Pagal 2014 m. liepos 31 d. Švietimo ir mokslo ministro įsakymą, keičiasi matematikos brandos egzamino laikymo taisyklės. Nuo 2016 metų, daliai moksleivių matematikos brandos egzaminas taps privalomu, kitai daliai – neprivalomu. Tiems, kuriems matematikos egzaminas privalomas, minimalūs reikalavimai bus skirtingi. Šie skirtumai galios tiems, kurie norės toliau studijuoti universitete ar kolegijoje. Čia svarbu tai, kad matematika traktuojama kaip disciplina, kurios vieniems reikia daugiau, o kitiems reikia mažiau, ar visai nereikia. Toks skirstymas rodo matematikos ugdymo tikslų ir turinio nesupratimą. Todėl dar kartą bandysiu paaiškinti problemą.
Šį kartą nusprendžiau tiesiog išversti į lietuvių kalbą tai, ką amerikiečių matematikas Robert H. Lewis savo tinklaraštyje rašė apie matematikos mokymo nesupratimą savo tautiečiams Mathematics: The Most Misunderstood Subject. Po vertimo yra mano komentaras vertinant ministro įsakymą.
Kodėl tiek daug žmonių turi klaidingą supratimą apie matematiką?
Didžiausias nesusipratimas apie matematiką – gniuždantis ir žlugdantis tiek moksleivių, kiek nei vienas kitas dalykas – yra įsivaizdavimas, kad matematika tai formulės ir skaičiavimas. Tai pasąmonėje tūnanti iliuzija, kad matematika yra taisyklių ir formulių rinkinys, kurias sugalvojo Dievai žino kas ir Dievai žino kokiems tikslams, o moksleivio pareiga yra visa tai įsiminti. Tokie moksleiviai tikriausiai įsivaizduoja, jog kažkada ateityje prisistatys jo darbdavys ir paklaus: ,,Greitai, kas yra kvadratinė formulė?“ Arba: ,,Skubiai, man reikia žinoti kam lygi funkcijos 
Tai kokia iš tikro yra matematika?
Matematika ne apie atsakymus, o apie atsakymų paieškas. Pateiksiu visą eilę alegorijų, kurios turėtų padėti atskleisti klaidingo supratimo priežastis ir sudaryti tam tikrą įspūdį apie tai, kas yra matematika. Nei viena iš tų alegorijų atskirai yra pakankamai tiksli, bet visos kartu sudaro tam tikrą vaizdą.
Pastoliai
Prieš pradedant statyti naują pastatą, pirmiausia iš plieninių statramsčių surenčiamas karkasas, vadinamas pastoliais. Darbininkai užsilipa ant pastolių ir pasideda šalia įrankius naudojamus paties pastato statybai. Patys savaime pastoliai nėra reikalingi. Būtų tiesiog nesusipratimas suręsti pastolius ir pasišalinti taip lyg kažkas vertingo būtų jau atlikta.
Tačiau taip atsitinka daugumoje matematikos pamokų mūsų mokyklose. Moksleiviai išmoksta formulę ir kaip įstatyti į ją skaičius. Jie išmoksta mechaniškai naudotis kai kurių lygčių sprendimo procedūromis arba kaip suskaičiuoti konkrečios išraiškos išvestinę. Bet visi šie dalykai yra tiesiog pastoliai. Kažkam jie yra būtini ir naudingi, bet savaime yra beverčiai. Paviršutiniškas mokymasis manant, kad taip sužinoma kažkas svarbaus yra tas pats, kas pasitenkinamas tik pastolių statymu.
Pats ,,pastatas“ matematikos mokymosi kontekste yra matematinis supratimas, gebėjimas mąstyti, suvokti ir analizuoti matematiškai.
Pasiruošę finalinėms rungtynėms
Profesionalūs sportininkai valandų valandas praleidžia sporto salėse mankštindamiesi su visokiais prietaisais. Samdomi specialūs treneriai padedantys sudaryti treniruočių tvarkaraščius. Ilgą laiką jie praleidžia tiesiog bėgdami bėgtakiu. Kodėl jie tai daro? Ar tokiu būdu jie įgyja savosios sporto šakos, pavyzdžiui krepšinio, būtiniausius įgūdžius?
Tarkime liko trys sekundės iki rungtynių pabaigos žaidžiant olimpinių žaidynių krepšinio finale. Rezultatas apylygis. Minutinė pertraukėlė. Įtampa didžiulė. Trenerį apspito geriausi jo žaidėjai. Vienam jų jis sako: ,,OK, Jonai, laikas baigiasi. Tu žinai ką daryti.“ Jonas ir sako: ,,Be abejo treneri. Atneškit man bėgtakį.“
Ha! Na žinoma ne! Bet jei ne, tai kam tiek laiko praleista ant bėgtakio? Jei bėgtakis nėra naudojamas žaidime, tai gal būt praleistas ant jo laikas yra veltui? Na o visi tie sporto salės treneriai taip pat leido laiką veltui? Žinoma ne! Kažkas vertingo buvo įgyta (jei atlikta taisyklingai), būtent išsiugdyta ištvermė ir fizinė jėga. Šie gebėjimai turi neįkainuojamą vertę net ir tada, kai jų tiesioginis naudojimas nepastebimas. Lygiai taip pat ir matematinis ugdymas išugdo kažką vertingo, įgūdį protauti ir gebėjimą mąstyti.
Nedraugiškas vakarėlio dalyvis
Kai aš buvau pirmoje klasėje mes skaitėme knygutes apie Jonuką ir Marytę. Knygutėse buvo daugybė tokių sakinių, kaip ,,žiūrėk Jonukas bėga“ ir panašiai. Jonukas ir Marytė turėjo šuniuką Takį.
Ką bendro visa tai turi su matematiniu ugdymu? Pabandysiu paaiškinti. Kartais vakarėliuose mano sutikti žmonės sužinoję, kad aš esu matematikos profesorius parodo sunkiai slepiamą priešiškumą. Kartą, vienas žmogus pasakė man maždaug taip: ,,Žinote, mokykloje aš turėjau mintinai kalti kvadratinės lygties šaknų formulę, bet niekada gyvenime man jos neprireikė. Nuo tada aš ją pamiršau. Koks laiko švaistymas. Ar JŪS kada nors ja naudojotės ne mokymo tikslams?“.
Man knietėjo atsakyti: ,,Ne, žinoma, kad ne. Tai kas?“ Tiesą sakant, būdamas matematiku ir programuotoju, kartais tą formulę naudoju. Tačiau geriausiai į užduotą klausimą atsakyti taip: ,,Ne, žinoma, kad ne. Tai kas?“ ir tai nėra įžeidžiantis atsakymas.
Juk, jei aš būčiau buvęs to žmogaus pirmos klasės mokytoju, vargu ar jis man pasakytų: ,,Žinote, aš negaliu prisiminti Jonuko ir Marytės šuniuko vardo. Man niekad neprisireikė naudotis faktu, kad knygutės herojų vardai buvo Jonukas ir Marytė. Vadinasi Jūs veltui eikvojote mano laiką, kai aš buvau septynerių metų amžiaus.“
Nesąmonė. Žinoma, žmonės niekada to nepasakys. Kodėl? Nes jie intuityviai supranta, kad esmė ne konkretūs faktai knygutėje. Esmė buvo išmokti skaityti! Mokėjimas skaityti įgalina suprasti daugybę kitų dalykų ir ugdyti visas kitas kompetencijas. Tas pats yra teisinga apie matematiką. Jei to žmogaus matematinis ugdymas būtų tinkamas, tai jis intuityviai suprastų matematinio ugdymo prasmę.
[Mano papildymas – R.N.] Deja, pirmo kurso matematikos paskaitose nuolat susiduriu su kalimo versus supratimo problema. Ne kartą teko išgirsti studentų prašymą pasakyti tiksliai, kurią konspekto dalį reikia išmokti. Jie niekaip nesupranta mano noro ir bandymo jiems kažką paaiškinti. Tai panašu į atsisakymą mokytis skaityti pirmoje klasėje ir bandyti atsiminti knygutės herojų vardus.
Atidi muzikos mokytoja
Įsivaizduokite muzikos mokytoją, kuriai kilo šviesi mintis ,,supaprastinti“ grojimo pianinu mokymąsi vata užkemšant moksleivio ausis. Moksleivis tada nieko negirdi. Tada jam niekas netrukdo! Vargšas moksleivis sėdi priešais pianiną ir jam liepiama tam tikra tvarka maigyti nurodytus klavišus. Reikia išmokti daugybę akordų kombinacijų. Moksleiviui tokiu būdu reikia įsiminti keistus ant popieriaus užrašytus simbolius ir jų rašymo taisykles. Mokytoja mano daranti gerą moksleiviui neleisdama jam be reikalo blaškytis girdint garsą!
Be abejonės toks mokymo būdas yra absurdiškas. Toks ,,mokymasis“ būtų kankynė. Jokiam mokytojui niekada nekiltų mintis uždrausti girdėti muziką, užgniaužti viso mokymosi proceso širdį ir sielą. Tačiau kaip tik taip atsitiko daugumoje mokyklų matematikos pamokose per pastaruosius 25 metus [kalbama apie Ameriką, bet nurodytas terminas tinka ir Lietuvai – R.N.]. Dėl kažkokios neaiškios priežasties, matematikos mokymas buvo atsietas nuo šio kurso širdies ir sielos, paliekant tik iškreiptą išorę. Paprasčiausias pavyzdys yra geometrijos kurso skrodimas išmetant arba sumenkinat įrodymus. Kai kurie mokytojai mano, kad taip ,,daroma moksleivių labui“. O gal būt dauguma mokytojų visai nesupranta matematikos?
Aukštas žingsnis
Labai senai, kai aš mokiausi mokykloje, atsirado mada žavėtis fiziniu pajėgumu. Gydytojas vardu Cooperis parašė knygą apie aerobiką, kurioje pateikė treniruočių planus padedančius ugdyti fizinį pajėgumą ir tuo pačiu gerinančius širdies-kraujagyslių sistemos apytaką. Galima buvo rinktis tarp bėgimo, ėjimo, plaukimo, lipimo laiptais ir bėgimo vietoje. Kiekvienai iš šių veiklų gydytojas pasiūlė savą savaitinį planą. Buvo planuojamos 12 savaičių treniruotės per savaitę surenkant 30 taškų.
Kadangi buvo žiema, o aš gyvenau sniegingoje vietovėje, pasirinkau bėgimą vietoje. Aš pasidariau polistirolu padengtą platformą, kad galėčiau bėgti vietoje. Diena po dienos sekdamas nurodytu planu, risnojau vietoje ir žiūrėjau televizorių. Aš svajojau apie ateinantį pavasarį kada galėsiu visiems parodyti savo laimėjimą nubėgdamas kilometrą per 4 minutes, kas buvo ekvivalentu širdies-kraujagyslių sistemai gauti 30 savaitinių taškų.
Ilgai laukta diena atėjo. Bėgimą pradėjau nuosaikiu tempu, kaip man atrodė. Bet po minutės pasijaučiau išsikvėpęs! Kiti kartu pradėję bėgti žmonės mane paliko toli. Aš bandžiau neatsilikti, bet netrukus pradėjau žiopčioti bandydamas įkvėpti oro. Teko sustoti nubėgus tik pusę kilometro! Aš buvau sugniuždytas. Ką dariau blogai? Aš kaltinau tą Cooperį ir jo knygą.
Galiausiai viską supratau. Bėgimo vietoje aprašyme buvo nurodyta, kad kiekviena kojos dalis turi būti pakeliama į tam tikrą aukštį nuo žemės, atrodo tai buvo 25 centimetrų aukštis. Visas tas treniruočių savaites aš nekreipiau dėmesio į reikalavimą. Tada man padėjo pasitikrinti ir nustatė, kad aš visai nesilaikiau nurodyto aukščio. Nenuostabu, kad man nepasisekė. Aš buvau nusivylęs ir praėjo keletas metų, kol vėl pradėjau treniruotis.
Ką bendro tai turi su matematiniu ugdymu? Deja, labai daug bendro. Nesant realaus patikrinimo (bėgimo takeliu mano atveju), o tik vykdant gerais ketinimais grindžiamus bet paviršutinius nurodymus, labai lengva įsivaizduoti tobulėjimą. Labai nesudėtinga kažką nepastebėti (mano atveju nepakankamai aukštai keliant koją) ir būti užliūliuotam savo pasitikėjimu. Tačiau turint galimybę realiai pasitikrinti ir sudužus savos kompetencijos iliuzijai, nesunku pasijausti išduotam arba ,,kaltinti instrukcijas“.
,,Realus patikrinimas“ yra ne tik tada, kai baigęs mokyklą abiturientas susiduria su pirmo kurso universitetine matematika. ,,Realiu patikrinimu“ yra ir mūsų atsilikimas nuo daugelio pasaulio šalių matematinio ugdymo rezultatų, ne tik nuo geriausiųjų kaip Kinija, Indija ir Japonija. Kartelė turi būti pakelta, taip, bet ne paviršutiniškai, o patikimai.
Švietimas kaip krovinių kultas
Antrojo pasaulinio karo metu amerikiečių karinės pajėgos Ramiojo vandenyno rajone šokinėjo nuo salos prie salos nenuilstamai slinkdamos į vakarus link Japonijos. Daugumos tų Ramiojo vandenyno salų gyventojai niekada anksčiau nebuvo matę vakariečių; gal būt kai kurie jų protėviai ir paliko legendas apie didelius medinius laivus. Mes galime tik įsivaizduoti jų nustebimą ir šoką pamačius didelius karo laivus ir karinius dalinius, kurie pastatė komunikacines bazes ir pakilimo takus lėktuvams. Lėktuvai ir tie, kurie jais skrido, turėjo būti panašūs į dievus. Mikrofonų, radijo aparatų ir antenų apsupti žmonės radijo bokšteliuose turėjo panašėti į tuos, kurie turi galią susisiekti su dievais. Visi kariškių atvežti daiktai radijas, pastatai, maistas, baldai ir t.t. kartu pavadinti ,,kroviniu“.
Tada karas staiga baigėsi ir vakariečiai dingo. Nėra daugiau laivų. Nėra daugiau lėktuvų. Keli apleisti pastatai ir dūlėjantys baldai buvo viskas, kas liko. Bet atsitiko keistas dalykas. Kelių salų čiabuviai sugalvojo, kad jie patys galėtų kreiptis į dievus. Paprasčiausiai reikia daryti tai, ką darė amerikiečiai. Jie įsitaisė apleistuose pastatuose, išsikėlė bambukinį stiebą vietoje ,,antenos“, kelias dėžes panaudojo kaip ,,radiją“, kokoso riešuto kevalą panaudojo vietoje ,,mikrofono“ ir pradėjo melsti nusileisti lėktuvus. Be abejo, niekas neatvyko (išskyrus, po kurio laiko, keletas antropologų). Tokia čiabuvių veikla pradėta vadinti ,,krovinių kultu“.
Ši istorija gali pasirodyti esanti liūdna, juokinga ar graudi, bet kokį ryši ji turi su matematiniu ugdymu? Deja, tamprų ryšį. Ramiojo vandenyno čiabuviai nesugebėjo atskirti tarp išorinio vaizdo ir gilesnės realybės to, kas vyko. Jie neturėjo supratimo apie egzistavimą tokio dalyko kaip elektra, dar mažiau apie radijo bangas ar aerodinaminę teoriją. Jie tiesiog imitavo tai, ką matė ir matė jie tik reiškinio paviršių.
Liūdna, bet tie patys dalykai vyksta daugelyje Amerikos mokyklų matematikos ugdyme per pastaruosius dvidešimt penkerius metus. Pilni gerų ketinimų ,,mokytojai“ neturintys jokio supratimo apie matematikos prigimtį pažįsta tik matematikos paviršių ir jį imituoja. Pasekmė yra krovinių kulto matematika. Jie kreipiasi į dievus, bet niekas neatsitinka. Nepadės garsesnė malda ar daugiau bambuko antenų (t.y. blizgantys brangūs vadovėliai ir išmanieji skaičiuotuvai). Padėti gali tik geras tikrosios matematikos supratimas.
Mano komentaras vertinant ministro įsakymą
Nors šios alegorijos skirtos paaiškinti mokyklinės matematikos problemas Amerikoje, bet jos taip pat tinka ir mūsų visuomenei aiškinant mokyklinės matematikos nesupratimą. Trumpai kalbant, alegorijos rodo, kad mes tik treniruojame moksleivius pakartoti keletą skaičiavimo procedūrų jų nesuprantant, vietoje to, kad bandytume aiškinti tų procedūrų prasmę. Absoliuti mūsų visuomenės dauguma nesupranta, kodėl privalomais brandos egzamine turi būti lietuvių kalba ir matematika. Jų nuoširdžiu įsitikinimu, bet kuri kita mokyklinė disciplina nusipelno būti privaloma brandos egzamine.
Š.m. liepos 31 d. Švietimo ir mokslo ministro įsakymas rodo, kad ŠMM matematinio ugdymo tiksluose ir turinyje problemų nemato. Apie tai visai nekalbama. Įsakymas keičia tik brandos egzamino rezultatų naudojimo tvarką stojant į kolegijas ir universitetus. Savo viešuose pasisakymuose ministras neslepia naujos tvarkos atsiradimo priežasčių. Naujoji tvarka grindžiama prielaida, kad mokyklinė matematika yra tam tikros profesijų grupės (inžinierių ir technologų) įgūdžių ugdytoju. Dėl šio požiūrio visuomenė nesupranta, kodėl matematika pasirinkta kaip privaloma greta lietuvių kalbos. Būtent šis požiūris kritikuojamas čia pateiktose alegorijose.
Įsakymas gali sudaryti palankias sąlygas atsirasti pigiai darbo jėgai tam tikrame verslo sektoriuje. Įsakyme nustatytai moksleivių daliai privalomas egzaminas gali turėti papildomų neigiamų pasekmių mūsų visuomenės tolesniam vystymuisi. Kadangi ŠMM nerodo požymių rūpintis matematinio ugdymo kokybe, aš nepritariu dabartiniam ministro įsakymui.