Šiais laikais įprasta manyti, kad matematikos žinios yra labai svarbios. Išreikštos per bendrasias kometencijas, šios žinios siejamos su pagrindiniais visuomenės tikslais. Vienintelis matematikos žinių įgyjimo būdas yra ilgai trunkantis, nuoseklus matematikos sąvokų aiškinimasis. Tačiau dabartinis matematinis ugdymas negarantuoja, kad dauguma mokinių tas žinias sėkmingai įsisavina. Priešingai, daugumai mokinių matematika yra nuobodi ir atrodo visiškai nereikalinga. Matematikos mokymo specialistai, iš esmės, taip pat sutinka su tokiu ugdymo rezultatų vertinimu. Nurodomi mažiausiai trys nesėkmingo ugdymo šaltiniai. Pirma, į matematiką žiūrima kaip į formulių, procedūrų ir įrodymų rinkinį. Antra, į mokinį žiūrima kaip į tuščią dėžę kurią reikia užpildyti žiniomis tradiciniu aiškinimo ir pratinimo būdu. Trečia, visuomenėje, kurioje vyksta matematikos mokymas, nuolat trūksta lėšų švietimui ir nuolat siekiama jį reformuoti.
Atrodo, kad tai standartinis matematikos mokymo problemų Lietuvoje apibūdinimas. Įdomiau yra tai, kad taip apibūdinamas matematikos mokymas Švedijoje. Išsiverčiau jį iš švedo teksto apie tos šalies mokyklinę matematiką. Jei skirtingose visuomeninėse aplinkose vyksta panašūs reiškiniai, tai gal būt galima tikėtis ir šių reiškinių priežasčių panašumo. Pagrindinis šio tęstinio teksto tikslas yra matematikos mokymo praktikos Lietuvoje aiškinimasis atsižvelgiant į panašų tikslą turinčių darbų rezultatais, gautais tiriant Vakarų Europos matematinį švietimą istorinėje perspektyvoje. Tai skiriasi nuo to, ką mes paprastai darome perimdami mums patikusius matematikos mokymo metodus naudojamus tose šalyse, kurios garsėja aukštais pasiekimais matematikos ugdymo srityje.
Pradėjau matematikos mokymo problemomis Švedijoje todėl, kad nesenai susidūriau su šios šalies kontekste atlikta matematikos mokymo praktikos istorine analize ir dabarties problemų interpretacija remiantis sociologija. Šių rezultatų autorius Sverkeris Lundinas (University of Gothenburg). Šioje pirmoje dalyje pabandžiau atpasakoti ir pakomentuoti jo 2008 metais apgintą disertaciją The Mathematics of Schooling. A critical analysis of the prehistory, birth and development of Swedish Mathematics Education
Kitose teksto dalyse pristatysiu Houman Harouni disertaciją apie jo pasiūlytą matematinio ugdymo politinę ekonomiją. Galiausiai tekstą baigsiu matematinio ugdymo Lietuvoje apžvalga su šiokia tokia istorine perspektyva. Kaip nurodo įrašo pavadinime esantis klausimas, mane skatina noras suprasti kodėl mokome tokios matematikos, kokios mokome.
Lundino matematikos ugdymo Švedijoje kritinė analizė
Svarbiausias Lundino darbo rezultatas yra matematikos vaidmens mokykliniame ugdyme įvertinimas. Trumpai kalbant, jis teigia, kad švietimo sistemoje matematika vadinamas dalykas yra jos sukurta ideologinė priemonė. Šį ideologijos objektą autorius vadina ugdomąja matematika (tai mano vertimas iš anglų kalbos The Mathematics of Schooling) tam, kad nepainioti su akademine matematika, su kuria paprastai supažindinama universitete. Taigi turime tris skirtingus su matematika siejamus dalykus: mokyklinės matematikos praktika, ugdomoji matematika ir (akademinė) matematika.
Savo disertacijoje, remdamasis švediško matematikos ugdymo istorine analize, Lundinas pagrindžia ugdomosios matematikos egzistavimą. Šią matematiką jis apibrėžia dviem savybėmis. Pirma, ugdomąją matematiką kuria tokia mokyklinės matematikos mokymo praktika, kurioje supratimas ir užduočių sprendimas tapatinamas gebėjimui pažinti ir suprasti realųjį pasaulį, bei gebėjimui spręsti mokslo, technologijų ir kasdieninio gyvenimo problemas. Antra savybė atspindi daugumos žmonių netikėjimą tokiu paprastu mokyklos ir kasdieninio gyvenimo ryšiu. Priešingai, mokyklinės matematikos mokymo turinys dažnai laikomas beverčiu ir netgi klaidinančiu. Taip pat, tikima, kad toks neatitikimas atsiranda dėl mokyklinės matematikos mokymo praktikos neadekvatumo tikrajai matematikai. Tokiu būdu kuriamas ryšys tarp visuomenei labai naudingos, bet nesamos matematikos, iš vienos pusės, ir dėl tokio nesamumo atsakingos mokyklinio matematikos mokymo praktikos, iš kitos pusės. Kaip tik toks objektas yra Lundino apibrėžiama ugdomoji matematika.
Aišku, kad ugdomoji matematika skiriasi nuo technologijų, mokslo ir kasdieninio gyvenimo tikrosios praktikos. Lundino teigimu, ugdomoji matematika nustato ryšį tarp realaus gyvenimo praktikos ir mokyklinės matematikos praktikos. Jo nuomone, daugelis turėtų sutikti, kad toks ryšys yra iliuzija. Dar daugiau, Lundino teigimu, toks ryšys yra netgi neįmanomas. Jis neįmanomas, nes už mokyklos ribų nėra matematikos su visomis savybėmis, kurias jai priskiria matematinio ugdymo sistema, t.y. nėra elementariosios matematikos, kuri kasdieninėje, mokslinėje ir technologinėje veikloje naudotų loginį, kūrybinį, kritinį ar kitokį matematinį mąstymą. Taigi, matematinio ugdymo nuolatinės nesėkmės atsiranda ne dėl nuolat kintančių neprognozuojamų aplinkybių trukdančių atspindėti tikrąją matematikos prigimtį. Priešingai, didele dalimi pati mokykla išugdė tikėjimą, jog visur už mokyklos ribų, tik ne pačioje mokykloje, yra didinga ir naudinga matematika.
Tai yra Lundino disertacijos teiginiai, kurie pagrindžiami matematinio ugdymo Švedijoje istorine analize. Prieš pereinant prie pagrindimo noriu šį tą pridurti dėl elementariosios matematikos su jai priskirtomis visuomeninėmis funkcijomis negalimumo. Sutinku su šiuo teiginiu. Tokia matematika negalima dėl jai priskiriamų šiais laikais nerealių funkcijų. Tačiau elementarioji matematika su kitokiu visuomeninių funkcijų komplektu, iš esmės, jau kuris laikas yra. Tokios elementariosios matematikos idėją ir pirmuosius jos metmenis suformulavo vokiečių matematikas Felixas Kleinas dar 1908 metais (Elementary Mathematics From An Advanced Standpoint – pirmasis tritomio veikalo tomas). Vėliau tokių projektų atsirado daugiau. Aš esu susipažinęs su vienu iš jų, būtent, Hung-Hsi Wu projektu How mathematicians can contribute to K–12 mathematics education. Jis yra paruošęs matematikos mokytojams skirtas tris knygas: aritmetika, pre-algebra ir algebra. Šis projektas buvo pristatytas mūsų mokyklinės matematikos gairėms 2013 metais.
Kaip sakiau, teiginius apie ugdomąją matematiką Lundinas pagrindžia apžvelgdamas švedų matematinio ugdymo istoriją. Jis remiasi ugdymo programų, vadovėlių, straipsnių mokytojų žurnaluose ir kita publikuota medžiaga apimančia laiktorpį nuo 18 amžiaus iki 20 amžiaus. Kalbėdamas apie pagrindinį disertacijos teiginį, autorius padalina istorinio turinio tyrimą į tris lygmenis
Pirmuoju lygmeniu autorius aiškinasi kaip keitėsi elementariosios matematikos dėstymo praktika naudodamas sociologijos sąvokas. Pirmiausia jis aiškinasi 18 amžiuje pradėtų naudoti matematikos testų pasekmes. Šie testai įvesti siekiant atrinkti žmones pagal jų gabumus (vietinės meritokratijos kūrimo būdas). Lundinas parodo, kaip testai skatino specialiam ruošimuisi, t.y. sprendžiamos tokios užduotys, kurios vėliau siūlomos egzaminų metu. Tokiu būdu egzaminai lėmė matematikos mokymo turinį. Savo ruožtu egzaminams siūlomų užduočių pagrindine savybe laikoma galimybė nesunkiai surūšiuoti mokinius pagal testų rezultatus. Toliau autorius aptaria matematikos mokymo vaidmenį drausminant žemesniųjų klasių mokinius 19 amžiuje. Šis vaidmuo pavertė mokyklinės matematikos turinį trivialiu, nes buvo taikomasi prie neparuoštų mokytojų galimybių. Ypatingai svarbus 19 amžiaus gale buvo paprasčiausias noras ilgą laiką išlaikyti ramybėje didelį mokinių kiekį be žmogaus priežiūros. Dėl šio poreikio matematikos vadovėlių turinį užpildė daugybė paprastų užduočių. 20 amžiaus ugdyme matematika išlieka pagrindine priemone, kurios pagalba atsijojami ,,netalentingieji“ bei ilgą laiką užimami neturintys ką veikti mokiniai.
Matematikos mokymo istorinės analizės antruoju lygmeniu Lundinas tiria tikėjimo matematikos autoritetu formavimąsi. Labai retai užsimenama, kad matematinis ugdymas reikalingas mokinių rūšiavimui, drausminimui ir jų užimtumo palaikymui. Dažniausiai matematinis ugdymas artimai siejamas su matematika. Tam tikra prasme, matematikai skiriama vieta tarp mokymo praktikos ir jai priskiriamų aukštesnių tikslų (ekonominio augimo ir kasdienės veiklos vykdymo). Matematikos autoritetu paaiškinama kam reikalinga tai, kas mokoma mokykloje.
Lundinas neapsiriboja Švedija ir matematikos vaidmens matematiniame ugdyme formavimo pavyzdžių randa ir kitose Europos valstybių mokymo praktikose. Christopherio Claviuso 1586 metų ištrauką:
Mathematics teaches poets about the rising and setting of the stars; teaches historians the situation and distances of various places; teaches logicians […] examples of solid demonstrations; teaches politicians truly admirable methods for conducting affairs at home and during war; teaches physicists the manners and diversity of celestial movements; of light, of colors, of diaphanous bodies, of sounds; teaches metaphysicians the number of the spheres and intelligences; teaches theologians the principal parts of the divine creation; teaches jurists and canonists calendrical computation, not to speak of the services rendered by the work of mathematicians to the state, to medicine, to navigation, and to agriculture. An effort must therefore be made so that mathematics will flourish in our colleges as well as the other disciplines.
jis palygina su 2004 metų ištrauka iš vieno Švedijos leidinio:
Representatives of education, trade, industry, and society are forcefully and unanimously stating that knowledge of mathematics is important and that good, meaningful knowledge is a precondition of self confidence, democracy, economic growth and life-long learning. Collective efforts to create a long term, sustainable development of mathematics instruction is both demanded and welcomed by all groups in society and on every level of education
Abi ištraukos reklamuoja matematikos vertingumą ir yra tipiškais pavyzdžiais sutinkamais matematinio ugdymo kontekste. Tokiame kontekste paprastai nekalbama nei apie pačios matematikos pasiekimus, nei apie faktinius matematikos taikymus kasdieniniame gyvenime.
Galiausiai, trečiuoju istorinės analizės lygmeniu, Lundinas aiškinasi ryšį tarp pirmojo ir antrojo lygmens. Iš vienos pusės, matematinio ugdymo praktika atrodo paaiškinama grynai sociologijos priemonėmis. Iš kitos pusės, mokytojų diskusijos rodo, kad ugdymo pokyčiai vyko keičiantis požiūriui į matematiką. Disertacijoje lyginamas skirtingo laikmečio vadovėlių turinys, kaip jis aiškinamas vadovėlių autorių ir kitų to paties laikmečio ugdymo komentatorių, kaip pokyčiai paaiškinami sociologiškai. Tokiu būdu paaiškinama sąveika tarp vadovėliuose apibūdinamos matematikos ir vadovėlių turinio priklausomumo nuo požiūrio į matematiką.
Lundino teigimu, įdomiausias švediško matematinio ugdymo istorijos pavyzdys yra ryšys tarp skaičiaus sąvoką apibūdinančių idėjų ir iš didžiulio kiekio smulkių matematinių užduočių sudarytos mokymo praktikos kaitos. Akivaizdu, kad šios praktikos kaita susijusi su būtinumu užimti mokinius nesant kam jų prižiūrėti. Tuo pačiu metu šios praktikos kaita pateisinama skaičiaus sąvokos aiškinimu siekiant užduočių sprendimą padaryti prasmingu. Nepaisant visko, Lundino teigimu, aiškiai matomas pateisinimo dirbtinumas, o užduotys niekaip nesusijusios su skaičiaus sąvokos paaiškinimu.
Tiek apie Lundino disertaciją. Man ji įdomi tuo, kad joje panaudota istorinė perspektyva pasirodė netikėtai efektyvi. Pradėdamas tyrimą autorius neplanavo remtis istorija. Apie šią ir kitas tyrimo peripetijas jis užsimena tekste Thoughts on the Reality of Mathematics. Greta istorinės analizės, savo tyrimuose Lundinas naudoja įvairias socialinių mokslų teorijas. Tą jis daro po disertacijos publikuotuose tekstuose The missing piece. An interpretation of Mathematics Education using some ideas from Zizek ir Hating school, loving mathematics: On the ideological function of critique and reform in mathematics education. bei nepublikuotuose tekstuose Mechanism, understanding and silent practice in the teaching of arithmetic: On the intention, critique and defense of Carl Alfred Nyström’s Digit-Arithmetic 1853-1888. ir Who cares about mathematics? On the ritual fabrication of mathematical knowledge. Šiuose tekstuose greta kitų dalykų jis pastebi, kad mokyklinė matematika Švedijoje kritikuojama maždaug nuo 1850 metų. Kadangi ši kritika atrodo lygiai taip pat, kaip ir šiais laikais, ją vadina standartine kritika. Jo noras suprasti, kodėl matematikos mokymo sistema, nuolat save kritikuodama, lieka nepasikeitusi. Paskutiniame tekste Lundinas formuluoja tokį bendrą savo tyrimų tikslą:
For many years now I have been interested in the emergence of modern mathematics education, in Sweden and as a worldwide phenomenon. I understand this process, not as the emergence of a particular way of solving the problem of how to teach children mathematics, but as an aspect of the formation of modernity. What interests me is the modern world-view that makes compulsory mathematics education seem like a worthwhile project, despite its great costs in terms of time, frustration, suffering and, of course, money.