Pratęsdamas savo monologą apie primityviąją matematiką (toliau PM), šiame įraše toliau aiškinuosi šios rūšies mokyklinės matematikos esmę ir jos skirtumą nuo moderniosios elementariosios matematikos (toliau MEM). Primenu, kad MEM siekiama ugdyti samprotavimų loginį tikslumą, kuris yra svarbiausias ir vertingiausias matematikos bruožas. PM šis matematikos bruožas yra ignoruojamas pateikiant matematiką kaip tarpusavyje nesusijusių taisyklių, procedūrų, formulių rinkinį. Funkcijos išvestinės pavyzdžiu iliustruosiu skirtumą tarp MEM ir PM. Be to, bandysiu aiškintis tokios padėties mokyklinėje matematikos pasireiškimo mastus ir galimas priežastis pačios matematikos kontekste.
PM yra pakankama ,,realiems uždaviniams“ spręsti, kaip rašiau savo tinklaraštyje sausio 4 dienos įraše. Tokie uždaviniai atitinka matematinio ugdymo tikslą pažinti pasaulį naudojant matematiką (skaityk 11-12 klasių matematikos dalyko paskirtis). Kitas PM plėtros šaltinis yra tarptautinių testų (PISA, TIMSS ir PIRLS) bei brandos egzamino sureikšminimas matematinio ugdymo procese. Paprastai tokiuose testuose ir egzaminuose siūlomos labai paprastos užduotys ir mokykla sutelkia savo pastangas paruošti moksleivius tokioms užduotims atlikti, nes pagal tai yra vertinama mokytojų darbo kokybė. Manau, kad čia paminėjau tik tiesiogines ir lengviausiai pastebimas PM plitimo priežastis. Svarbesnės ir gilesnės priežastys matyt glūdi matematikoje ir matematikų bendruomenėje.
Bet pirmiausia suformuluosiu išvestinės sampratą, kurioje ribos egzistavimas yra pakeistas nelygybės egzistavimu. Šią išvestinę pavadinu mokykline, palyginu ją su įprastine išvestine ir parodau kaip randama laipsninių funkcijų mokyklinė išvestinė remiantis apibrėžtimi bei nenusižengiant samprotavimų loginiam tikslumui.
1 dalis. Mokyklinė išvestinė
Išvestinės sąvoka mokyklinėje matematikoje yra ne mažiau sudėtinga problema kaip trupmenos sąvoka (apie trupmenos mokymą jau rašiau čia). Sudėtingumo priežastimi šiuo atveju yra tai, kad išvestinė yra skirtuminio santykio riba, o ribos sąvoka manoma esant per daug sudėtinga mokyklinio amžiaus vaikams. Gal būt todėl, kad šios sąvokos tvarkinga loginė forma turi iš eilės besikeičiančius tris loginius kvantorius (
Pacituosiu vieną po ranka pakliuvusį 12 klasės matematikos vadovėlį. Tame vadovėlyje pateikiamas intuityvus išvestinės paaiškinimas funkcijos grafikui (net ne funkcijai). Po to, rašoma:
Daugelis įvairių funkcijų išvestinių radimo taisyklių išvedama remiantis išvestinės apibrėžimu. Mus labiau domina ne pačių taisyklių gavimas, o jų taikymas, todėl toliau pateikiame tik funkcijų radimo taisykles, kurias turėtume atsiminti ir gebėti taikyti.
Tai yra tipiškas PM kūrimo pavyzdys. Vaikai turi mintinai išmokti įvairių funkcijų išvestinių formules ir gebėti jas taikyti. Toks matematikos mokymo būdas nėra susijęs tik su išvestinės sąvoka.
Šiame skyrelyje aptarsiu vieną galimą išvestinės sąvokos problemos sprendimo variantą, kuriuo matematiškai tiksliai apibrėžiama supaprastinta funkcijos išvestinės sąvoka nenaudojant matematinėje analizėje priimtos ribos sąvokos. Šią sąvoką apibrėžiančios savybės tvarkinga loginė forma turi du loginius kvantorius (
Kaip paprastai, apibrėžiant matematinį objektą kartu aptariama apibrėžties interpretacija ir motyvacija. Kokia tvarka ir kaip tai daroma priklauso nuo didaktinės strategijos pasirinkimo. Šis tinklaraščio įrašas jokiu būdu nepretenduoja į didaktiškai išbaigtą dėstymą. Man svarbu maksimaliai aiškiai ir be užuolankų svarstyti ir iš principo spręsti problemą.
Taigi, kalbant netiksliai bet vaizdingai, funkcija 
čia 
1 Apibrėžtis. Tarkime, kad 
jei 
Teisingas faktas: jei mokyklinė išvestinė egzistuoja, tai ji yra vienintelė. Todėl funkcijos 
Šioje apibrėžtyje naudojama logiškai tvarkinga išvestinę apibūdinančios savybės formulavimo forma (išskyrus pačios apibrėžties loginę formą). Dažniausiai vadovėliuose nesilaikoma tokios formos siekiant dėstymo paprastumo. Tokio paprastumo kaina yra aiškumo aukojimas. Kad tuo įsitikinti paprašykite savo vaiko arba patys pabandykite suformuluoti ką reiškia, kad funkcija
Palyginimui suformuluosiu išvestinės sampratą naudojamą matematinėje analizėje.
2 Apibrėžtis. Tarkime, kad 
jei 
Funkcijos 
Galima įsitikinti, kad mokyklinės išvestinės egzistavimas yra stipresnė funkcijos savybė už išvestinės egzistavimą. Tiksliau kalbant jei taške 
Dabar palyginsiu abiejų sąvokų logines formas sudėtingumo požiūriu. Matematinėje analizėje naudojamos išvestinės sąvokos turinys turi loginę formą:
čia 
čia 
Jūs galite sakyti, kad mokyklinės išvestinės loginė forma mažai kuo skiriasi nuo išvestinės loginės formos. Mano atsakymas: netikslinga dar labiau prastinti sąvoką logikos atžvilgiu, jei siekiama ugdyti loginį mąstymą. Dabartinė situacija, kai į logiką nekreipiame dėmesio, ugdome logiškai neįgalius. Tipiškas mūsų abiturientas nesuvokia skirtumo tarp prielaidos 
Kaip mes ,,pasiekėme“ tokį lygį? 11-12 klasių matematinio ugdymo programoje ,,logikos įvadas“ yra tik pasirenkamasis modulis. Teigiama, kad ,,Modulis skiriamas akademinių polinkių mokiniams, siekiantiems gilesnių matematikos žinių, besidomintiems matematika“. Taigi, su elementariąja teiginių logika numatoma supažindinti tik ,,akademinius polinkius“ turinčius vaikus baigiamosiose klasėse, kai tai daryti yra beviltiškai pavėluota ir panosėje brandos egzaminas, kurio užduotims spręsti logika nėra būtina. Tokiu būdu mes sąmoningai ugdome savo piliečius logiškai neįgaliais. Skirtumą tarp primityviosios matematikos (PM) ir moderniosios elementariosios matematikos (MEM) dabar galėtume išreikšti taip:
PM = MEM – logikos įvadas.
Matematika be logikos tai maždaug tas pats, kas žmogaus kūnas be skeleto. Dar stebimės, kad vaikai neturi motyvacijos mokytis primityviosios matematikos.
Toliau pabandysime rasti paprasčiausių funkcijų m-išvestines. Šiuo atveju paprasčiausia yra tiesinė funkcija 
teisinga visiems skaičiams
Rasime laipsninės funkcijos m-išvestines. Čia nagrinėsime laipsnines funkcijas 
Kai 
teisinga visiems skaičiams 
Tegul 
Jei imsime 
Tegul 
Jei imsime 
Laipsninės funkcijos m-išvestinę bendru atveju rasime naudodami binomo teoremą:
Formulės koeficientai 
arba rekursijos būdu naudojant sąryšius:
kai 
teisinga visiems skaičiams 
Ši nelygybė rodo, kad 1 apibrėžties savybė skaičiui 
Siūloma mokyklinės išvestinės samprata yra matematikos didaktinės transformacijos pavyzdys.Toliau netesiu šios temos, nes abejoju, kad artimiausiu metu ji susilauks kokio nors dėmesio. Pateiksiu tik įdomesnes nuorodas: interneto svetainę mathoverflow, kurioje diskutuojama Why do we teach calculus students the derivative as a limit?, A. Borovik tinklaraštį, kuriame aptariama tema Calculus without limits, H. Karcher tekstą Analysis via Uniform Error Bounds, M. Livshitso tekstą You Could Simplify Calculus, bei В. А. Рохлин tekstą Преподавание математики нематематикам. Šiose nuorodose išreiškiami įvairūs požiūriai į ribos sąvokos vaidmenį mokant matematikos.
2 dalis. Išvestinė – laike įstrigusio pasaulio vaiduoklis
Matematikos mokymas yra laike įstrigęs pasaulis, o mokyklinės matematikos išvestinės samprata yra tokio pasaulio vaiduoklis. Šioje dalyje tęsiu ankstesnio savo teksto samprotavimus, šį kartą apie funkcijos išvestinės problemų priežastis. Be to, mokyklinę išvestinę 1-osios apibrėžties prasme nuo šiol pamiršiu ir kalbėsiu apie išvestinės sampratą matematikos idėjų evoliucijos eigoje.
Dėl paprastumo skirsiu dvi išvestinės sampratas. Viena iš jų yra nusakyta 2-ąja apibrėžtimi pirmoje šio įrašo dalyje. Ši išvestinės samprata remiasi ribos samprata, kurią vadinsiu (ε-δ)-riba. Jos atsiradimas siejamas su K. Weierstrasso (1815-1897) vardu. Ši išvestinės samprata dominuoja šiuolaikinėje matematikoje. Čia kalbu tik apie funkcijas tarp realiųjų skaičių. Antroji išvestinės samprata priklauso nuo kintamojo dydžio sąvokos. Kad per daug neišsiplėsčiau daugiausia kalbėsiu apie A.-L. Cauchy (1789-1857) požiūrį į šią sąvoką. Kintamasis dydis Cauchy matematikoje buvo pirminė sąvoka nuo kurios priklauso ribos, tolydumo ir išvestinės sampratos. Noriu parodyti, kad mokyklinėje matematikoje abi išvestinės sampratos yra persipynusios, dažniausiai neskiriamos viena nuo kitos. Tuo tarpu Cauchy kintamojo dydžio samprata evoliucionavo iki matematiškai griežtai apibrėžtos be galo mažo dydžio sampratos nestandartinėje analizėje. Tokiu būdu mokyklinėje matematikoje negriežtai formuluojama išvestinės sąvoka turi abiejų išvestinių požymių. Todėl ir kalbu apie išvestinę-vaiduoklį mokyklinėje matematikoje.
Kadangi šį įrašą galimai skaitantys žmonės puikiai žino (ε-δ)-ribą ir nuo jos priklausančios išvestinės sampratą (2-a apibrėžtis), tai daugiau dėmesio skirsiu kintamojo dydžio sąvokai. Pagrindiniu šaltiniu galėtų būti Cauchy knyga Course d’Analyse 1821. Taigi, Cauchy kintamasis dydis (angl. variable quantity) yra pirminė sąvoka neišreiškiama paprastesnėmis. Sutariama, kad kintamasis dydis reiškia diskrečių reikšmių seką. Kintamasis dydis, kurio reikšmės artėja į nulį yra be galo mažas dydis (angl. infinitesimal). Tada riba yra apibrėžiama taip: jei kintamasis dydis, bekisdamas, artėja prie pastovaus dydžio taip, kad abiejų dydžių skirtumas yra be galo mažas dydis, tai pastovusis dydis vadinamas riba. Taigi Cauchy (kintamojo dydžio ne funkcijos ar sekos) ribos samprata nėra (ε-δ)-riba, bet labiau panaši į Newtono dinaminę ribos sampratą. Ši dinaminė ribos samprata perkeliama į funkcijos tolydumo ir funkcijos išvestinės sampratas.
Dabar pacituosiu Cauchy pateiktą funkcijos apibūdinimą angliškai (originalas prancūziškai):
When variable quantities are related to each other such that the value of one of the variables being given one can find the values of all the other variables, we normally consider these various quantities to be expressed by means of the one among them, which therefore takes the name the independent variable. The other quantities expressed by means of the independent variable are called functions of that variable.
Ar nieko jums neprimena šis pasažas? Tada pavartykite mūsų matematikos vadovėlius. Kitas pasiūlymas. Atsiverskite lietuvių matematiko J. Stoukus mokyklinį vadovėlį ,,Begalinių mažybių analizio pagrindai“ išleistą 1925 metais Kaune. Šiame vadovėlyje rasite lietuviškai išverstas sąvokas ir pagrindinius teiginius iš Cauchy Course d’Analyse 1821 bet didaktiškai tvarkingai papildytus.
Dabar svarbiausia. Mano cituojami Cauchy analizės pagrindai, grindžiami kintamojo dydžio sąvoka, evoliucionavo ne į dabar visuotinai priimtą matematinę analizę, bet į ne mažiau griežtai pagrįstą nestandartinę analizę. Manau, kad nestandartinei analizei reikės skirti naujus šio tinklaraščio įrašus. Kol kas pateiksiu nuorodą į A. Borovik ir M. Katz tekstą Who gave you the Cauchy-Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus.
Išvada: mūsų mokykliniai matematikos vadovėliai negriežtai aiškindami matematinės analizės elementus ir naudodami kintamojo dydžio ir su juo susijusias kitas sąvokas sukuria vaiduoklius, kuriuos galima interpretuoti kaip nori, o galiausiai nieko nesuprasti.
Nereikia net vadovėliu, kad įsitikintumėte mūsų matematinio ugdymo vaiduokliškumu. Pakanka atidžiai skaityti mūsų matematinio ugdymo programą.
Ištraukos iš VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS: MATEMATIKA:
Bendrasis kursas:
3.1.1. Žinoti, kaip apskaičiuoti funkcijos argumento ir funkcijos reikšmių pokyčius duotame taške. Žinoti funkcijos išvestinės sąvoką ir ją sieti su funkcijos reikšmių kitimo greičiu.
3.1.2. Paaiškinti funkcijos išvestinės fizikinę prasmę.
Išplėstinis kursas:
3.1.1. Žinoti kaip apskaičiuoti tolydžios funkcijos argumento ir jos reikšmių pokytį, kaip galima įvertinti funkcijos kitimo greitį duotame intervale. Pavyzdžiais iliustruoti, kad argumento pokyčiui artėjant prie nulio, tolydžios funkcijos pokytis artėja prie nulio. Pavyzdžiais iliustruoti funkcijos ribos sąvoką.
3.1.2. Žinoti funkcijos išvestinės apibrėžimą (prasmę). Paaiškinti funkcijos išvestinės geometrinę ir fizikinę prasmes, pateikti pavyzdžių.
Ši matematinio ugdymo programos ištrauka rodo, kad jos sudarytojai išvestinę suprantą kitaip negu matematikai. Galima spėti, kad matematiniame tekste naudojami žodžiai matematikų ir nematematikų suprantami skirtingai. Išvestinės atveju, nematematiko supratimu, frazių ,,kintamasis“ ir ,,kintamasis dydis“ prasmė siejama su judėjimu ar kokiu nors kitimu. Tuo tarpu matematiko supratimu, kintamasis yra simbolis žymintis matematinį objektą, kuris yra arba nežinomas ir ieškomas (kaip lygtyje) arba gali būti bet kuriuo tam tikros aibės elementu. Šį skirtumą galėtume apibūdinti kaip dinaminę ir statinę to paties žodžio sampratas. Matematiko požiūriu ,,funkcijos kitimas“ yra neįmanomas. Funkcija yra tokios pat rūšies objektas kaip ir skaičius, abu jie yra tam tikrų aibių elementais. Tai vienas galimo nesupratimo aspektas. Keletas tokių aspektų gali nuvesti nežinia kur.
3 dalis. Kodėl mes priversti tenkintis PM?
Pasakyti, kad mokyklinė matematika yra laikę įstrigęs pasaulis reiškia ištarti ,,karalius yra nuogas“. Daug svarbiau suprasti, kodėl esame priversti konstatuoti ,,karalius yra nuogas“. Mano nuomone, priežasčių reikia ieškoti matematikų bendruomenėje. Pažiūrėkime kaip tipišką matematiką apibūdina P J Davisas ir R Hershas knygoje „The Mathematical Experience“:
The ideal mathematician’s work is intelligible only to a small group of specialists, numbering a few dozen or at most a few hundred. This group has existed only for a few decades, and there is every possibility that it may become extinct in another few decades. However, the mathematician regards his work as part of the very structure of the world, containing truths which are valid forever, from the beginning of time, even in the most remote corner of the universe.
He rests his faith on rigorous proof; he believes that the difference between a correct proof and an incorrect one is an unmistakable and decisive difference. He can think of no condemnation more damning than to say of a student, `He doesn’t even know what a proof is.’ Yet he is able to give no coherent explanation of what is meant by rigor, or what is required to make a proof rigorous. In his own work, the line between complete and incomplete proof is always somewhat fuzzy, and often controversial.
To talk about the ideal mathematician at all, we must have a name for his `field,’ his subject. Let’s call it, for instance, `non-Riemannian hypersquares.’
He is labeled by his field, by how much he publishes, and especially by whose work he uses, and by whose taste he follows in his choice of problems.
He studies objects whose existence is unsuspected by all except a handful of his fellows. Indeed, if one who is not an initiate asks him what he studies, he is incapable of showing or telling what it is. It is necessary to go through an arduous apprenticeship of several years to understand the theory to which he is devoted. Only then would one’s mind be prepared to receive his explanation of what he is studying. Short of that, one could be given a `definition,’ which would be so recondite as to defeat all attempts at comprehension.
The objects which our mathematician studies were unknown before the twentieth century; most likely, they were unknown even thirty years ago. Today they are the chief interest in life for a few dozen (at most, a few hundred) of his comrades. He and his comrades do not doubt, however, that non-Riemannian hypersquares have a real existence as definite and objective as that of the Rock of Gibraltar or Halley’s comet. In fact, the proof of the existence of non-Riemannian hypersquares is one of their main achievements, whereas the existence of the Rock of Gibraltar is very probable, but not rigorously proved.
It has never occurred to him to question what the word `exist’ means here. One could try to discover its meaning by watching him at work and observing what the word `exist’ signifies operationally.
In any case, for him the non-Riemannian hypersquare exists, and he pursues it with passionate devotion. He spends all his days in contemplating it. His life is successful to the extent that he can discover new facts about it.
He finds it difficult to establish meaningful conversation with that large portion of humanity that has never heard of a non-Riemannian hypersquare. This creates grave difficulties for him; there are two colleagues in his department who know something about non-Riemannian hypersquares, but one of them is on sabbatical, and the other is much more interested in non-Eulerian semirings. He goes
to conferences, and on summer visits to colleagues, to meet people who talk his language, who can appreciate his work and whose recognition, approval, and admiration are the only meaningful rewards he can ever hope for.
At the conferences, the principal topic is usually `the decision problem’, (or perhaps `the construction problem’ or `the classification problem’) for non-Riemannian hypersquares. This problem was first stated by Professor Nameless, the founder of the theory of non-Riemannian hypersquares. It is important because Professor Nameless stated it and gave a partial solution which, unfortunately, no one but Professor Nameless was ever able to understand. Since Professor Nameless’~ day, all the best non-Riemannian hypersquarers have worked on the problem, obtaining many partial results. Thus the problem has acquired great prestige.
Our hero often dreams he has solved it. He has twice convinced himself during waking hours that he had solved it but, both times, a gap in his reasoning was discovered by other non-Riemannian devotees, and the problem remains open. In the meantime, he continues to discover new and interesting facts about the non-Riemannian hypersquares. To his fellow experts, he communicates these results in a casual shorthand. `If you apply a tangential mollifier to the left quasi-martingale, you can get an estimate better than quadratic, so the convergence in the Bergstein theorem turns out to be of the same order as the degree of approximation in the Steinberg theorem.’
This breezy style is not to be found in his published writings. There he piles up formalism on top of formalism. Three pages of definitions are followed by seven lemmas and, finally, a theorem whose hypotheses take half a page to state, while its proof reduces essentially to `Apply Lemmas 1–7 to definitions A–H.’
His writing follows an unbreakable convention: to conceal any sign that the author or the intended reader is a human being. It gives the impression that, from the stated definitions, the desired results follow infallibly by a purely mechanical procedure. In fact, no computing machine has ever been built that could accept his definitions as inputs. To read his proofs, one must be privy to a whole subculture of motivations, standard arguments and examples, habits of thought and agreed-upon modes of reasoning. The intended readers (all twelve of them) can decode the formal presentation, detect the new idea hidden in lemma 4, ignore the routine and uninteresting calculations of lemmas 1, 2, 3, 5, 6, 7, and see what the author is doing and why he does it. But for the noninitiate, this is a cipher that will never yield its secret. If (heaven forbid) the fraternity of non-Riemannian hypersquarers should ever die out, our hero’s writings would become less translatable than those of the Maya.
Visa cituojamą knygą galima rasti čia (žiūrėk skyrelį Ideal mathematician). Tikiuosi, kad skaitytojas supras ironiją ir tinkamai įvertins tai, kas pasakyta sąryšyje su mūsų matematinio ugdymo bala.
Dar vienas pastebėjimas: matematikos vystymąsi link samprotavimų loginio griežtumo pastūmėjo ir bandymai spręsti matematikos didaktikos problemas. Jau minėta A.-L. Cauchy knyga Course d’Analyse 1821 yra Ecole Polytechnique vykusios diskusijos dėl analizės pagrindų pasekmė (žr. M.J. Barany tekstą God, King, and Geometry: Revisiting the Introduction to Cauchy’s Cours d’Analyse). Robinsono ir kitų sukurta nestandartinė analizė pradėjo populiarėti po Keislerio vadovėlio Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach pasirodymo 1976 metais.