Santrauka. Reaguodami į atnaujinamos matematikos programos projekto neigiamą recenziją ir į prastus matematikos VBE22 rezultatus, vertiname matematikos mokymo Lietuvoje situaciją. Tarp dabartinę situaciją formavusių švietimo reformos idėjų išskiriame tas, kurios įtakojo matematikos mokymo turinio kaitą. Aptariame tikslus, kuriuos kėlėme mokyklinės matematikos mokymui iki šiol, amerikiečių matematikos mokytojų nacionalinės tarybos viziją kaip galimą siekiamybę ir žinių sociologų pasiūlytus švietimo scenarijus. Išvados trumpai:
- Matematinio raštingumo kaip minimalaus matematinio išsilavinimo įgyvendinimas yra mokymosi paradigmos edukologijoje siekio ir grupavimo pagal gebėjimus rezultatas.
- Matematikos kaip mąstymo būdo vizijos įgyvendinimas reikalautų paradigmų supriešinimo edukologijoje atsisakymo ir akademinio racionalizmo ideologijos matematikos mokyme.
Šių matematikos mokymo vizijų pasirinkimas priklauso nuo ugdymo filosofijos krypties pasirinkimo švietimo reformoje. Jos atitinka antrąjį ir trečiąjį švietimo ateities scenarijus Young ir Muller (2010) prasme. Gairių siekiamybe galėtų būti matematikos mokymo koncepcija.
Įvadas
„Į mokyklų programas reikia žiūrėti rimtai: tai, kas į jas įrašoma šiandien, veiks visuomenės galvojimą ir elgesį po trisdešimties metų“, – kalbėjo Vytautas Kavolis 1990-aisiais, remdamasis kultūros sociologų tyrimais (savo FB paskiroje priminė Darius Kuolys š.m. rugpjūčio 21). Tam, kad suprasti kodėl turime tokias programas kokias turime bandome žiūrėti plačiau: kas prieš trisdešimt metų buvo rašoma apie naujai rengiamas matematikos programas. Šį tekstą apie matematikos mokymo turinį struktūruojame klausimais: ką turime, kodėl turime ir ką galime turėti ateityje? Atsakymai formuluojami išvadoje.
Š.m. vasario 28 d. buvo atlikta atnaujinamos matematikos programos projekto recenzija. Jos vertinimu teigiamų pokyčių matematikos mokyme tikėtis negalima (Norvaiša ir kiti 2022a). Nagrinėjant matematikos vadovėlius pastebima pastarųjų dešimtmečių tendencija prastinti matematikos mokymą atsisakant matematikai būdingų savybių, pavyzdžiui, sąvokų apibrėžimų, sudaromos sąlygos mokiniams patiems ,,atrasti taisykles“ (Norvaiša, 2019). Toks matematikos mokymo būdas grindžiamas žinių konstravimo ilgojoje atmintyje efektyvumu (Sičiūnienė 2010, 39 pusl). Tuo ignoruojami tyrimų rezultatai rodantys, kad, įsisavinant mokyklines žinias, ilgoji atmintis tiesiogiai nepasiekiama, o darbinė atminties yra ribota (Kirschner ir kiti, 2006). Dėstytojų liudijimu, mokyklą baigusių ir į universitetą studijuoti ateinančių mokinių matematikos žinios nuosekliai prastėjo jau daug metų. Tai patvirtina ir matematikos VBE rezultatai. LR švietimo, mokslo ir sporto ministrės 2022 m. liepos 7 d. įsakymu sudarytos komisijos matematikos VBE22 rezultatų analizei atlikti teigimu, užduotys atitinka programą, o mokinių rezultatų prastėjimas vyksta nuosekliai, jau daugelį metų. Komisijos tyrimas leidžia daryti prielaidas, kad nieko nekeičiant 2023 metų rezultatai dar pablogėtų.
Didžiausią poveikį matematikos mokymo turiniui turėjo švietimo reformos, vykdytos pastaraisiais 30 metų. Lietuvos nepriklausomybės atgavimo pradžioje matematikos dalykas buvo vertinamas kaip sovietinio švietimo palikimas, trukdantis ugdyti visapusišką, visas savo galias harmoningai plėtojančią asmenybę. Sovietinės mokyklos ugdymo turinys laikytas vienpusišku, pagrįstas scientizmo ideologija. Todėl naujasis ugdymo turinys turėjo būti kitaip subalansuotas. Matematikai skiriama santykinė laiko dalis buvo mažinama (Jackūnas 2006, 77 pusl.). Remiantis dalykų integracijos idėja, matematikos turinys buvo orientuojamas į taikomojo pobūdžio žinias ir į praktiniam gyvenimui reikalingų įgūdžių ugdymą (Jackūnas 1993). Vykdant švietimo reformas buvo rekomenduojama matematikos mokyme atsisakyti ,,bereikalingu formalizmu“ vadinamo įrodinėjimo.
1994 metais publikuoti trys matematikos programų projektai. Vieno iš jų autoriai P. Gudynas ir A. Zabulionis parašė išsamų komentarą savo projektui. Jis prieštaringas. Iš vienos pusės, autoriai pripažįsta, kad mokinių rūšiavimas į gabius matematikai ir negabius dar neįpusėjus privalomam mokslui yra neigiama praktika. Iš kitos pusės, pradinėje ir pagrindinėje mokykloje (1-8 klasės) siūloma mokyti minimalų išsilavinimą užtikrinantį ,,bazinį matematikos kursą“ visiems, o 11 ir 12 klasėse siūlomi net keturi lygiai – greta ,,bendrojo matematinio išsilavinimo“ galima rinktis humanitarinį profilį, gamtos mokslų profilį ir sustiprintą matematikos mokymą (LR ŠMM 1994, 89 pusl.).
Taip pat, P. Gudynas ir A. Zabulionis užsimena apie Tarptautinį matematikos mokymo kongresą ICME-5, kurio tema – matematika visiems. Programos autoriai įvardija du šios temos tikslus: minimalų išsilavinimą visiems ir individualių matematinių gebėjimų vystymą kiekvienam(LR ŠMM 1994, 85 pusl.). Tai nėra tikslu. Kongrese formuluojama problema – sukurti universalią matematikos programą prasmingą daugumai vaikų, ne tik gabiesiems (Damerow ir kiti 1984). Tokios programos jau egzistuoja. Deja, mūsų matematikų bendruomenė nedalyvavo tokiuose tyrimuose. Lietuvoje populiarus požiūris, kad suprasti matematinius įrodymus ir patys juos kurti gali tik gabūs vaikai. Čia reikia pastebėti, kad pati matematinio įrodymo samprata mokyklos kontekste įgijo daug atspalvių. Nauji matematinio įrodymo variantai buvo derinami prie vaiko amžių atitinkančių kognityvinių gebėjimų. Šie ir kiti matematikos mokymo tyrimų rezultatai įgalina matematinį samprotavimą perteikti visiems vaikams.
Atskirai reikėtų paminėti paradigminę ugdymo turinio kaitą Lietuvos švietime, iki šiol darančią įtaką matematikos mokymui. Pokyčiais siekiama į mokymą orientuotą ugdymą keisti į mokymąsi orientuotu ugdymu. Žinių įgijimo supriešinimas asmenybės ugdymui tapo reikšmingu švietimo reformos bruožu. Supriešinimo pasekmės – mokymosi paradigmos sureikšminimas iki švietimo kokybės statuso, mokytojo vaidmens menkinimas ir daugelis kitų švietimo mitų (Christodoulou 2014). Paradigmų supriešinimo analogas JAV mokyklinės matematikos kontekste tapo ,,matematikos karais“ vadinama konfrontacija (Ernest 2020). Skirtingai nuo Lietuvoje besitęsiančios paradigmų kaitos, JAV pastaruosius du dešimtmečius susipriešinimą tarp tradicinio požiūrio į matematikos turinį ir progresyviosios pedagogikos (arba reformuotos matematikos) keičia dominuojantis vidurio kelias (Schoenfeld 2004).
Šios tendencijos ir vertinimai nėra vienareikšmiškai pripažįstami. Požiūrius į matematikos mokymą lemia požiūriai į matematiką ir jos vaidmenį visuomenėje (Niss, 2014). Pirmaeiliu uždaviniu reikėtų laikyti matematikos mokymo tikslo ir matematinio išsilavinimo standarto svarstymą. Matematikos mokymo tikslai ir jų įgyvendinimo būdai yra matematikos mokymo politikos pagrindas. Tikslų įgyvendinimo būdus nusako matematikos programos turinys, matematikos vadovėliai, mokinių pasiekimų vertinimo sistema ir užduočių rinkiniai, bei mokytojų rengimo ir jų kvalifikacijos kėlimo sistema. Iki šiol matematikos mokymo tikslai pasirodydavo tvirtinant atnaujinamą matematikos programą. Taigi, tikslus nustatydavo arba jiems pritardavo programos rengimo grupė. Tuo būdu šalies mokinių matematinio lavinimo kryptį nulemdavo neviešas svarstymas.
Matematikos mokymo politikos negalima svarstyti atsietai nuo bendro švietimo politikos konteksto Lietuvoje ir pasaulyje. Lietuvos švietimo dokumentuose formuluojami švietimo tikslai, jų įgyvendinimo būdai, švietimo paradigmos ir rodikliai, kuriais yra vertinama švietimo kokybė. Šių švietimo politikos aspektų įtaka matematikos mokymui yra lemianti, kadangi iki šiol mes neturime savarankiškos matematikos mokymo politikos. Svarstant matematikos mokymo tikslo alternatyvas neišvengiamai teks atsižvelgti į viso švietimo Lietuvoje situaciją ir galimybes.
Toliau šiose gairėse apžvelgiame turimą informaciją apie dabartinį matematikos mokymą bendrojo ugdymo mokyklose Lietuvoje ir siūlome matematikos mokymo politikos perspektyvas artimiausioje ateityje. Svarstome kiek pagrįstai galime įvertinti esamą matematikos mokymo kokybę ir ko reikia, kad turėtume pageidaujamą pagrįstumą. Toliau aptariame veiklos kryptis galinčias įtakoti matematikos mokymą ateityje. Pagrindinė naudojama priemonė yra įvairių šalių matematikos mokymo politikos patirties analizė. Konkrečiai remiamasi didžiausios pasaulyje matematikos mokytojų organizacijos Matematikos mokytojų nacionalinės tarybos (National Council of Teachers of Mathematiks) patirtimi rengiant Bendrus pagrindinius valstybės standartus matematikai (Mathematics Common Core State Standards, 2010). Šiais standartais siekiama praplėsti faktų ir procedūrų mokymą papildant jį sąvokiniu supratimu (conceptual understanding) ir naudojimosi įgytomis žiniomis praktika.
Tekste naudojamų kai kurių sąvokų aiškinamasis žodinėlis.
Matematikos mokymas – (1) mokymo ir mokymosi veikla matematikos pamokoje; (2) akademinė disciplina (angl. mathematics education)
Matematikos mokymo politika – matematikos mokymo turinio (curriculum) formavimas, matematikos mokymo tyrimų vykdymas
Matematikos mokymo tyrimai – mokslinė veikla, kurios tikslas – suprasti matematinio mąstymo bei matematikos mokymo ir mokymosi prigimtį, siekiant panaudoti šį supratimą gerinant matematikos pamokas.
Matematikos mokymo turinys (curriculum) – matematikos mokymo tikslai ir išsilavinimo standartai, mokyklinės matematikos turinys ir programa, mokytojų žinios, mokymo medžiaga, mokinių pasiekimų vertinimo sistema.
Mokykla – kontekstas, kuriame plėtojami žmogaus biologiškai antriniai gebėjimai; jiems žmogaus protas neturi įgimtų ,,pastolių“ padedančių be pastangų konstruoti tam tikras žinias ir gebėjimus (Geary 2002).
Mokyklinė matematika – mokomasis dalykas.
Mokyklinės matematikos turinys – su mokinio kognityviniais įgūdžiais suderinta matematika (sąvokos, objektai, jų savybės ir samprotavimo metodai), gali skirtis nuo elementariosios matematikos (pavyzdžiui, natūraliojo skaičiaus samprata). Skirtas matematikos mokytojams, vadovėlių autoriams ir matematikos mokymo tyrėjams.
Mokyklinis įrodymas – įrodymas mokyklinėje matematikoje, jo apibrėžime atsispindi kognityviniai įgūdžiai susiję su mokinio amžiaus tarpsniais; apima dedukcinį samprotavimą ir yra matematinio samprotavimo dalimi.
Švietimo reforma – ugdymo turinio plačiąja prasme kaita.
Švietimo sistema – švietimo dokumentai, institucijos (mokykla), politika, ideologija, mokslas, ugdymo turinys
Pastaba. Sąvokos ir jų turinys nebūtinai atitinka švietimo dokumentus, bet suderintas su matematikos kontekstu. Terminas ,,ugdymas“ nenaudojamas, nes jis susijęs su reikšme ,,auklėjimas“ ir siekimu riboti mokytojo vaidmenį. Nacionalinės edukologijos diskurse toks terminų keitimas susijęs su mokymosi paradigmos įtvirtinimu. Matematikos mokyme vadovaujamasi tyrimais ir teorijomis, bet ne paradigmomis (žr Encyclopedia of Mathematics Education). Šiuo svarbiu atžvilgiu matematikos mokymo disciplina skiriasi nuo nacionalinio edukologijos mokslo.
Matematikos mokymą formavusios idėjos, požiūriai ir nuostatos
2013 metais buvo parengtos Matematinio ugdymo bendrojo ugdymo mokykloje gairės (Norvaiša ir kiti 2013). Joms buvo pritarta Bendrojo ugdymo taryboje. Kartu buvo parengtas ir švietimo ministerijai įteiktas gairių įgyvendinimo planas (gairių priedas B). Gairėse buvo įvertinta matematinio ugdymo padėtis ir siūlomas veiklos planas šią padėtį pagerinti. Pagrindine problema buvo įvardintas matematinio samprotavimo (gairėse vadinto samprotavimo loginiu tikslumu) trūkumas matematiniame ugdyme. Visas gairių turinys liko aktualus šiandien. Tada siūlytas matematinio ugdymo kaitos planas apėmė naujos kartos matematinio ugdymo programos ir turinio kūrimą, mokytojų kvalifikacijos kėlimą, matematikų bendruomenės įsitraukimo į tyrimus skatinimą ir matematikos populiarinimą. Pilnai įgyvendinta tik ta plano dalis, kurioje kalbama apie universitetinių pirmosios pakopos matematikos mokytojų rengimo programos esminį atnaujinimą (žr. 1.1.4 Priedas B).
2013 metų gairėse pagrindinis dėmesys skiriamas matematikos mokymo turinio problemoms. Šiose gairėse dėmesys kreipiamas į matematikos mokymą įtakojančią švietimo politiką. Konkrečiau kalbant nagrinėjame švietimo reformos vykdomą ugdymo turinio kaitą. Šiuo metu vis dar esame reformos ketvirtame etape. Šiame skyrelyje aptariame švietimo idėjas, požiūrius ir nuostatas įtakojančius matematikos mokymo kokybę.
Apibrėžtis. Idėją, požiūrį ar nuostatą vadiname sistemine problema, jei ja(juo) motyvuojama ar grindžiama priemonė trukdo siekti švietimo tikslų ir jos(jo) tam tikras neiginys skatina keisti tą priemonę.
Šioje apibrėžtyje švietimo tikslu laikomas kokybiškas matematikos mokymas visiems. Konkreti tikslo samprata išreiškiama matematinio išsilavinimo apibūdinimu. Matematikos mokymas kokybiškas, jei juo siekiamas nurodytas matematinis išsilavinimas.
Pirma sisteminė problema – nuostata matematikos mokymą įtakojančius sprendimus daryti neturint patikimos mokslinės informacijos, remiantis ideologija ar galimai viešai neatskleistais argumentais. Patikima mokslinė informacija yra Lietuvoje atliktų mokslinių tyrimų rezultatai arba tarptautinių tyrimų antrinė analizė Lietuvos kontekste. Siekiamybe turėtų tapti naudojamus tyrimų rezultatus publikuoti tarptautiniuose matematikos mokymo tyrimų leidiniuose ir pristatyti tarptautinėse matematikos mokymo tyrimų konferencijose.
Neigiamu pavyzdžiu yra pastarųjų dešimtmečių sprendimai mažinti matematikos pamokų skaičių nesiejant jų su patikimais tyrimais rodančiais, kad mokymo kokybė nenukentės. Tokių tyrimų negali būti, nes mes neturime sutarimo, kas yra matematikos mokymo kokybė. Kita vertus, tokie tyrimai gali būti nedaromi dėl to, kad, sprendėjų požiūriu, matematikos dalykas nėra vertingas lyginant su kitais mokomaisiais dalykais. Priežastis dėl kurių reikėjo mažinti matematikai skiriamo laiko paaiškina A. Jackūnas, 1992 metų ,,Lietuvos švietimo koncepcijos“ bendraautorius. Savo knygoje jis rašo: ,,Atsižvelgiant į mokyklai keliamą tikslą ugdyti integralią, visapusiškai prigimtines galias išplėtojusią asmenybę, …, darytina išvada, kad iš sovietinės mokyklos paveldėtas ugdymo turinys kaip visuma tik iš dalies atitinka pertvarkyto švietimo tikslus bei uždavinius ir todėl būtina jį keisti, tikslingiau subalansuoti,…..“. Tam tikslui: ,,Pirma, mokymo plane santykinė laiko dalis, skiriama kai kuriems dalykams yra mažinama. Šiuo požiūriu naujosios mokyklos ugdymo turinyje menkesnę vietą užims gamtos ir tikslieji mokslai, kuriems sovietinėje mokykloje buvo skiriama 5-10% laiko daugiau nei daugelyje Vakarų šalių mokykloje“.
Kokia mūsų švietimo sistemos institucija rūpinasi matematikos mokymu? Matematikos programos atnaujinimą organizuoja Nacionalinė švietimo agentūra (toliau tekste – NŠA). Reikšmingą institucijos vaidmenį patvirtina dabartinės LR Vyriausybės programos nuostatų įgyvendinimo plane numatytas 1.2.19 veiksmas ,,Stiprinti NŠA kaip kompetencijų centrą ir švietimo politiką įgyvendinančią instituciją”. Tačiau NŠA nėra padalinio, kuris galėtų kompetentingai formuoti ministerijos poziciją dėl matematikos mokymo mokykloje kokybės ir ją viešai komentuoti. Iki šiol neaiški ministerijos pozicija 2013 metų gairių atžvilgiu. Iki šiol nežinomas ministerijos požiūris į 2020 metais mūsų pasiūlyto plano dėl prastų matematikos VBE20 rezultatų (Norvaiša 2020b). Kas yra dar svarbiau, neturėdama matematikos mokymo politikos ir koncepcijos, ministerija neturi galimybių konkretizuoti švietimo politikos tikslų. Pavyzdžiui, ką konkrečiai reiškia tikslas – kokybiškas švietimas visiems? Todėl vertinant švietimo tikslų įgyvendinamumą tenka orientuotis į mokinių pasiekimų tarptautinių tyrimų rodiklius ir į finansines išlaidas. Kita švietimo kokybės vertinimo problema yra mokymo ir mokymosi paradigmų supriešinimas, pastarąją laikant kokybės rodikliu. Šį rodiklį iki šiol vertina NŠA Stebėsenos ir Vertinimo Departamentas nepaisant, kad matematikos mokymo tyrimų pasaulinė praktika atmeta tokį paradigmų supriešinimą kaip nepagrįstą (Busho komisija 2008).
NŠA ištakomis laikomas Pedagogikos mokslinio tyrimo institutas (Dobrovolskis 2019). Savo veiklą institutas pradėjo dar 1958 metais kitu pavadinimu. Kaip sako pavadinimas, instituto pagrindine veikla buvo moksliniai tyrimai pedagogikos moksle, kuris vėliau tapo edukologijos mokslu. Ne mažiau svarbiu instituto veiklos rezultatu buvo mokslinius laipsnius pedagogikoje apgynę žmonės. 2001 metais mokslo įstaiga Pedagogikos institutas buvo reorganizuotas į biudžetinę įstaigą – Švietimo plėtotės centrą. Šio centro pagrindinės veiklos rūšys – aptarnavimas bendram valdymui palaikyti ir kvalifikacijos tobulinimas. Moksliniai tyrimai įvardinti kaip kita veiklos rūšis. 2009 metais ši institucija tapo ugdymo plėtotės centru, o 2019 metais tapo dabar egzistuojančia NŠA. Tuo būdu bendrojo ugdymo turinio klausimai ir moksliniai tyrimai įgijo skirtingus statusus.
Kai kurie matematikos mokytojai prisimena, kad Pedagogikos institute, iki jo reorganizavimo, vykdavo aktyvios diskusijos mokyklinės matematikos turinio klausimais. Diskusijos pasibaigė po instituto reorganizavimo. Nepanašu, kad pirmoji sisteminė problema yra nenugalimos jėgos (force majeure) pasekmė. Ji atsirado politinės valios dėka, atsisakant profesionalios mokslinės veiklos kai sprendžiami mokymo reikalai.
Antra sisteminė problema – idėja atnaujinti matematikos programą tyrimais neįvertinus jos ankstesnių tikslų įgyvendinimą ir neišgryninus naujus tikslus. Tikslus, kurie atlieptų šiuolaikinės visuomenės iššūkius, nacionalinius interesus, atsižvelgtų į matematikos mokymo pasiekimus pasaulyje ir subalansuotų skirtingų visuomenės grupių interesus. Kitaip tariant, matematikos programą atnaujiname, prieš tai neįvertinę veikiančios programos (ne)efektyvumą, galimas to priežastis ir neišsiaiškinę kokios matematikos reikėtų mokyti ateityje. Šiuo metu matematikos mokymo tikslus nustato programos atnaujinimą vykdančių ekspertų komanda, kuri formuojama viešųjų pirkimų keliu. Kitos šalys matematikos mokymo tikslus nustato nacionaliniame lygmenyje (Schmidt et al. 2022).
Šiuo atžvilgiu matematikos programa nėra išimtimi. Visų dalykų bendrųjų programų atnaujinimas buvo grindžiamas 2019 m. lapkričio 18 d. tuometinio švietimo ministro patvirtintomis Gairėmis (2019). Jose planuojamos kaitos pagrindu įvardinti tik svarbiausi švietimo dokumentai, be nuorodų į kokius nors mokslininkų tyrimus. E. Bakonio ir kt (2022, 23 pusl.) teigimu, ,,Tyrimų apžvalga“ pavadintame Gairių skyriuje esančios informacijos negalima pavadinti edukologijos mokslininkų indėliu.
Dar sovietiniais laikais dalyko mokymo turinio formavimas, dalyko mokymo programų sudarymas buvo minėtojo Pedagogikos mokslinio tyrimo instituto vienas svarbiausių darbų (Dobrovolskis 2019, 261 pusl.). Esmingesni pakeitimai programoje buvo daromi prieš tai išbandžius naujoves atskirose mokyklose. Dabar daroma atvirkščia tvarka, ministerija patvirtina atnaujintą programą ir tik po to pakeitimai išbandomi mokyklose.
Tikriausiai rimčiausią matematikos programos projekto pagrindimą tyrimais organizavo JAV ir Kanados matematikos mokytojus atstovaujanti Matematikos mokytojų nacionalinė taryba (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM), toliau tekste MNT. Tai pasekmė bene pusę amžiaus trukusių diskusijų dėl matematikos mokymo tikslų ir kokybės. Diskusijų, tapusių tokiomis emocionaliomis, kad galiausiai pradėtos vadinti matematikos karais (Schoenfeld, 2004). Diskusija tarp mokymo paradigmos ir mokymosi paradigmos Lietuvoje apytikriai atitinka matematikos karų turinį tradicinė versus progresyvioji matematika Amerikoje. Galutinis rekomendacijų programai variantas, vadinamas Mokyklinės matematikos principais ir standartais (Principles and Standards for School Mathematics), publikuotas 2000 metais. Programos pagrindimas tyrimais publikuotas virš 400 puslapių apimties straipsnių rinkiniu (Kilpatrick et al, 2003), o pati programa ,,Bendri pagrindiniai valstybės standartai matematikai“ (angl. Common core state standards for Mathematics) pasirodė 2010 metais. Trumpumo dėlei, toliau rekomendacijas programai ir pačią matematikos programą vadinsime MNT standartais.
Ką reiškia tyrimais pagrįsti MNT standartus? Atsakydamas į šį klausimą J. Hiebert (2003), iš pradžių svarsto ko apskritai galima tikėtis iš tyrimų sužinoti apie MNT standartus. Toliau autorius rašo apie tuo metu naudotos matematikos programos efektyvumą remiantis tyrimų rezultatais. Baigiama aptariant ką tyrimai sako apie alternatyvios programos – MNT standartų – perspektyvas. Paminėsime vieną standartų pagrindimui skirtą darbą, kuris galėtų tiksliau atsakyti į J. Hiebert (2003) klausimą.
MNT standartuose teigiama, kad matematinis samprotavimas yra bazinis gebėjimas (NCTM, 2000; 56 pusl.). To būtinumas ir galimumas pagrindžiamas Ball ir Bass (2003) darbe. Autoriai aprašo keletą šeštos ir trečios klasės mokinių samprotavimo su mokytojo pagalba epizodų. Jie naudojami paaiškinti, kodėl matematinis supratimas yra beprasmis neakcentuojant samprotavimo, kodėl samprotavimas yra būtinas norint naudotis matematika ir samprotavimas yra naudingas kai tenka prisiminti procedūras ar taisykles. Šia prasme matematinis samprotavimas naudojamas kaip taisyklių ir procedūrų pagrindimas.
Ball ir Bass (2003) tyrimas grindžiamas veiklos klasėje analize bei teoriniais svarstymais apie mokymą ir mokymąsi. Straipsnis iliustruoja matematikos mokymo tyrimais (mathematics education research) vadinamos akademinės disciplinos veiklą. Disciplinos ištakomis yra Europos ir Šiaurės Amerikos valstybėse 19 amžiaus pabaigoje ir 20 amžiaus pradžioje prasidėjusi matematikos ir matematikos mokytojų bendruomenių veikla besirūpinanti matematikos mokymo programų turinio tobulinimu. Pastaraisiais dešimtmečiais šios akademinės disciplinos darbą koordinuoja Europos matematikos mokymo tyrimų draugija, EMTD (European Society for Research in Mathematics Education, ERME) ir Tarptautinė matematikos mokymo komisija, TMK (International Comission on Mathematical Instruction, ICMI). Klausimas: Ką Lietuvoje žinome apie tokius tyrimus ir jų rezultatus?
Trečia sisteminė problema – nuostata plėtoti nacionalinę matematikos didaktiką ir remtis nacionaliniu edukologijos mokslu, nedalyvaujant tarptautiniuose matematikos mokymo tyrimuose. Mums nepavyko aptikti nei vieno lietuvio EMTD ir TMK kongresuose. Lietuvių nerandame ir tarp matematikos mokymo akademinės disciplinos pagrindinių žurnalų autorių. Jei ir yra kas nors, tai tikriausiai jų vienetai. Šį faktą pateikiame kaip problemą todėl, kad matematikos mokymo tyrimų kokybė ir apimtys vadovaujant šioms organizacijoms ir jas atstovaujančių žurnalų nesulyginami su tuo, ką turime Lietuvoje. Vaizdžiai kalbant, mes seniai pavėlavome į nuvažiavusį traukinį. Nacionalinės mokslo programos (LMT) statuso suteikimas tarptautiniams matematikos mokymo tyrimams galėtų tapti malūnsparniu padėsiančiu pavyti traukinį.
Galima priminti, kad dabartinės Vyriausybės programos nuostatų įgyvendinimo plane numatytas 1.3.6 veiksmas ,,Parengti nacionalinę ugdymo krypties mokslinių tyrimų programą“. Pagal mūsų mokslų klasifikacijos sistemą, ugdymo mokslai ir matematikos mokslai randasi skirtingų reikalavimų mokslo rezultatams srityse. Ši aplinkybė gali daryti įtakos matematikos mokymo tyrimų skatinimui.
Ketvirta sisteminė problema – matematikos mokytojų rengime vadovaujamasi požiūriu, kad matematiką mokykloje gali mokyti kiekvienas baigęs universitetinės matematikos studijas ir įgijęs pedagoginių žinių. Tokiose studijose būsimi mokytojai supažindinami su universitetine matematika tikintis, kad jos žinojimas yra pakankamas paaiškinti mokyklinę matematiką klasėje. Paprastųjų trupmenų tema yra tipiškas pavyzdys parodantis, kad universitetinė šios temos prieiga (ekvivalentumo klasės) yra visiškai netinkama. Turėdamas tik universitetinės matematikos žinias būsimasis matematikos mokytojas priverstas aiškintis vadovėlius iš kurių jis pats mokėsi. Deja, šie vadovėliai nėra tinkami suprasti standartinių aritmetikos veiksmų prasmės ir kaip juos pagrįsti. Tai yra sąvokinio supratimo klausimas, kuris yra gilesnis už gebėjimą tiesiog taisyklingai atlikti aritmetikos veiksmą. Sąvokinio supratimo trūksta mūsų mokytojams ir aišku jie negali jo perteikti mokiniams. Išsamiai šią problemą aptaria Wu (2021).
Mokyklinės matematikos turinio gilus išmanymas yra tik viena kvalifikuoto matematikos mokytojo būtinybė. Kitos mokytojui reikalingos sritys – matematikos istorija, matematikos filosofija, matematikos mokymo(si) psichologija, problemų sprendimo ir teiginių įrodinėjimo, atsižvelgiant į besimokančiojo kognityvinius gebėjimus, patirtys paprastai nėra universitetinės matematikos studijų programos dalimi. Tam tikslui matematikos mokslų studijų krypčių grupės aprašas papildytas reikalavimu būsimajam mokytojui studijuoti matematikos mokymo modulį greta pedagoginio modulio. Problema tuo nėra išspręsta iki galo. Mes neturime pakankamai dėstytojų universitetuose pasirengusių dirbti pagal matematikos mokymo modulį.
Be to, požiūris, kad matematikos mokytojui nėra svarbi jo dalykinė kvalifikacija paplitęs tarp švietimo politikų, siekiančių paprastais būdais spręsti matematikos mokytojų trūkumo problemą.
Penkta sisteminė problema – idėja, kad tik kai kurie mokiniai gali matematikos mokytis sėkmingai arba požiūris, kad mokinius reikia grupuoti į gabius matematikai ir negabius. Kitaip tariant, sisteminę problemą turime dviem atvejais. Pirma, kai vaikui leidžiama suprasti esant gabiu matematikai arba negabiu matematikai, ir tai jam yra įgimta. Antra, kai nėra sudaromos galimybės vienaip ar kitaip visiems vaikams siekti tų pačių matematikos mokymosi tikslų. Idėja ar požiūris tokioje formoje retai sutinkama švietimo dokumentuose. Švietimo reformos dokumentuose kalbama apie švietimo demokratiškumo ir humaniškumo principus. Šiais principais pripažįstama, kad esama skirtingų asmens prigimtinių savybių, poreikių ir polinkių, jų nekonkretizuojant (Bruzgelevičienė 2008, 145 pusl.).
Atvirai apie matematinių gabumų vaidmenį rengiant matematikos programą rašoma 1994 metais publikuotos matematikos programos komentaruose (LR ŠMM 1994, 84 pusl.). P. Gudynas ir A. Zabulionis ten rašo, cituojame:
,,Ištirta, kad matematika yra viena iš selektyviausių mokyklinių disciplinų. Gabiųjų tradicinei matematikai būna, deja, mažuma. Toks moksleivių suskirstymas, savo ruožtu, labai neigiamai veikia visą mokymosi procesą. Visos mokymo sistemos susiduria su matematikos selektyvumo problema ir įvairiai bando ją spręsti, keisdamos tiek ugdymo turinį, tiek mokymo metodus.“
Toliau komentaruose programos autoriai išskiria antrą savo vizijos tikslą – ,,sudaryti kiekvienam individui galimybę kuo plačiau vystyti savo matematinius gabumus“. Pirmasis tikslas – garantuoti matematinio išsilavinimo minimumą. Toliau komentaruose šie tikslai siūlomi įgyvendinti skaidant matematikos turinį ir derinant tuo metu aktualų ugdymo turinio diferencijavimą ir profiliavimą. Vėliau šį matematikos turinio skaidymą baigiamosiose klasėse realizavo bendrasis kursas ir išplėstinis kursas. Tai požiūrio, kad mokyklinę matematiką gali suprasti tik ,,matematinius gabumus“ turintys mokiniai, pasireiškimas švietimo sistemoje.
Pasvirasis šriftas citatoje mūsų. Juo atkreipiame dėmesį į P. Gudyno ir A. Zabulionio požiūrį, kad gabumų reikalingumas sėkmingam matematikos mokymuisi mokykloje yra matematikos savybė, o ne mūsų galvojimo savybė. Toks požiūris reiškia, kad mokykloje tariamai negalima išvengti skirtingų lygių matematikos mokymo. Toks požiūris buvo ir galbūt tebėra populiarus pasaulyje. Tačiau jau keli dešimtmečiai jis traktuojamas kaip vienas iš švietimo mitų, kuriuo vis dar tikima dėl tradicijos. Naujausi smegenų veiklos tyrimai rodo, kad mokinio smegenys adaptuojasi ir vystosi reaguodami į jiems sudarytas mokymosi galimybes (Boaler 2020a).
Skirtingose pasaulio šalyse požiūris į mokinių grupavimą klasėse pagal jų matematinius gebėjimus yra skirtingas (Boaler 2020b). Vienose šalyse tai yra tradicija (Anglija), o kitose šalyse tai yra nepriimtina (Suomija). Mokinių pasiekimų tarptautinių tyrimų (TIMSS) antrinė analizė rodo, kad aukščiausi mokinių pasiekimai yra tose šalyse, kuriose mokiniai grupuojami pagal matematinius gebėjimus mažiausiai ir vėliausiai. Kai kuriose šalyse vykdyti tyrimai lyginant tos pačios šalies mokinius grupavimo poveikio pasiekimams aspektu (Anglija, Australija, Izraelis ir JAV). Bendras rezultatas – grupuojamų mokinių pasiekimai vidutiniškai yra žemesni už negrupuojamų. Kitas efektas – socialinės nelygybės gilėjimas vykdant grupavimą.
Kaip minėta, mokinių grupavimas pagal matematinius gebėjimus yra vienas penktosios sisteminės problemos pasireiškimas švietimo sistemoje. Bet ne vienintelis. Teigiant, kad ,,negabių matematikai“ mokinių negalima išmokyti matematikos, nusiimama nuo savęs atsakomybė už tų vaikų tik minimalų matematinį išsilavinimą. Tuo pačiu prarandame paskatą ieškoti būdų kaip pagerinti ,,negabių matematikai“ mokinių mokymą. Tai paaiškina, kodėl Lietuvoje nėra aktyviai dalyvaujančių tarptautiniuose matematikos mokymo tyrimuose.
Šešta sisteminė problema – idėja sureikšminti ugdymo filosofijos, švietimo ideologijos, ugdymo turinio sampratos kryptį, suteikiant jai įstatymo statusą. Pavyzdys – LR ŠMM įsakymas dėl pradinio, pagrindinio ir vidurinio ugdymo programų aprašo patvirtinimo 2015 m. gruodžio 21 d. Nr. V-1309. Šio įsakymo skyrelio ,,Bendrojo ugdymo kaitos kryptys“ 9 punktas teigia: ,,Nuosekliai tęsiant humanistinės ugdymo paradigmos ir socialinio konstruktyvizmo principų ugdyme įtvirtinimą, tęsiamos aktualios bendrojo ugdymo tobulinimo kryptys“, kurios toliau išvardijamos. Kokios to pasekmės?
Dabartinis bendrųjų programų atnaujinimas vyko vadovaujantis taip pat ŠMM įsakymu patvirtintomis Gairėmis (2019). Šios gairės cituoja minėtą aprašą ir formuluoją naują reikalavimą. Būtent, Gairių 40 skyriuje rašoma: ,,Dalyko turinys sudaro sąlygas ugdytis kompetencijas, bendrojoje programoje jis pateikiamas nuosekliai, atsižvelgiant į atitinkamo mokslo akademinę logiką, metodologiją ir paisant mokinių amžiaus tarpsnio ypatumų.” Šis reikalavimas išreiškia akademinio racionalizmo sampratą į ugdymo turinį ir jos nuostatos gali prieštarauti humanistinės ugdymo paradigmos ir socialinio konstruktyvizmo principams. Galbūt prieštaravimas nėra aktualus tol, kol Gairių nuostatos nėra privalomos bendrųjų programų atnaujintojams.
2020 birželio 23 d. susitikime su matematikos programos atnaujintojais atkreipėme jų dėmesį į Gairių 40 skyriuje formuluojamas programos kokybės nuostatas: nuoseklumą, sutelktumą ir reiklumą (Norvaiša 2020a). Reakcijų į šias rekomendacijas nebuvo. Programa atnaujinta pagal 2015 metų aprašo reikalavimus. Diskusija dėl požiūrių skirtumo nevyko. Vienas požiūris turi reikšmingai aukštesnį ministro įsakymo statusą.
Mokyklinės matematikos vizija:
matematinis raštingumas ar matematika kaip mąstymo būdas?
Kalbant apie matematikos mokymo politiką ateičiai reikalinga sutarti dėl vizijos: dėl kokių priežasčių mokome matematiką mokykloje; kokių tikslų siekiame mokydami matematikos; kokio matematinio išsilavinimo siekiame. Kol tokio sutarimo nėra, neturime matematikos mokymo turinio vertinimo kriterijų.
Kokią mokyklinės matematikos viziją įgyvendiname pastaruosius 30 metų? Įvade rašėme, kad 1994 m. buvo publikuoti trys matematikos programos projektai. Pagal vieną iš jų, kurio autoriais buvo P. Gudynas ir A. Zabulionis, vėliau buvo mokoma matematika mokyklose. Tuo pačiu mūsų mokyklos perėmė autorių pasiūlytą mokyklinės matematikos viziją. Jos esmę išreiškia du matematikos mokymo tikslai. Pirmas tikslas – garantuoti visų visuomenės narių matematinį raštingumą. Jis reiškia matematinio išsilavinimo minimumą, apimantį gebėjimus atlikti būtiniausius aritmetinius, geometrinius, statistinius skaičiavimus, naudotis skaitmenine, simboline bei grafine informacija, vartoti skaičiuotuvus. Antras tikslas – sudaryti kiekvienam individui galimybę kuo plačiau vystyti savo matematinius gabumus. Projekto autorių siūlymu šie tikslai įgyvendinami naudojant jų pasiūlytą dalyko struktūrą, kuri iš esmės nesikeitė iki šiol. Būtent, 11-12 klasėse kursas dalinamas į bendrąjį kursą ir išplėstinį kursą, bei juos papildant profiliniais kursais.
Panašią mokyklinės matematikos viziją matome 2002 metų matematinio išsilavinimo standartuose 11-12 klasėms.
Pagal šią citatą (A.Bakonienė ir kiti 2002, 145 pusl), abu matematikos mokymo tikslai įgyvendinami ne kiekvienam mokiniui. Būtent, matematinis raštingumas – bendrajam išsilavinimui, t.y. visiems, o matematikai būdingas mąstymas ir kūrybos pradmenys tik tiems, kurie rinksis atitinkamą profesiją. Tiesa, tai tik įrašas švietimo dokumente. Realybė, kaip žinia, yra sudėtingesnė ir įvairesnė.
Bet ir švietimo dokumentai turėtų atrodyti pagrįstais. Pagal numatytą dalyko struktūrą, tie mokiniai, kurie nesimoko pagal išplėstinį kursą, gali neturėti galimybės plėtoti savo gabumus matematikai kaip numatoma pradinėje matematikos mokymo vizijoje. Nebent, suteikdami tik minimalų matematinį išsilavinimą iki 10 klasės, mes galime tiksliai pasakyti, kuris mokinys turi matematinių gabumų, o kuris jų neturi. Taip pat, dar besimokydami 10 klasėje mokiniai turėtų numatyti į kokias specialybes jie stos po dviejų metų. Toks planas mums neatrodo išmintingu.
Reikėtų prisiminti, kad 1994 metų matematikos programos projekto autoriai P. Gudynas ir A. Zabulionis apibūdino mokyklinės matematikos kryptį – Matematiką visiems, su nuoroda į Tarptautinį matematinio švietimo kongresą ICME-5 įvykusį 1984 metais. P. Gudynas ir A. Zabulionis rašo, kad minėtos krypties idėjinį pagrindą sudaro jų dviem tikslais išreiškiama vizija. Taip nėra. Teisingiau būtų sakyti, kad tuo metu Matematika visiems buvo paieškų objektas: suformuoti tokią matematikos programą, kuri būtų prasminga, kokybiška mokytis visiems, nereikalaujanti atskiros programos elitinei mokinių grupei. Maždaug po dešimtmečio bent vienas tokios programos variantas pradėjo rastis. Kaip rodo aukščiau cituojamas 2002 metų švietimo dokumentas, mes tokios programos neplanavome ir iki šiol neplanuojame turėti.
Vėliau, P. Gudyno ir A. Zabulionio pateiktą Matematiką visiems apibūdinimą, švietimo reformos apžvalgininkai interpretavo kaip Vakarų šalyse įsitvirtinusį faktą (Bruzgelevičienė 2008, 145 pusl.):
Priešingai mūsų matematikos mokymo reformos krypčiai, Vakarų šalyse intensyviai kuriamos matematikos programos, kurios visiems mokiniams siūlo aukšto lygio matematinį išsilavinimą, o ne minimalų. Tokiai turinio sampratai iš tikro prasminga naudoti frazę Matematika visiems. Kaip pavyzdį programos atitinkančios mokyklinės matematikos kryptį – Matematika visiems, trumpai apibūdinsime 2010 metais viešai paskelbtus Bendrus pagrindinius valstybės standartus matematikai (angl. Common core state standards for Mathematics), toliau tekste – Standartai. Standartus rengė Matematikos mokytojų nacionalinė taryba (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM), toliau tekste – MNT. MNT įkurta 1920 metais ir 2000 metais turėjo daugiau nei 100 tūkstančių narių. Organizacija atstovauja JAV ir Kanados mokyklinio ugdymo matematikos mokytojams. Tačiau joje dalyvauja universitetų matematikai, švietimo politikai, administratoriai ir tėvai. MNT misija – rengti aukščiausios kokybės matematikos mokymo visiems mokiniams viziją ir jos siekti.
Dėl kokių priežasčių mokome matematiką mokykloje? Matematika yra plati, daugiaplanė ir daugialypė intelektinės veiklos sritis ir šios veiklos rezultatai. Matematikoje svarbiausia idėjos ir jų sąvokinis įprasminimas, elegantiškos procedūros, daug ir įvairių taikymų kitose veiklos srityse. Matematinis mąstymas yra būdas suprasti visuomeninę ir gamtinę tikrovę matematinėmis sąvokomis. Svarbia matematikos mokymosi mokykloje priežastimi yra suvokimas, kad matematika yra naudinga priemonė giliai suprasti tai kas vyksta aplink mus. Gebėjimas taikyti matematines procedūras kasdieniniame gyvenime nėra pakankamas suvokti matematikos reikšmės ir galimybių.
Minėti Standartai ir juos aiškinantys tekstai yra vizija pretenduojanti atskleisti matematiką kaip mąstymo būdą mokykloje. Įgyvendinant viziją siekiama įtraukti mokinius į mokymąsi: sukurti tokią klasės aplinką, kurioje jie būtų skatinami bendrauti tarpusavyje, skatinami užduoti gerus klausimus, siekti numatyti problemų sprendimo būdus, argumentuoti siūlomus sprendimus, juos interpretuoti, kurti modelius. Taip pat norint atskleisti matematiką kaip mąstymo būdą mokiniai turi užsiimti prasminga matematine veikla, o ne tik taisyklingai naudoti procedūras. Prasminga matematinė veikla reiškia sąryšių ieškojimą, bendravimą aiškinant savo mąstymą, reiškiant savo idėjas įvairiomis formomis. Prasminga matematika yra matematinis samprotavimas, problemų sprendimas, matematinis modeliavimas, naudojimasis technologijomis. Visą tai skatina Standartai.
Kokių tikslų siekiame mokydami matematikos? Standartų tikslas yra suteikti kokybišką išsilavinimą visiems mokiniams. Standartų turinys išreiškia išsilavinimo kokybę. Standartuose kiekvienai klasei išvardinamos svarbiausios sąvokos, formuluojama ką mokinys turi suprasti ir gebėti atlikti su sąvokomis. Kaip konkrečiai įgyvendinami Standartai sprendžia valstija ar šalis, kuri siekia panaudoti Standartus. Tačiau, MNT parengė rekomendacijas (Principals and Standards for School Mathematics, 2000), toliau tekste – Principai, skirtas matematikos mokytojams, mokyklų vadovams, vadovėlių autoriams, programų rengėjams, matematikos mokytojų rengėjams, švietimo politikams. Principai pagrįsti tikėjimu, kad visi mokiniai turėtų galimybę mokytis prasmingą ir kokybišką matematiką. Principai argumentuoja tokio tikslo svarbą ir apibūdina kelius kuriais tikslas pasiekiamas.
Principai atspindi įvairių šaltinių indėlį. Matematikos mokymo tyrimai yra bene svarbiausias šaltinis. Jais remtasi, kai formuluojami siūlymai ir teiginiai apie tai kas įmanoma atitinkamo amžiaus mokiniams esant išpildytoms tam tikroms pedagoginėms sąlygoms. Taip pat principai atspindi visuomenės poreikį matematiniam raštingumui, ankstesnes matematikos mokymo praktikas, mokytojų matematikos dėstytojų, matematikų ir visuomenės vertybes bei lūkesčius. Principuose naudojami klasės veiklos pavyzdžiai, mokinių darbai ir epizodai iliustruojantys tai, kas aiškinama.
Šiek tiek plačiau Principai apibūdinti Norvaiša (2022c). Taip pat, ten yra išversti Standartai pirmai ir aštuntai klasėms.
Pirmuoju matematikos mokymo politikos uždaviniu turėtų būti matematikos mokymo vizijos pasirinkimas. Dabar vis dar įgyvendiname švietimo reformos pradžioje pasirinktą matematinio raštingumo daugumai viziją. Kaip galėtų atrodyti matematikos kaip mąstymo būdo programa?
Matematinę kompetenciją (išsilavinimą) sudaro dvi dalys: žinojimas (supratimas) ir veikla. Žinojimas tai faktai, procedūros ir sąvokinis supratimas. Sąvokinis supratimas yra gebėjimas pagrįsti naudojamas procedūras. Standartai išskiria penkias turinio sritis: skaičiai ir operacijos, algebra, geometrija, matavimai, bei duomenų analizė ir tikimybė. Veikla tai žinojimo įveiklinimas, gebėjimas naudoti žinias naujuose kontekstuose. Standartai išskiria penkias veiklos (procesų) dedamąsias: matematinis samprotavimas, problemų sprendimas, komunikavimas, sąryšiai bei reprezentacijos. Visa tai pradedama nuo ikimokyklinio amžiaus ir baigiama 12 klase.
Suformuluosime dvi mokyklinės matematikos vizijas: MR (matematinis raštingumas) ir MMB (matematika kaip mąstymo būdas).
MR: minimalus matematinis išsilavinimas daugumai ir aukštesnis matematinis išsilavinimas mažumai
MMB: matematikos esmines savybes atskleidžiantis matematinis lavinimasis visiems
Tai telegrafiniu stiliumi suformuluotos dvi mokyklinės matematikos vizijos aptartos šiame skyrelyje. MR atitinka tai, ką realiai turime ir galime toliau turėti be ypatingų pastangų. MMB yra iššūkis visuomenei, ne tik matematikos mokytojų bendruomenei. Todėl svarbu suprasti skirtumus tarp šių vizijų. MR reiškia mokinių grupavimą pagal gebėjimus, oficialų ir neoficialų. MMB reiškia grupavimo atsisakymą ir bendro lygio kėlimą visiems. Kadangi matematiniam samprotavimui ugdyti būtina pradėti nuo mažens, tai pagrindinis vizijų skirtumas prasideda nuo ikimokyklinio ir pradinio ugdymo. Pasirinkus MMB reikėtų milžiniškų pastangų išjudinti tai, kas susiformavo per keletą dešimtmečių pradiniame ugdyme ir toliau. Be abejo, čia kalbame apie idealizuotus apibūdinimus. Realiai viskas gali vykti kitaip. Bet, pasirinkus MMB, svarbu būtų judėjimas ir jo kryptis.
Pasirinkus MMB, sunkiausia problema būtų pakankama matematikos mokytojų kvalifikacija ir geranoriškumas siekti pokyčių. Tam reikėtų, kad jie labai gerai suprastų pasirinkimo prasmę ir jam pritartų. Klausimas, kiek tai realu mūsų šalyje? Reikia atsižvelgti ir į besikeičiantį žmonių požiūrį į vaikų charakterio ugdymą, į norą matyti mokyklą vieta, kurioje gerai praleidžiamas laikas, o ne dirbama. Be to, reikia kurti iš principo naujus matematikos vadovėlius, net ir turint tokių pavyzdžių.
Kokį mechanizmą naudoti nusprendžiant matematikos mokymo tikslą? Darbo grupės balsavimu. Kas sudaro ir skiria darbo grupę? Interesų grupių atstovai?
Ar matematikos mokymo tikslai Lietuvoje turi nacionalinę svarbą? Jei taip, tai gal verta matematikos mokymo tikslus tvirtinti nacionaliniu lygmeniu (Seimo, Prezidento)? Ar yra kitų šalių pavyzdžių?
Mokytojo lygmenyje tikslo pasirinkimas – postmodernizmo pasireiškimas?
Matematikos mokymas švietimo kontekste
Matematikos mokymas yra formaliojo švietimo dalimi, o šis turi savo tikslus. Todėl matematikos mokymo tikslų aptarimą verta formuluoti bendrųjų mokymo turinio tikslų kontekste. Pastaruosius šimtą metų mokymą formavo keturi skirtingi tikslai, atitinkantys keturias skirtingas mokymo turinio sampratas: akademinį racionalizmą, orientavimasis į besimokantįjį (learner-centrism), socialinis efektyvumas ir socialinis rekonstrukcionizmas (Deng 2020, 3 skyrius). Pagrindiniai švietimo tikslai:
- Akademinio racionalizmo atstovai pagrindiniu mokymo tikslu laiko intelektinį vystymąsi skatinant mokinius įgyti specifinių žinių, gebėjimų ir mąstymo metodų, kurie naudojami akademinėje disciplinoje kurti naujas žinias.
- Orientavimosi į besimokantįjį atstovai apibrėžia pagrindinį mokymosi tikslą kaip mokinių potencialo ir savirealizacijos skatinimą, suteikiant kiekvienam mokiniui galimybę daryti atradimus klasėje ir platesniame mokymosi kontekste.
- Socialinio efektyvumo šalininkams pagrindinis mokyklos tikslas yra patenkinti esamus ir būsimus visuomenės darbo jėgos poreikius, mokant jaunimą tapti prisidedančiais visuomenės nariais.
- Socialinio rekonstrukcionizmo šalininkams mokykla pirmiausia yra priemonė socialinėms problemoms ir klausimams (nelygybė, neteisybė, skurdas ir t.t.) spręsti, ir socialinei reformai bei rekonstrukcijai skatinti.
Mūsų švietime dominuojančia ir net oficialiai (įstatymu) remiama yra orientavimosi į besimokantįjį ideologija. Dažniausiai ji vadinama humanizmu – vaikas pats konstruoja žinias, mokytojas kuria tam aplinką. Tam tikrą įtaką mūsų švietimo sistemai turi socialinis efektyvumas ir rekonstrukcionizmas. Akademinis racionalizmas nevaidina bent kiek rimtesnį vaidmenį ir paprastai netiksliai interpretuojamas.
Pirma, humanizmo dominavimas pasireiškia modernių mokymo metodų sureikšminimu mokomojo dalyko turinio supratimo sąskaita. Matematikos mokymas šiuo atžvilgiu labiausiai nukentėjęs dalykas. Pavyzdžiui, metodai grindžiami savarankiškais žinių atradimais verčia atsisakyti esminių matematikos savybių. Rezultatas – matematinių formulių ir procedūrų mokymasis jų nesuprantant. Vaizdžiai kalbant, matematikos mokymas atitinka 12 metų solfedžio mokymą mokant muzikos. Kalbėjimas apie kompetencijų ugdymą tokiu atveju panašus į kalbėjimą apie įvairius muzikos stilius jos niekada negirdėjus. Kalbant apie ugdymo filosofiją, tai mums praverstų kryptis, kurią propaguoja Gert J.J. Biesta. Jo mintys apie naują mokytojo vaidmenį klasėje (Biesta 2017). Jos reiškia humanizmo ir tradicinės ideologijų supriešinimo įveikimą aukštesniame lygmenyje. Humanizmo ideologija atitinka MR viziją.
Antra, akademinis racionalizmas, kaip jis tradiciškai suprantamas (absoliutinant akademinę discipliną), yra atgyvenęs. Mokomasis dalykas neturėtų būti tik supaprastinta akademinė disciplina. Faktiškai mokomasis dalykas turėtų būti kuriamas iš naujo atsižvelgiant į akademinėje disciplinoje dominuojantį mąstymą ir į vaiko gebėjimų raidą (Wu 2021). Einant šiuo keliu mokytojų rengime susiduriame su mums nauja sritimi – dalyko turinio žinių pedagogika (pedagogical content knowledge pagal Lee S. Shulman. Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. 1986). Šia kryptimi Michael F.D. Young prieš dešimtmetį inicijavo judėjimą link “knowledge-led curriculum”. Atnaujinta akademinio racionalizmo ideologija atitinka MMB viziją.
Siūlymas būtų nedėti visų kiaušinių į vieną krepšį, t.y. pasirinkti ,,valstybinę” švietimo ideologija. Mes gerokai daugiau laimėtume, jei sudarytume sąlygas edukologams dirbti vadovaujantis skirtingomis ideologijomis.
Žinių sociologijoje nagrinėjamas požiūris į žinių vaidmenį mokymo turinyje, kuris labai panašus atnaujintai akademinio racionalizmo koncepcijai. Michael Young, Johan Muller ir jų bendraminčiai žinių sociologijos kryptyje, vadinamoje socialiniu realizmu (social realism), nagrinėjo žinių problematiką mokymo turinyje (curriculum). Young‘as (2013) tvirtino, kad mokymo turinio teorija yra krizinėje situacijoje, nes žinios prarado savo vietą švietime. Pastarojo dešimtmečio mokslininkai diskutavimo klausimą, kaip grąžinti žinias atgal į mokymo turinį.
Young ir Muller (2010) pasiūlė priešingų tendencijų švietime modelį. Jį sudaro trys ateities scenarijai švietime: du vyraujantys antagonistiniai scenarijai ir vienas scenarijus atsirandantis kaip tarpinis, palankus ateičiai. Trys švietimo scenarijai apibrėžiami pagal tai, kokios ribos (boundaries) skiria mokyklines žinias nuo kasdieninių žinių ir mokyklinius dalykus (school subjects) vieną nuo kito.
1 švietimo scenarijus: ribos duotos ir fiksuotos – švietimas siejamas su ,,nepakankamai socializuota“ žinių samprata. Tai reiškia, kad žinių rinkinius sudaro verifikuojami teiginiai ir jų testavimo metodai. Tai tradicinis akademinę formą turintis žinių turinys, perteikiantis akademinio dalyko žinias (Deng 2020). Matematikos atveju sovietinio tipo mokyklinės matematikos turinys grindžiamas tiksliomis sąvokomis ir matematiniu įrodymu, nesirūpinant jos prieinamumu visiems.
2 švietimo scenarijus: ribų nėra – švietimas siejamas su ,,per daug socializuota“ žinių samprata. Reiškia teiginių verifikuojamumo pobūdžio menkinimą, o epistemologiniu klausimu yra ,,kieno žinios“ ir savininko identifikavimu. Tai kompetencijomis ar gebėjimais grįsta programa ugdanti bendrąsias kompetencijas, naudoja konstruktyvistinę pedagogiką, orientuota į besimokantįjį, o mokytojas kuria mokymosi aplinką (Deng 2020). Matematika Lietuvos atveju suteikia minimalų matematinį išsilavinimą, orientuota į procedūrų taikymą realiame gyvenime ir didelį kiekį standartinių užduočių atlikimą.
3 švietimo scenarijus: ribų palaikymas prieš jas kertant, dvejopas žinių statusas – jų kūrimas ir įsigijimas. Žinios nėra duotos ir fiksuotos, jos yra paneigiamos ir keičiamos diskutuojant ar tyrinėjant. Geriausiai išreiškiama žiniomis grįstu mokymo turiniu visiems mokiniams suteikianti prieigą prie visuminių (integruotų) žinių (powerfull knowledge) gaunamų iš dalyko žinių. Matematika grindžiama tiksliais apibrėžimais ir matematiniu įrodymu, kaip ir pirmame scenarijuje, bet atsižvelgiant į vaiko kognityvinius gebėjimus, t.y. kokybiška matematika visiems, taikomoji matematika ir matematinis raštingumas.
Pastarąjį švietimo scenarijų galima būtų laikyti atnaujintu akademiniu racionalizmu.
Išvados
Telegrafiniu stiliumi:
- Matematinio raštingumo kaip minimalaus matematinio išsilavinimo įgyvendinimas yra mokymosi paradigmos edukologijoje siekio ir grupavimo pagal gebėjimus rezultatas.
- Matematikos kaip mąstymo būdo vizijos įgyvendinimas reikalautų paradigmų supriešinimo edukologijoje atsisakymo ir akademinio racionalizmo ideologijos matematikos mokyme.
Išsamiau:
Ką turime? Nuo švietimo reformos pradžios prasidėjo matematikos mokymo orientavimas į minimalų matematinį išsilavinimą, matematikos pamokų skaičiaus mažinimą ir matematikos turinio integravimas su tokiais dalykais kaip ekonomika ir informatika. Šis procesas tęsiasi ir dabar. Matematikos mokymo turinys orientuotas į matematikos procedūrų mokymąsi ir jų taikymą kasdieniniame gyvenime. Supratimas reiškia gebėjimą taisyklingai atlikti procedūrą. Vadovėliuose vengiama tikslių apibrėžimų ir įrodinėjimo praktikos. Užduotims spręsti pakanka pritaikyti žinomą procedūrą ir reikalaujama tik atsakymo be jo pagrindimo. Valstybinių brandos egzaminų rezultatai turi tendenciją prastėti. Tikėtina, kad matematikos mokytojų kvalifikacija palaipsniui žemėja, nes nėra poreikio ir iššūkių ją kelti.
Kodėl turime? Į minimalų matematinį išsilavinimą orientavo švietimo reformos vykdoma ugdymo turinio kaita. Matematikai lemtingas šios kaitos idėjas galima sugrupuoti taip:
- Nacionalinis ugdymo turinio diskursas skatinantis perėjimą nuo mokymo arba modernizmo paradigmos prie mokymosi arba postmodernizmo paradigmos (Nagrockaitė 2015).
- Nacionalinė matematikos didaktika neįvertina mokyklinės matematikos turinio svarbos ir neurodidaktikos pasiekimų svarbos mokymo metodams, pervertindama konstruktivizmo idėjas matematikos mokymo teorijoje. Remia į matematinį raštingumą orientuotą matematikos mokymo tikslą, kuriame dominuoja procedūrų mokymasis ir jų taikymas kasdieniniame gyvenime. (Sičiūnienė 2010)
- Matematikų bendruomenėje populiarus įsitikinimas, kad matematikos mokyti prasminga tik matematikai gabius vaikus. Tai paaiškina, kodėl Lietuvos mokslininkai nedalyvauja tarptautinėje matematikos mokymo tyrimų veikloje. Tuo būdu esama matematikos mokymo situacija vertinama neadekvačiai, neatpažįstamas jos problemiškumas žinomas kitų šalių patirtyse. Ignoruojamas pasaulyje dominuojantis posūkis į matematinio samprotavimo ugdymą.
Ką galime turėti ateityje? Reikėtų sutarti dėl esamos padėties vertinimo, dėl tokią padėtį formavusių priežasčių ir dėl matematikos mokymo politikos gairių ateičiai. Pirmas klausimas: Ar pagrindinės interesų grupės pritaria esamai padėčiai išlaikant matematikos mokymo orientaciją į minimalų išsilavinimą? Jei ne, svarstyti ar skaidome matematikos turinį į skirtingo lygio dalis, ar siekiame kokybiškos matematikos visiems? Kokybiškam matematikos mokymui visiems būtina sąlyga – jis turi prasidėti nuo ikimokyklinio amžiaus. Konkrečios priemonės:
- Matematikos mokymo politiką reikia rengti viešai. Rengime siūlyti dalyvauti visų su matematikos mokymu susijusių institucijų atstovus. Apie diskusijas ir sprendimus nuolat informuoti visuomenę, galbūt tam tikslui sukuriant interneto svetainę.
- Būtina įsitraukti į tarptautinės matematikos mokymo tyrimų veiklą. Tokiai veiklai suteikti Nacionalinės mokslo programos statusą.
- Organizuoti naujos kartos matematikos mokytojų rengimą ir esamų mokytojų kvalifikacijos kėlimą sudarant tokiai veiklai būtinas sąlygas.
- Rengti naujos kartos matematikos mokymo programą, metodines priemones ir vertinimo sistemą.
Literatūra
A.Bakonienė ir kiti (2002). Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendrosios programos ir išsilavinimo standartai XI-XII klasėms. Vilnius.
E.Bakonis, D. Survutaitė, B. Šetkus (2022). Edukacijos tyrimais grįstos švietimo politikos formavimas. Medžiaga diskusijai. NŠA.
D.L. Ball and H. Bass (2003). Making Mathematics Reasonable in School. In J.Kilpatrick et al (Eds): A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics. NCTM, 27-44.
G.J.J. Biesta (2017). The Rediscovery of Teaching. Routledge.
J.Boaler (2020a). Unlocking Children‘s Math Potential: 5 Research Results to Transform Math Learning. https://www.parentsleague.org/blog/unlocking-children‘s-math-potential
J.Boaler (2020b). Ability Grouping in Mathematical Classrooms. In: S. Lerman ,,Encyclopedia of Mathematics Education. Second Edition”. Springer, 1-5.
R.Bruzgelevičienė (2008). Lietuvos švietimo kūrimas 1988-1997. Vilnius
Busho komisija (2008). The Final Report of the National Mathematics Advisory Panel. U.S. Department of Education.
D.Christodoulou (2014). Seven Myths about Education. The Curriculum Centre. (K. Tamelytės parengta ,,Mitai apie švietimą: faktai trukdo suprasti? Šventos švietimo sistemos karvės. Vilnius, 2019)
G.Cibulskas (2022). Egzaminai – žudikai. Portalas laikmetis.lt 2022-07-11.
P.Damerow, M.E. Dunkley, B.F. Nebres and B. Werry (1984). Mathematics for All. Report and papers presented at the ICME-5. UNESCO
Z.Deng (2020). Knowledge, Content, Curriculum and Didaktik. Beyond Social Realism. Routledge, London.
B.Dobrovolskis (2019). Reformų kelyje. Pedagogika, t. 135, Nr. 3, p. 257-264.
P.Ernest (2020). Policy Debates in Mathematics Education. In: S. Lerman ,,Encyclopedia of Mathematics Education. Second Edition”. Springer, 658-663.
Gairės (2019). Bendrųjų programų atnaujinimo gairės. NŠA, Vilnius.
D.C. Geary (2002). Principles of evolutionary educational psychology. Learning and Individual Differences, 12, 317-345.
J.Hiebert (2003). What Research Says About the NCTM Standards. In J.Kilpatrick et al (Eds): A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics. NCTM, 5-23.
Ž. Jackūnas 1993. Ugdymo integracijos metmenys. Lietuvos švietimo reformos gairės, Vilnius, 86—101 pusl.
Ž. Jackūnas 2006. Lietuvos švietimo kaitos linkmės (1988—2005). Kultūros, filosofijos ir meno institutas.
J.Kilpatrick, W.G. Martin, D. Schifter (Eds.) (2003). A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics. NCTM.
P.A. Kirschner, J. Sweller, R.E. Clark (2006). Why Minimal Guidance During Instruction Does Not Work: An Analysis of the Failure of Constructivist, Discovery, Problem-Based Experiential, and Inquiry-Based Teaching. Educational Psychologist, 41:2, 75-86.
Komisijos, sudarytos pagal Lietuvos Respublikos švietimo, mokslo ir sporto ministrės 2022 m. liepos 7 d. įsakymą Nr. V-1131, 2022 m. matematikos valstybinio brandos egzamino rezultatų analizei atlikti, tyrimo išvados.
LR ŠMM (1994). Matematikos programos projektai. Vilnius.
Š. Nagrockaitė (2015). Lietuvos bendrojo ugdymo mokyklos ugdymo turinio samprata: diskurso analizė. Daktaro disertacija. Vilnius.
NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. National Council of Teachers of Mathematics.
M.Niss (2014). Mathematics and mathematics education policy. In T. Dreyfus, M.N. Fied (editors). Mathematics & Mathematics Education: Searching for Common Ground. Springer, 261-276.
R.Norvaiša ir kiti (2013). Matematinio ugdymo bendrojo ugdymo mokykloje gairės. http://mif.vu.lt/lmma/wp-content/uploads/2013/02/matematinio_ugdymo_gaires4.pdf
R.Norvaiša (2019). Why do we teach mathematics that we do? The case of Lithuanian school mathematics. Lietuvos matematikos rinkinys, vol. 60, 21-26.
R.Norvaiša (2020a). Mokyklinės matematikos programa. Pristatymas konsultacijoje su matematikos programą atnaujinančia grupe. https://norvaisa.lt/wp-content/uploads/2020/09/matematiku_grupes-konsultacijos06-23.pdf
R.Norvaiša (2020b). Mokyklinė matematika ir brandos egzamino rezultatai. Pasitarimas ŠMSM dėl matematikos mokymosi pasiekimų gerinimo. 2020 rugpjūčio 14 d. https://norvaisa.lt/wp-content/uploads/2020/08/pristatymas-1.pdf
R.Norvaiša ir kiti (2022a). Atnaujintos matematikos bendrosios programos projekto recenzija. https://norvaisa.lt/matematika/mokykline-matematika/atnaujintos-matematikos-bendrosios-programos-projekto-recenzija-ir-atsakymas-i-ja/
R.Norvaiša (2022b). Matematikos mokymo ir švietimo politikos aspektai Lietuvoje. Pranešimas LMD63.
R.Norvaiša (2022c). Matematikos mokymo tendencijos Lietuvoje ir pasaulyje.
W.H. Schmidt et al. (2022). When practice meets policy in mathematics education: A 19 country/jurisdiction case study. OECD Education Working Papers No. 268. 4 March 2022.
A.H. Schoenfeld (2004). The Math Wars. Educational Policy, vol. 18, No. 1, 253-286.
V.Sičiūnienė (2010). Matematikos didaktika. Vilnius.
J.Šiugždinienė: matematikos brandos egzamino rezultatai – daugybę metų nepriimtų sprendimų pasekmė. Spaudos pranešimas, 2022-07-12.
M.F.D. Young (2013). Overcoming the crisis in curriculum theory: a knowledge-based approach. J. Curriculum Studies, vol. 45, No 2, 101-118.
M.F.D. Young ir J. Muller (2010). Three educational scenarios for the future: Lessons from the sociology of knowledge. European Journal of Education, 45(1), 11–27
H.-H. Wu (2021). Teaching school mathematics to prospective teachers. European Mathematical Society Magazine, v. 122, 39-45.