Mokyklinės matematikos turinys: funkcijos sąvoka

Funkcijos samprata matematikoje smarkiai keitėsi pastaruosius 400 ir daugiau metų. Tačiau pagrindiniai pokyčiai funkcijos sampratoje įvyko 19 amžiuje. Funkcijos sąvoka tapo tokia svarbia, kad jos dabartinė samprata skiria šiuolaikinę matematiką nuo klasikinės matematikos. Konstatuodamas šį faktą savo 1989 metų apžvalgoje, I. Kleineris išskiria tris skirtingų funkcijos sąvokų grupes:

1. geometrinė funkcijos samprata siejama su kreive;
2. algebrinė funkcijos samprata siejama su konkrečia analizine išraiška;
3. loginė funkcijos samprata išreiškianti abstraktų sąryšį tarp dviejų aibių.

Būtent tokia eiga evoliucionavo funkcijos samprata.  Geometrinė funkcijos sąvokos samprata dominavo I. Newtono ir G.F. Leibnizo laikais. Pastarasis 1692 metais pirmą kartą žodį ,,funkciją“ panaudojo išreiškti geometrinį objektą siejamą su kreive, pavyzdžiui, kreivės liestinę. Algebrinė funkcijos sąvokos samprata, iš esmės reiškianti formulę ar analizinę išraišką, įsigalėjo 18-ame amžiuje L. Eulerio įtakoje. Trečioji, loginė funkcijos sampratų grupė, atsirado kartu su matematinės analizės pagrindų sukūrimu 19-ame amžiuje ir iki šiol yra šiandienos matematikos funkcinio mąstymo išraiška. Šiame įraše  pabandysiu įvertinti funkcijos sąvokos supratimą ugdomą Lietuvos mokyklose.

Apklausa. Man nežinomi Lietuvoje galimai atlikti tyrimai, kuriuose būtų bandoma išsiaiškinti moksleivių žinios apie svarbiausias matematikos sąvokas, jų tarpe ir funkcijos sąvoką. Aš pats atlikau 53 moksleivių apklausą 2012 metų rugsėjo pirmomis dienomis jiems pradedant studijas VU Matematikos ir informatikos fakultete. Tarp dešimties jiems pateiktų klausimų vienas jų buvo toks:

Kas yra funkcija? Kokie galimi funkcijos apibrėžimo būdai?

• 12 moksleivių į šį klausimą visai neatsakė;
• 9 moksleiviai neatsakė į pirmą klausimo dalį, pateikė tik keletą savybių ar pavyzdžių;
• 8 moksleiviai parašė, kad funkcija yra kreivė arba grafikas;
• 6 moksleiviai parašė, kad funkcija yra lygtis;
• 6 moksleiviai parašė, kad funkcija yra judėjimas, pokytis, kitimas ir panašiai;
• 5 moksleiviai parašė, kad funkcija yra ,,reiškinio priklausomybė“;
• 3 moksleiviai parašė, kad funkcija yra taisyklė;
• 2 moksleiviai parašė, kad funkcija yra reiškinys.

Rudens semestre  šie studentai studijavo matematinę analizę pas mane. Žinodamas apklausos rezultatus ir remdamasis ankstesnių metų patirtimi, bandžiau kuo aiškiau ir neskubant aiškinti pagrindines matematinės analizės sąvokas. Prieš savaitę šie studentai laikė egzaminą. Maždaug trečdalis jų gavo teigiamą įvertinimą (penkis ar daugiau, maksimalus įvertinimas – 8), kiti gavo neigiamą įvertinimą (keturis ar mažiau). Tiesiogiai su funkcijos samprata susijusių klaidų nebuvo. Tačiau net keletas studentų naudojo išraiškas  kai  duota funkcija su reikšmėmis  . Pagrindinė problema studentų atsakymuose yra matematinio samprotavimo nesupratimas. Deja, bandant taisyti ankstesnio mokymosi klaidas, šiam dalykui aiškinti laiko nebelieka. Apie matematinio mąstymo ypatumus rašysiu kituose savo komentaruose.

Apklausos atsakymai atspindi tai, kad funkcijos sąvoka mokykloje nėra laikoma svarbia, matyt kaip ir daugelis kitų dalykų, tiesiogiai nesusijusių su galimomis užduotimis brandos egzaminuose. Apklausos rezultatai taip pat rodo, kad funkcijos sampratų spektras labai įvairus. Šią įvairovę bandysiu surūšiuoti ir įvertinti. Bet prieš tai galima būtų suformuluoti pirmą pastabą, skirtą matematikų bendruomenei.

1 pastaba. Norintiems mokytis universitetinės matematikos turime organizuoti ,,parengiamuosius kursus“.

Tai nėra problemos sprendimas, nes tikrosios matematikos žinių reikia kiekvienam išsilavinusiam žmogui. Be to, matematika nėra tik gamtos mokslų dalis, ji yra kultūros dalis ir yra šalia bet kurio mokslo. Šią išvadą formuluoju todėl, kad ją būtų lengviausia įgyvendinti problemas suprantančiai matematikų bendruomenei.

Kitas man prieinamas sąvokų supratimo tyrimo būdas yra matematikos vadovėlių turinio analizė. Kaip funkcija apibrėžiama ir aiškinama vadovėliuose? Tam pasirinkau dviejų leidyklų vadovėlius, toliau vadindamas jas X ir Y leidyklomis.

Y leidyklos vadovėliai. Šios leidyklos 11 klasės vadovėlyje yra tokia apibrėžtis:

[Y leidyklos vadovėlis] Jei kiekvienai vieno dydžio reikšmei pagal tam tikrą taisyklę vieninteliu būdu priskiriama kito dydžio reikšmė , tai sakoma, kad dydžiai ir susiję funkcine priklausomybe. Faktą, kad kintamojo reikšmė priklauso nuo kintamojo reikšmės, įprasta užrašyti taip: . Kintamasis vadinamas nepriklausomuoju kintamuoju (argumentu), o – priklausomuoju kintamuoju (funkcija). 

 Svarbiausiais šios apibrėžties elementais yra sąvokos ,,dydis“, ,,dydžio reikšmė“, ,,kintamasis“ ir ,,taisyklė“, nes nuo jų sampratos priklauso ir funkcijos samprata. Vadovėlio pradžioje, po konkretaus realios tikrovės daikto aptarimo, rašoma, kad ,,užrašo raidės žymi kintamuosius dydžius, nuo kurių skaitinių reikšmių priklauso konkretus atstumas“. Toliau pažymima, kad ir – kintamieji, – reiškinys, ir – skaitinės kintamųjų reikšmės. Tokiu būdu, pavyzdžiais, paaiškinamos pirmosios funkcijos apibrėžtyje naudojamos sąvokos. Apie paskutiniąją sąvoką teigiama, kad ,,taisyklė (funkcija), kuria nusakoma dviejų kintamųjų dydžių tarpusavio priklausomybė, gali būti reiškiama: žodžiais, formule, lentele, grafiku“.

Šioje Y leidyklos vadovėlio apibrėžtyje yra B ir C grupėms priklausančių funkcijos sąvokų bruožų: tai kas susiję su ,,dydžio“ sąvokos vartojimu priklauso B grupei, o  sąvokos ,,taisyklė“ naudojimas pretenduoja į C grupę. Šiuo požiūriu tikslesnis yra V. Uspenskio [2012; 290-297] funkcijos sampratos skirstymas į dvi kryptis:

1. ,,kintamuosius dydžius“ naudojanti funkcijos samprata, orientuota į tradicinius matematikos taikymus gamtos moksluose ir technikoje;
2. su ,,kintamuoju dydžiu“ nesiejama, bet tikslesnė funkcijos samprata, orientuota į šiandienę matematiką.

Pirmoji funkcijos samprata natūraliai paplitusi matematikos taikymuose, nes tam pritaikyta ,,dydžio“ sąvoka. Visuotinėje Lietuvių Enciklopedijoje teigiama, kad dydis – matematikos sąvoka, reiškianti objekto arba reiškinio išmatuojamumą ir apskaičiuojamą savybę. Pradedant antikos laikas dydžio samprata nuolat kito. Šiais laikais dydis yra , čia yra realusis skaičius, o yra matavimo vienetas. Ne visų dydžių reikšmė vykstant vienokiam ar kitokiam procesui išlieka pastovi, todėl dydžiai gali būti pastovieji ir kintamieji. Kintamasis dydis dažniausiai reiškia skirtingus realiuosius skaičius priklausomai nuo laiko. Tai, kad kintamasis dydis priklauso realaus pasaulio kontekstui rodo ir tai, kad frazė ,,kintamasis skaičius“ panašus į oksimoroną. Čia verta prisiminti, kad frazėje ,,realusis skaičius“ žodis ,,realusis“ neturi nieko bendro su realiuoju pasauliu, o nurodo tai, kad jis nėra menamasis skaičius ir toks išsireiškimas pradėtas naudoti atsiradus kompleksiniams skaičiams.

V. Uspenskio nuomone, pirmoje funkcijos sampratos kryptyje galima išskirti dar dvi alternatyvas. Pirmuoju atveju funkcija yra kintamasis dydis, o antruoju atveju funkcija yra taisyklė. Taigi šis atvejis pirmoje kryptyje ir yra tas, kuris naudojamas Y leidyklos vadovėlyje. Toliau V. Uspenskis rašo [2012; 292 psl.], kad tokios funkcijos sampratos negali būti laikomos aiškiomis. Tam, kad jas paaiškinti reikia turėti aiškų kintamųjų dydžių supratimą. Toks aiškinimas būtų už aibių teorijos konteksto, kurio paprastai daugiau ar mažiau laikomasi mokykloje.

Loginė funkcijos samprata. Pagal V. Uspenskį, antroji funkcijos sampratos kryptis nenaudoja kintamųjų dydžių. Ši kryptis taip pat turi skirtingas išraiškos alternatyvas. Bet čia į jas nesigilinsiu, o, kaip pavyzdį, suformuluosiu funkcijos sampratą paprasčiausiu atveju:

[Loginė funkcijos samprata] Sakoma, kad realiųjų skaičių aibėje apibrėžta funkcija jei kiekvienam realiajam skaičiui atitinka vienintelis realusis skaičius, žymimas 

Tokia funkcijos samprata susiformavo 19 amžiuje kartu su matematinės analizės ir aibių teorijos pagrindais. Šioje apibrėžtyje naudojamos sąvokos ,,realusis skaičius“, ,,aibė“ ir ,,atitiktis“ turi konkrečias prasmes  minėtų teorijų kontekste. Pirmos dvi sąvokos yra mokyklinės programos dalis ir todėl jos nagrinėjamos nepriklausomai nuo funkcijos sąvokos. Tuo tarpu funkcijos esmės atskleidimas turėtų vykti aiškinantis ,,atitikties“  (,,taisyklės“, ,,sąryšio“) sąvoką.

Negaliu susilaikyti nenukrypdamas šiek tiek į šoną ir pakomentuoti loginės funkcijos sampratos svarbą. Tokios funkcijos reikšmės neprivalo turėti formulės ar reiškinio išraišką kaip, pavyzdžiui, Dirichlet pasiūlyta funkcija su reikšmėmis:

 19 amžiaus matematikams buvo labai netikėta, kad tarp loginės funkcijos pavyzdžių gali būti realiame pasaulyje neįsivaizduojamų objektų. Pavyzdžiui, K. Weierstrassas aptiko realiųjų skaičių aibėje apibrėžtą funkciją su reikšmėmis

kuri yra tolydi, bet nei viename apibrėžimo srities taške neturi išvestinės (detalus šių faktų įrodymas yra W. Dunhamo knygoje [2005; 140-148]). Šio matematinio objekto atitikmuo realiame pasaulyje būtų judėjimas, kuris nei vienu laiko momentu neturi greičio. Be naujojo matematinės analizės  aparato Weierstrasso ,,monstro“ egzistavimo neįmanoma įrodyti. Praeitame šimtmetyje tokios egzotiškos funkcijos matematikams tapo įprastu dalyku. Tiek įprastu, kad be jų nėra įmanomas finansų rinkos akcijų kainų modeliavimas. Loginė funkcijos samprata leidžia kalbėti apie funkcijas apibrėžiamas savo savybėmis, nenaudojant konkrečios analizinės išraiškos. Bet tam reikia siekti abstraktaus mąstymo mokykloje ugdymo.  Manau, kad tokių funkcijos pavyzdžių nagrinėjimas mokykloje galėtų moksleivius motyvuoti mokytis matematikos.

X leidyklos vadovėliai. Dabar pereisiu prie X leidyklos vadovėlyje formuluojamos funkcijos sampratos aptarimo. Būtent, 11 klasės vadovėlyje matau tokį apibrėžimą:

[X leidyklos vadovėlis] Kintamojo priklausomybė nuo kintamojo , kai kiekvienai galimai reikšmei pagal kokią nors taisyklę priskiriama vienintelė reikšmė, vadinama funkcine priklausomybe, arba funkcija.  Dažniausiai funkcijos nurodomos reiškiniu arba (ir) grafiku.

Svarbiausiais šios apibrėžties elementais yra sąvokos ,,kintamasis“, (kintamojo) ,,reikšmė“, ,,taisyklė“ ir ,,reiškinys“. Skirtingai nuo Y leidyklos vadovėlių, šioje apibrėžtyje nėra ,,dydžio“ sąvokos. Bet kas gi yra ,,kintamasis“, kurio reikšmė yra skaičius. X leidyklos 9-tos klasės vadovėlyje randu, kad ,,raidinio reiškinio raidės yra vadinamos to reiškinio kintamaisiais“. Abejoju, kad toks paaiškinimas yra pakankamai tikslus. Tuo labiau, kad ,,reiškinio su vienu kintamuoju“ aiškinimas pradedamas pavyzdžiu . Nors žymėjimas nurodo, kad šiame reiškinyje kintamuoju yra , bet ir taip pat yra reiškinio raidės, kažkodėl reiškiančios skaičius – ne kintamuosius. Pagal naudojimo prasmę kintamasis galėtų būti apibrėžiamas taip: kai nagrinėjamu objektu gali būti bet kuris aibės A elementas, tai toks objektas vadinamas kintamuoju, o aibė A vadinama kintamojo reikšmių sritimi. Kintamasis paprastai žymimas lotynų kalbos abėcėlės paskutinėmis raidėmis , ir  .

Dabar apie tai, kas yra ,,reiškinys“ X leidyklos vadvėliuose.  Viename šios leidyklos 7 klasės vadovėlyje randu paaiškinimą: ,,užrašą, sudarytą iš skaičių, raidžių, veiksmų ženklų ir skliaustų, vadiname raidiniu reiškiniu“. Jei vienos iš nurodytų dalių nėra, tai ar užrašas vis dar bus ,,raidinis reiškinys“? Aukštesnėse klasėse reiškinio dalių daugėja, atsiranda moduliai, logaritmai, sinusai ir taip toliau. 9-tos klasės vadovėlyje randu objektą, vadinamą ,,reiškiniu su vienu kintamuoju“.  Toliau vadovėlyje primenama ir mokoma šių dalykų:

• ,,kaip skaičiuojama reiškinio reikšmė, kai žinoma reiškinio kintamojo reikšmė“;
• ,,kaip randama reiškinio kintamojo reikšmė, kai žinoma reiškinio reikšmė“;
• ,,kaip koordinačių plokštumoje pavaizduoti reiškinio reikšmes, t.y. braižyti reiškinio grafiką“.

Norint pabrėžti, kad ,,reiškinio“, pavyzdžiui, reikšmė priklauso nuo reikšmės, rašoma: Į raidę siūloma žiūrėti kaip į ,,reiškinio“ pavadinimą.

Šios pastabos verčia manyti, kad ,,reiškinys su vienu kintamuoju“ yra panašus į funkciją, nors nėra tas pats. ,,Reiškinys su vienu kintamuoju“  nurodo funkciją kai reiškinys pažymimas raide, t.y.  Matyt tokiu būdu norima parodyti, kad funkcija yra taisyklė, o ,,reiškinys su vienu kintamuoju“ būtų kažkas panašaus į funkcijos reikšmę? Tai tik mano spėjimas. Kitas klausimas: nėra ,,reiškinys su vienu kintamuoju“, nes dešinėje lygybės pusėje nėra raidės ? Tuo tarpu  nusako funkciją, kuri kiekvienam skaičiui  priskiria skaičių 2. Galiausiai naujausiame X leidyklos 12 klasės vadovėlyje,  greta funkcijos išvestinės, aptariama ,,reiškinio su vienu kintamuoju“ išvestinė, teigiant, kad ,,reiškinio išvestinės samprata analogiška funkcijos išvestinės sampratai“. Aiškaus skirtumų tarp funkcijos ir ,,reiškinio su vienu kintamuoju“ paaiškinimo vadovėliuose neradau. Ar mokytojui ir moksleiviui suprantami skirtumai tarp šių objektų? Abejoju. Kodėl reikia nagrinėti abu objektus man neaišku.

Baigiamosios pastabos. Dviejų leidyklų vadovėliu apžvalga rodo, kad siūloma funkcijos samprata atspindi tik 18 amžiaus požiūrį. Loginės funkcijos sampratai įsisavinti reikalingas abstraktaus mąstymo elementų ugdymas. Toks darbas galėtų būti atliekamas tik kompleksiškai peržiūrint visą mokyklinės matematikos turinį. Bet iki tol matematikų bendruomenė turėtų apsispręsti ar ji nori rimtai imtis šio darbo.

Šio įrašo pastabos apie funkcijos sąvokos problemiškumą Lietuvos mokyklose yra pradinės ir neišvengiamai paviršutiniškos. Nuojauta kužda, kad problemų yra daugiau ir gilesnių. Tokia padėtis funkcijos sąvokos atžvilgiu nėra specifinė tik Lietuvos mokykloms. Labai panašūs reiškiniai rutuliojosi daugumos šalių mokyklose. Skirtumas tik tas, kad kitose šalyse matematikų bendruomenės skiria labai daug dėmesio mokyklinės matematios problemoms lyginant su tuo dėmesiu, kurį parodome mes, lietuviai. Šio įrašo gale yra tik keletas nuorodų į darbus, kuriuose nagrinėjami funkcijos sampratos mokykloje sunkumai. Jų egzistuoja gerokai daugiau.

Vakarų kultūroje funkcinis požiūris vaidino ypatingą vaidmenį išreikšdamas matematikos vieningumą. 19 amžiaus pabaigoje JAV ir Europoje išryškėjo nepasitenkinimas viduriniu švietimu ir atsirado poreikis suvienodinti mokyklinės matematikos programas. Dar 1893 metais matematikas Felixas Kleinas kalbėdamas Tarptautiniame matematikų kongrese pabrėžė būtinumą naudoti funkcijos sąvoką mokyklinėje matematikoje. Vėliau jis ir kiti išplėtojo funkcinės matematikos idėją. Kleinas teigė, kad funkcijos sąvoka ,,nėra tik viena tarp daugelio kitų matematikos sąvokų, ji yra matematinio mąstymo širdis ir siela“. Bet tolesnė apžvalga jau nebetelpa į šio įrašo temą.

Cituojama Literatūra

W. Dunham [2005]. The Calculus Gallery. Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton University Press, pp. 236.

I. Kleiner [1989]. Evolution of the Function Concept: A Brief Survey. College Mathematics Journal 20, 282-300. Prieiga internete PDF dokumentas

V. Uspenskii [2012]. Апология математики. Торгово-издательский дом „Амфора“

Papildoma literatūra

C.A. Burnett-Bradsdhaw [2007]. From Functions as Process to Functions as Object: A Review of Reification and Encapsulation. PhD Thesis, Tufts University. Prieiga internete PDF dokumentas

C. Insook [1999]. Mathematical and Pedagogical Discussions of the Function Concept. Journal of the Korea Society of Mathematical Education, vol. 3, no. 1, 35-56.  Elektroninė forma PDF dokumentas

M. Jones [2006]. Demystifying Functions: The Historical and Pedagogical Difficulties of the Concept of the Function. Elektroninė forma PDF dokumentas

A.J. Lambertus [2007]. Students’ Understanding of the Function Concept: Concept Images and Concept Definitions. Magistrinis darbas. Prieiga internete PDF dokumentas

C.P. Nicholas [1966]. A Dilemma in Definition. The American Mathematical Monthly, Vol. 73, No. 7, 762-768. Elektrononė forma PDF dokumentas

M.C. Oehrtman, M.P. Carlson, P.W. Thompson [2008]. Foundational Reasoning Abilities that Promote Coherence in Students’ Function Understanding. In: M.P. Carlson & C. Rasmussen (Eds.) Making the connection: Research and practice in undergraduate mathematics (pp. 27-42). Washington DC: Mathematical Association of America. Prieiga internete PDF dokumentas

G. Restrepo and J.L. Villaveces [2012]. Mathematical Thinking in Chemistry. HYLE International Journal for Philosophy of Chemistry, Vol. 18, No. 1, 3-22.  Prieiga internete htm dokumentas

J. Ryan and J. Williams [1998] The Search for Pattern: Student Understanding of the Table of Values Representation for Function. Prieiga internete PDF dokumentas

L. Sheehy [1996]. The History Of The Function Concept In The Intended High School Curriculum Over The Past Century: What Has Changed And What Has Remained The Same In The Roles That Functions Are To Play? Prieiga internete Word dokumentas

H.A. Thurston [1967]. A Reply to ,,A Dilemma in Definition“. The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 10, 1259-1261. Elektroninė forma PDF dokumentas

O. Viirman. Different Views – Teacher and Engineering Students on the Concept of Function.  Prieiga internete PDF dokumentas