Šiame įraše palyginame du straipsnius apie matematiką paskelbtus 1911 ir 2010 metais enciklopedijoje Britannica. Toks palyginimas išryškina svarbų pastarųjų kelių šimtmečių matematikos evoliucijos bruožą: jos atotrūkį nuo gamtos mokslų. Šį bruožą patikslinsime primindami A. Jaffe ir F. Quinn 1993 metais inicijuotą diskusiją (dėkoju RM už šios diskusijos priminimą). Mūsų nuomone, požiūrių kaitos palyginimas yra svarbus pirmas žingsnis bandant apibūdinti šiuolaikinę matematiką. Matyt, abu tekstus būtų įdomu lyginti ir kitais aspektais, pavyzdžiui, pagal tyrimų įvairovę ir apimtis. Bet to nedarome.
Matematika 1911 metais pagal Britannica; tiksliau reikėtų sakyti pagal the Wikisource 1911 encyclopedia project, kuris suskaitmenina šią enciklopediją. Didesnė straipsnio dalis (žr. čia) skirta svarstymui, ar teiginys ,,matematika yra mokslas apie diskrečius ir tolydžius dydžius „ (the science of discrete and continuous magnitude) yra adekvatus. Toks apibūdinimas buvo naudojamas nuo antikos laikų, kai pagrindiniais matematikų tyrimo objektais buvo skaičius ir kiekybė (number and quantity). Apibūdinime naudojamų abiejų sąvokų turinys visada buvo miglotas, be to jis kito. Apie skaičių bendrais bruožais rašome čia. Apie kiekybę nemažiau sunku kalbėti. Pavyzdžiui, pagal Eulerį (1771) (cit. iš [1]), kiekybė (quantity) yra kažkas, kas gali didėti arba mažėti. Kiekybės pavyzdžiais yra pinigai, ilgis, plotas , tūris, laikas, masė, jėga, greitis. Palaipsniui kiekybė matematikoje tampa abstrakcija ir, kai pasirodo formulėje, paprastai vadinama kintamuoju (variable).
1911 metų enciklopedijos straipsnyje apie matematiką nurodomi argumentai, kurie verčia atsisakyti minėto matematikos apibūdinimo. Tokiomis priežastimis nurodomas 19 amžiaus skaičiaus sampratos atotrūkis nuo realios tikrovės, intuicijos ir vaizdumo. Naujos skaičiaus sampratos remiasi aibių teorija (straipsnyje vadinama theory of classes and relations), kuri grindžiama logikos prielaidomis. Daroma išvada, kad (tuometinė) matematika turėtų būti vadinama mokslu apie samprotavimus, kuriuose išvados gaunamos iš bendrų prielaidų naudojant loginę dedukciją.
Toliau straipsnyje svarstoma apie grynosios matematikos ir taikomosios matematikos skirtumus. Teigiama, kad skirtumas yra metode. Grynojoje matematikoje prielaidos laikomos duotomis ir ieškoma įdomių išvadų. Tuo tarpu, taikomojoje matematikoje išvados yra duotos kaip eksperimento pasekmės ir ieškoma prielaidų iš kurių gaunamos turimos išvados. Taikomosios matematikos pavyzdžiu įvardijama mechanika, pilnai ,,persunkta„ (transfused) matematikos.
Straipsnio gale teigiama, kad kiekviena fizikos sritis prasideda matematikos taikymu. Spėjama, kad šiuos taikymus apjungs hipotetinė visatos struktūros matematinė teorija, vieninga visų reiškinių atžvilgiu. Tiksliau, rašoma:
Every branch of physics gives rise to an application of mathematics. A prophecy may be hazarded that in the future these applications will unify themseves into a mathematical theory of a hypothetical substructure of the universe, uniform under all the diverse phenomena.
Kitaip tariant, tikimasi sukurti vieningą visatos matematinę teoriją. Panašu, kad ši pranašystė po šimto metų dar neišsipildė. Atrodo išryškėjo priešingos tendencijos, ką teigia kitas po šimto metų parašytas tos pačios enciklopedijos straipsnis apie matematiką.
Matematika 2010 metais pagal Britannica. Šis straipsnis skirtas visos matematikos vystymosi istorijos apžvalgai. Mūsų lyginimui pakanka tik tos jo dalies, kurioje rašoma apie 19 ir 20 amžiaus matematiką. Tarsi atsakant į prieš šimtą metų suformuluotą pranašystę, ši straipsnio dalis pradedama tokiu matematikos apibūdinimu:
Matematikos tyrimų plėtrą lydėjo ryškus pasidalinimas tarp matematikos ir fizinių mokslų, o abiejų sričių takoskyrą žymi aiški profesinė siena. Dėl tokio pasidalijimo, nepagrindžiama savo (gamta)moksline svarba, matematika išplėtojo labai aiškius griežtumo standartus. Ji taip pat įgijo galimybę laisvai plėtotis kryptimis, kurios mažai ką turi bendro su taikymais. Kai kurios iš šių krypčių pasirodė stebėtinai taikytinos, nors dėmesys griežtumui atskleidė visiškai naują matematikos ir logikos prigimties sampratą. Be to, daugelis sudėtingų matematikos problemų paskatino konceptualiai naujų sprendimo metodų vystymąsi.
Toliau straipsnyje apžvelgiamos pagrindinės matematikos sritys. Skirtingai nuo 1911 metų straipsnio, 2010 metų analogiškame straipsnyje nekomentuojami galimi matematikos apibūdinimai išskyrus tą, kurį pacitavome. Be to, pakankamai išsamiai rašoma apie tai, kas vadinama ,,matematine fizika„. Be kitų dalykų, ten rašoma:
Iki tol nepaisęs grynosios matematikos, Einstein‘as pakeitė šią nuomonę tik po to, kai daugelį savo nagrinėtų klausimų jis aptiko matematikoje esant jau anksčiau suformuluotų ir išspręstų. Labiausiai jis buvo nustebintas Riemann‘o suformuluotomis geometrijos teorijomis.
Tai tik vienas iš daugelio pavyzdžių, kai matematikai, neturėdami tikslo suprasti realią tikrovę, sukuria matematines struktūras, sąvokas ir objektus, kurie vėliau pasirodo tinkami gamtos mokslų teorijose.
Kaip rašoma enciklopedijos straipsnyje, svarbiausias šiuolaikinės matematikos bruožas – samprotavimų loginis griežtumas, užtikrinantis maksimalų matematikos rezultatų patikimumą. Tuo tarpu gamtos moksluose svarbiausiu kriterijumi vertinant rezultatus yra jų atitikimas realiai tikrovei. Dėl to atsiranda daugybė kitų skirtumų lyginant su gamtos mokslais.
Viena tokių skirtumų grupė aptariama A. Jaffe ir F. Quinn straipsnyje „Theoretical mathematics‘‘: toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics. Bulletin of the American Mathematical Society, 1993. Šiame straipsnyje aptariami teorinės fizikos ir matematikos bendroje sankirtoje atsirandantys mokslinio tyrimo skirtumai. Teorinėje fizikoje rezultatai vertinami naudojant eksperimentą ir tam nėra naudojamas teiginių matematinis įrodymas. Jaffe ir Quinn tvirtina, kad
funkcine prasme, įrodymas matematikoje yra analogiškas eksperimentui gamtos moksluose. Įrodymas atlieka dvi pagrindines funkcijas. Pirma, įrodymas užtikrina matematikos rezultatų patikimumą, panašiai kaip kituose moksluose kontrolę atlieka laboratorinis tyrimas. Antra, įrodymas suteikia supratimą ir naujų pastebėjimų, panašiai kaip ir darbas laboratorijoje.
Šios aplinkybės nepaisymas matematikų aplinkoje kartais kelia problemas. Jaffe ir Quinn aptaria šias problemas ir siūlo laikytis tam tikrų taisyklių siekiant prisiderinti prie egzistuojančių skirtumų.
Nagrinėjant skirtumus tarp reiškinių tenka juos supaprastinti. Matyt to neišvengta A. Jaffe ir F. Quinn straipsnyje sprendžiant pagal komentarų gausą (žr. čia ir čia).
Vienas diskusijos straipsnis išsiskyrė savo įžvalgų naujumu. Tai W. P. Thurstono tekstas On proof and progress in mathematics. Pirma, jis suabejojo tuo įrodymo vaidmeniu matematikoje, kurį jam priskiria Jaffe ir Quinn savo straipsnyje. Neneigdamas samprotavimo griežtumo svarbos matematikai, Thurstonas pagrindinį vaidmenį skiria matematikos idėjų supratimui, teigdamas, kad svarbiausias klausimas:
Kokiu būdu matematikai tobulina žmogaus supratimą apie matematiką?
Antra, Thurstonas abejoja, kad teoremų autorystės pripažinimas yra svarbiausias matematikų veiklos variklis. Jis teigia, kad toks požiūris turi neigiamų pasekmių matematikos progresui. Pripažįstant tai, kad matematikai tobulina žmogaus supratimą apie matematiką, reikia vertinti ir skatinti žymiai platesnio pobūdžio matematikų veiklą.
Dirbdamas su Williamo P. Thurstono tekstu, sužinojau, kad jis mirė šį trečiadienį.
Cituojama literatūra:
[1] H.N.Janke. Algebraic Analysis in the 18th Century. In: H.N.Janke (editor) A History of Analysis, AMS, 2003, pp. 105-136.