Grd 102012
 

Kadangi paskutiniame įraše teigiau, kad vien tik privalomas matematikos brandos egzaminas nėra panacėja, tai natūralu manęs klausti: ,,Ką siūlau daryti?”.  Siūlau iš pagrindų peržiūrėti mūsų mokyklinės matematikos ugdymo praktiką, kurią sudaro mokyklinės matematikos turinys ir jos mokymo metodai. Tam, kad toks peržiūrėjimas būtų prasmingas ir sklandus, reikėtų susitarti dėl mokyklinės matemtikos vizijos, ugdymo tikslų ir vertinimo kriterijų. Pabandysiu išdėstyti savo dabartinį požiūrį į šiuos dalykus. Šio dėstymo svarbiausia išvada ir konkretus siūlymas: Lietuvos matematikų bendruomenė turėtų rimtai imtis mokyklinės matematikos turinio peržiūros ir atitinkamai keisti matematikos mokytojų ruošimą.

Kalbant apie mokyklinės matematikos viziją, reikėtų atsižvelgti į tai, kokia yra šiandienos matematika, koks yra matematikos vaidmuo moksle, ūkinėje veikloje ir mūsų kultūroje. Šiandienos matematika labai skiriasi nuo tos matematikos, kuri buvo prieš 100 ar 200 metų. Be to, mokyklinės matematikos turinys susiformavo prieš 100 metų ir nuo tada iš esmės nepasikeitė. Bet šiuo atveju svarbiau yra pokyčiai matematikos principuose, nei jos turinyje. Svarbu tai, kad matematika tapo žinių visuma apie tam tikras abstrakčias sąvokas, kurios formuoja realios tikrovės suvokimą ir tokiu būdu įtakoja ūkinę veiklą. Dar svarbiau tai, kad šių sąvokų atsiradimas ir tyrimas tiesiogiai nebėra siejamas su gamtos ir visuomenės tyrimu. Matematikos objektais yra sąvokos apibrėžiamos tik savo savybėmis, o jų tyrimas remiasi logikos metodais ir loginio neprieštaringumo kriterijumi. Dėl to matematikos vaidmuo visose kitose srityse nesumažėjo bet padidėjo ir tapo žymiai mažiau pastebimas neturintiems atitinkamų žinių. Matematikos įtaka kultūrai galima būtų palyginti su ta įtaka, kurią filosofijoje daro jos analitinė kryptis prasidėjusi nuo G. Frege.

Atsiradęs milžiniškas skirtumas tarp šiandienos matematikos ir mokyklinės matematikos trukdo gerinti matematinio ugdymo metodus ir mažina moksleivių motyvaciją mokytis matematikos; mokyklinė matematika atrodo vis mažiau turinti ką nors bendro su likusiu gyvenimu. Ši problema egzistuoja matyt visose valstybėse, bet skirtingose valstybėse ji sprendžiama įvairiai, kaip rodo valstybių švietimo sistemų tyrimai. Tačiau galima remtis nustatytais problemos identifikavimo rezultatais. Paminėsime amerikiečių vykdomos mokyklinės matematikos reformos kai kurias idėjas. Žurnale Notices of the AMS (2011, Vol. 58, No 3) matematikas Hung-Hsi Wu suformulavo penkis reikalavimus mokyklinei matematikai, vadindamas juos matematikos fundamentaliaisiais principais (žr. čia):

  1. Kiekviena sąvoka turi būti tiksliai suformuluota, o apibrėžimai turi sudaryti matematinio įrodymopagrindą. Su labai reta išimtimi, lietuviškuose mokyklinės matematikos vadovėliuose nerasime bent kiek tiksliau formuluojamų sąvokų. Paprastai abstrakčios sąvokos įvedimas prasideda ir baigiaisi jos naudojimo konkrečiais pavyzdžiais.
  2. Matematiniai teiginiai turi būti formuluojami tiksliai ir kiekvienu momentu turi būti aišku, kas yra žinoma, o kas nėra žinoma. Paprastai nėra aiškaus skirtumo tarp sakinių, kurių teisingumas yra loginis, ir sakinių, kurie remiasi gyvenimiška patirtimi ar analogija iš realaus gyvenimo.
  3. Kiekvienas tvirtinimas gali būti pagrindžiamas loginiu samprotavimu. Mūsų mokyklinės matematikos vadovėliuose įrodymų beveik neliko (tarp naujų vadovėlių, man žinomas tik vienas pateikiantis teoremų įrodymus, bet ir šis atrodo mokyklose beveik nenaudojamas).
  4. Matematika yra vieninga ir tampriai susijusi sistema, primenanti audinio raštą, kurio harmoniją sudaro tarpusavyje susijusios sąvokos ir metodai. Tuo tarpu mūsų visas 12 metų mokyklinės matematikos kursas atrodo kaip atskirų tarpusavyje nesusijusių faktų ir procedūrų rinkinys. Sudaromas vaizdas, kad matematika yra tik įvairių uždavinių ir jų sprendimo būdų rinkinys.
  5. Viskas, kas yra matematikoje turi savo tikslą, o šis apsprendžia atitinkamas sąvokas ir metodus. Mokomų sąvokų ir metodų prasmės platesniame kontekste žinojimas padeda motyvuoti moksleivius. Tuo tarpu daugelis matematikos techninių dalykų yra pateikiami kaip savotiški cirko triukai, o tai sukelia nepasitikėjimą savo galimybėmis.

Šių principų realizavimas mokyklinėje matematikoje reikalauja profesionalių matematikų darbo. Amerikiečiai jau paruošė savo mokyklinės matematikos programą pagrįstą šiais principais (žr. čia). Bet be atitinkamo matematikos mokytojų pasiruošimo ir be programą realizuojančių matematikos vadovėlių, pati programa lieka neįgyvendinama.

Tarkime, mes pritariame tokiai mokyklinės matematikos sampratai. Tačiau lieka ne mažiau sunki problema. Reikia pripažinti, kad moksleiviai nėra ir negali būti vienodai gabūs matematikai. Kita vertus, turime pripažinti, kad visi moksleiviai turi turėti galimybes atskleisti ir realizuoti savo gabumus. Šią problema galima spręsti organizuojant kelių sudėtingumo lygių matematinį ugdymą (dabartinis bendrasis ir išplėstinis mokyklinės matematikos kursai savo kokybiniu lygiu nesiskiria). Skirtingus lygius galėtų nusakyti skirtingi matematikos ugdymo tikslai.

Išskirkime du matematikos ugdymo tikslus:

  1. supažindinti su matematikos galimybėmis spręsti kasdieninio gyvenimo problemas;
  2. supažindinti su matematinio (abstraktaus) mąstymo elementais.

Pirmasis tikslas reiškia, kad nagrinėjamos sąvokos ir sprendžiami uždaviniai realaus arba kasdieninio gyvenimo kontekste, t.y. ne matematikos kontekste. Antrasis tikslas reiškia tų pačių dalykų nagrinėjimą matematiniame kontekste. Kitaip tariant, sąvokos apibrėžiamos logiškai nepriekaištingai ir uždaviniai formuluojami matematiniame kontekste.  Antrasis tikslas yra būtina sąlyga tam, kad būtų įmanoma moksleivius supažindinti su matematinio įrodymo metodu. Jis net galėtų atitikti H.-H. Wu suformuluotus matematikos fundamentaliuosius principus.

Šiuo metu Lietuvos mokyklose siekiama tik pirmojo tikslo. Atsižvelgiant į moksleivių gebėjimus ir siekiant antrojo tikslo, galima būtų patobulinti dabartinę dviejų kursų sistema (kaip jau minėta, ši dviejų kursų sistema kokybiškai nesiskiria ir abi jos siekia to paties, pirmojo, tikslo). Tokiu atveju baigiamąjį egzaminą galima būtų daryti dviem etapais. Pirmąją egzamino dalį laiko visi ir vertinami pagal pirmąjį tikslą atitinkančius reikalavimus.  Antrąją egzamino dalį laiko tik tie, kas nori būti įvertinti pagal antrojo tikslo kriterijus.

Tam, kad įgyvendinti šią matematinio ugdymo strategiją reikalinga profesionalių matematikų pagalba. Savo ruožtu, šią pagalbą galima paskatinti atitinkamais švietimo ir mokslo politikos svertais. Bet tai tik bendra kryptis, gairės. Paprastai būna taip, kad kuo toliau eini į mišką, tuo daugiau matai medžių.

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>