pasiekimams patikrinti naudojamos užduotys atitiktų validumo, patikimumo ir kitus kokybinius reikalavimus“. Už absoliučią daugumą veiklų šioje dalyje taip pat atsakinga NŠA.

Šios plano priemonės parengtos remiantis matematikos mokymo situacijos analize. Plano rengimą sąlygojo prastėjančios matematikos brandos egzaminų ir PUPP pasiekimų tendencijos. Jų priežastimis laikomi:

• nepakankami savo apimtimi moksliniai ir taikomieji tyrimai;
• nepakankamai atlieptas mokytojų poreikis tobulinti savo kvalifikaciją;
• nepakankamai reiklus ir motyvuojantis matematikos mokymosi turinys ir mokymosi priemonių kokybė;
• ne visiems mokiniams sudarytos lygiavertės sąlygos;
• pasiekimų vertinimo sistemai trūksta nuoseklumo.

Išvada. Mūsų švietimo sistemos sąranga tokia, kad samprotavimo matematikos mokymo versus vadovėlinės matematikos mokymo dilemą sprendžia ir matematikos mokytojų rengimo bei kvalifikacijos kėlimo sistemą kuria ŠMSM pasitelkusi NŠA vadybą ir Edukologijos mokslą. Matematikų bendruomenei skirtas tokios politikos vykdytojų vaidmuo, nedalyvaujančių darant sprendimus. Sakyti, kad toks švietimas turi tik sistemines problemas, tai nesuprasti realybės. Yra daug blogiau. Tokia švietimo sistemos sąranga neturi pamatų ir yra priversta toliau imituoti švietimo pažangą. Šių pamatų likučiai buvo sunaikinti dar 2000 metais mokomųjų dalykų mokslinių tyrimų institutą performavus į vadybos agentūrą. Tuo būdu buvo sugriautas tiltas/pamatas tarp universitetuose vykdomų mokomųjų dalykų mokslinių tyrimų ir tokių tyrimų rezultatų taikymo mokyklose bazės/instituto.

Šią išvadą pagrindžia ne tik matematikos mokymo ir mokymosi gerinimo planas, bet ir kiti čia neaptarti dalykai:

• matematinio švietimo politika anoniminė ir viešai pasireiškia projektinėmis veiklomis, kurių tikslai nėra pagrįsti, o jas vykdo mokytojai ir matematine prasme neprofesionalios organizacijos;
• matematikos vadovėliai rengiami privačių leidyklų, o jų autoriais yra tie patys matematikos mokytojai;
• matematikos mokytojų kvalifikacijos kėlimas didžiąja dalimi nėra orientuotas į mokyklinės matematikos žinių gilinimą, kaip rodo NŠA puslapis ,,Mokyklų veiklos plėtra ir pedagogų kvalifikacija“;
• epizodiniai matematikos mokymo moksliniai tyrimai vyksta valstybės remiamoje edukologijos mokslo srityje;
• matematikos mokslo srityje tokie tyrimai dar mažiau aktyvūs, nes vykdomi tik matematikų entuziazmo dėka.

Matematikos mokytojų bendruomenė yra situacijoje panašioje į Barono Miunhauzeno, kai šis priverstas iš akivaro save traukti už plaukų.