Taip, šis tekstas apie matematiką ir jos mokymą. Šiais metais viešojoje erdvėje eilinę audrą sukėlęs matematikos VBE pasiekė naujų aukštumų. Diskusijas sukėlė papildomų 10 taškų skyrimas abiturientui už kiekvieno VBE dalyko laikymą išskyrus už lietuvių kalbos ir literatūros egzamino laikymą. Kitos kontraversijos šaltiniu tapo švietimo ministerijos inicijuojamos diskusijos dėl matematikos reikalingumo humanitarams.
Tačiau tekstas buvo rašomas ir perskaitytas Baltųjų Lankų akademinėje studijų savaitėje 2025 liepos 6 d. Druskininkuose, dar prieš minėtą audrą viešojoje erdvėje. Teksto pavadinimas tada buvo ,,Matematika kaip kultūros reiškinys: įrodinėjimo vaidmuo mokyklinėje matematikoje“. Šiame tekste kalbama apie matematikos priklausomybę nuo kultūros ir apie įrodinėjimo vaidmenį mokyklinėje matematikoje. Kultūrą ir įrodinėjimą pabandėme susieti konkrečiu klausimu:
Ar matematikos valstybinis egzaminas turėtų būti privalomas?
Įrodinėjimo lavinimo įtraukimas į mokyklinės matematikos turinį daro mokyklinę matematiką panašia į matematika, o ši būdama reikšminga kultūros dalimi galėtų padėti sprendžiant suformuluotą klausimą. Matematika vadinamu dalyką mokome nuo 1 iki 12 klasės. Kitas panašiu intensyvumu mokomas dalykas yra gimtoji kalba. Nepaisant to dauguma žmonių matematikos ne tik nepažįsta, bet dažnai klaidingai ją suvokia. Dar daugiau, baigiantys mokyklą žmonės įgyja baimę matematikai. Psichologai turi pavadinimą šiam reiškiniui – matematinis nerimas. Jis nesiejamas su kitais mokomaisiais dalykais.
Kitas panašus dažnai girdimas klausimas, kodėl stojant į humanitarines ir socialinių mokslų specialybes aukštosiose mokyklose yra privaloma išlaikyti matematikos valstybinį egzaminą? Jo nereikia tik stojant į meninės krypties studijas. Ankstesnė švietimo valdžia įvedė šią tvarką tikėdamasi paskatinti tam tikrus pokyčius matematikos mokyme. Tuo tarpu dabartinė švietimo ministrė R. Popovienė paskelbė esanti atvira diskusijoms, ar iš tiesų humanitarinėms specialybėms reikalingas privalomas matematikos egzaminas?
Iš anksto pasakau. Mano tikslas nėra pagrįsti vienokį ar kitokį atsakymą į suformuluotą klausimą. Mano tikslas – pasiūlyti keletą štrichų kontekstui, kuris padėtų svarstyti matematikos svarbos visuomenei klausimą. Bandysiu pasidalinti tokiu požiūriu, kuris padėtų matyti matematiką tokią, kokia ji yra, o mokyklinę matematiką matyti potencialiai vertingu ir prasmingu mokomuoju dalyku.
Matematikos suvokimo problemiškumo iliustracijos
Vokiečių poetas, eseistas ir intelektualas Hans Magnus Enzensberger 1998 metais kalbėjo Berlyne vykusiame matematikų kongrese kalbėjo apie prieštaringą matematikos padėtį visuomenėje. Iš vienos pusės: ,,Šiuolaikiniai pasiekimai šioje [matematikos] srityje yra bet kuriuo atveju įspūdingi. – teigė Enzensberger. – Bijau, kad vaizduojamieji menai, literatūra ir teatras savo pasiekimais nėra tokie įspūdingi“. Iš kitos pusės jis klausia: ,,Kaip galėjo atsitikti, kad matematika tapo mūsų kultūros nematoma dalimi – nežinoma teritorija, kurioje tik elitui, keletui pasišventusiųjų pavyko įsitvirtinti?“
Enzensberger baigia teikdamas, kad matematikos mokymas yra pagrindinis visuomenės požiūrio į matematiką formuotojas. Jis teigia, kad ,,tariamas vaikų negebėjimas abstrakčiai mąstyti yra pedagogų įkyria idėja“. Toliau jis tęsia: ,,Nepaisant to yra mokytojų, kurie priešinasi juos slegiančiai pasenusiai rutinai, ir kuriems pavyksta supažindinti savo mokinius su matematikos grožiu, turtais ir iššūkiais. Jų sėkmės kalba pačios už save“.
Panašūs santykiai tarp visuomenės ir matematikos nėra tik šio laikmečio bruožas. Štai žodžiai, kuriais Viktoras Biržiška pradeda savo 1952 metais publikuotą straipsnį apie matematiką (kalba nekeista):
Beveik kiekvienos tautos visuomenės sluoksniuose (lietuviškoji inteligentija nėra, deja, šiuo atveju jokia išimtis) yra paplitusi keista, perdėm klaidinga pažvalga į matematiką. Matematika laikoma slaptu, prieinamu tik rinktiniams žmonėms mokslu, kuriame viskas jau galutinai susikristalizavę, kuriame nebelikę jokios neišspręstos problemos, jokio atviro, laukiančio dar išsprendimo klausimo, ir kuriame todėl nebesanti įmanoma jokia raida. Savo absoliučią matematikos ignoranciją visuomenė įrodo apsčiai paplitusiais, nors ir tokiais posakiais: „didesnioji pusė, mažesnioji pusė“, „pirmų pirmiausia“ ir panašiai. Visose tose nesąmonėse, kurias visuomenė prikergia matematikai, dažnai atsispindi neigiamieji įspūžiai, gauti iš mokyklinio suolo: silpni, neprityrę matematikos mokytojai sugeba savo mokinių tarpe įdiegti net neapykantą matematikai, perkėlę jos svorio centrą į matematiškąsias formulas. Eilinis aštuntosios klasės gimnazijos mokinys, paklaustas, kas yra matematika, geriausiu atveju tesugeba atsakyti: „tai yra aritmetika, algebra, geometrija ir trigonometrija“ — o matematikos esmė lieka jam visai svetima ir nesuprantama. Koks gi, galop, per mokslas ta matematika, kas sudaro matematikos esmę? [Biržiška; 1952]
Mūsų nuomone, visuomenė nesidomi šiuolaikine matematika ne tik todėl, kad tam domėjimuisi neturi būtino mokyklinio pasiruošimo. Kita priežastimi matyt yra tai, kad visuomenė nejaučia turėsianti iš tokio žinojimo apčiuopiamos naudos. Ne veltui apie matematikus pasakojamas toks anekdotas:
Virš jūros oro balionu skrenda Šerlokas Holmsas ir daktaras Vatsonas. Netikėtai užėjęs rūkas sutrukdė keliauninkams orientuotis. Po kurio laiko baliono apačioje pasirodė žemė. Ji buvo visai netoli ir ten stovėjo žmogus. Daktaras Vatsonas sušuko jam: ,,Kur mes esame?―. Žmogus šiek tiek pagalvojęs atsakė: ,,Jūs esate savo balione“. Šerlokas Holmsas tarė: ,,Šis žmogus – matematikas“. Vatsono paklaustas, kodėl jis taip mano, Holmsas atsakė: ,,Pirma, prieš atsakydamas žmogus galvojo, antra, jo atsakymas absoliučiai teisingas, ir, trečia, jo atsakymas visiškai bevertis“.
Lietuvoje visuomenės požiūrį į šiuolaikinę matematiką taip pat iliustruoja tokie dažnai sakomi mitai apie matematiką:
- matematika yra mokslas apie gamtą;
- matematika yra mokslas apie dydžius, gaunamus apibendrinant realaus pasaulio esmines savybes;
- matematika yra kiekybiškai nusakomas pažinimas;
- matematinė veikla yra mechaniškas formalių taisyklių taikymas;
- atsiradus kompiuteriams, matematikams nebėra kas veikti;
- numerologija yra matematikos filosofija ir t.t.
Išsamiai apie pastarųjų kelių šimtų metų matematikos evoliuciją rašo Jeremy Gray (2008, p. 2 ir p.20): ,,Svarbiausia naujai įsisąmoninta pastarojo šimtmečio matematikos savybė yra jos savarankiškumas; joje dominuoja problemos, kylančios pačioje matematikoje ir niekaip nesusijusios su realiu pasauliu ir netgi su kitais mokslais“.
Kas yra matematika?
Pradžiai keletas bendro pobūdžio pastabų. Kalbant vienu sakiniu,
matematika yra tiksliai apibrėžtų abstrakčių objektų savybių tyrimas logikos priemonėmis.
Matematine veikla yra dėsningumų tarp matematinių objektų paieška, hipotezių formulavimas ir jų pagrindimas arba paneigimas. Tokios veiklos rezultatas – matematikos žinių sistema, kuri taip pat vadinama matematika.
Matematika turi kalbos bruožų. Matematikoje naudojamos abstrakčius objektus apibrėžiančios sąvokos ir simboliai. Jų naudojimas paklūsta taisyklėms, kurios sudaro tai, kas vadinama sintakse. Sąvokomis ir simboliais yra reiškiama matematinė prasmė. Prasmė yra matematinių objektų savybės. Šios prasmės ryšys su sintakse vadinamas semantika.
Lyginant matematiką su natūraliąja (šnekamąja) kalba reikėtų pastebėti ir esminį skirtumą -terminų/sąvokų reikšmių/prasmių apibrėžimą. Kalbai būdingas žodžio reikšmės nustatymas pagal jo naudojimo praktiką (leksikografinis apibrėžimas). Matematinės sąvokos apibrėžimas yra objektų tam tikrų savybių pasirinkimas, jų rinkiniui suteikiant vardą – sąvokos terminą. Apibrėžimo savybės nusako sąvoką vienareikšmiškai. Apibrėžimas nėra nei teisingas, nei klaidingas. Jis kuria matematiką.
Matematikos sintaksės ir semantikos aspektai naudingi apibūdinant mokyklinės matematikos turinį ir jo supratimo gylį. Mokyklinėje matematikoje sąvokos apibrėžimui atsiranda papildomas esminis bruožas – sąvoka, jos savybės, turi būti suprantamos vaikui. Tai sudaro papildomą reikalavimą mokyklinės matematikos turiniui – jis ne tik turi turėti esminius matematikos bruožus, bet turi būti prieinamas mokiniui atsižvelgiant į jo vystymąsi. Formuojant mokinio mąstymą nuo konkretybių prie abstrakcijų svarbu atsižvelgti į besimokančiojo supratimo galimybes. Konkrečiu objektu tampa įpratimas naudotis abstrakcija. Pavyzdžiui, skaičiaus abstrakcija algebroje tampa konkretybe. Mokyklinėje matematikoje logika yra priemonė suprasti matematiką. Mokyklinėje matematikoje sintaksė be semantikos yra manipuliavimas simboliais, o semantika be sintaksės suprimityvina matematiką. Balanso tarp sintaksės ir semantikos išlaikymas mokyklinėje matematikoje yra aukščiausio lygio menas.
Skirtingai nuo gamtos mokslų, eksperimentas daugiau nėra tyrimo metodas ar rezultatų teisingumo kriterijus. Toks matematikos apibūdinimas pakankamai tikslus maždaug nuo 19 amžiaus. Tuo metu matematika tampa mokslu, kuris savo tyrimo objektą randa savyje. Iki tol dominavo kitų sričių problemų sprendimų paieškos. Tam pagrindą sudarė du tūkstančius metų nuo Antikos laikų tobulintas įrodinėjimo metodas. Kaip sąvokų tyrimas matematika tapo artimesne humanitariniams mokslams negu gamtos mokslams.
Kodėl paplitęs požiūris, kad matematika yra tik mokslo kalba? Paviršutiniškame lygmenyje atrodo, kad matematikos vystymąsi skatina problemų sprendimas technikos ir gamtos moksluose. Taip buvo daugelį tūkstančių metų. Bet ne pastaruosius kelis šimtus metų. Gilesniame lygmenyje matematikos vystymąsi skatina jėgos panašios į tas, kurias pastebime mene. Šiais laikais daugeliu atveju matematikus skatina ir motyvuoja grožio ir harmonijos suvokimas abstrakčiose struktūrose. Šia prasme matematika yra menas; unikali meno sritis.
Šiuolaikinę matematiką kuria ne gamtos mokslai. Tai galima patvirtinti ir konkrečiais pavyzdžiais. Einšteino bendroji reliatyvumo teorija naudoja matematikos sritis vadinamas Riemann‘o diferencialinė geometrija ir tenzoriniu skaičiavimu. Šios intelektinės priemonės atsirado ne dėl fizikos problemų sprendimo poreikio, bet žymiai anksčiau grynojoje matematikoje. Jų autoriais buvo matematikai Bernardas Riemann‘as ir Carlas Friedrichas Gausas. Šios matematinės teorijos atsirado sprendžiant matematikos problemas arba praktines problemas bet tai darant žymiai giliau nei reikėjo praktiniams taikymams.
Tokio pobūdžio pavyzdžių yra daug. Informatikos mokslo matematiniai pagrindai buvo sukurti 20 amžiaus pradžioje gerokai anksčiau negu atsirado kompiuteriai ir su jais susijęs poreikis programavimui. Visą tai primenu bendram matematikos apibūdinimui.
Matematika kaip kultūros reiškinys ir jos reikšmingumas
Toliau kalbėsiu apie matematikos reikšmingumą ir naudosiu švedų matematiko Kiselman‘o argumentą nagrinėjamą straipsnyje ,,The cultural significance of mathematics“. Jo siūlomą argumentą matematikos reikšmingumui vėliau šiek tiek papildysiu. Argumento esmė – matematika priklauso nuo vienų kultūros reiškinių ir daro įtaką kitiems reiškiniams. Jei tokia priklausomybė iš tikro egzistuoja, tai norą turėti vienokią ar kitokią matematiką galime bandyti pagrįsti jos įtaka kitiems reiškiniams. Pavyzdžiui, jei tam tikra matematinė veikla įtakoja žmogaus mąstymą, tai galime siekti plėtoti tokią matematinę veiklą kaip galima didesnėje žmonių grupėje.
Jei matematika yra kultūros reiškinys, tai matematikos mokymas skirtingose šalyse gali skirti priklausomai nuo šalies kultūrinių tradicijų. Rimtai nesidomintiems mokykline matematika tai gali atrodyti keista. Tad manau verta aptarti keletą faktų patvirtinančių matematikos mokymo priklausomybę nuo kultūros. Kaip ten bebūtų, gali būti įdomu, kaip konkrečiai tai pasireiškia.,
Matematikos mokymo tyrimuose yra žinoma apie egzistuojančius tamprius ryšius tarp kultūros ir matematikos. Atitinkama tyrimų sritis vadinama etnomatematika. Egzistuojančius matematikos mokymo skirtumus skirtingose šalyse siekiama paaiškinti jų kultūriniais skirtumais. Čia trumpai paminėsime skirtumus tarp matematikos mokymo Vokietijos ir Anglijos mokyklose įvardintus G. Kaiser straipsnyje ,,Educational philosophies and their influence on mathematics education – an ethnographic study in English and German mathematics classrooms“, 2002. Tyrimo išvada – matematikos mokymas Vokietijoje ir Anglijoje orientuotas į skirtingus matematikos (teorijos) supratimo lygius. Kitaip tariant – šių šalių mokyklinėje matematikoje skirtingai atsižvelgiama į akademinės matematikos dalyko logiką ir metodologiją.
Vokietijoje matematikos mokymo(si) stiliui būdinga:
- Dominuoja diskusijos, kuriose idėjos generuojamos bendrai su trumpais intarpais individualiam darbui.
- Su naujomis sąvokomis beveik išimtinai supažindinama mokytojo vadovaujamose diskusijose.
- Centrinė klasės diskusijos dalis vyksta lentoje, kurioje rašo mokytojas.
- Mokiniai lentoje rašo tada, kai pristatinėja namų darbus.
- Vidinė klasės diferenciacija beveik neegzistuoja.
- Klasėje nėra tokių, kurie atsilieka arba progresuoja greičiau nei kiti.
- Pamokos prasideda ir baigiasi bendromis diskusijomis.
Tuo tarpu Anglijoje matematikos mokymo(si) stiliui būdinga:
- Dominuoja ilgos individualaus darbo fazės.
- Jų metu mokiniai dirba nepriklausomai.
- Dirbdami individualiai atranda naują matematikos turinį arba lavina jau žinomą matematikos turinį.
- Individualus darbas retkarčiais pertraukiamas mokytojo vadovaujama diskusija.
- Mokymas klasėje diferencijuojamas.
- Taip yra dėl individualaus darbo dominavimo.
- Pamoka prasideda ne bendrai, nes mokiniai tęsia ankstesnį darbą.
Išvardinti matematikos mokymo klasėje skirtumai Vokietijoje ir Anglijoje straipsnyje paaiškinti šių šalių dominuojančių ugdymo filosofijų skirtumais.
Dabar grįšime prie Kiselman‘o argumento apie matematikos kultūrinį reikšmingumą. Jis konstruojamas naudojant tris matematikos vertinimo kriterijus: kultūrinį statusą, matematikos žinių kintamumą ir mąstymo (inteligencijos) tipus.
Pirma, matematika kaip kultūros elementas ir kaip subkultūra
Kultūra yra tarpusavyje susijusių žmonių grupės su(si)vokimo ir elgesio būdas, kurį sudaro tarpusavyje sąveikaujantys elementai: mitologija, mokslas, religija, menas, moralė, teisė, gamybos būdai, papročiai, įsitikinimai, vertybės, ritualai, sportas, žaidimai, pramogos, komunikacija ir kita. Matematika būdama vienu iš kultūros elementu evoliucionuoja priklausomai nuo kultūrinės aplinkos, kaip ir bet kuris kitas kultūros elementas.
Kitas matematikos vaidmuo yra jos buvimas subkultūra. Matematikos subkultūra yra susijusi su abstrakčių sąvokų kūrimu ir jų tarpusavio sąryšių tyrimu. Šiai subkultūrai priklauso žmonių grupė įgijusi specialų išsilavinimą.
Švietimas sukuria tam tikrą įtampą tarp matematikos kaip kultūros elemento atskirai paimtoje šalyje ir matematikos kaip subkultūros. Atskirai paimtose šalyse švietimas supažindina besimokančius su kultūros elementais ir su subkultūra, bet skirtingu laipsniu. Žinome, kad matematinis švietimas skirtingos šalyse yra skirtingai sėkmingas. Kai kuriose šalyse jis yra gana paviršutinis, perteikiantis tik procedūrines žinias. Tokiais atvejais mokiniai suvokia matematiką kaip sausą ir mažiausiai įdomų mokomąjį dalyką.
Taigi matematika vaidina du vaidmenis: kultūros elemento ir subkultūros. Požiūris į matematiką kaip kultūros reiškinį suteikia galimybę susieti mūsų svarstomus sudėtingus mokyklinės matematikos svarbos klausimus su kitais ne mažiau sudėtingais klausimais.
Antra, matematikos žinių nekintamumas ir kintamumas
Dalis žmonių mano, kad matematikos žinios nekinta. Kaip buvo 2 + 2 = 4 taip ir visada liks, kaip buvo Pitagoro teorema, tokia ji visada liks. Tuo tarpu realaus pasaulio objektai ir mūsų žinios apie jos nėra tokie nekintami. Tas pats akmuo, būdamas keleto milijonų metų amžiaus, gali virsti dulkėmis dar po kelių milijonų metų. Na, o mokykloje sužinotas faktas (x2)‘=2x, toks liks visada, nes priklauso tik nuo išvestinės sąvokos apibrėžties. Bet taip yra su mokyklinės matematikos turinio žiniomis. Tie, kas nestudijuoja matematikos toliau, neturi galimybės sužinoti apie likusią matematikos dalį, kuri kinta arba kinta matematinis traktavimas. Kai kurios dalys labai greitai. Pavyzdys neeuklidinė geometrija. Ji keičia mūsų požiūrį į geometriją iš esmės. Tai, kas priklauso mokyklinės matematikos turiniui buvo žinoma iki 19 amžiaus. Nenuostabu, kad daliai žmonių atrodo, kad matematikos žinios nekinta. Mokykloje mes nesupažindiname su projektyvine geometrija, kuri paaiškina kaip plokštumoje gaunamas trimatės erdvės vaizdas. Tokios žinios labai svarbios dailėje ir neturintiems bendrojo matematinio išsilavinimo dailininkams jos gali likti sunkiai suprantamos (čia dėl mūsų mentalinės nuostatos, kad matematika nereikalinga studijuojantiems menus).
Tačiau vadinamoji akademinė matematika kinta labai greitai. Pati matematika nieko nesako apie savo prielaidų teisingumą realiame pasaulyje. Matematika kuria savo tyrimo objektą formuodama naujas sąvokas, kurias gali naudoti gamtos mokslai savo poreikiams.
Matematikos žinių nekintamumui ir kintamumui išreikšti Kiselman‘as naudoja žmogaus skeleto ir raumenų sąvokas kaip metaforas.
Trečia, konverguojantis arba diverguojantis mąstymas
Pasitelksime psichologų naudojamą ir visuomenėje populiarų mąstymo skirstymą į du tipus: konverguojantį mąstymą ir diverguojantį mąstymą. Konverguojantis mąstymas reiškia gebėjimą iš turimų žinių susirasti ir panaudoti vienintelį tinkamą metodą sprendžiant duotą problemą. Toks mąstymas ugdomas sprendžiant pasirenkamojo atsakymo užduotis, dažnai naudojamas vertinant mokinių matematinį raštingumą. Diverguojantis mąstymas duotą problemą bando spręsti bandydamas ją įvairiai interpretuoti ir rasti kuo daugiau sprendimo būdų. Diverguojantis mąstymas reikalauja kūrybiškumo. Šio tipo mąstymui ugdyti matematikoje reikia gerokai praplėsti sprendžiamų užduočių tipus, bei remtis sąvokinio ir abstraktaus mąstymo lavinimu.
Kiselman‘o argumentas dėl matematikos reikšmingumo
Labai schematiškai padalinsime matematiką į dvi dalis pagal tris skirtingus kriterijus matematikos kultūrinį statusą, matematikos kintamumą ir pagal reikalaujamą inteligencijos tipą. Gauname šiuos dalinimo rezultatus:
Matematika kaip kultūros elementas vs matematika kaip subkultūra
Nekintanti, ,,panaši į griaučius“ matematika vs kintanti, laisva ,,panaši į raumenis“ matematika
Reikalaujanti konverguojančios inteligencijos vs reikalaujančios diverguojančios inteligencijos
Tarkime, kad visi trys padalinimai daugiau mažiau adekvačiai atspindi matematiką. Tada, siekdami padidinti matematikos reikšmingumą visuomenėje, turėtume pasistengti plėtoti matematiką kaip kultūros elementą. Tai galima būtų daryti švietimo pagalba. Kiselman‘o teigimu matematikos mokymas pagerėtų, jei jis taptų labiau kintantis, mažiau procedūriškas ir jei užduotys lavintų diverguojantį mąstymą. Kodėl? Nes tada matematikos taikymai taptų labiau kokybiški, labiau realistiniai. Tai teigiamai įtakotų visas tas žinojimo sritis, kuriose reikalinga matematika.
Mano komentaras
Sudėtingesni taikymai reikalauja sudėtingesnės matematikos. Matematikos sudėtingumas taikymams gali reikalauti gilios specializacijos specifinėse matematikos srityse. Tai mokykloje vargiai yra tinkama.
Kiselman‘o argumentą papildyčiau specialia matematikos taikymo sritimi – mąstymo disciplinos lavinimu. Toks matematikos taikymas reikštų ne sudėtingesnių taikymų kituose moksluose paiešką, o dabartinio matematikos mokymo gilinimą. Būtent įrodinėjimas, dažniausiai dedukcinis yra esminis matematikos bruožas leidžiantis tikėtis plėsti matematiką kaip kultūros elementą, tą matematikos dalį, kuri pažįstama visuomenės daugumai.
Kodėl turėtume lavinti įrodinėjimo gebėjimą? Kaip tai įmanoma?
Apie matematinį įrodymą galima išgirsti labai įvairių nuomonių. Pavyzdžiui, kad tai labai specifinis tik matematikos profesionalams reikalingas gebėjimas. Toks požiūris kartais aiškinamas tuo, kad įrodymas būtinas tik teiginio-fakto teisingumo patvirtinimui. Tai laikoma pagrindine ir vienintele matematinio įrodymo funkcija. Tačiau taip nėra. Parodyti kitas matematinio įrodinėjimo funkcijas ir jo lavinimo galimybes yra tarptautinės matematikos mokymo tyrimų bendruomenės veiklos dalis.
Mokoma kaip mąstymo būdas, matematika lavina:
- gebėjimą atskirti teisingus teiginius nuo klaidingų;
- gebėjimą atskirti tai, kas yra prasminga nuo beprasmybės;
- gebėjimą atskirti suprantamą nuo nesuprantamo.
Kalbant apibendrintai, per įrodinėjimo gebėjimo lavinimą matematika vysto mąstymo discipliną. Įrodinėjimu grįsta matematika atsirado antikos laikais, o matematinio įrodymo metodai atsirado ir vystėsi Senovės Graikijos piliečių susirinkimuose vykstančiuose debatuose. Taigi, matematinis mąstymo būdas atsirado filosofijos ir jurisprudencijos kontekste. Kitaip tariant, šiuolaikinė matematika yra humanitarikos atšaka. Matematikos tikslumas grindžiamas logika ir šia prasme matematika naudinga visiems kitiems mokslams, ne tik gamtos ir technikos mokslams.
Įrodinėjimas yra silpnoji lietuviškos mokyklinės matematikos vieta. Tai rodo bendroji matematikos programa ir matematikos vadovėlių turinio analizė.
Literatūra
V. Biržiška. Mathematika. Aidai, 2 vasaris, 1952, 74-82.
H.M. Enzensberger. Drabridge Up: Mathematics A Cultural Anathema. 2001
J. Gray. Plato‘s Ghost: The Modernist Transformation Of Mathematics. Princeton University Press, 2008.
G. Kaiser. Educational Philosophies and Their Influence on Mathematics Education – An Ethnographic Study in English and German Mathematics Classrooms. ZDM, vol. 34(6), 241-257, 2002.
Ch. Kiselman. The cultural significance of mathematics. Translated by Magnus Carlehed, 2000
R. Norvaiša. Matematika ir jos reikšmė Lietuvos mokslui bei kultūrai. Šiuolaikinis mokslas visuomenei. Lietuvos mokslo sektorių apžvalgos. II tomas, 2011.
R. Norvaiša. Matematika – Lietuvoje neegzistuojanti dvasinės kultūros dalis. Kultūros barai, 2014.
V. Uspenskis. Matematikos Apologija. (straipsnių rinkinys rusų kalba) , Amfora, 2012.