Ką reiškia ,,matematika kaip mąstymo būdas“?
Matematika kaip mąstymo būdas trumpai išreiškia matematikos mokymo tikslą, kuriuo siekiama perteikti esminius matematinio mąstymo bruožus visiems mokiniams atsižvelgiant į jų amžiaus kognityvinius gebėjimus.
Kodėl formuluojame tokį tikslą?
- Vis sudėtingesni iššūkiai (pandemija, propagandiniai karai, greitėjanti kaita visuomenėje ir pan.) bei technologijų plėtra keičia situaciją, kuriai dar neseniai pakako dabartinio matematikos mokymo – minimalus išsilavinimas visiems ir aukštas matematikos žinių lygis mažai daliai visuomenės.
- Pasikeitusi situacija reikalauja gerokai aukštesnio matematinio mąstymo gebėjimų visuomenės daugumai.
Matematikos vaidmuo visuomenėje
Kalbėdamas apie matematikos vaidmenį visuomenėje, Morgen Niss (Mathematics in society, 1994) išskyrė šiuos penkis jos aspektus.
- Fundamentinis mokslas (grynoji matematika) – kuria ir tvarko naujas žinių apie savo vidinį pasaulį. Matematiniai objektai nėra realaus pasaulio dalimi.
- Taikomasis mokslas (taikomoji matematika) – tiria realų pasaulį naudodamas modelius. Paprastai tiriama kurio nors mokslo kontekste.
- Sistema įrankių – naudojami socialinės praktikos ir technikos veikloje priimant sprendimu ir atliekant veiksmus.
- Estetinių raiškų ir patirčių sritis – grožio jausmus žadina netikėti samprotavimo aspektai, matematinių struktūrų ir objektų vaizduotėje atsiradimas. Susijusi su menu.
- Matematikos mokymas – skirtas pirmųjų keturių matematikos dalių perteikimui jaunajai kartai. Kadangi matematika savaime neatsiranda žmoguje, ją tenka mokyti, paprastai mokykloje.
Daugumoje šalių, dėl šių penkių aspektų svarbos visuomenei, matematika laikoma išskirtine disciplina.
Every society maintains, supports and finances mathematical activity in all the above respects in such a way and to such an extent that it is clear that society attributes prime importance to mathematics. However, there are many other essential sciences, crucial systems of instruments for social practice, marvellous fields of aesthetics and fundamental teaching subjects, each of which are much less favoured by society than is mathematics. Internationally considered, mathematics is apparently rather unique in the position it occupies in almost every country.
Tai citata iš minėto M. Niss straipsnio.
Matematika Lietuvoje
Išskirtinis dėmesys egzaminų rezultatams, o ne mokymo turiniui rodo, kad matematika laikoma pasirengimo profesinei veiklai testavimo priemone, o ne privaloma bendrojo išsilavinimo dalimi. Iš vienos pusės, mes didžiuojamės mūsų mokinių matematiniais pasiekimais TIMSS ir PISA reitinguose, o iš kitos pusės, matematinių gebėjimų nėra tarp 6 bazinių gebėjimų reikalingų kasdienei veiklai partijų susitarime dėl Lietuvos švietimo politikos (2021-2030) planuojant bendrojo ugdymo kokybės standartą. Kontroversija apie matematikos mokymą verčia manyti, kad Lietuvoje matematika nėra laikoma visuomenei svarbia disciplina.
Aukštesnės eilės mąstymo gebėjimų lavinimas
Kas rodo aukštesnės eilės mąstymo gebėjimų lavinimo lygį mokykloje? Tokią informaciją galima rasti šioje EBPO studijoje
Studijoje apibendrinti rezultatai gauti tiriant keletą svarbių matematikos mokymo turinio ir politikos aspektų devyniolikoje šalių. Tarp jų yra Lietuva (57-60 pusl.), Latvija ir Estija.
- Pirma, kas daro kokius sprendimus švietimo sistemoje? Pavyzdžiui, kuris švietimo sistemos lygmuo nustato matematikos mokymo tikslus baigiant mokyklą? Nagrinėjami lygmenys: nacionalinis, regioninis, mokyklos, mokytojai kartu, mokytojai individualiai.
- Antra, kokia yra aštuntos klasės vadovėlio užduočių sudėtis ir jų pobūdis? Aukštesnės eilės mąstymo gebėjimų reikalaujančių užduočių pavyzdžiai realaus pasaulio ir matematikos kontekstuose pateikti 9-11 puslapiuose.
- Trečia, koks yra matematikos programos temų pasiskirstymas skirtingose klasėse?
Užduočių sudėtis 8 klasės vadovėlyje (Lietuva):
Ši schema parodo kokią dalį tarp visų užduočių sudaro aukštesnės eilės mąstymo gebėjimų reikalaujančios užduotys realaus pasaulio kontekste (0.53%) ir matematiniame kontekste (0.32%), atitinkamai.
Aukštesnės eilės mąstymo gebėjimų realaus pasaulio kontekste reikalaujančia užduotimi laikoma ta, kuriai atlikti reikia daugiau nei identifikuoti sprendimui tinkamą situacijos matematinę reprezentaciją. Užduotis turėtų vaizduoti netvarkingą, sudėtingą realų pasaulį reikalaujantį iš mokinio gebėjimo konceptualizuoti, organizuoti ir rasti tinkamą informaciją dar iki formuluojant situacijos matematinę reprezentaciją ir tik po to ieškant atsakymo. Pastarasis žingsnis dažnai būna mažiausiai sudėtingas ir mažiausiai svarbus.
Užduoties pavyzdys. Norėdama paminėti jubiliejų, Glenda pakvietė 9 savo draugus pietums. Buvo pateikta visų patiekalų bendra sąskaita už 800 Eurų. Visi dešimt svečių buvo užsakę skirtingus pagrindinius patiekalus ir skirtingus gėrimus. Keturi svečiai užsakė desertą ir du kiti svečiai užsakė užkandį. Pasiūlyti alternatyvius būdus padalinti sąskaitą tarp svečių ir paaiškinti savo samprotavimą bei naudotas prielaidas.
Aukštesnės eilės mąstymo gebėjimų matematikos kontekste reikalaujančia užduotimi laikoma ta, kuriai atlikti reikia konceptualizuoti, organizuoti, rasti reikalingą informaciją ir, prieš sprendžiant užduotį, numatyti logiškai taisyklingą samprotavimą. (Taigi, nepakanka tiesiog pritaikyti taisyklę ar procedūrą. Mūsų vadovėliuose pirmos dalies nereikia, nes užduotys pateikiamos iš karto po teorijos, kurią reikia naudoti) Pavyzdžiui, geometrinio teiginio įrodymas, kuriuo siekiama formaliai konstruoti dedukciją randant reikalingą informaciją ir sudėliojant logiškai taisyklingą samprotavimą. Tokios užduoties pagrindinis aspektas yra reikalingos teoremos ir aksiomos atpažinimas ir jų jungimas į logiškai taisyklingą išvedimų grandinę.
Sekančioje lentelėje matome aukštesnės eilės mąstymo gebėjimų reikalaujančių užduočių pasiskirstymą studijoje nagrinėtų 19-oje šalių.
Matematikos mokymas
Matematikos mokymas (mathematics education) yra matematikos mokymo ir mokymosi praktika bei matematikos mokymo moksliniai tyrimai.
Matematikos mokymo ir mokymosi praktika yra matematikos mokymas klasėje, matematikos mokytojų žinios, vadovėlių turinys ir matematikos programa.
Matematikos mokymo moksliniai tyrimai siekia identifikuoti, charakterizuoti ir suprasti reiškinius ir procesus faktiškai arba potencialiai susijusius su matematikos mokymu ir mokymusi bet kuriame formalaus švietimo lygmenyje.
Šioje enciklopedijoje aptariami įvairūs tyrimų klausimai, pristatomos teorinės pozicijos, tyrimų rezultatai ir skirtingi požiūriai į tai, kas yra matematikos mokymo moksliniai tyrimai.
Praktikos ir mokslinių tyrimų siejimas tarpusavyje yra matematikos mokymo kokybės siekimo galimybė plėtojama daugumoje pasaulio šalių.
Lietuvai artimiausios yra dvi matematikos mokymo tyrimus koordinuojančios tarptautinės organizacijos. Tai Europos matematikos mokymo tyrimų draugija, EMTD (European Society for Research in Mathematics Education, ERME http://erme.site/visions-of-erme/) ir Tarptautinė matematikos mokymo komisija, TMK (International Commission on Mathematical Instruction, ICMI https://www.mathunion.org/icmi). Iki šiol lietuviai nedalyvavo šių organizacijų konferencijose ir nepublikavo jų leidiniuose. Pastaruoju metu tokia veikla užsiima keletas doktorantų.
Kaip siekti matematikos kaip mąstymo būdo tikslo?
Matematikos kaip mąstymo būdo tikslo matematikos mokyme įgyvendinimas turėtų būti grindžiamas aktyviu dalyvavimu tarptautiniuose matematikos mokymo moksliniuose tyrimuose. Šiuo metu tokia veikla vykdoma VU Matematinio švietimo centre. Ji viešai aptariama kiekvieną savaitę vykstančiame matematikos mokymo seminare.
Pakeitimai matematikos mokyme įgyvendinami, jei pokyčius supranta ir jiems pritaria matematikos mokytojai. Tam tikslui yra parengtas ir 2020 metais ministro patvirtintas matematikos mokymo modulis. Jis naudojamas rengiant naujus matematikos mokytojus ir perkvalifikuojant dirbančius mokytojus greta pedagoginių studijų modulio. Nuo 2023 metų rudens startuos matematikos mokytojų rengimo bakalauro studijų programa. Visai švietimo sistemai tai labai nedaug, bet tai viskas ką gali padaryti vienas universitetinis centras.
Remiantis matematikos mokymo modulio aprašu (76 punktas), ,,matematikos mokytojai yra rengiami matematikos mokymo tyrimų, kurie yra matematikos mokslo dalis, pagrindu“. Toliau cituoju aprašą (79 punktas): ,,[matematikos mokymo modulį] sudaro ne mažiau kaip 30 studijų kreditų apimties studijų dalykai, būtini didaktiškai transformuojant matematiką (mokyklinės matematikos turinys, matematinio mąstymo psichologija, matematikos istorija, matematikos filosofija ir kt.).“
Didaktinė matematikos transformacija reiškia tokį matematikos mokymo ir mokymosi turinį, kuris išsaugo esminius matematinio mąstymo bruožus ir yra adaptuotas visiems mokiniams atsižvelgiant į jų amžiaus kognityvinius gebėjimus.
Mąstymui lavinti, greta procedūrinių žinių, reikalingos sąvokinės žinios. Sąvokinės žinios gaunamos siekiant atsakyti į klausimą: Kodėl? Kodėl procedūra veikia taip kaip veikia? Pavyzdžiu yra pozicinės skaičiavimo sistemos naudojimas paaiškinti standartinius aritmetikos veiksmus su natūraliaisiais skaičiais, pavyzdžiui, suma stulpeliu.
Kitas pavyzdys yra trupmenų aritmetikos pagrindimas naudojant skaičių tiesę.
Pastarieji du pavyzdžiai yra šioje knygoje Hung-Hsi Wu. Understanding Numbers in Elementary School Mathematics . American Mathematical Society, 2011 https://bookstore.ams.org/mbk-79 Tai pirmoji iš šešių knygų (virš 2500 pusl.) skirtų matematikos turinio didaktinei transformacijai.
Mąstymas lavinamas procedūrinių ir sąvokinių žinių pagrindu. Vaizdžiai kalbant jos yra ,,pastoliais“, kurių pagalba lavinamas mąstymas.
Matematinis samprotavimas mokykloje yra dėsningumų atpažinimas, hipotezių formulavimas, jų pagrindimas arba paneigimas ir apibendrinimas. Samprotavimo užduoties pavyzdys:
Mokyklinis įrodymas
Kam jo reikia?
- Atpažinti mąstymo klaidas.
- Paaiškinti teiginį.
- Motyvuoti gilinimąsi į nuobodžius dalykus (pvz. trigonometrija)
- Atskleisti matematinio mąstymo specifiką (kritinis mąstymas).
Stereotipas: matematinis įrodymas yra tik teiginio teisingumo pagrindimas, turintis griežtą loginę struktūrą.
Įrodymo pradiniame ugdyme pavyzdys:
Trigonometrinės tapatybės įrodymo idėja: cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
Tekstinių uždavinių sprendimas su dedukcija. Tekstinės užduoties sąlyga:
Šios užduoties trečiosios dalies, pagrindimas naudojant taisyklingą dedukciją, variantas:
Modeliavimas vs tekstiniai uždaviniai
Užduotis. Senamiestyje vykstančioje mugėje suvenyriniai marškinėliai ,,Vilniaus gimtadienis” parduodami už 16 Eurų. Tuo tarpu netoliese esančioje degalinėje tie patys marškinėliai parduodami už 12 Eurų. Klausimas: ar verta važiuoti marškinėlius pirkti į degalinę? [Blum2015]
Tai yra modeliavimo pavyzdys, o ne tekstinė užduotis.
Matematinio modelio tikslas – realaus pasaulio situacijos tyrimas matematikos priemonėmis. Sudėtingiausia ir svarbiausia modeliavimo dalimi yra vertinimas siekiant atsakyti į klausimą: modelį priimti ar atmesti?
Tuo tarpu pagrindiniu tekstinio uždavinio tikslu yra pamatinės matematinės struktūros pateikimas įdomiai ir motyvuojančiai, o ne matematikos pagalba suprasti nagrinėjamą realaus pasaulio situaciją.
Matematikos programų reformos kitose šalyse
Pabaigai atkreipsime dėmesį į tai, kad pasaulinė matematikos programų reformų patirtis yra turtinga. Pavyzdžiui, 2018 metų lapkričio mėn. Japonijoje įvyko konferencija ,,Mokyklinės matematikos programų reformos: iššūkiai, pokyčiai ir galimybės“. Konferencijoje buvo aptariamos skirtingų šalių matematikos mokymo programų reformos šiais (iš anksto nurodytais) penkiais aspektais.
- Mokymasis iš praeities: varomosios jėgos ir barjerai formuojantys matematikos mokymo programų reformas.
- Mokyklinės matematikos programos reformos analizė nuoseklumo ir aktualumo aspektu.
- Reformuotų matematikos mokymo programų įgyvendinimas skirtinguose kontekstuose ir tradicijose.
- Globalizacija ir internacionalizacija bei jų poveikis matematikos mokymo programų reformoms.
- Matematikos mokymo programų kūrimo, tobulinimo ir reformų veiksniai bei procesai.
Viena iš konferencijos išvadų: reformuojant programą reikia atsižvelgti į matematikos mokymo mokslinių tyrimų rezultatus.
Mūsų apžvalgoje liko nepaminėti ne mažiau svarbūs dalykai susiję su švietimo filosofijos situacija Lietuvoje ir jos įtaka matematikos mokymui.
Liko nepaminėti švietimo politikos ir švietimo reformos vaidmuo matematikos mokymo turiniui.
Tačiau jau iš to, kas pasakyta išplaukia sekanti išvada.
Išvada
Pastaraisiais metais taikytas matematikos programos atnaujinimo būdas yra nesuderinamas su reikšmingus jos keitimu. Netgi nebūtinai tuo tikslu, kurį siūlome mes. Įvykęs matematikos programos atnaujinimas nebuvo tam parengtas. Dalyku diegiamos kompetencijos yra bendros visiems dalykams. Jų iššifravimas į matematikos kompetencijas ir šias kompetencijas lavinančio matematikos turinio parinkimas nebuvo atliekamas. Tikėjimas, kad viskas, ką suformulavome mokinių pasiekimuose, tikrai bus pasiekta, yra naivus.