Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12?

Matematikos įvairenybės Add comments

Sau 222014

Pretekstu šiam įrašui yra dviejų fizikų YouTube paskelbtas video pristatymas pavadintas ASTOUNDING, kuriame jie bando pagrįsti ir paaiškinti lygybę

$1+2+3+4+.. = -\frac{1}{12}.$ (1)

Nuorodą į šį video su trumpu ,,paaiškinimu“ išplatino ir mūsų internetinė žiniasklaida (žr. technologijos.lt, DELFI). Tačiau video pristatymas ir jo ,,paaiškinimas“ mūsų žiniasklaidoje pateikti taip lyg nurodyta lygybė teisinga ir samprotavimuose klaidų nėra. Nenuostabu, kad gerai matematikos neišmanantis skaitytojas suabejoja savo matematikos žiniomis ir dar labiau įsitvirtina sau mitą, kad matematika yra keista žinių sritis, kurią gali suprasti tik ypatingus (mistinius) gebėjimus turintys žmonės. Nemanau, kad taip siekiama ką nors klaidinti. Tą rodo ir žiniasklaidos tekstų pavadinimai. Internetinis portalas technologijos.lt savo teksto pavadinime panaudojo terminą matemagika. DELFI savo tekstą pavadino matematine abrakadabra. Paprasčiausiai visas šis reikalas atskleidžia mūsų visuomenės matematinį neišprusimą ir mažų mažiausiai matematikos populiarinimui tai nepadeda.

Matematiškai tvarkingas pristatymas galėtų būti formuluojamas taip: Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12? Toks klausimas nepretenduoja paaiškinti, kodėl -1/12 yra lygus reiškiniui1+2+3+4+…, arba yra šio reiškinio suma. Lygybė yra prasminga tik tarp dviejų vienareikšmiškai apibrėžtų objektų. Tuo tarpu reiškinio 1+2+3+4+… prasmė nėra akivaizdi; paprastai apibrėžiama arba numanoma iš konteksto. Matematikoje reiškinys 1+2+3+4+… vadinamas formalia begaline eilute. Žodis ,,formali“ vartojamas tada, kai begalinei eilutei nėra priskirta kokia nors reikšmė arba ji nėra žinoma. Šiuolaikinėje matematikoje paprastai su begaline eilute siejamas skaičius yra jos dalinių sumų riba, jei tokia egzistuoja, ir toks skaičius vadinamas begalinės eilutės suma. Šia, standartine prasme, teiginys (1), be abejonės, yra neteisingas. Tačiau yra prasmė kalbėti apie reikšmės priskirimą 1+2+3+4+…, kuria nors nestandartine prasme. Tokių prasmių yra keletas (tam tikros funkcijos analizinis pratęsimas arba diverguojančių eilučių sumavimo metodas) ir jos iš tikro mūsų nagrinėjamam reiškiniui1+2+3+4+… priskiria reikšmę -1/12. Bet tai yra kas kita negu tvirtinti ,,begalinės sumos“ lygybę konkrečiam skaičiui, t.y. (1).

Paaiškinsiu išsamiau. Tarkime, kad $\mathbb N=\{1,2,3,..\}$ yra natūraliųjų skaičių aibė ir $(a_n)_{n\in\mathbb N}=(a_1,a_2,a_3,..)$ yra skaičių seka. Priminsiu, kad skaičių seka yra kuria nors tvarka sunumeruoti skaičiai. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibės $\mathbb N$ elementai, sunumeruoti didėjimo tvarka, sudaro seką $(1,2,3,..)$ , kurios bendrasis narys $a_n=n$ kiekvienam $n\in\mathbb N$ . Tiksliau, skaičių seka yra natūraliųjų skaičių aibėje apibrėžta funkcija ir jos žymėjimas $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ yra šios funkcijos reikšmių pavaizdavimas.

Skaičių sekos $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ eilutė yra šios sekos narių sumos išraiška žymima

$a_1+a_2+a_3+\cdots$ arba $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ , (2)

ir vadinama formalia eilute. Sudarykime naują seką $(S_n)_{n\in\mathbb N}$ , kurios nariais yra skaičiai

$S_1=a_1,\,S_2=a_1+a_2,\,S_3=a_1+a_2+a_3$ , … $S_n=a_1+a_2+\cdots + a_n$

vadinami sekos $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ dalinėmis sumomis. Jei egzistuoja riba (standartine prasme)

$S=\lim_{n\to\infty}S_n,$

tai sakoma, kad eilutė (2) konverguoja ir dalinių sumų riba S vadinama eilutės (2) suma. Šiuo atveju rašoma

$a_1+a_2+a_3+\cdots = S.$

Mūsų atveju, reiškinys 1+2+3+4+… yra sekos, kurios nariais yra natūralieji skaičiai išdėstyti didėjimo tvarka, formali eilutė. Šios eilutės dalinė suma yra

$S_n = 1+2+3+\cdots+n =\frac{n(n+1)}{2},$

tai yra baigtinės aritmetinės progresijos suma. Be abejonės, šių dalinių sumų riba neegzistuoja. Tokiu atveju sakoma, kad eilutė diverguoja arba eilutė nesumuojama. Taigi, standartine prasme formali eilutė 1+2+3+.. sumos neturi.

Norėdamas kaip galima greičiau pereiti prie reikalo, pradėsiu nuo gerokai bendresnių faktų priminimo. Jei realusis skaičius $s>1$ , tai eilutė

$\zeta (s) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$ (3)

konverguoja (absoliučiai) ir šios eilutės suma apibrėžia Eulerio funkciją $\zeta\colon\,(1,\infty)\to\mathbb R$ . Kai $s=2$ , Eulerio funkcijos reikšmė yra $\pi^2/6$ , t.y. teisinga lygybė

$\zeta (2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots =\frac{\pi^2}{6}$ .

Pastebėkime, kad atveju $s=-1$ (3) lygybės dešinėje pusėje esanti išraiška tampa 1+2+3+…. Taigi, nors ši formali eilutė diverguoja, galima bandyti ,,pratęsti“ funkcijos $\zeta$ apibrėžimą į sritį, kuriai priklauso -1. Klausimas: Kokias Eulerio funkcijos savybes norėtume išsaugoti ,,pratęstoje“ funkcijoje. Matematikoje ,,geriausiomis“ funkcijomis laikomos tos, kurios yra ne tik pačios diferencijuojamos, bet jų išvestinės yra diferencijuojamos, ir antrųjų išvestinių išvestinės diferencijuojamos ir t.t., sakoma, kad tokios funkcijos yra be galo daug kartų diferencijuojamos. Tokios funkcijos (su papildoma sąlyga, kad jų Tayloro eilutė konverguoja lokaliai) vadinamos analizinėmis. Jei turime funkciją $\zeta$ , apibrėžtą atvirame realiųjų skaičių intervale $(1,\infty)$ , tai funkcija $\tilde{\zeta}$ apibrėžta didesnėje srityje $U$ (pavyzdžiui, visoje kompleksinių skaičių aibėje $\mathbb C$ ir tokia, kad $\tilde{\zeta}(s)=\zeta (s)$ visiems $s\in (1,\infty)$ vadinama funkcijos $\zeta$ tęsiniu. Pasirodo, kad Eulerio funkcija $\zeta$ turi tęsinį $\tilde{\zeta}$ į visą kompleksinę plokštumą iš kurios išmestas taškas su koordinatėmis (1,0) ir funkcija $\tilde{\zeta}$ yra analizinė visoje savo apibrėžimo srityje. Be to, toks tęsinys yra vienintelis, vadinamas analiziniu tęsiniu, žymimas ta pačia raide $\zeta$ (vietoje $\tilde{\zeta}$ ) ir vadinamas (tas tęsinys) Riemanno dzeta funkcija.

Daugiau apie Riemanno dzeta funkcijos konstrukciją ir jos svarbą galima išgirsti šiame 20 min. trukmės video pristatyme: The Riemann Hypothesis.

Taigi, Bernhardas Riemannas 1859 (šiame darbe) įrodė, kad (3) formule apibrėžtą Eulerio funkciją galima pratęsti priskiriant naujas reikšmes kai $s$ yra bet kuris kompleksinis skaičius nelygus vienetui. Atskiru atveju ši funkcija turi reikšmes kai $s=0, s=-1, s=-2$ ir t.t. Be to, šios funkcijos reikšmės yra $\zeta (0)=-1/2$ , $\zeta (-1)=-1/12$ , $\zeta (-2)=0$ ir dar bendriau

$\zeta(-k)=-\frac{B_{k+1}}{k+1},$ kai $k=1,2,..$ ,

čia $B_n$ yra Bernoulli skaičiai. Turėdami Riemanno funkciją $\zeta$ galime apibrėžti formalios eilutės (3) ,,sumą“ kompleksiniams skaičiams $s=\sigma+it \not = 1$ . Tai ir yra nestandartinė formalios eilutės (3) sumos apibrėžtis kai $s\not\in (1,\infty)$ . Taigi, pagal šį apibrėžimą gauname tokias keistas lygybes

$\sum_{n=1}^{\infty}1 = 1+1+1+..=-\frac{1}{2}$ (4)

$\sum_{n=1}^{\infty}n = 1+2+3+.. =-\frac{1}{12}$ (5)

$\sum_{n=1}^{\infty}n^2 = 1+4+9+.. = 0$ (6)

$\sum_{n=1}^{\infty}n^k=1+2^k+3^k+.. = -\frac{B_{k+1}}{k+1},$ (7)

kai $k=1,2,3..$ . Standartine prasme kairėje esančios formalios eilutės diverguoja. Taigi, klausimo ,,Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12?“ atsakymas: Tai yra vienintelės analizinės funkcijos, sutampančios su Eulerio funkcija (3) intervale $(1,\infty)$ , reikšmė taške $s=-1$ . Šio įrašo pradžioje minimas ir YouTube paskelbtas fizikų pristatymas ASTOUNDING sukėlė nemažą nepasitenkinimo bangą. Pacituosiu tinklaraščio Moses supposes įrašą THE 1+2+3+…=-1/12 BONANZA, kuriame siūlomas analizinio tęsinio vaizdingas aiškinimas:

Here is analytic continuation by imperfect analogy: I have a car that can drive on many roads, but not up snow-covered mountains; I buy a tank exoskeleton for my car that I can drive my car into and now my car-tank can go everywhere my car could go and up snow-covered mountains, too. I would never say that my car can drive up snow-covered mountains, but my car-tank can. This is the idea of analytic continuation. Here, our car is a function of a complex number ${s}$ ,

$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$

which is defined only on the subset of the complex numbers where the real part of ${s}$ is ${>1}$ . We want to plug ${s=-1}$ into this formula, but have no sensical way of doing that yet so we construct a car-tank, a function ${\widehat\zeta(s)}$ which is defined on a larger region that includes ${s=-1}$ and is equal to ${\zeta}$ where both are defined. The function ${\widehat \zeta}$ is the analytic continuation of ${\zeta}$ . If we evaluate ${\widehat\zeta}$ at ${s=-1}$ we get ${-1/12}$ . The original ${\zeta}$ is not defined at ${s=-1}$ and the extension ${\widehat\zeta}$ is not defined by the formula ${\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-s}}$ around ${s=-1}$ so the best we can do is say

$\displaystyle \widehat \zeta(-1)=-1/12$

and

$\displaystyle \widehat\zeta(s)=\zeta(s)$

for values of ${s}$ with real part ${>1}$ . If we take $1+2+3+\dots$ to mean $\widehat\zeta(-1)$ , then the original statement is true, but that’s obviously not what we mean by $1+2+3+\dots$ in calculus so the uproar is completely justified. So, analytic continuation is one way to get the infinite series ${\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-s}}$ up the mountain to ${s=-1}$ without pissing everyone off. [pajuodinta mano]

Tačiau suteikiamas reikšmes (4), (5), (6) ir (7) galima paaiškinti ir be analizinio tęsinio sąvokos, naudojant diverguojančių eilučių sumavimo teoriją. Detalus paaiškinimas yra Terence Tao tinklaraščio What’s new 2010 m. balandžio 10 d. įraše The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. Naudodamasis šiuo įrašu pateiksiu tik vieną pastebėjimą. Vienas iš būdų nagrinėti diverguojančias eilutes yra jų dalinių sumų $\sum_{n=1}^Nn^k$ keitimas suglodintomis sumomis $\sum_{n=1}^{\infty}\eta (n/N)n^k$ , čia funkcija $\eta\colon\,\mathbb R^+\to\mathbb R$ turi kompaktišką apibrėžimo sritį ir nulyje lygi vienetui, $N$ yra laisvas kintamasis, gali būti natūralusis skaičius. Jei nagrinėjama pradinė eilutė konverguoja (mūsų atveju kai $k<-1$ ), tai suglodinta suma konverguoja į paradinės eilutės sumą kai $N$ neaprėžtai didėja (,,konverguoja į begalybę“). Todėl nagrinėjama suglodintų sumų asimptotinis elgesys kai $N$ neaprėžtai didėja. Terence Tao minėtame savo tinklaraščio įraše parodo tokius sąryšius:

$\sum_{n=1}^{\infty}\eta (n/N) = -\frac{1}{2}+C_{\eta,0}N + O(\frac{1}{N})$

$\sum_{n=1}^{\infty}n\eta (n/N)=-\frac{1}{12}+C_{\eta,1}N^2 +O(\frac{1}{N})$

$\sum_{n=1}^{\infty}n^2\eta (n/N)=C_{\eta,2}N^3 +O(\frac{1}{N})$

$\sum_{n=1}^{\infty}n^k\eta (n/N)=-\frac{B_{k+1}}{k+1}+C_{\eta,k}N^{k+1} +O(\frac{1}{N})$ ,

čia $k=1,2,3,..$ ir $C_{\eta,k}$ yra Archimedo daugiklis

$C_{\eta,k}:=\int_0^{\infty}x^k\eta (x)\,dx.$

Lygindami pastaruosius keturis sąryšius su (4), (5), (6) ir (7) galime pastebėti, kad analizinio tęsinio reikšmės sutampa su atitinkamų suglodintų sumų asimptotinių skleidinių pastoviaisiais nariais. Terence Tao taip pat parodo, kad toks sutapimas neatsitiktinis ir tai yra dar vienas argumentas nestandartiniam reikšmių priskirimui diverguojančioms eilutėms.

Dabar galima pasižiūrėti minėtąjį fizikų pristatymą ASTOUNDING:

Nenuostabu, kad daugelis žmonių pasipiktino tokiu aiškinimu. Kažkas panašaus būtų jei fizikos dėsnius aiškintų astrologas remdamasis savo fantazija. Šiame pristatyme daroma tipiška klaida atliekant įvairius veiksmus su diverguojančiomis eilutėmis. Tokiu būdu galima įrodyti ir nebūtinai iš esmės teisingus rezultatus, kaip šiuo atveju. Internete netruko pasirodyti nemažai pasipiktinusių žmonių tekstų. Toliau pateikiu keletą iš jų, kuriuose aiškinamos ir atitaisomos klaidos.

Astronomo Phil Plait tinklaraščio įrašas Follow up: The Infinite Series and the Mind-Blowing Result 2014 sausio 18 d.

Fiziko Dr. SkySkull tinklaraščio įrašas Infinite series: not quite as weird as some would say 2014 sausio 18 d.

Fiziko G.M. Martin tinklaraščio Of Prime Interest įrašas More Infinite Series Madness. 2014 sausio 19 d.

Evelyn Lamb tinklaraščio Roots of Unity įrašas Does 1+2+3… Really Equal -1/12? 2014 sausio 20 d.

Fiziko Luboš Motl tinklaraščio The reference frame įrašas Sum of integers and oversold common sense. 2014 sausio 18 d. Autorius rašo apie fizikinę intuiciją, kuri įgalina suteikti konkrečias reikšmes standartine prasme diverguojančioms formalioms eilutėms. Įdomūs svarstymai.

Fiziko Luboš Motl tinklaraščio The reference frame įrašas Eta function and sum of positive integers. 2014 sausio 20 d. Kita įdomi fizikinio argumento iliustracija.

Fiziko Luboš Motl tinklaraščio The reference frame įrašas A recursive evaluation of zeta of negative integers. 2014 sausio 21 d.

PS. Šio įrašo preteksu yra fizikų darbas. Dauguma mano aukščiau cituojami autoriai taip pat nėra matematikai. Tai iliustruoja liūdną faktą – matematikai mažai arba visai nesirūpina savo veiklos rezultatų aiškinimu nematematikams, deja.

PPS. Praėjus keturiems metams, 2018 sausio 13, internete susidūriau su matematiko video demaskuojančiu Numberphile video: Numberphile v. Math: the truth about 1+2+3+…=-1/12

One Response to “Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12?”

L.D. says:

2014.01.22 at 19:08

Labas vakaras.
Labai džiaugiuosi, kad Jūs pastebėjote internete pasirodžiusį filmuką ir jo sukeltą rezonansą. Turbūt, kaip Matematikui, šis filmukas sužadino įvairius jausmus, bet nepaisant to, Jūs sugebėjote išlikti ramus ir išsamiai bei analiziškai paaiškinti šią problemą, kai tuo tarpu kituose tinklaraščiuose būta ir sarkazmo – automobilio ir tanko-automobilio palyginimas, bei užbaigiantis komentaras „without pissing everyone off“. Žmonės yra skirtingi. Kiekvienas į tą patį įvykį reaguojame kitaip. Nesakau, kad „mioalter“ reagavo pernelyg aštriai. Tiesą pasakius, man patiko jo požiūris, kuris gina Matematiką. Tačiau, didesnė problema (mano nuomone) yra ta, jog dauguma žmonių nesidomi Matematika, nuo jos atsiriboja, o Matematikai įdeda per mažai pastangų, kad „mirtingiesiems“ padėtų atverti duris į šį nuostabų pasaulį. Suprantu, kad Jūsų nuomonė panaši. Taip pat nežinau ar pastebėjote, bet tas pats „YouTube“ kanalas, kuris įkėlė „ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12“ filmuką pasidalino ir kitu, man labiau patinkančiu filmuku „http://www.youtube.com/watch?v=Yexc19j3TjE“ (Why do people hate mathematics?). Nežinau ar šio kanalo autorius norėjo parodyti Matematikams, jog jiems reikia nestovėti rankų sudėjus ir paprastus žmones geriau supažindinti su Matematika, sukeldamas pasipiktinimo bangą, o po jos įkeldamas šį filmuką. O gal tai tik sutapimas.
Pabaigiant noriu pasakyti, kad pats bandžiau surasti fizikų padarytą klaidą. Tiesa, neskyriau tam daug laiko, tik pusvalandį grįžtant iš fakulteto namo. Ir su savo žiniomis bei sugebėjimais negalėjau paaiškinti kur klaida, nors buvau užtikrintas, jog ji yra. Priėjau tik vieną išvadą, jog klaida turėtų būti susijusi su eilutės konvergavimu, jog begalinei eilutei augant, jos suma negali sustoti ties viena reikšme, o ypač neigiama. Šis fizikų filmukas, bandė sugriauti mano matematinius pamatus (tai ką žinau ir tai ką jie „parodo“ filmuke – prieštaravimai), džiaugiuosi, jog nepavyko, bet gaila, jog negalėčiau savo sesei paaiškinti (analiziškai), kodėl fizikai suklydo ir kur jų klaida, nes pats tik paviršutiniškai suprantu Eulerio eilutės ir kompleksinių skaičių panaudojimą.
Tačiau, kaip bebūtų, tikiuosi, kad Jūsų tinklaraštis nesustos gyvavęs, o Matematika nebus sugriuvusi pilis, kurios pakraštiniai fortai nedirba kartu su centrine citadele.

PS. Nesistengiu kritikuoti, tačiau Jūs padarėte keletą spausdinimo klaidų:
„koverguoja ir salutinių sumų“ – aiškiai norėjote parašyti dalinių, tačiau paspaudėte s klavišą.
„(vietoje (Riemanno dzeta funkcijos ženklas)“ – čia nėra užbaigiami skliaustai, trūksta „)“
„funkcija tur reikšmes“ – turbūt norėjote parašyti „turi“

Atsakyti

Matematika kaip kultūros reiškinys

Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12?

One Response to “Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12?”

Leave a Reply Cancel reply