Šis tekstas parašytas ruošiant pranešimą matematikos mokytojų konferencijoje.Taip atsitiko, kad pasirinkta pranešimo tema sutapo su tema darbo už kurį šiemet įteikta Felix Klein premija. Todėl nusprendžiau pradėti, gal ir neįprastai, užsimindamas apie premiją skiriančią organizaciją Matematikos mokymo tarptautinę komisiją (angl. The International Commission on Mathematics Instruction). Ši organizacija skatina matematikos mokymo(si) kokybę padėdama keistis patirtimi, idėjomis ir informacija apie matematikos mokymą visame pasaulyje. Organizacija įkurta 1908 metais, o nuo 1952 yra Tarptautinės matematikų sąjungos komisija. Kas ketveri metai organizuojami tarptautiniai kongresai. Nuolatinis komisijos darbas vyksta grupėse, ICMI study groups, kurios sudarytos pagal tyrimų temas. Paskutiniame 13-ame kongrese buvo pristatytos 54 temos. Viena iš komisijos veiklos sričių yra premijų skyrimas už nuopelnus.
Matematikos mokymo tarptautinės komisijos 2017 m. apdovanojimai
Matematikos mokymo srityje Felix Klein premija yra prestižiškiausia pasaulyje. Šis apdovanojimas reiškia pripažinimą, jog žmogaus viso gyvenimo veiklos rezultatai turėjo didžiausią įtaką matematikos mokymo sričiai.
Šiais metais Felix Klein premiją gavo Deborah Loewenberg Ball iš Mičigano universiteto Ann Arbor’e. Savo profesinę veiklą pradėjusi kaip matematikos mokytoja, nusprendė tyrinėti ką reiškia mokyti matematikos ,,supratimui“. Ji aiškinosi ,,kiek“ matematikos turi žinoti matematikos mokytojas ir kaip praktiškai klasėje mokytojas gali siekti matematikos supratimo. Daugiau apie darbą yra čia.
Hans Freudenthal premija skiriama už reikšmingiausius rezultatus matematikos mokymo tyrimų srityje. Ši premija suteikiama už originalios tyrimų krypties inicijavimą ir jos brandų išvystymą per pastarąjį dešimtmetį.
Šiais metais Hans Freudenthal premiją gavo Terezinha Nunes kilusi iš Brazilijos, pastaruoju metu dirbanti Oksfordo universitete, JK. Jai premija suteikta už jos atliktus darbus tiriant matematinį mąstymą. Ji tyrinėjo vaiko loginį samprotavimą ir jo vaidmenį mokantis matematikos, bei būdus, kuriais matematika taikoma kituose moksluose. Daugiau apie darbą yra čia.
Turinio žinios versus pedagoginės žinios
Devintame praeito šimtmečio dešimtmetyje matematikos turinio žinių statusas lyginant su pedagoginėmis žiniomis buvo nereikšmingas. Turinio žinios buvo tik šiek tiek daugiau negu kontekstas kalbant apie mokytojo pedagogines žinias. Lee S. Shulman ir jo kolegos pakeitė šią situaciją atkreipdami dėmesį į matematikos turinio žinių svarbą: Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching (1986). Deborah Ball papildė Shulman pasiūlytas žinių sritis (2008). Dabar greta bendro pobūdžio pedagoginių žinių Ball išskyrė šešias sritis:
- Bendros turinio žinios.
- Specializuotos turinio žinios.
- Turinio horizonto žinios.
- Turinio žinios ir mokiniai.
- Turinio žinios ir mokymas.
- Turinio žinios ir programa (curriculum).
Šios sritys yra iš Ball et al straipsnio Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? Žiūrėk: Figure 5. Domains of Mathematical Knowledge for Teaching
Sričių paaiškinimai yra čia. Mes aptarsime tik antrąją sritį.
Specializuotos matematikos turinio žinios
Vienu iš svarbiausių Deborah Ball ir jos kolegų veiklos rezultatu yra matematikos mokymui reikalingų specialios rūšies matematikos žinių tyrimas. Šios žinios yra grynosios matematikos dalis, nesusijusi su pedagogika ir mokinio žiniomis. Jos yra specialios ta prasme, kad jokioje kitoje matematinėje veikloje tokios žinios nėra reikalingos. Deborah Ball sugebėjo patvirtinti, kad matematikos mokytojo šios rūšies matematikos žinių turėjimas koreliuoja su mokinių pasiekimais.
Specializuotas turinio žinias iliustruosime triženklių skaičių atimties procedūros pavyzdžiu:
Pati procedūra, atlikta teisingai, naudojama įvairiose žmonių veiklos srityse ir todėl yra bendrojo turinio žiniomis. Tačiau mokant šios procedūros nepakanka gebėti atlikti ją teisingai. Daugelis mokinių daro klaidas. Pavyzdžiui, dažnai daroma tokia klaida:
Normaliai mokant reikėtų sugebėti aptikti klaidos šaltinį ir ją paaiškinti. Matematikai-tyrėjai taip pat ieško klaidų ir ne tik savo tekstuose. Bet matematikos mokytojo darbas šiuo atžvilgiu ypatingas, jis turėtų būti atliktas sklandžiai ir greitai. Jei trumpam suabejoji, gali prarasti mokinių dėmesį ir pats susierzini. Toks darbas jau yra specializuotas, jis sutinkamas tik mokant matematikos.
Mokant triženklių skaičių atimties procedūrą, galima susidurti ir su nestandartinėmis skaičiavimo procedūromis. Pavyzdžiui, kaip reikėtų reaguoti į mokinio pasiūlymą iš viršutinės ir apatinės eilutės atimti 8 ir tik po to atlikti standartinę atimties procedūrą:
Ar toks skaičiavimas leistinas? Kodėl, leistinas? Ar galima panašiai supaprastinti skaičiavimą visada? Kaip pagrįsti tokį skaičiavimo metodą? Kita situacija, ar tokia skaičiavimo procedūra teisinga:
Klaidų aiškinimas ir alternatyvių procedūrų vertinimas yra ne viskas. Procedūros mokymas, tai ir procedūros aiškinimas ir jos pagrindimas. Kodėl siūlomas manipuliavimas skaičiais visada duos teisingą atsakymą?
Šis pavyzdys rodo, kad matematikos mokymas savo prigimtimi yra matematinė veikla. Ši veikla reikalauja reikšmingų matematikos žinių, gebėjimų, mąstymo įpročių ir įžvalgų. Tolesnis matematikos mokymo tyrimas atskleidžia daug įvairių specializuoto matematikos turinio krypčių ir gebėjimų:
- Supažindinimas su matematikos idėjomis ir jų istorija;
- Atsakymas į mokinių klausimus ,,kodėl?“;
- Matematikos teiginį iliustruojančių pavyzdžių radimas;
- Nagrinėjamos temos siejimas su praeitomis ir būsimomis temomis;
- Užduoties modifikavimas padarant ją lengvesne arba sunkesne;
- Mokinio teiginių ,,žaibiškas“ įvertinimas;
- Pasirinkti ir plėtoti prasmingą apibrėžimą;
- Naudoti, aiškinti ir kritikuoti tradicinę matematikos simboliką ir kalbą;
- Logikos taisyklių atskleidimas matematinio samprotavimo kontekste.
Šios matematikos žinios yra specializuotos, jų reikalauja pats mokymo procesas. Kitose veiklos srityse tokių žinių nereikia.
Patyręs mokytojas pasakys, kad tai joks atradimas. Tai, kas pavadinta specializuotomis matematikos turinio žiniomis yra gero matematikos mokytojo būtina savybė. Tačiau Deborah Ball ir jos kolegų darbai yra labai vertingi. Ilgametė matematikos mokymo patirtis įgijo mokslinių tyrimų rezultatų statusą. Be to, pakeliui yra gautos mokytojo kvalifikacijos matavimo priemonės – klausimai, kurių atsakymai įgalina vertinti turimą specializuotų matematikos turinio žinių lygį.
Čia paminėta mokytojo kvalifikacijos matavimo priemonė nėra visiškai nauja. Jau kelis dešimtmečius panašiai vertinamas mokytojo turimų sąvokinių žinių arba matematikos supratimo lygis. Pasaulyje gerai žinoma Liping Ma knyga, kurioje paskelbti JAV ir Kinijos matematikos mokytojų sąvokinių žinių vertinimo rezultatai. Paminėsiu šį pavasarį apgintą Vytauto Miežio magistro darbą, kuriame atlikti analogiški tyrimai su Lietuvos matematikos mokytojais.
Matematikos studijos universitete nesuteikia matematikos mokymui reikalingų specializuotų turinio žinių. Tai turėtų žinoti švietimo politikai. Galvojimas, kad gerą matematikos mokytoją galima paruošti iš gero matematiko, suteikus jam dalyko didaktikos žinių, yra klaida. Kitaip tariant, teisinga formulė:
geras dalykininkas + pedagoginės žinios 
,,Kiek“ matematikos žinių suteikiame būsimiems mokytojams?
Šį rudenį tarptautinė ekspertų komanda neigiamai įvertino Edukologijos universiteto studijų programą Matematikos ir informatikos mokymas. Užsienio ekspertams nepatiko tai, kad dvi skirtingos studijų programos, šiuo atveju matematikos ir informatikos, sujungtos į vieną. Todėl programa iš principo negali iki galo įgyvendinti jai keliamų tikslų. Taip savo išvadose rašė ekspertai. Jie pridūrė, kad problemų šaltinis ne LEU, bet nepakankamai apgalvota švietimo įstatymų bazė.
Ekspertų komandos vadovo teigimu, SKVC (Studijų kokybės vertinimo centras) su pastaruoju vertinimu nesutiko ir paprašė jį keisti. Pataisyto vertinimo iki šiol SKVC tinklapyje nėra. Matyt ir nebus. Nes pati LEU neigiamai įvertinta. Gali būti, kad numatomuose įkurti trijuose pedagogų rengimo centruose Vilniuje, Kaune ir Šiauliuose šios klaidos nebus taisomos. Gaila, nes vienintelė išmintinga politika yra pripažinti klaidas ir jas taisyti.
Dėl skirtingų dalykų studijų apjungimo kenčia studijų turinys. Toliau teigė ekspertai. Pavyzdžiui, geometrijos studijos nėra gilios. Būsimiems mokytojams nėra prieinamos tos geometrijos žinios, kurių nėra mokyklos programose. Nes studentai mokomi iš mokyklinių vadovėlių. Todėl matematikos mokytojai neturi galimybės tobulinti abstraktaus mąstymo gebėjimus ir jie nėra supažindinami su matematikos filosofija, bei matematikos idėjų istorija.
Aptariamos programos poreikių analizėje tvirtinama, kad kaimo vietovėse trūksta mokytojų. Dėl to skirtingų dalykų programos jungiamos į vieną. Apjungtoje programoje būsimam matematikos mokytojui suteikiama dalyko žinių už 90 kreditų. Tokiu būdu sprendžiant demografines problemas sukuriamos naujos – gerų matematikos mokytojų trūkumas.
Matematikos mokytojas šiandien ir rytoj
Kaip atsitiko, kad matematikos mokytojus rengiame netinkamai?
Priežasčių yra daug. Bet prasminga kalbėti apie tas, kurios priklauso nuo mūsų – matematikų bendruomenės: mokytojų, dėstytojų ir tyrėjų. Mūsuose dominuoja netikėjimas kokybiško matematikos mokymo daugumai galimybe. Mes galvojame, kad daugumai mokinių pakanka vadinamojo ,,matematinio raštingumo“, o kokybiškas mokymas prasmingas tik ,,gabiems matematikai“.
Tokio požiūrio rezultatas – vadovėlių turinio lengvinimas atsisakant daugybės matematikos mokymui būtinų dalykų. Pavyzdžiui, iš pradinių klasių vadovėlių dingo žodiniai (tekstiniai) uždaviniai ir jų aritmetinis sprendimas. Tokio tipo uždaviniai ir jų sprendimas yra kelias į loginį samprotavimą ir algebrinį mąstymą vyresnėse klasėse. Pokyčiai radosi senai ir palaipsniui, kai atsisakėme visko, kas primena Rusijos mokyklinę matematiką.
Supaprastinus vadovėlius ir kitas mokymo priemones, nereikalingais tapo geri matematikos mokytojai. Dar likę geri matematikos mokytojai nenaudoja vadovėlių, o nauji mokytojai ruošiami naudojant supaprastintus vadovėlius. Neturėdami gerų matematikos mokytojų, mes ne tik nesugebame atskleisti vaikų gabumus, bet ir negalime atpažinti ,,gabius matematikai“. Apie tai kalba mokytojai cituojami J. Kučinskaitės straipsnyje ,,Kodėl smunka Lietuvos moksleivių pasiekimai tarptautinėse olimpiadose?“ (žurnalo ,,Reitingai“ paskutinis numeris).
Norėdami gerinti matematikos mokymo padėtį Lietuvoje turėtume didžiausią dėmesį skirti mokytojų ruošimui ir jų kvalifikacijai. Būsimų matematikos mokytojų ruošimo atžvilgiu, dabartinė reformų situacija pertvarkant aukštųjų mokyklų tinklą yra miglota. Mano nuomone, turėtume įvesti nacionaliniu mastu privalomus aukštus dalyko mokymo standartus. Matematikos mokytojais turėtų tapti tik tie, kurie išlaiko bendru sutarimu nustatytus egzaminus. Pradėti reikėtų nuo reikalavimų pradinių klasių mokytojams. Būtų geriausia, kad to siektų Lietuvos matematikos mokytojų asociacija. Priešingu atveju, neapsikentę, priimamų į darbą mokytojų egzaminavimo iniciatyvos imsis mokyklų direktoriai.
P.S. Lrytas.lt reportažas Katastrofiškas mokytojų trūkumas – gali tekti mažinti mokinių priėmimą.