Iracionaliųjų skaičių priešistorija

 Šis įrašas yra 2000 metų laikotarpį apimanti istorinė apžvalga, kurioje dalyvauja tik trys asmenys: Euklidas, Stevinas ir Dedekindas. Aš norėjau parodyti, kaip per šį laikotarpį pasikeitė sąvokų skaičius, dydis ir santykis turinys.

1. Skaičiai, dydžiai ir santykiai pagal Euklidą

 Realiųjų skaičių istorija prasidėjo kartu su R. Dedekindo, G. Cantoro ir kitų matematikų darbais 19 amžiaus pabaigoje.  Iracionaliųjų skaičių, vienos iš realiųjų skaičių giminės atšakų, priešistorija laikoma dydžio (angl.  magnitude) sąvoka atsiradusi Antikinės Graikijos matematikoje gerokai anksčiau, maždaug  tarp 500 ir 300 metų prieš Kristaus gimimą. Pačios graikų matematikos šaknys yra dar senesnės – babiloniečių ir egiptiečių matematika. Tačiau graikų visuomenėje susiklostė lyg ir dviejų rūšių matematika – praktinė ir teorinė. Praktinė matematika naudojama komercijoje, statyboje ir kitokioje praktinėje veikloje. Teorinės matematikos, kaip ir filosofijos, atsiradimas matyt susijęs su nedidelės visuomenės dalies laisvu gyvenimo būdu išnaudojant vergus.

Senovės graikų (teorinės) matematikos šaltiniai yra kelios dešimtys darbų, kurie sudaro labai  mažą dalį to, kas tada buvo žinoma.  Be to, daugumą šių darbų rašyti (perrašyti rankraščiai ir jų komentarai) daug vėliau, apie 9 amžių po Kristaus gimimo.  Pagrindinis graikų matematikos šaltinis yra Euklido ,,Pradmenys“,  kuriuos sudaro 13 knygų (internetinis šio veikalo variantas D. E. Joyce  toliau naudojamas citavimui). Manoma, kad ,,Pradmenys“ buvo parašyti Aleksandrijos mieste apie 300-uosius m. pr. Kr. g.

 Sprendžiant pagal Euklido ,,Pradmenis“,  graikų matematikos nagrinėjimo (mąstymo) objektais buvo diskretieji dydžiai ir tolydieji dydžiai. Pastarieji buvo realių daiktų (angl. things)  idealizacijomis ir mąstymo objektais. Matematikoje nagrinėti penkių rūšių tolydieji  dydžiai: tiesės atkarpos, plokštumos sritys,  erdvinių figūrų paviršiai ir tūriai, bei kampai (detaliau I. Grattan-Guinness).  Diskrečiuosius dydžius Euklido ,,Pradmenyse“ atstovavo tik viena jų rūšis – natūralieji  skaičiai: 2,3,4,…  .  Kaip ir šiais laikais, tolydžiuosius dydžius tirianti matematikos sritis buvo vadinama geometrija, o skaičių ir jų savybių tyrimai sudarė aritmetiką.

Skirtingai nuo šiuolaikinės matematikos, senovės graikų matematikoje  tolydieji dydžiai neturėjo jokio ryšio su skaičiais.  Euklido veikale nerasime nei atkarpos ,,ilgio“ sąvokos, nei kitų mums įprastų geometrinių figūrų didumo matavimo priemonių.  Pavyzdžiui, Pitagoro teorema Euklido ,,Pradmenų“ I knygoje formuluojama taip:

 Proposition 47. In right-angled triangles the square on the side opposite the right angle equals the sum of the squares on the sides containing the right angle.

 Pav. 1. Pitagoro teorema

Teorema įrodoma parodant, kad kvadratas ant  įstrižainės BC yra suma kvadratų ant statinių  BA ir AC.

Maždaug 50 metų iki Euklido ,,Pradmenų“ pasirodymo, Aristotelis suklasifikavo tai, ką jis  vadino kategorijomis. Viena iš jų, vadinama kiekybe (angl. quantity),   savo savybėmis visiškai atitiko ,,Pradmenų“  dydžius. Pagal savo vaidmenį graikų matematikoje, tolydieji dydžiai buvo fundamentali ir tiesiogiai neapibrėžiama sąvoka.  Šių dienų matematikos istorikas R. Thiele taip apibūdina tolydžiuosius dydžius  (Antiquity. In: A History of Analysis):

There is no definition of the concept of magnitude (Greek , megethos) because there is no superior concept for this fundamental concept. Nevertheless, Euclid is dealing with magnitudes throughout the Elements; the general concept of magnitudes is mentioned in Book V, Def. 3, also in Book VI and several times in later books. Magnitudes are generally characterized by the property of being able to increase and decrease. The concept of magnitude allows a twofold interpretation: a mathematical object is a magnitude (extensive entity) and such an object can be measured and the result of such a measurement is a magnitude (mensuration).

Euklido ,,Pradmenyse“ , be jokios nuorodos į skaičius, su tos pačios rūšies dydžiais  atliekami kai kurie veiksmai.  Tos pačios rūšies dydžius A ir B galima  palyginti pagal dydį, sudėti (jungti) tarpusavyje ir jų kopijas, gaunant dydžius nA,  iš didesnio atimti mažesnį.

 Ypatingą vietą tarp veiksmų su dydžiais užima tos pačios rūšies dydžių A ir B santykis ir tokių santykių lyginimas. Problema ta, kad egzistuoja atkarpos A ir B, kurių santykis nėra išreiškiamas natūraliųjų skaičių santykiu.  Apie tai kalbėsime netrukus.  Šios problemos sprendimą sugalvojo Eudoxus of Cnidus.  Pagal ,,Pradmenų“ V knygą:

 Definition 3.  A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.

Definition 4. Magnitudes are said to have a ratio to one another which are capable, when multiplied, of exceeding one another.

 Dydžių A ir B santykis, žymimas A:B,  nusakomas dydžių nA ir mB rinkiniu su bet kuriais skaičiais n ir m.  Santykiai graikų matematikoje nėra reiškiami trupmenomis. Naudojant šiuolaikinės matematikos kalbą, dydžių A ir B santykis A:B apibrėžiamas aibe

                                      (1)

 Ketvirtoji apibrėžtis išreiškia dydžių santykio pamatuojamumo sąlygą:  pirmasis dydis nA gali būti viršijamas pakankamai dideliu antro dydžio kopijų junginiu mB.  Analogiška savybė skaičiams šiuolaikinėje aritmetikoje siejama su Archimedo vardu.

 Euklido ,,Pradmenyse“ apibrėžtas vienos rūšies dydžių santykio A:B palyginimas su galimai kitos rūšies dydžių santykiu a:b. Pagal ,,Pradmenų“ V knygą:

 Definition 5. Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when, if any equimultiples whatever be taken of the first and third, and any equimultiples whatever of the second and fourth, the former equimultiples alike exceed, are like equal, or alike fall short of, the latter equimultiples respectively taken in corresponding order.

Naudojant šiuolaikinės matematikos kalbą, apibrėžtis išreiškiama taip: dydžių poros (a,b) ir (A,B) turi tuos pačius santykius a:b ir A:B, jei bet kuriai natūraliųjų skaičių porai m ir n teisingos implikacijos

jei tai ,

jei tai

jei    tai

 Pagal ,,Pradmenų“ V knygos šeštą apibrėžimą, tuos pačius santykius turinčios dydžių poros (a,b) ir (A,B) vadinamos proporcingomis.

Tarkime, kad tą pačią aukštinę h turinčių trikampių  BCA ir EFD pagrindai yra BC ir EF. Remiantis Euklido ,,Pradmenų“ VI knygos 1 teiginiu, poros (BC,EF) ir (BCA,EFD) yra proporcingos.

 Pav. 2. Proporcingi trikampiai ir jų pagrindai.

Šioje iliustracijoje vienos rūšies (atkarpų) dydžių poros santykis yra tas pats kaip kitos rūšies (trikampių) dydžių poros santykis.

Kaip minėta, greta aritmetikos, Antikinėje Graikijoje egzistavo logistika arba, kitaip kalbant, praktinė aritmetika.  Abi šios sritys gerokai skyrėsi. Skirtingai nuo logistikos, skaičius aritmetikoje buvo ne tik mąstymo priemonė, bet ir mąstymo objektas. Pavyzdžiui, buvo skiriami lyginiai ir nelyginiai, pirminiai ir sudėtiniai skaičiai ir panašiai. Aritmetikoje skaičiumi vadinamas vienetų  daugis (angl. multitude).  Vienetas paprastai nebuvo laikomas skačiumi.

Nedalomumas buvo vieneto esmine savybe. Euklido Pradmenų VII knyga pradedama apibrėžtimis:

 Definition 1. A unit is that by virtue of which each of the things that exist is called one.

 Definition 2. A number is a multitude composed of units.

 Su skaičiais galima atlikti aritmetikos veiksmus: sudėti, dauginti ir atimti (mažesnį iš didesnio). Tarpusavyje skaičiai gali būti: lygūs, vienas didesnis už kitą arba atvirkščiai. Trupmenos, kaip vieneto dalys, (teorinėje) aritmetikoje neturėjo skaičiaus statuso, su jomis nebuvo atliekami aritmetikos veiksmai. Tačiau trupmenos ir t.t. turėjo prasmę reikšdamos vieną vienetą iš dviejų, du vienetus iš trijų, tris vienetus iš keturių ir t.t.

 Apibendrinant, dydžių santykis graikų matematikoje nėra nei skaičius, nei trupmena. Šią aplinkybę galima paaiškinti naudojant toliau aptariamą nebendramačių dydžių sampratą.

2. Nebendramačiai dydžiai

Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad geometrinių dydžių santykius galima išreikšti natūraliųjų skaičių santykiais.

 Apibrėžtis. Atkarpos A ir B yra  bendramatės, jei egzistuoja atkarpa V ir natūraliųjų skaičių pora (m,n) tokie, kad

  ir  

 čia žymi atkarpų kongruentumą (sutampa kai perkeliama viena ant kitos).  Priešingu atveju atkarpos A ir B yra nebendramatės, t.y. jei kiekvienai atkarpai V ir kiekvienai natūraliųjų skaičių porai (m,n) galioja teiginys

  arba  

 Nebendramačių atkarpų (ne)egzistavimo klausimas iškilo bandant dalinti muzikinius intervalus, t.y. pitagoriečių muzikos teorijoje. Šio klausimo išspręsti empiriniu būdu neįmanoma, nes vienetinę atkarpą galima imti kaip norimai mažą. Tiesioginis samprotavimas taip pat atrodo reikalavo begalinio skaičiaus veiksmų. Todėl nebendramačių atkarpų įrodymas remiantis ,,prieštaros būdu“ tapo nepaprastai svarbus. Teigiama, kad šio metodo panaudojimas žymi šiuolaikinės matematikos atsiradimą.

 Teorema. Tegul A yra bet kuri atkarpa ir tegul B yra kvadrato su kraštine A įstrižainė.  Atkarpos A ir B yra nebendramatės.

 Įrodymas. Tarkime priešingai, kad nurodytos atkarpos A ir  B yra bendramatės, t.y. egzistuoja trečia atkarpa  V ir natūraliųjų skaičių pora (m,n) tokie, kad   ir    Pažymėję ir atkarpų A ir B ilgius, pagal Pitagoro teoremą ir prielaidą turime lygybes

  ir

Apjungę ir suprastinę gauname

 Suprastinę jei reikia, gauname, kad m ir n abu kartu nėra lyginiai. Tačiau pastaroji lygybė rodo, kad m yra lyginis, t.y.  Pastarąją lygybę galime perrašyti taip:

 Padalinę iš dviejų, gauname

 Pastaroji lygybė rodo, kad n yra lyginis.  Gavome, kad abu skaičiai m ir n yra lyginiai – prieštara tam, kad abu kartu nėra lyginiai.  Prieštara įrodo, kad prielaida – klaidinga.  Todėl atkarpos A ir B yra nebendramatės, ką ir reikėjo įrodyti.

 Dydžiai ir jų santykiai yra realaus pasaulio daiktų (things) reprezentacijos mąstyme. Jie nėra siejami su skaičiais, nes skaičiai negali išreikšti realaus pasaulio daiktų esmės. Nebendramačių dydžių egzistavimo faktas matyt paskatino graikus (Eudoxus  of Cnidus,  408-355 m. Pr. Kr. g.) sukurti dydžių santykių arba proporcijų teoriją.

 Šis senovės graikų požiūris į skaičius ir dydžius vėliau apsivertė aukštyn kojomis.

3. Skaičių, dydžių ir santykių sąvokų evoliucija

Realiųjų skaičių atsiradimas Vakarų kultūroje siejamas su flamandų matematiku ir inžinieriumi Simonu Stevinu (1548-1620). Jis pirmasis tarp matematikų atvirai neigė kai kuriuos Euklido ,,Pradmenų“ principus ir apibrėžimus. Stevino nuomone, skaičius yra tai, kas  išreiškia ko nors kiekį, pavyzdžiui, dydžio  matavimo rezultatas.  Pagal Steviną: Nombres est cela, par lequel s’explique la quantite de chacune chose. Tai yra pirmoji apibrėžtis jo Arithmetique, grindžiama įvairiomis pastabomis ir komentarais. Pavyzdžiui, naudojama ,,vandens ir drėgnumo“  metafora:

 Number is in magnitude like wetness in water, since it happens with number as it does with wetness,  that as wetness pervades all and every part of the water, so the number assigned (destiné) to any magnitude pervades all and every part of its magnitude.

Tokiu būdu Stevinas neigia diskrečiųjų ir tolydžiųjų dydžių dichotomiją, skaičius tapatinant  tik su diskretumu. Jis nuosekliai siekė nutrinti iracionaliųjų skaičių stigmą, kurie tuo metu buvo apibūdinami kaip ,,absurdas“, ,,mažiau tobuli“ ar kitaip besiskiriantys nuo ,,tikrųjų“ skaičių. Kitose savo knygose La Thiende (The Tenth) ir La Disme (The Decimal) Stevinas populiarina dešimtainių trupmenų naudojimą kasdieniniame gyvenime.

 Toks reikšmingas pasikeitimas požiūryje į skaičius vargu ar galėjo atsirasti vien tik asmeninio patyrimo dėka. A. Maletas  ir J. Naetsas atskleidžia priežastis ir aplinkybes galimai padėjusias požiūrio į skaičių perversmui.  Tam galėjo turėti įtakos iš arabų ir indų atėję matematiniai tekstai, bei praktinės matematikos svarbos iškilimas atsispindintis tuo metu pasirodžiusiuose Euklido ,,Pradmenų“ naujuose vertimuose ir komentaruose. Be kitų aplinkybių, A. Maletas apžvelgia Tartaglia,  Claviuso ir Billingsley pasiūlytas Euklido teksto interpretacijas.

Praėjus šimtmečiui po Stevino darbų, Newtono laikais skaičius jau naudojamas išreikšti bet kokių dydžių santykiui. 1707 metais publikuotame  Newtono konspekte Universal Arithmetic rašoma:

 By Number we understand, not so much a Multitude of Unities, as the abstracted Ratio of any Quantity,  to another Quantity of the same Kind, which we take for Unity. And this is threefold; integer, fracted, and surd: An Integer, is what is measured by Unity; a Fraction, that which a submultiple Part of unity measures;  and a Surd, to which Unity is incommensurable. (Universal Arithmetic, translated from the Latin by Ralphson, London 1769, page 2.)

 Skirtumo tarp diskrečių ir tolydžių dydžių nykimą skatino G. Galileo, I. Newtono,  G.F. Leibnizo ir kitų matematikų darbai, kuriais buvo siekiama matematiškai išreikšti judėjimą.To meto matematinių rezultatų pagrįstumas skyrėsi nuo senovės graikų matematikams būdingo loginio pagrįstumo. Šiems matematikams buvo svarbu, kad jų rezultatai dera su tuo, kas stebima realiame pasaulyje. Matematikos istorikas H.J.M Bosas savo knygoje Redefining Geometrical Exactness (8 pusl.) rašo:

 The relaxation of the classical Greek rigor of proof in mathematics has long been recognized as a characteristic of seventeenth- and  eighteenth-century mathematics. It may be less generally realized that this attitude did not imply a lack of interest in exactness. Mathematicians were concerned about the foundation of their science, but they regarded the question about construction, or in general about procedures to make objects known, as more critical than rigor of proof.

Tačiau intuityvus samprotavimas matematikoje matyt kėlė nepasitenkinimą. Tą rodo faktas, kad 1784 metais Berlyno Akademija, kurios prezidentu tuo metu buvo J.-L. Lagrange, pripažindama nepatenkinamą analizės pagrindų padėtį, įsteigė prizą tam, kas pasiūlys aiškų ir tikslų ,,begalybės“ sąvokos pagrindimą. Be kita ko ši sąvoka buvo siejama su ,,kintamo dydžio“ sąvokos ir ribos sampratos neaiškumu.  Po dviejų metų prizas buvo paskirtas nepaisant to, kad siūlomi sprendimai netenkino matematikų. 19 amžiaus pradžioje, B. Bolzano, A.-L. Cauchy, N.H. Abelio ir kitų matematikų darbų dėka, pradėjo ryškėti nauji analizės pagrindų  kontūrai. Jais tapo tuo, kas vadinama analizės ,,aritmetizacija“. Jos pagrindą sudarė loginis realiojo skaičiaus sampratos pagrindimas, kuris senovės graikų suformuotą aritmetikos ir  geometrijos svarbos santykį apvertė aukštyn kojomis.

Pagrindinė ,,aritmetizacijos“ sprendžiama problema buvo klausimas kaip skaičių pagalba išreikšti  intuityviai suprantama (geometrinio) dydžio tolydumą. Nebendramačių atkarpų egzistavimo faktas rodo, kad racionalieji skaičiai, identifikuoti kaip taškai ant geometrinės tiesės, palieka be galo daug ,,plyšių“. Klausimas, ar racionaliuosius skaičius papildantys iracionalieji skaičiai sudarys kuria nors prasme tolydų objektą? 19 amžiaus antroje pusėje buvo pasiūlyta keletas logiškai nepriekaištingų iracionaliųjų skaičių  apibrėžimų. Visų jų rezultatas ta pati matematinė struktūra vadinama realiųjų skaičių sistema. Čia aptarsime tik R. Dedekindo apibrėžimą, nes išliko jo konstrukcijos motyvacija sprendžiant tolydumo problemą  (žiūrėk jo esė Continuity and irrational numbers). Deja, su nedidelėmis išimtimis (B. Riemann, G. Cantor ir D. Hilbert), matematikai turi tradiciją viešai neskelbti savo filosofinės motyvacijos.

 R. Dedekindo apibrėžtis formuluojama naudojant  aibių teorijos kalbą ir darant prielaidą, kad  turime racionaliųjų skaičių aibę Q.

 Apibrėžtis. Racionaliųjų skaičių aibės Q poaibis D vadinamas pjūviu, jei jis turi tris savybes:

1.  jei , ir , tai , t.y. visi racionalieji skaičiai mažesni už bet kurį D elementą taip pat yra D elementais;
2. aibė netuščia, t.y. egzistuoja racionalusis skaičius nepriklausantis aibei D;
3. aibė D neturi didžiausio elemento, t.y.  kiekvienam D elementui yra didesnis D elementas.

Pjūvių pavyzdžiai:

1.  jei , tai yra pjūvis;
2.  aibė yra pjūvis.

 Senovės graikų santykį iliustruojančią (1) aibę pakeisime aibe

 kuri tampa pjūviu. Jei yra racionalusis skaičius, tai ši aibė sutampa su pirmu pavyzdžiu. Racionaliuosius skaičius vaizduojant geometrinės tiesės taškais, pjūvis yra (atviras) intervalas, kurio dešinysis galas gali būti racionalusis skaičiaus arba plyšys. Šis plyšys ir turėtų būti iracionalaus skaičiaus vieta ant geometrinės tiesės. Tolesnė konstrukcija grindžiama idėja racionaliuosius taškus ir plyšius tapatinti su pjūviais. Galima įrodyti, kad pjūviai turi visas reikalingas realiųjų skaičių ir jų aritmetikos savybes.

Apibrėžtis. Visų pjūvių aibę žymime R, o jos elementus vadiname realiaisiais skaičiais.

 Kodėl turėtume manyti, kad ši realiųjų skaičių aibė yra Euklido ,,Pradmenyse“ naudojamo tolydaus dydžio adekvatus analogas? Dedekindas mano, kad aibė R yra tolydi, jei ji turi šią tiesės savybę:

If all points of the straight line fall into two classes such that every point of the first class  lies to the left of every point of the second class, then there exists one and only one point which produces this division of all points into two classes, this severing of the straight line into two portions.

 Dedekindas pripažįsta, kad šios tiesės savybės  neįmanoma įrodyti.  Ši prielaida yra aksioma, kuria išreiškiama tiesės tolydumo savybė. Minėtoje esė Dedekindas įrodė tokį teiginį.

 Theorem. If the system R of all real numbers breaks up into two classes , such that every number of the class is less than every number   of the class then there exists one and only one number by which this separation is produced.

 Dedekindas taip pat parodo, kad šios teoremos teiginys ekvivalentus kai kuriems fundamentaliems šiuolaikinės analizės faktams. Pavyzdžiui, monotoninė aprėžta seka  (kintamasis dydis) turi ribą. Matematinėje analizėje ši tolydumo savybė vadinama realiųjų skaičių aibės pilnumu, o pati aibė R vadinama aritmetiniu kontinuumu. 

Tai ką gi mes turime galiausiai?

Aksioma. Tarp realiųjų skaičių sistemos R (aritmetinio kontinuumo) ir geometrinės tiesės (geometrinio kontinuumo) egzistuoja tvarką išsauganti abipus vienareikšmė atitiktis.