Rgp 302013
 

Rugsėjo antrą dieną prasideda dešimt savaičių truksiantis Stanfordo universiteto (JAV) matematiko Keitho Devlino internetinis kursas įvadas į matematinį mąstymą. Šiame kurse supažindinama su svarbiu šiuolaikinės matematikos bruožu loginiu samprotavimų tikslumu. Tai yra parengiamasis kursas vidurinę mokyklą baigusiems moksleiviams ir pradedantiems matematikos studijas universitete.  Priežastis ta, kad daugumoje mokyklų mokoma devynioliktojo amžiaus lygio matematikos.  Tai ypač ryšku Lietuvoje. Mūsų matematinis ugdymas siekia perduoti vaikams tik procedūrines žinias – tipiškų uždavinių sprendimo metodus. Gabiems vaikams – olimpiadianių uždavinių sprendimo metodus. Tuo tarpu loginis samprotavimų tikslumas ignoruojamas visų vaikų atžvilgiu.

Manau, kad mūsų abiturientams šis kursas gali būti per sunkus. Ne tik dėl anglų kalbos silpno mokėjimo. Daugiau dėl ypač silpno matematinio pasiruošimo. Tačiau man atrodo, kad šis kursas galėtų būti naudingas mūsų matematikos mokytojams. Todėl rekomenduoju mokytojams pabandyti prisiregistruoti čia ir žiūrėti kaip seksis. Plačiau apie kursą Keithas Devlinas rašo čia. Kurso tema yra jo knygutė.

Jei kils klausimų, rašykite man (rimas.norvaisa@mii.vu.lt).

P.S. Pagalvojau, jog verta pacituoti keletą teiginių iš mano minėtos Keitho Devlino knygutės Introduction to Mathematical Thinking.  Panašius teiginius jau senokai kartoju savo susitikimuose su matematikos mokytojais ir savo tekstuose. Bet manęs neapleidžia nuojauta, kad esu laikomas (ypač tarp švietimo ir mokslo politikų), švelniai tariant, keistuoliu, žymiai perdedančiu savo profesijos reikšmę.

Kreipdamasis į skaitytoją knygutės įvade Keithas Devlinas rašo apie analitinių mąstymo gebėjimų reikalingumą visiems visuomenės nariams.  Jis teigia, kad darbdaviai paprastai ieško tokių darbuotojų, kurie turėtų gerus analitinio mąstymo gebėjimus ir sugeba įgyti naujus gebėjimus kai tik jų prireikia. Tokias savybes turi žmonės su gerais matematinio mąstymo įgūdžiais.  Keithas Devlinas rašo:

[B]ūtent matematinio mąstymo gebėjimas, reikalingas įsisavinti šiuolaikinę grynąją matematiką, yra esminis protinis gebėjimas reikalingas patirti sėkmę daugumoje profesijų ir viso gyvenimo eigoje.

Lietuvos darbdaviai taip pat turi panašią nuomonę. Bet jie klysta manydami, kad privalomas matematikos brandos egzaminas užtikrins analitinio mąstymo gebėjimų atsiradimą.

Tolesnis Keitho Devlino kreipimasis į studentus paaiškina kodėl mūsų darbdaviai klysta. Matematinio mąstymo gebėjimas įgalina spręsti visiškai naujas problemas (praktines, realaus gyvenimo ar kitų mokslų problemas), kurioms nėra žinoma sprendimo metodų. Kai kuriais atvejais tokių problemų sprendimui netinka jau žinomos procedūros. Toks matematinio mąstymo gebėjimas nėra ugdomas vidurinėje mokykloje. Nors mūsų bendrojoje programoje teigiama, kad toks gebėjimas yra ugdomas. Bet jis suprantamas priešingai nei aiškina Keithas Devlinas.  Mūsų bendrasis ugdymas matematinio mąstymo gebėjimą sieja su gebėjimu taikyti procedūras ir algoritmus sprendžiant tipiškus uždavinius.

Keithas Devlinas vaizdingai performuluoja minėtus matematinio mąstymo supratimo skirtumus: vidurinėje mokykloje moksleivis mokomas ,,mąstyti dėžės viduje”; matematiką universitete studijuojantis jaunuolis sėkmę patiria tada, kai sugeba ,,mąstyti dėžės išorėje”. Būtent tokį mąstymą šiandien vertina darbdaviai. Knygutės ir internetinio kurso tikslas yra padėti mokytis spręsti naujas problemas, tokias, kurių sprendimui netinka visi iki šiol žinomi metodai.

Kitas vaizdingas Keitho Devlino matematinio ugdymo skirtumų apibūdinimas yra palyginimas su žiniomis apie automobilį: mokyklinis matematikos ugdymo pasiekimas atitinka mokėjimą vairuoti automobilį, o universitetinis matematikos ugdymas atitiktų automobilio veikimo principų supratimą, gebėjimą jį prižiūrėti ir remontuoti, ir, pakankamai gilios studijos, suteikia gebėjimą pačiam konstruoti automobilį.

Toliau cituoju iš Keitho Devlino knygutės pirmojo skyrelio ,,Kas yra matematika?”:

Matematikos mokymo mokykloje laikotarpiu, labai mažai (jei iš viso) laiko skiriama paaiškinti kas yra toji matematika. Vietoje to, dėmesys sutelkiamas įvairių procedūrų ir metodų sprendžiant matematikos uždaviniams  mokymuisi. Tai yra panašu į aiškinimą, kad futbolas yra rinkinys judesių naudojamų nukreipti kamuolį į vartus. Abu aiškinimai lyg ir tiksliai apibūdina kai kuriuos veiklos aspektus, bet jie nieko nepasako apie bendrą vaizdą ir tokios veiklos prasmę.

Aš galiu suprasti kaip tai atsitinka turint galvoje privalomos matematinio ugdymo programos turinio apimtis. Bet tai yra klaida, aš manau. Ypač šių dienų pasaulyje, matematikos prigimties, apimties, galių ir ribų supratimas yra vertingas kiekvienam piliečiui. ….

1.1. Daugiau negu aritmetika

Beveik visa matematika, naudojama šių dienų moksle ir technologijose, yra ne daugiau kaip trijų ar keturių šimtų metų amžiaus. Didesnė jos dalis yra pastarojo šimtmečio matematinės veiklos rezultatas. Tuo tarpu standartinę bendrojo matematinio ugdymo programą mokykloje sudaro senesnė matematika, netgi virš kelių tūkstančių metų amžiaus.

Savaime nėra nieko blogo mokyti tokių senų dalykų. Kaip patarlė sako: ,, Tai, kas nėra sulaužyta, taisyti nereikia”. Algebra, kurią sukūrė arabų prekybininkai aštuntame ir devintame amžiais [...], siekdami padidinti savo veiklos efektyvumą, šiandien išlieka tokia pat naudinga ir svarbi, nepaisant to, kad dabar ši algebra yra užprogramuota kompiuteriuose, o ne atliekama rankiniu būdu. Laikas bėga ir visuomenė tobulėja.  Tai sukelia naujos matematikos poreikį. Švietimas turėtų neatsilikti nuo šio vystymosi.

Galima sakyti, kad matematika atsirado su skaičių ir aritmetikos sukūrimu. Manoma, kad tai atsitiko maždaug prieš dešimtį tūkstančių metų, pradėjus naudoti pinigus. (Taip, atrodo, kad matematikos pradžia sietina su pinigų skaičiavimu!) 

Po to sekusių amžių eigoje, senovės egiptiečiai ir babiloniečiai išplėtojo matematiką, sukurdami geometriją ir trigonometriją. Šiose civilizacijose matematika daugiausia buvo pragmatinė ir labai panaši į ,,receptų” rinkinį. ,,Daryk tą ar aną veiksmą su skaičiais ar geometrine figūra ir gausi atsakymą”. (RN: primena dabartinės mokyklinės matematikos turinį ir stilių.)  

Laikotarpis tarp 500 ir 300 metų prieš mūsų erą buvo graikų matematikos amžius. Senovės Graikijos matematikai labai aukštai vertino geometriją. Iš tikro, jie traktavo skaičius geometriškai, kaip ilgio matavimo rezultatą, ir, pasirodžius, kad egzistuoja ilgis be jiems žinomo skaičiaus atitikmens (iš esmės tai buvo iracionaliojo skaičiaus atradimas), jie nustojo tyrinėti skaičius.  

Iš tikro, tai buvo graikai, kurie matematiką padarė (akademinių) tyrimų sritimi, o ne tik matavimo, skaičiavimo ir apskaitos metodų rinkiniu. Apie 500-uosius metus prieš mūsų erą Thales iš Mileto (Miletas yra dabartinės Turkijos teritorijoje)  pasiūlė idėją, kad tiksliai suformuluotas matematikos teiginys gali būti logiškai įrodytas naudojant formalius argumentus. Ši inovacija žymi gimimą tai, kas dabar vadinama ,,teorema”, kuri yra pagrindiniu matematikos principu. Tokios formalios argumentacijos plėtros pasekme tapo Euklido ,,Pagrindai”, manoma esant antra labiausiai paplitusia visų laikų knyga po Biblijos.

Apskritai paėmus, mokyklinę matematiką sudaro visi šie iki šiol mano paminėti dalykai, kartu su keletu naujų temų, atsiradusių septynioliktame amžiuje: diferencialiniu ir integraliniu skaičiavimu bei tikimybių teorija. Faktiškai nieko iš pastarųjų trijų šimtų metų matematikos vystymosi nebuvo perkelta į mokyklos klases. Tuo tarpu būtent pastarųjų dviejų šimtų metų, o tuo labiau trijų šimtų metų amžiaus, matematika yra daugiausia naudojama šiuolaikiname pasaulyje. 

To pasekmė, kiekvienas, kurio pažiūras į matematiką formavo mokykla, nepatikės, kad matematikos tyrimai gali būti klestinti pasaulinė veikla, ir nepripažins, kad matematika giliai prasiskverbė į daugumą šiandieninio gyvenimo sričių. [...]

Dramatiška matematikos plėtra apie 1980 metus suformavo naują matematikos apibrėžimą – dėsningumų mokslas (angl. science of patterns) .Pagal šį apibrėžimą, matematika ieško ir tiria abstrakčius dėsningumus – dėsningumus tarp skaičių, dėsningumus tarp formų, judėjimo dėsningumus, elgesio dėsningumus, balsavimo visuomenėje dėsningumus, pasikartojančių atsitiktinių reiškinių dėsningumus ir t.t. Tokie dėsningumai gali būti realūs arba įsivaizduojami, jutiminiai arba protiniai, statiniai arba dinaminiai, kiekybiniai arba kokybiniai, pragmatiniai arba pramoginiai. Jie gali atsirasti iš mus supančio aplinkinio pasaulio, plėtojantis mokslui, arba žmogaus mąstymo veikloje. Skirtingi dėsningumai suformuoja skirtingas matematikos šakas. Pavyzdžiui:

  • Aritmetika ir skaičių teorija tiria skaičių ir skaičiavimo dėsningumus.
  • Geometrija tiria formos dėsningumus.
  • Matematinė analizė tiria judėjimo dėsningumus.
  • Logika tiria samprotavimo dėsningumus.
  • Tikimybių teorija susijusi su atsitiktinumų dėsningumais.
  • Topologija tiria artumo ir padėties dėsningumus.
  • Fraktalinė geometrija tiria pasikartojančių panašumų (angl. self-similarity) reiškinius aptinkamus realiame pasaulyje.

Šioje vietoje baigiu Keitho Devlino knygutės citavimą.  Pabaigai norisi pasakyti, kad pastaruoju metu kalbant apie būtinumą matematiniame ugdyme diegti samprotavimų loginio tikslumo elementus susiduriu su vertinimu, kad į mokyklą bandoma perkelti ,,akademinių žinių” mokymą. Ironiškas sutapimas naudojant frazę ,,akademiškos žinios”. Būtent, noras Senovės Graikijos laikų matematikos stilių, vadinamo akademine matematika, perkelti į mokyklas susilaukia mūsų švietimo specialistų pasipriešinimą. Tai rodo kaip giliai mūsų visuomenėje įsigalėjo primityvūs stereotipai apie matematiką. Netgi antikos laikų matematika tampa per sunki mūsų visuomenei.

Čia galima išklausyti interviu su Keith’u Devlin’u, kuriame jis pasakoje apie save, apie matematiką ir apie tai kas nutylima kalbant apie matematiką mokykloje.

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>