Gavau klausimą: Kas naujo vyksta matematikos mokyme? Atsakymas vienu sakiniu: Matematikos mokymą Lietuvoje bandoma kreipti matematinio mąstymo lavinimo linkme. Visas tekstas yra bandymas išplėtoti trumpąjį atsakymą. Kokia matematikos mokymo situacija susidarė pastaraisiais dešimtmečiais ir ar šią situaciją pavyksta keisti? Kaip įmanoma kiekvienam mokiniui sudaryti galimybes lavinti savo matematinį mąstymą?
Mokyklinės matematikos situaciją ir problemas Lietuvoje matau akimis matematiko, kuris dalyvauja jos moksliniuose tyrimuose ir mokytojų rengime. Todėl pradėsiu lygindamas mokyklinę matematiką su matematika.
Universitetinė vs mokyklinė matematika
Universitetinė matematika (Calculus, Abstract algebra, Set theory, Topology, First order logic ir t.t.) savo griežtumo standartų (standards of rigour) požiūriu yra daugiau ar mažiau panaši visose šalyse, nepriklauso nuo nacionalinės kultūros ir studijų tradicijų, skirtingose šalyse gali būti naudojami tie patys vadovėliai, gal būt verstiniai, įvairių šalių studentai ir dėstytojai gali keistis tarpusavyje. Be to, universitetinės matematikos turinys palyginus lėtai kinta.
Kitaip yra su mokykline matematika. Mokyklinė matematika griežtumo standartų požiūriu yra žymiai margesnė skirtingose šalyse ir skirtingais laikotarpiais. Mokyklinė matematika konkrečioje šalyje labai priklauso nuo tos šalies visuomenės mentaliteto, švietimo tradicijų, kultūrinių tradicijų. 20 a pabaigoje, po atliktų tyrimų Europos Sąjungoje buvo atsisakyta planų mokyti matematikos pagal vieningą programą. Tačiau tam tikros konvergencijos į bendrą standartą yra siekiama nuo 19 a. pabaigos. 20 a, pradžioje kūrėsi tarptautinės draugijos, kurios siekė suvienodinti matematikos mokymo mokykloje programas. Tarptautiniai moksleivių pasiekimų tyrimai, tokie kaip PISA ir TIMSS, atskleidžia didelius skirtumus tarp skirtingų šalių. Tai tam tikros rūšies mokinių egzaminai, kuriais siekiama specifinių tikslų. Šių tarptautinių tyrimų nereikėtų painioti su mokyklinės matematikos moksliniais tyrimais.
Universitetinės matematikos studijos yra supažindinimas su matematikos mokslo sritimi. Su kokiomis žiniomis supažindina ir kokius gebėjimus lavina mokyklinė matematiką? Jei ne su matematikos mokslo sritimi, tai su kuo? Ar egzistuoja visuotinai pripažįstamas mokyklinės matematikos žinių standartas? Atsakymas nevienareikšmis. Jis priklauso nuo matematikos mokymo tikslų, kuriuos formuluoja skirtingų interesų žmonių grupės.
Tarkime, kad matematikos mokymo tikslu yra kiekvienam mokiniui sudaryti galimybes lavinti savo matematinį mąstymą. Tokiam tikslui mokyklinės matematikos turinio standartą sukūrė amerikiečių matematikas Hung-Hsi Wu. Iš dalies, 1 – 8 klasės lygmenyse, šis standartas yra atspindimas 2010 metais parengta amerikiečių matematikos programa: Common Core State Standards. Tačiau problemomis lieka tokio standarto įgyvendinimas, t.y. transformavimas į mokymo turinį klasėje ir į mokytojo gebėjimus perteikti tokias žinias. Šių ir kitų susijusių problemų sprendimu užsiima matematikos mokymo moksliniai tyrimai. Juos organizuoja nacionalinės švietimo sistemos ir įvairios tarptautinės organizacijos. Mums artimomis yra The International Commission on Mathematical Instruction (ICMI), European Society for Research in Mathematics Education (ERME), Nordic Society for Research in Mathematics Education (NoRME) – šiai draugijai priklauso 5 Šiaurės šalys ir 3 Baltijos šalys. Lietuviai šių draugijų veiklose dalyvauja epizodiškai.
Lietuvoje matematikos mokymo mokslinė disciplina žinoma kaip matematikos didaktika ir švietimo politikų (ir ne tik jų) laikoma edukologijos mokslų krypties mokslininkų veiklos sritimi. Įdomu tai, kad šios krypties mokslininkai nedalyvauja mano minėtose tarptautinėse matematikos mokymo tyrimų draugijų veiklose. Edukologijos krypties mokslininkai turi savo tarptautinius mokslinės veiklos tinklus. Pavyzdžiui, European Educational Research Association, EERA, kurių konferencijose yra matematikos didaktikos sekcijos. Spręsdamas pagal edukologijos mokslo pobūdį Lietuvoje, manau, kad EERA ir specializuotų mokyklinės matematikos draugijų (ICMI, ERME, NoRME) teoriniai mokyklinės matematikos pagrindai yra skirtingi.
Matematikos mokymo doktorantūros ir disertacijos
Lietuvoje iki šiol neturėjome specializuotų matematikos mokymo doktorantūrų ir disertacijų. Disertacija matematikos mokymo tema gali būti apginta edukologijos mokslo kryptyje. Šiuo metu bandome tai padaryti matematikos kryptyje. Kiekviena šalis turi savo tradicijas ir taisykles trečios pakopos matematikos mokymo studijoms. Toliau keletas faktų apie tokias studijas JAV.
Amerikoje pirmosios matematikos mokymo (SIC) doktorantūros studijos prasidėjo 20 a. pradžioje Kolumbijos universiteto mokytojų kolegijoje ir Čikagos universitete. Jos vyko pagal matematikos doktorantūros modelį, jose buvo studijuojama matematika bei matematikos mokymas, mokymasis ir matematikos programa, demonstruojamas gebėjimas atlikti originalius mokslinius tyrimus. Šių doktorantūros studijų modeliai iki šiol dominuoja JAV. Laikotarpiu nuo 2001 m. iki 2005 m. buvo apgintos 428 matematikos mokymo disertacijos 104-iose skirtingose JAV institucijose.
Baigę matematikos mokymo doktorantūrą paprastai eina dirbti į matematikos fakultetą arba į edukologijos fakultetą/kolegiją dėstytojais, mokytojų rengėjais ir kitur. 2003 metais Matematikos mokytojų rengėjų asociacija parengė bendrus reikalavimus doktorantūros tikslams ir turiniui. Pavyzdžiui, kalbant apie reikalavimus matematikos žinioms, pradinių klasių (pas amerikiečius iki 6 klasės) mokytojo rengėjo matematikos žinios turi siekti matematikos bakalauro antro kurso žinių lygį, o vidurinės mokyklos mokytojo rengėjo žinios turi siekti matematikos magistro žinių lygį. Kiti reikalavimai matematikos mokymo doktorantūrai yra susiję su mokyklinės matematikos žiniomis, matematikos mokymo tyrimais, matematikos programa, technologijomis, vertinimu, mokymusi, mokymu ir mokytojų rengimu.
Turbūt sunkiausia matematikos mokyme yra kvalifikuoto, matematiką išmanančio, mokytojo parengimo problema.
Dvigubo trūkio problema
Vokiečių matematikas Felix Klein pirmasis tarp matematikų, dar 19 amžiuje, pradėjo rimtai rūpintis mokyklinės matematikos modernizavimu, bei matematikos mokytojų rengimu. Apie 1908 metus jis suformulavo vadinamąją dvigubo trūkio problemą (angl. a double discontinuity). Kadangi universitetinė matematika iš esmės skiriasi nuo mokyklinės matematikos, būsimasis matematikos mokytojas patiria dvigubą trūkį. Pirmą kartą studijuodamas universitetinę matematiką jis priverstas pamiršti mokyklinę matematiką, nes studijuojant ji yra nereikalinga. Antrą kartą, kai tapęs matematikos mokytoju jis suvokia, kad naujame mokytojo darbe negali pasinaudoti niekuo iš to, ko mokėsi universitete, ir vėl yra priverstas pedantiškai tęsti tradicinį mokymą, kurį žinojo iki studijų universitete.
Tarp kitko, Lietuvos švietimo ministerija paskelbė kitais metais atnaujinsianti mokytojų rengimą reglamentuojantį dokumentą, kuriuo būtų draudžiama spręsti dvigubo trūkio problemą mūsų šalyje. Čia jokia ne klaida. Mokyklinės matematikos turinys ir kiti modulio dalykai galės būti studijuojami būsimų matematikos mokytojų, bet tik kai jie rengiami pedagogikos studijų kryptyje. Ne pedagogikos studijų kryptyje pedagogo kvalifikacija įgyjama baigus pedagogikos studijų modulį greta universitetinių pirmosios pakopos studijų. Ši rudenį ŠMSM atmetė žodžio ,,greta“ interpretaciją, pagal kurią pedagogo dalykinis ir profesinis rengimas vyksta tuo pačiu metu. Pretekstu šiai interpretacijai neigti tapo ministerijos atsisakymas prioritetinę paramą skirti Matematikos mokymo ir edukometrijos programos studentams nuo pirmo kurso.
Minima studijų programa parengta pagal LRŠMS Ministro 2020 m. lapkričio 18 d. pasirašytą Matematikos mokslų studijų krypčių grupės aprašą. Apraše suformuluoti papildomi reikalavimai matematikos mokytojų rengimui. Tuo tarpu pedagogų rengimo reglamento projekte yra punktas: ,,Studijų programoms, kurias baigus suteikiama pedagogo kvalifikacija, studijų krypčių aprašai taikomi tiek, kiek neprieštarauja Reglamentui“. Šis įrašas ignoruoti aprašus rodo ministerijos neigiamą požiūrį į kokybės reikalavimus matematikos mokytojams.
Atsižvelgiant į tai, kas jau buvo pasakyta apie matematikos mokymą, toks vyriausybinės institucijos precedentas sulyginamas su Lietuvos inkorporavimu į Plokščiosios Žemės Draugiją.
Mokyklinė matematika Lietuvoje
Dalis matematikų įsitikinę, kad vidutinis moksleivis negali suprasti matematinio griežtumo reikalavimus tenkinančių matematinių objektų apibrėžčių ir tokių objektų savybių įrodinėjimo grindžiamo dedukciniu samprotavimu. Pavyzdžiui, ne visiems moksleiviams suprantama aksiomomis grįsta realiojo skaičiaus samprata ar matematinis tokių skaičių aibės konstravimas. Aš pats pritariu tokiam vertinimui. Bet nepritariu dalies matematikų daromai išvadai, kad vidutiniam moksleiviui turėtume suteikti tik minimalias matematikos žinias reikalingas sprendžiant kasdieninio gyvenimo problemas, o matematikos mokyti turėtume tik matematikai gabius vaikus. Deja, toks požiūris Lietuvoje įgyvendintas.
Pastaraisiais dešimtmečiais matematikos pamokose mes mokome skaičiavimo taisyklių, formules ir jų taikymą atliekant algebrines ir geometrines užduotis, atsisakydami ,,bereikalingo formalizmo“. Matematikos mokymo pokyčiai kitose šalyse mūsų švietimo politikus ir ekspertus verčia vis dažniau kalbėti apie matematinio mąstymo lavinimo reikalingumą. Kalbama apie gilaus supratimo ir įrodymo reikalingumą. Reikalaujama didesnį dėmesį skirti matematinių objektų sampratoms, o ne procedūrų atlikimui. Tačiau realiai matematikos turinio atnaujinimu vadinamas perfrazavimas to, kas buvo mokoma iki šiol; vienų temų mokymas pradedamas anksčiau, o kitų – vėliau. Apsiribojama matematinių simbolių aiškinimu ignoruojant jų prasmes. Pavyzdžiui, trupmenos simbolio 
Matematinis įrodymas mokyklinėje matematikoje
Turint tokią situaciją, kaip įmanoma kiekvienam mokiniui sudaryti galimybes lavinti savo matematinį mąstymą? Pavyzdžiui, kaip padėti lavinti įrodinėjimo gebėjimą?
Tarkime turime užduotį: įrodyti, kad pirmųjų n nelyginių natūraliųjų skaičių suma yra n2 su kiekvienu n.
Standartinis šio teiginio įrodymas naudoja matematinę indukciją.
Paveikslėlis vaizduoja argumentą, kuris įtikina teiginio teisingumu ir jį paaiškina.
Komentaras. Įrodymas naudojant indukciją yra ,,procedūrinis“, įrodinėjančiam šiuo būdu intuicija nereikalinga. Taip pat sakoma, kad toks (indukcija grįstas) įrodymas yra ,,loginis“ arba ,,formalus“. Paveikslėliu vaizduojamas įrodymas yra ,,paaiškinantis“, ,,prasmingas įrodymas“. Toks įrodymas galėtų būti naudojamas klasėje. Kokioje klasėje priklauso nuo visos mokymo prieigos.
Kitame pavyzdyje mokinio pasiūlytas įrodymas, kad bet kurių dviejų lyginių skaičių suma yra lyginis skaičius. Mokinys pasiūlė nelyginį skaičių vaizduoti taškų porų grupėmis, pavyzdžiui, A ir B. Jis teigė, kad porų skaičius grupėse A ir B yra nesvarbus. Po to jis pasakė, kad, grupę B padėję žemiau grupės A ir jas apjungę, pavaizduosime jų sumą A+B. Gautas piešinys rodo, kad suma yra lyginis skaičius.
Šiuo atveju formalus įrodymas būtų algebrinis. Lyginio skaičiaus apibrėžimai taip pat skirtųsi. Lyginiu skaičiumi vadinamas sveikasis skaičius išreiškiamas 2n su kuriuo nors sveikuoju skaičiumi n.
Tai tik keletas pasiūlymų, kurie jau senokai yra praktiškai naudojami klasėje kitose šalyse.
Lietuvos mokytojų įrodinėjimas siejamas su matematinio fakto teisingumo patvirtinimu. Bet mokiniams tokia įrodymo funkcija nėra motyvuojanti; jie neabejoja, kad matematikai seniai įrodė mokyklinių faktų teisingumą. Mokymasis įrodymų tekstų ar trivialių faktų įrodinėjimu, jiems nesuteikia motyvacijos. Be to, mūsų egzaminai nevertina gebėjimo įrodinėti. Atliekant užduotis, svarbus tik atsakymo teisingumas, o ne kaip jis gaunamas.
Matematikos žinių hierarchinė struktūra
Universitetinėje matematikoje žinių hierarchinė struktūra reiškia, kad sąvokos ir temos yra tarpusavyje susiję loginiais ryšiais. Tai yra matematikai būdingas jos žinių bruožas.
Mūsų mokyklinės matematikos temos ir sąvokos yra beveik nesusijusios tarpusavyje. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių ir trupmenų temos turi mažai ką bendro. Trupmena ir veiksmai su trupmenomis nėra natūraliųjų skaičių ir veiksmų su jais apibendrinimas. Trupmena nėra laikoma skaičiumi. O ir pats skaičius yra tik žodis ar simbolis, neturintis aiškios prasmės. Neretai trupmena laikoma skaičių pora, sudaryta iš skaitiklio ir vardiklio.
Pakeisti šią situaciją yra nepaprastai sunku. Įpročiai ir tradicijos trukdo bent kiek radikaliau keisti mokyklinės matematikos turinį. Pavyzdžiui, skaičių tiesė yra įprastas mokyklinės matematikos objektas. Bet skaičių tiesės naudojimas apibrėžiant skaičius ir veiksmus su jais susiduria su pasipriešinimu tiek iš mokytojų pusės, tiek ir iš matematikų pusės. Argumentas – universitetinėje matematikoje yra ne taip, skaičius nėra skaičių tiesės tašku.
Išvados
Suteikti mokyklinei matematikai tokią formą ir turinį, kuri turėtų esminius matematikos bruožus ir būtų suprantama eiliniam moksleiviui, yra netrivialus uždavinys. Dar sudėtingesnis uždavinys yra supažindinti dabartinius ir būsimus matematikos mokytojus su mokymui reikalingu taisyklingu mokyklinės matematikos turiniu. Rengdami mokytojus, matematikai moko universitetinės matematikos, manydami, kad patys mokytojai sugebės panaudoti universitetinę matematiką mokyklinės matematikos mokymui. Bet tai yra didelė klaida. Ją taisyti trukdo patys mokytojai, matematikai ir valdininkai.
Vietoje paskutinės išvados
Įspūdis toks, kad šie vyrai bando keisti lietuvišką mokyklinę matematiką
Keletas pranešimo temai svarbių literatūros šaltinių
R.E. Reys. Doctorates in Mathematics Education: How They Have Evolved, What Constitutes a High-Quality Program, and What Might Lie Ahead. In: J. Cai (Ed.), Compendium for Research in Mathematics Education. NCTM, 2017.
H.-G. Weigand, W. McCallum, M. Menghini, M. Neubrand, G. Schubring (Eds.). The Legacy of Felix Klein. ICME-13 Monographs. Springer, 2019.
H. Rocha. Mathematical proof: from mathematics to school mathematics. Philosophical Transactions: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 11 March 2019, Vol. 377, No. 2140, Theme issue: The notion of ‘simple proof’ – Hilbert’s 24th problem (11 March 2019), pp. 1-12