Link primityviosios matematikos

Šiame įraše primityvia vadinu tokią mokyklinę matematiką, kuri yra pakankama kasdieninio gyvenimo poreikiams, t.y. šios matematikos turinį apsprendžia tai, ko reikia iliustruojant gamtos ir visuomenės pažinimą mokykliniame lygmenyje. Pastaruoju metu tokia matematika dar vadinama ,,realių uždavinių“ sprendimu, matyt norint pasakyti, kad abstraktūs matematikos kontekste formuluojami ir sprendžiami uždaviniai yra nerealūs. Naujuoju pavadinimu noriu pažymėti skirtumą tarp mūsuose besiformuojančios mokyklinės matematikos ir elementariosios matematikos. Priminsiu, kad elementariosios matematikos turinį apsprendžia tai, kas matematikų bendruomenės pripažinimu yra svarbu atspindint matematikos esmę. Tuo labiau primityvioji matematika skiriasi nuo moderniosios elementariosios matematikos, kurios svarbiausiu bruožu yra samprotavimų loginis tikslumas.

Mintys apie primityviąją matematiką atėjo į galvą vakar klausantis Lietuvos matematikos mokytojų konferencijos pranešimus, ypač pirmojoje konferencijos dalyje. Konferenciją pradėjo LEU naujojo Gamtos, matematikos ir technologijų fakulteto dekanas V. Sruoga  gana pesimistiškai. Jis priminė apie LEU Matematikos ir informatikos fakulteto mirtį, bei apie  mūsų moksleivių nenorą siekti matematikos mokytojo profesijos. Profesorius nustebino mane savo pranešimo pabaigoje palinkėjęs matematikos mokytojų konferencijai siekti ne pasaulį pažinti naudojant matematiką, bet pažinti matematiką naudojant realaus pasaulio kontekstą. Tai yra citata iš Matematinio ugdymo gairių (žr. 3 pusl.). Deja, mano nuomone, konferencijos pirmosios dalies pranešėjai nekreipė dėmesio į šį palinkėjimą.

Pirmąjį matematikos mokytojų konferencijos pranešimą padarė Lietuvos banko priežiūros tarnybos Finansinių paslaugų ir rinkų priežiūros departamento direktorius V. Šapoka. Savo pranešimą jis pradėjo svarstymu apie ryšį tarp pinigų ir laimės pasitelkdamas gyventojų apklausas. Jo teigimu, kuo šalis neturtingesnė, tuo lengviau šalies gyventojus padaryti laimingais. Sakysite, kuo čia dėta matematika. Pranešėjas sugebėjo nuolat įterpti pastabas apie tai, kaip svarbi matematinė intuicija apie finansinius rodiklius ir instrumentus vertinant savo asmeninius finansus ir darant finansinius sprendimus. Be abejonės jis teisus. Bet nemanau, kad jam pavyko atskleisti finansinio pasaulio mechanizmo elementus ir matematikos vaidmenį finansų pasaulyje. Eksponentinio augimo ir tolydžiųjų palūkanų kitimo pavyzdžiai, nors ir yra svarbūs, bet tai yra viskas, ką galima išspausti remiantis moksleiviams prieinama elementariąja matematika. Didesnė dalis pranešėjo aptariamų pavyzdžių vertinant atsitiktinių įvykių tikimybes atrodė daugiau susijusi su psichologija negu su matematika. Jei klausytojai būtų supažindinami su kombinatorikos elementais naudojamais skaičiuoti atsitiktinių įvykių tikimybes, tai motyvacija mokytis matematikos galėtų būti gerokai didesnė. Galima buvo parodyti, kaip skaičiuojamos tikimybės kuriame nors pavyzdyje, pavyzdžiui, pasirenkant kurias iš trijų, o po to iš dviejų durų atverti, žinant, kad už vienų iš jų yra vertingas daiktas. Šiuo atveju buvo praleista galimybė parodyti matematikos žinių svarbą. Matematinė intuicija ugdoma sprendžiant daug abstrakčių uždavinių. Paprastas teigimas, kad matematika yra reikalinga sprendžiant sudėtingus uždavinius yra nepakankamas ir dažniausiai neišgirstamas.  Įtariu, kad tarp šios paskaitos klausytojų atsiras nemažai tokių, kurie pasinaudos banko paslaugomis tvarkant savo asmeninius finansus ir patars vaikams rinktis finansininko profesiją. Matyt toks ir buvo pranešimo tikslas.

Kitą pranešimą padarė Nacionalinio egzaminų centro Mokinių pasiekimų tyrimų ir analizės skyriaus vedėjas M. Stundža apie tarptautinį penkiolikmečių tyrimą PISA 2012.  Jis labai teisingai pabrėžė nuo pat pradžių, kad šis tyrimas vertina gebėjimą naudotis žiniomis, o ne gebėjimą atkurti žinias. Pastarąjį gebėjimą vertina kiti tarptautiniai tyrimai. Tai reiškia, kad PISA penkiolikmečiams siūlo spręsti ,,realius uždavinius“. Tyrimas taip pat siekia nustatyti moksleivio artimiausios aplinkos įtaką jo pasiekimams. Necituosiu šių rezultatų, nes nemanau, kad jie pakankamai pagrįsti. Pasakysiu tik tiek, kad pranešimo svarstymo metu Stundža buvo paklaustas, kaip Lietuva atrodo matematikos pamokų skaičiumi per savaitę lyginant su kitomis šalimis. Atsakymas: Lietuva yra tarp tų tyrime dalyvavusių šalių, kurių matematikos pamokų skaičius per savaitę yra mažiausias. Ši pastaba daugelio klausytoju buvo sutikta gana audringai ir dėl suprantamų priežasčių.

Didesnė Stundžos pranešimo dalis buvo skirta parodyti tyrime naudotų ,,realių uždavinių“ pavyzdžius; apie jas rašiau anksčiau čia. Savaime tokie tyrimai gali būti naudingi kai atsižvelgiama į jų ribotumą. Problema tokie tyrimai tampa tada, kai jais pradedama naudotis švietimo politikoje. Kaip buvo pranešėjo paminėta, ES rekomenduoja iki 2020 m. pasiekti tam tikrą matematinio raštingumo lygį apskaičiuojamą pagal PISA tyrimo rezultatus. Būtent, nepasiekusių antrojo lygmens turėtų būti ne daugiau kaip 15% apklausiamųjų (pirmasis lygmuo čia yra žemiausias, o šeštasis lygmuo yra aukščiausias). Teigiama, kad matematinį raštingumą pasiekia tie, kas įveikia antrąjį lygmenį. Šiuo metu antrojo lygmens nepasiekia maždaug 26% lietuvių.  Kai švietimo sistemos kokybės rodikliu tampa konkretus skaičius, tai daroma viskas, kad būtų pasiektas nustatytas rodiklis.   Tokiam tikslui pasiekti visai nebūtina siekti ugdyti loginio samprotavimo tikslumo matematikos pamokose. Pakanka treniruoti moksleivius sprendžiant ,,realius uždavinius“. Taip pat atsirado motyvas švietimo politikų ir mokytojų kvalifikaciją kelti keliaujant į tas šalis, kurios PISA tyrime pasirodė sėkmingai. Šiuo atveju tokia šalimi tapo Estija. Konferencijos metu buvo reklamuojama viena tokia kelionė. Man yra keista, o kodėl nekeliaujama į Lenkiją, kurios rezultatai dar geresni?

Kalbėdamas apie numatomą 2015 m PISA tyrimą, Stundža pasakė, kad Lietuva dalyvaus vertinant savo penkiolikmečių finansinį raštingumą, kartu su iki šiol vykdomu skaitymo, gamtamokslinio ir matematinio raštingumo tyrimu. Tai susiję su papildomomis finansinėmis išlaidomis. Jis prasitarė, kad šias išlaidas imasi finansuoti Lietuvos bankas. Pagalvojau, kad tai paaiškina šios konferencijos pirmojo pranešėjo pasirinkimo motyvą. Sunku būtų patikėti, kad finansininkai tai daro iš patriotizmo, norėdami ugdyti mūsų moksleivių motyvaciją mokytis matematikos. Tokiam tikslui greičiau pasiekti galima būtų materialiai skatinti matematikos mokytojus ir jų kvalifikacijos kėlimą.

Trečiu konferencijos pranešėju buvo VU Matematikos ir informatikos metodikos katedros profesorius ir vedėjas E. Stankus (P. Gudyno pranešimo nebuvo). Jis pristatė 2016 metais numatomo naujos formos matematikos brandos egzamino projektą. Šiuo projektu numatoma, kad egzaminas vyks dviem etapais. Tie, kas nori brandos atestato, turės laikyti pirmojo etapo egzaminą pagal bendrojo kurso programą. Tie, kas norės pretenduoti į valstybės apmokamas vietas universitete, turės sėkmingai įveikti pirmąjį etapą ir laikyti antrojo etapo egzaminą pagal išplėstinio kurso reikalavimus. Antrajame etape numatoma didesnę reikšmę suteikti vertinant aukštesniuosius mąstymo gebėjimus. Profesorius pripažįsta, kad brandos egzaminas žlugdo matematikos mokymą, tačiau jis įpareigotas švietimo ministro vadovauti grupei ruošiančiai šį projektą. Jis taip pat pripažįsta, kad švietimo politikoje vyksta ,,virvės tampymas“ tarp dviejų pakraipų: taikomosios matematikos ir grynosios matematikos. Jo manymu, šiuo atveju reikalingas balansas.

Dėl galimo brandos egzamino (antrojo etapo) privalomumo diskutuojama nebuvo, nes tai ŠMM politikų ateities sprendimo reikalas. Jie kaip žinia viešai tokių sprendimų neaptaria. Iki šiol aš buvau brandos egzamino privalomumo šalininkas su sąlyga, kad kartu bus keliama matematinio ugdymo kokybės kartelė. Šiuo metu manau, kad artimiausiu metu nebus skatinami poslinkiai minėtų matematinio ugdymo kaitos gairių kryptimi. Aiškią politinę persvarą šiuo metu turi primityviosios matematikos šalininkai. Tą rodo ir konferencijos pirmosios dalies paskutinio pranešimo tema.

Prieš pertrauką paskutinį pranešimą padarė LEU profesorė N. Cibulskaitė ir jos magistrantė B. Ščerbo. Šio pranešimo tema: Tyrinėjimu paremtas matematikos mokymas(is).  Reikėtų priminti, kad tokiu pavadinimu žinomas studijų metodas atsirado tarp matematikų dar 20 amžiaus pradžioje. Inquiry-Based Learning studijų idėjos autoriumi laikomas amerikiečių matematikas R.L.Moore. Apie šią idėją ir jos vystymą pasakoja šis video. Įtariu, kad edukologai šią idėją pasiskolino ir gerokai išplėtojo, paversdami ją primityviosios matematikos ugdymu. To pavyzdys yra ES finansuojamas 7-osios bendrosios programos projektas  Mascil. Prie šios programos vykdymo ir lėšų įsisavinimo prisijungė ir Lietuva. Konkrečiai šia programa siekiama matematikos mokymą sieti su tyrimų vykdimu gamtos mokslų kontekste. Pasirodo Lietuvoje taip pat turime edukologų, kurie yra šios idėjos propaguotojais. Nebesinori toliau plėtoti šios temos.

Po konferencijos pertraukos nuotaiką pakėlė Romo Kašubos pasisakymas, kuriuo jis pristatė savo naująją knygą pavadinimu ,,Ne(t)rimta knyga“. Šio pranešimo aš negaliu atpasakoti jį reikia pamatyti ir išgirsti. Romas papasakojo ką jautė penkis metus rašydamas knygą.

Įdomūs buvo kiti trys pranešimai apie vizualizavimą matematikoje ir IT naudojimą matematikoje. Be abejonės, visi šie dalykai gali padėti matematiką padaryti patrauklesne. Bijau tik vieno, kad nebūtų persistengta siekiant vien patrauklumo.

Labai įdomūs buvo mokytojų V. Šileikienės ir N. Trinkūnienės pranešimai, kuriais jos pristatė savo atliktas moksleivių apklausas. Pirmoji apklausa aiškinosi mokinių požiūrį į matematikos mokymąsi, o antroji apklausa aiškinosi moksleivių požiūrį į diferencijuotą mokymą. Tikiuosi, kad apklausos rezultatai bus kur nors paskelbti. Konferencijos pabaigoje mokytoja O. Okolovič supažindino su paskutiniaisiais metais matematikos mokytojų asociacijos vykdytais projektais.

Grįždamas prie to, nuo ko pradėjau, noriu dar keletą minčių pasakyti apie mūsų potraukį primityviąjai matematikai. Prieš daugiau kaip 20 metų, atkūrus Lietuvos valstybę, mūsų matematikai apsisprendė nukreipti matematinį ugdymą į visuotinį matematinį raštingumą ir į taikomosios matematikos stiprinimą, atsisakant grynosios matematikos. Suprantami šie norai, bet jų siekiant slypi dideli pavojai. Realizuojant švietimo politiką – matematika visiems – gresia pavojus nuleisti bendrą matematinio ugdymo kokybės lygį. Realizuojant antrąją kryptį – pažinti pasaulį naudojant matematiką – gresia pavojus nusileisti iki primityviosios matematikos. Atrodo, kad abiejų šių pavojų neišvengėme.

Gaila, kad tuo metu, prieš 20 metų, neatsirado matematiko Z. Žemaičio  pasekėjo. Žemaitis aktyviai dalyvavo matematinio švietimo kūrime tarpukario meto Lietuvoje. Norisi pacituoti jo tekstą ,,Aukštosios matematikos pagrindai aukštesniųjų mokyklų programoje“ publikuotą 1926 metais leidinyje Švietimo darbai (kalba nekeista, paryškinimas autoriaus):

1. Keletas žodžių apie matematikos dėstymo tikslus

Visai dar nesenai įvairių kraštų aukštesniosiose bendrojo lavinimo mokyklose vyravo humanistinės tendencijos. Auklėjamoji reikšmė buvo pripažįstama beveik išimtinai humanistiniams mokslams: kalboms, literatūrai, filosofijai, istorijai.

Bet ir tuomet, kai gamtos mokslai nebuvo įsileidžiami į programas, artima jiems savo metodais matematika vis dėlto gaudavo kartais mažiau, kartais daugiau vietos dėstomųjų mokslų tarpe. Ministerijos, mokyklų organizatoriai ir net pedagogai humanistai vis dėl pripažindavo, kad matematika auklėja mokinio protą pratindama jį logiškai galvoti ir teikia mokiniui žinių, naudingų praktikos gyvenimui. Tiesa, dažnai nesigilinta į klausimą, kaip ir kokiomis sąlygomis matematika gali tai pasiekti. Daugiau linkta manyti, kad savotiška loginė struktūra bei forma, kuri ji mokiniui reiškiasi, formaliai auklėja žmogaus protą.

Giliau pažiūrėjo į dalyko esmę instrukcijos, išleistos 1884 metais Austrijos aukštesniosioms mokykloms. Tose instrukcijose buvo konstatuota, kad trys dalykai verčia skirti mokslų planuose matematikai rimtą vietą greta su humanistiniais mokslais: a) jos ypatingas turinys ir savotiška forma, kuria tasai turinys pasireiškia; b) jos įtaka aukštesniųjų dvasios jėgų augimui ir c) jos ankštas ryšys su daugeliu kitų mokslų ir su praktikos gyvenimo reikalais.

Instrukcijos teisingai pripažįsta didesnę svarbą turiniui, nes visai neįmanomas yra dalykas, kad mokinio dvasios pajėgos galėtų tvirtėti nuo beprasmės, bevertės medžiagos nagrinėjimo. Didžiausią kliūtį sudarytų jau viena tai, kad panašiu turiniu negalima sudominti mokinio, ir tektų tik priversti jis išmokti to, ko reikalaujama. Plačiai yra žinomas faktas, kad matematikos dėstymas, turįs tikslo formaliai lavinti, miklinti mokinio protą ir neatsižvelgęs į vartojamąją medžiagą, dažniausiai virsta sausu, negyvu formalizmu, kuris atima mokiniui norą studijuoti matematiką, o kai kada net įkvepia jos neapykantą. Savaime suprantama, kad tokiomis sąlygomis matematikos mokymas tikrai liaujasi auklėjęs mokinio protą.

Todėl pirmaeilis reikšmės gauna klausimas, koks turinys reikia įdėti matematikos programon, kad ji kuo geriausiai tiktų auklėjamajai rolei.

Tuo klausimu pedagogų teorininkų ir praktininkų gauta gana bendrų išvadų. Geriausiai tinka auklėjimo tikslams tas matematikos turinys, kuris yra artimas gyvenimui, ir jo semiamas ir turi gyviausio ryšio su kitais artimais matematikai mokslais. Harmonizuodama su jų tyrimo dvasia ir su jų vartojamais metodais, tokia matematika padeda mokiniui geriau suprasti tuos mokslus, teikia tolesniam jo mokslui daug naujos, gyvos ir įdomios matematinės medžiagos, iliustruoja ir paremia gautųjų dėsnių teisingumą realiniais apčiuopiamais faktais iš fizikos, kosmografijos ir kit. mokslų.

Toks matematikos suartinimas su kitais mokslais nieku būdu negali kliudyti jai formaliai auklėti mokinio protą, stiprinti jo dvasios pajėgas. Priešingai, tai gali tik padėti jai pasiekti ir formalaus auklėjimo tikslų.

Nenorima tuo pasakyti, kad dėstomoji aukštesniojoje mokykloje matematika turėtų virsti kažin kokiu ,,pritaikinamuoju“ mokslu, pagalbiniu kitiems dėstomiems toje mokykloje mokslams. Joje mokiniai tik supažindinami su įvairių mokslų pagrindais, tat vargiai begalima būtų manyti apie ypatingos pritaikinamosios matematikos dėstymą. Pagaliau ir bendrai sunku būtų nustatyti, kur baigiasi ,,grynoji“, kur prasideda ,,pritaikinamoji“ matematika ir kuri yra vertesnė ar svarbesnė. Garsusis Vokietijos matematikas ir pedagogas reformatorius prof. F. Klein referate, skaitytame III tarptautiniame matematikų kongrese (Heidelberge,1904 m.), labai vykusiai ir vaizdžiai palygino visą matematiką su tvirtove: jos pritaikinamosios dalys panašios esančios į pakraštinius fortus, kurie seka ir tiria visas jos apylinkes, gautąsias žinias tuojau iš visų pusių siunčia centralinei citadelei – vadinasi, grynajai, arba teoriškajai, matematikai, kuri jas savaip sutvarko, sunaudoja ir vėl grąžina fortams, pavesdama jiems tam tikrus uždavinius atlikti. Kurių instancijų – pakraštinių fortų ar centralinės citadelės, pritaikinamosios ar grynosios matematikos – vaidmuo yra svarbesnis, gana sunku būtų nuspręsti: greičiausiai – ir viena ir antra lygiai svarbios.

Net keista koks aktualus tekstas praėjus beveik šimtui metų. Tai ką aš vadinu primitiviąja matematika Kleino analogijoje atitiktų tvirtovės pakraštinius fortus.