n$,
yra dešinysis galas arčiausiai nulio esančios
atkarpos, kurią gauname $m$ ilgio atkarpą
$[0,m]$ dalindami į $n$ vienodo ilgio atkarpų.
}\end{defn}
Tegul $q$ yra ilgis atkarpos, kurią gauname atkarpą $[0,m]$
dalindami į $n$ vienodo ilgio atkarpų.
Tada $m=n{\cdot}q$.
Taigi $q$ yra dalmuo ir pagal \ref{dalmuo1} apibrėžtį.
Pagal \ref{dalmuo2} apibrėžtį, dalmuo yra skaičius, nes
tai yra taškas skaičių tiesėje. Bet neaišku ar
dalmuo yra trupmena, nes toks
skaičius gaunamas dalinant vienetinio ilgio
intervalą [0,1]. Tačiau teisinga kita teorema.
\begin{thm}\label{dalmuo3}
Dalmuo $3:4$ lygus trupmenai $\frac{3}{4}$.
\end{thm}
\begin{proof}
Du skaičiai yra lygūs, jei atitinkami taškai
skaičių tiesėje sutampa.
Parodysime, kad $\frac{3}{4}$ yra dešinysis
galas arčiausiai nulio esančios atkarpos,
kurią gauname atkarpą $[0,3]$ dalindami į $4$
vienodo ilgio atkarpas.
Nesunku atkarpą $[0,3]$ padalinti į tris
lygias dalis.
Neaišku, kaip šią atkarpą padalinti į keturias
lygias dalis.
Tam panaudosime pagrindinę trupmenos savybę, pagal kurią
$3=\frac{4{\cdot}3}{4}$, t.y. $3$ yra
taško $\frac{1}{4}$ $12$-kartotinis
taškas arba dešinysis galas atkarpos, gaunamos jungiant 12 $\frac{1}{4}$ ilgio atkarpas.
\vskip 10pt
\begin{tikzpicture}[scale = 3]
\draw[-{latex}] (0,0) — (3.2,0);
\foreach \x in {0,1/4,2/4,3/4,1,5/4,6/4,7/4,2,9/4,10/4,11/4,3}
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,1pt) — (0pt,-1pt);
\foreach \x in {0,1,2,3}
\draw (\x,0.01) — + (0,-0.02) node[below]{$\x$};
\draw[decorate, decoration={brace}, yshift=1ex] (0,0) — node[above=0.4ex] {1} (1/4,0);
\draw[decorate, decoration={brace}, yshift=1ex] (1/4,0) — node[above=0.4ex] {2} (2/4,0);
\draw[decorate, decoration={brace}, yshift=1ex] (2/4,0) — node[above=0.4ex] {3} (3/4,0);
\draw[decorate, decoration={brace,mirror}, yshift=-1ex] (0,0) — node[below=0.4ex] {I} (3/4,0);
\draw[decorate, decoration={brace,mirror}, yshift=-1ex] (3/4,0) — node[below=0.4ex] {II} (6/4,0);
\draw[decorate, decoration={brace,mirror}, yshift=-1ex] (6/4,0) — node[below=0.4ex] {III} (9/4,0);
\draw[decorate, decoration={brace,mirror}, yshift=-1ex] (9/4,0) — node[below=0.4ex] {IV} (3,0);
\draw[very thick, blue] (0,0) — (1/4,0);
\fill[red] (3/4,0) circle (0.3 mm);
\end{tikzpicture}
Turime atkarpą $[0,3]$, padalintą į 12 kongruenčių atkarpų.
Pirmoji, kurios kairysis galas yra 0,
pažymėta melsva spalva.
Kadangi $12 = 3{\cdot}4$, jas nuosekliai jungiame į keturias
grupes, pažymėtas I, II, III, IV, po 3 atkarpas
kiekvienoje grupėje.
Pirmoje grupėje esančios trys kongruenčios atkarpos išreiškia
mėlynosios atkarpos dešiniojo galo $\frac{1}{4}$ 3-iąjį
kartotinį, rausva spalva pažymėtą tašką, kuris tokiu būdu žymi skaičių išreiškiamą trupmeną $\frac{3}{4}$.
Apjungę kiekvienoje grupėje esančias atkarpas gauname keturias
kongruenčias atkarpas, kurios dalo atkarpą $[0,3]$ į keturias
lygias dalis.
Todėl rausvos spalvos taškas taip pat žymi dalmenį $3:4$,
ką ir reikėjo įrodyti.\qed
\end{proof}