Grd 162012
 

Ką tik publikuotas Nuno Ornelaso Martinso straipsnis Mathematics, Science and the Cambridge Tradition  suteikia galimybę dar kartą pažvelgti į matematiką ir į ekonomikos teoriją iš paukščio skrydžio aukštumų. Straipsnyje toliau plėtojamas požiūris, jog ekonomikos teorijoje vyraujanti neoklasikinė ekonomika yra pagrįsta tokiomis prielaidomis, kurios atskyrė šioje teorijoje naudojamą matematiką nuo realiojo pasaulio. Tokią matematiką autorius teigia esant dominuojančia šiandienos matematikoje. Neoklasikinei ekonomikai šiame straipsnyje priešpastatomi Cambridgeo tradicijai priskiriami ekonomistai Marshallas, Keynesas ir Sraffa bandę remtis tokia matematika, kuri siekia tirti realųjį pasaulį.

Matematikos atotrūkio nuo realiojo pasaulio ištaka Martinsas teigia esant Descarteso koordinačių sistemos įvedimo idėja. Šios idėjos pagrindu yra geometrinės tiesės tapatinimas su realiųjų skaičių aibe, t.y. skirtingiems tiesės taškams atitinka skirtingi realieji skaičiai. Tokia prielaida reiškia, kad iracionaliuosius skaičius, pavyzdžiui Latex formula, taip pat atitinka tiesės taškai. Martinso požiūriu, tokiu būdu netiesiogiai teigiama, kad iracionalieji skaičiai atitinka realiojo pasaulio objektus.

Tačiau, kaip teigia Martinsas, iracionalieji skaičiai apibrėžiami nesinaudojant ,,skaičių tiese”. Būtent,  iracionalieji skaičiai apibrėžiami racionaliesiems skaičiams taikant tam tikrą procedūrą, autoriaus vadinamą ,,begaliniu algoritmu” (indefinite algorithm). Kaip žinome, tokiomis procedūromis yra begalinės dešimtainės trupmenos apibrėžtis, Dedekindo pjūviai ir Cauchy (arba fundamentaliosios) sekos.  Šio procedūros priklauso algebros sričiai, o ne geometrijos sričiai. Tai yra Martinsui svarbu, nes, jo teigimu, tik geometrija remiasi realiuoju pasauliu, skirtingai nuo algebros, naudojančios su realiuoju pasauliu nieko bendro neturinčias transformacijas.  Martinsas teigia, kad Descarteso koordinačių sistemos idėja pagrindė geometrijos ir aritmetikos  tapatinimą. Tai yra prielaida, kuri dominavo tolesnėje matematikos evoliucijoje. Šiai matematikos tendencijai toliau vystytis padėjo Hilberto ir Bourbaki mokyklos darbai.

Pats Martinsas savo mintis apibendrina taip (17 psl):

In short, since the emergence of the Cartesian approach where geometry and arithmetic are not separated, we are in the habit of seeing the real line as being made up of real numbers, which include also irrational numbers like the square root of two. But how can we think of such numbers as being already there in the real line, if we cannot identify any of these numbers outside of the context of an arithmetical procedure of approximation? A solution that emerged in the Cartesian approach is to think of points in the ”real line” as possibilities, rather than an actual number. This leads to the notion of a variable, that is, a possibility of various numbers, rather than an actual number, which was developed by Descartes. A variable starts indeed to be seen as an existing entity, while before Descartes only actual numbers (and not possible numbers such as a variable) would be seen as a mathematical object.

Martinso teigimu tik grynai geometriniais metodais besiremianti matematika orientuojasi į realųjį pasaulį. Tokios matematikos vienu iš svarbiausiu kūrėju straipsnio autorius nurodo esant Newtoną. Būtent jo įtakoje ilgą laiką Anglijoje dominavo geometrijos metodais grindžiama matematika, skirtingai nuo kontinentinėje Europos dalyje paplitusios ir algebrinais metodais grindžiamos matematikos, kurios atsirandimas siejamas su Leibnizo vardu.

Iš to, kas čia pasakyta matome, kad Martinsas padalina matematikos objektus į dvi klases. Vienai jų priklauso, jo teigimu, su realiuoju pasauliu susiję objektai (pavyzdžiui, natūralieji skaičiai ir geometrinės figūros). Kitai klasei priklauso su realiuoju pasauliu nesusiję matematikos objektai (pavyzdžiui, iracionalieji skaičiai). Mano nuomone, toks padalinimas nėra pakankamai pagrįstas. Visi be išimties abiem klasėms priklausantys matematikos objektai skiriasi nuo realiojo pasaulio objektų tuo, kad jie yra abstrakčios sąvokos, apibrėžimos atitinkamomis savybėmis, ir tik tokios jos yra naudojamos matematikoje, t.y. matematiniu požiūriu šiandienėje matematikoje visi šie objektai (geometrinės figūros ir realieji skaičiai) yra lygiaverčiai. Tai yra pirmoji mano pastaba šio straipsnio teiginiams. Antroji pastaba yra ta, kad matematikos objektus ekonominės teorijos kontekste galima būtų rūšiuoti atsižvelgiant į tai ar jų (matematinė) egzistencija gaunama konstruktyviai ar ne. Kontruktyvumo sampratų yra ne viena ir nesinorėtų čia detaliau apie tai rašyti (daugiau apie tai rašoma mano vadovėlio įvado gale 36 psl.). Paminėsiu tik Brouwerio intuicionizmą, kuriuo atsisakoma naudotis logikos negalimo trečiojo dėsniu įrodinėjant matematinių objektų egzistavimą. Nors Martinsas ir užsimena apie konstruktyvizmą matematikoje, kai rašo apie Sraffa darbus, bet atrodo nelaiko matematinio konstruktyvizmo idėjas pakankamai svarbiomis  pagrindžiant ekonomikos teorijas.

Pagrindiniu kritikos objektu neoklasikinėje ekonomikoje yra bendrosios ekonominės pusiausvyros egzistencijos įrodymas, kurio autoriais yra K. Arrow, G. Debreu ir L. McKenzie.  Jų įrodymas remiasi matematine nejudamojo taško teorema.  Šios teoremos prototipas yra elementari matematinės analizės teorema:  tolydi uždarame intervale funkcija, įgyjanti teigiamą ir neigiamą reikšmes, privalo taip pat įgyti nulinę reikšmę. Geometrinė šios teoremos iliustracija naudojant funkcijos grafiką yra labai paprasta. Tačiau matematinis jos įrodymas remiasi realiųjų skaičių aibės pilnumu, kuris atitinka geometrinės tiesės tolydumo supratimą. Taigi, realiųjų skaičių aibės pilnumas, atitinkantis geometrinės tiesės tolydumą, ir yra Martinso straipsnio kritikos esmė.

Martinso straipsnyje siūlomos idėjos aiškinant neoklasikinės ekonomikos problemų ištakas matyt yra naujos. Tačiau neoklasikinė ekonomika senai yra kritikuojama už neva perdėtai sudėtingos matematikos naudojimą.  Šia tema yra publikuota ne viena dešimtis monografijų. Apibendrinant neoklasikinės ekonomikos kritiką teigiama, kad matematikai būdingas absoliutaus tikrumo siekis (uždara sistema) yra nesudarinamas su realiajam pasauliui būdingu neapibrėžtumu (atvira sistema) ir todėl tokia matematika negali būti priimtina realųjį pasaulį aiškinančiai ekonomikos teorijai.

Mano nuomone, nėra teisinga laikyti matematiką uždara žinių sistema, ribojama savo metodais.  Gali būti taip, kad šiandienos matematikoje jau egzistuoja tokie metodai, kurie yra tinkami adekvačiai (kritikų požiūriu)  atspindėti ekonominę visuomenės veiklą. Mokslo istorijos pavyzdžiai patvirtina tokią galimybę. Problema ne ta, kad matematika atitrūkusi nuo realybės. Mano nuomone, problema ta, kad visuomenės ir gamtos mokslai yra atitrūkę nuo šiandienos matematikos; dauguma šių mokslų bendruomenės narių nėra susipažinę su šiandienos matematikos esminiais principais.

  3 Responses to “Matematika, ekonomika ir realusis pasaulis”

  1. Atitrūkimas tarp matematikos ir realybės, tarp matematikos ir gamtos mokslų yra akivaizdus. Mano nuomone, bandymas ieškoti kaltesnių dėl šio natūralaus atitrūkimo yra nelabai konstruktyvus. Jei užsiimsime vien grynąja matematika ir nesidomėsime gamtos reiškiniais bei jų pažinimui būtinais eksperimentais, tai vien švietėjiškomis priemonėmis to atitrūkimo niekada neįveiksime. Bandymas pažinti pasaulį tik sąvokų lygyje negali būti perspektyvus. Todėl matematikams taip pat reikia domėtis kitų mokslų metodais, pripažinti, kad gamtos pažinimas, apimantis ir socialinių reiškinių pažinimą, turi būti grindžiamas eksperimentu. Pradėti galima nuo paprasto pripažinimo: matematinė statistika ir statistinė fizika yra pakankamai skirtingos disciplinos, galinčios turėti ir turinčios pakankamai savarankišką terminiją ir tyrimo metodus. Matematika taps atviresnė tik tuo atveju, jei ir matematikai sieks nutiesti tiltus į kitus, realų pasaulį tiriančius mokslus. Deja, kai elgiamasi kitaip, labai lengva tapti tik ideologijų tarnaite.

  2. Labas Vygintai. Ačiū už komentarą. Jis rodo, kad mano rašymas nėra pakankamai aiškus. Taip, iš tiesų atotrūkis tarp matematikos ir kitų žinojimo sričių yra akivaizdus ir natūralus. Bet mažiausiai ką norėjau, tai ką nors kaltinti. Man nevisai aišku, kuri mano frazė išreiškė kaltinimą. Jei tai paskutinis sakinys, tai juo formuluojama tik problema. Man atrodė akivaizdu, kad dėl šios problemos egzistavimo galima būtų kaltinti tik matematikus. Kas kitas gali pasirūpinti matematikos žinių perdavimu visuomenei, jei ne matematikai, pradedant nuo mokyklos suolo.

    Vygintai, Tu rašai, kad: ,,Bandymas pažinti pasaulį tik savokų lygyje negali būti perspektyvus”. Aš abejočiau dėl dviejų dalyku šiame sakinyje. Pirma, šiandienė matematika nekelia sau tikslo pažinti pasaulį, jei pasaulis suprantamas tik kaip realus pasaulis (gamta ir visuomenė). Antra, realus pasaulis neišsemia pasaulio sampratos. Pasauliui priskirčiau ir žmogaus kuriamą abstrakcijų pasaulį, nes jis smarkiai įtakoje žmogaus supratimą apie realųjį pasaulį. Matematikos tyrimo objektu yra šis abstrakcijų pasaulis. Be abejonės, yra ir atvirkščia ryšys: matematikos objektų pasaulis yra įtakojamas realaus pasaulio netiesiogiai. Bendravaimas tarp realaus pasaulio pažinimo ir abstrakcijų pasaulio pažinimo yra produktyviausias kai abu pažinimai vyksta nepriklausomai ir bendrauja kaip lygiaverčiai partneriai. Šia prasme aš suprantu tiltų tiesimą tarp žinojimo sričių.

    • Rimai, atsakymas man labai patinka, jis rodo, kad rimtesnio požiūrių skirtumo nėra, o konkrečios formuluotės niekada pakankamai tiksliai neatspindi požiūrio. Deja, formuojasi mano asmeninis išankstinis nusistatymas prieš matematikus, kurie nenori pripažinti statistinės fizikos ir ekonofizikos kaip pakankamai reikšmingos tyrimų krypties (tai patyriau skaitydamas savo projektų recenzijas, kurias aiškiai rašė matematikai). Tas nusistatymas man jau trukdo įgyvendinti savo kūrybines idėjas.

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>