Procedūrinėmis matematikos žiniomis yra taisyklės ir metodai, kurių pagalba randami atsakymai į tam tikro tipo matematikos klausimus. Tokios žinios nurodo ką reikia daryti, kad gautum teisingą atsakymą. Pavyzdžiui, trupmenų sudėties taisyklė, funkcijų išvestinių skaičiavimo metodai ir panašiai. Iš esmės procedūrinėmis matematikos žiniomis yra viskas, kas pastaruoju metu mokoma mokyklose matematikos pamokose. Tik tokias žinias vertina mūsų matematikos brandos egzaminas.
Paklausite, o kokių kitokių matematikos žinių dar galėtų būti? Kiekviena matematikos procedūra yra matematikos objektų savybių pasekmė. Žinant tokias savybes galima paaiškinti ir suprasti iš kur atsiranda tos procedūros. Užmiršus procedūrą bet suvokiant matematinį objektą nesunkiai galima pačiam atgaminti reikiamą procedūrą. Pavyzdžiui, trupmenų sudėtis yra racionaliųjų skaičių aibės savybių pasekmė. Mokykloje paprastai išvengiama tikslaus racionaliųjų skaičių apibūdinimo, o tuo labiau nepaaiškinama kokiu būdu iš racionaliųjų skaičių sampratos išplaukia tokių skaičių sudėties operacija. Konkrečių funkcijų išvestinių skaičiavimo metodas yra tam tikro pavidalo funkcijų ribos išreiškimo būdas. Suprantant, kas yra riba ir kaip ji skaičiuojama nesunkiai galima pačiam rasti konkrečių funkcijų išvestinių išraiškas. Žinios apie matematikos objektus ir jų savybių sąryšius yra sąvokinės matematikos žinios.
Sąvokinių ir procedūrinių matematikos žinių skirtumą iliustruoja analogija su skirtingo gilumo žiniomis apie automobilį. Jei išmanote automobilio veikimo principus jums nereikia įdėti daug pastangų tam, kad suvoktumėte kaip reikia vairuoti automobilį. Automobilio veikimo principų išmanymas atitiktų sąvokines matematikos žinias, o gebėjimas vairuoti automobilį be jo variklio išmanymo atitiktų procedūrines matematikos žinias. Nenuostabu, kad matematikai procedūrinių žinių net nevadina matematika. Tuo tarpu visuomenė apie matematiką sprendžia tapatindama ją su procedūrinėmis matematikos žiniomis ir net neįtaria, kad gali būti kitokios matematikos žinios.
Manau, kad sąvokinių matematikos žinių atsiradimas sietinas su matematinio įrodymo idėjos gimimu antikos laikais. Iki tol, šumerų ir babiloniečių civilizacijose, matematika buvo praktinių uždavinių sprendimo metodų rinkinys. Idėjine prasme mūsų mokyklinė matematika yra šumerų ir babiloniečių laikų lygio tik įvilkta į šiuolaikinės matematikos rūbą. Antikos laikų matematika mūsų moksleiviams neprieinama. Sakysite ne, tai paklauskite savo pažįstamą moksleivį, ar jis gali bent nupasakoti Pitagoro teoremos įrodymo idėją, arba, kodėl kvadratinė šaknis iš dviejų nėra racionalusis skaičius.
Kodėl rašau apie sąvokines matematikos žinias. Jei apie jas visuomenė nežino, tai matyt jų niekam nereikia, išskyrus gal būt patiems matematikams. Taip, toks požiūris yra būdingas dideliai mūsų visuomenės daliai (įskaitant ir akademinę bendruomenę) ir tų šalių visuomenėms, kurios turi panašaus pobūdžio švietimo sistemas. Dauguma pasaulio šalių visuomenės jau įsisąmonino matematikos svarbą ne tik visiems mokslams (taip pat ir humanitariniams) bet ir matematikos kaip kultūros reiškinio svarbą (apie tai rašysiu vėliau atskirai). Mūsų žinios apie pasaulį keičiasi nepaprastai greitai ir radikaliai, o matematikos sąvokinės žinios (ne procedūrinės žinios) yra pasaulio pažinimo priemonė. Tie, kas nori dalyvauti siekiant naujovių ir pasaulio pažinime nebegali išsiversti be matematikos. Jei anksčiau sąvokinėmis matematikos žiniomis galėjo rūpintis tik matematikai profesionalai, tai dabar tokios žinios yra būtinos daugumai su matematika tiesiogiai nesusijusių veiklos ir mąstymo sričių.
Kaip gi yra su sąvokinėmis matematikos žiniomis kitose šalyse? Labai įvairiai. Yra šalys, sakykim lyderės, kurios sugeba sąvokines matematikos žinias diegti net mokykloje. Dar daugiau šalių yra užsibrėžusių sau tikslą artimiausiu metu pasiekti šalių-lyderių lygį. Apie jas ne kartą rašiau šiame tinklaraštyje, todėl nesikartosiu jas vardindamas. Matyt dar daug laiko praeis, kol mūsų tautiečiai subręs tam, kad priimtų matematiką tokią, kokia ji yra pastaruoju metu, o ne šumerų ir babiloniečių laikų matematiką. Tačiau apie sąvokines matematikos žinias ir kaip jų siekti būtina kalbėti nieko nelaukiant.
Šią ilgą ir pesimistinę tiradą rašyti mane pastūmėjo amerikiečių matematikų draugijos žurnalo rugsėjo mėnesio numeryje pasirodęs Jerome Epstein straipsnis The Calculus Concept Inventory – Measurement of the Effect of Teaching Methodology in Mathematics (straipsnio autoriaus mama kilusi iš Lietuvos). Straipsnyje rašoma apie du dalykus: apie testus, kurių pagalba galima įvertinti universiteto pirmo kurso matematinės analizės sąvokinių žinių įsisavinimo kokybę ir apie tos kokybės priklausymą nuo matematinės analizės mokymo metodų.
Beveik prieš dešimtmetį straipsnio autorius Epstein kartu su keliais kolegomis ėmėsi uždavinio sukurti testus, kurie padėtų įvertinti matematikos sąvokinių žinių įsisavinimo kokybę. Jie panaudojo fizikų dar anksčiau sukurtais ir gana plačiai taikomais fizikos sąvokų mokymo kokybės vertinimo metodais. Pasirodo, kad fizikos mokymo pedagogika yra žymiai toliau pasistūmėjusi už matematikos mokymo pedagogiką. Čia kalbama ne apie Lietuvos pedagogiką. Epstein ir jo kolegų darbas dar nėra baigtas. Bet jau dabar pasiektų rezultatų efeketyvumas stulbina, o fizikų rezultatai dar geresni. Trumpai kalbant, turimi testai įgalinta statistiškai aiškiai atskirti įgyjamų matematikos sąvokinių žinių kokybę kai taikomas tradicinis mokymo metodas ir naujas mokymo metodas pastarojo naudai. Tradicinis mokymo metodas yra paprasčiausia paskaita, net ir labai gerai didaktiškai paruošta. Naujas mokymo metodas vadinamas dialoginiu bendravimu (taip verčiu anglišką išsireiškimą Interactive Engagement). Tai reiškia, kad su studentu nuolat palaikomas bendravimas aiškinantis ir koreguojant jo sąvokinį supratimą. Smulkiau apie rezultatus geriau skaityti pačiame Epstein straipsnyje. Planuoju šiuos testus pateikti mūsų studentams. Žiūrėsime, kas gausis.
Vis dėlto būtų neblogai suprasti kodėl mūsų šalyje matematika nėra laikoma svarbia bendrojo išsilavinimo dalimi. Iš karto po to, kai buvo leista mūsų moksleiviams rinktis ar laikyti matematikos brandos egzaminą, tokį egzaminą rinkosi apie 80% moksleivių. Pastaruoju metu matematikos brandos egzaminą renkasi mažiau kaip 40% moksleivių. Nemažai mano pažįstamų fizikų, informatikų ir net matematikų įsitikinę, kad Lietuvai per didelė prabanga išlaikyti žmones gebančius atlikti matematikos tyrimus. Daug svarbiau, jų nuomone, turėti aukštųjų technologijų specialistus. Mums pakanka turėti tik matematikos dėstytojus. Vykdoma švietimo ir mokslo politika rodo, kad toks požiūris dominuoja pagrindinėse švietimo ir mokslo institucijose: ŠMM, LMA ir LMT. Šiais metais nei vienas moksleivis nepanoro studijuoti matematikos mokymo dalyko VU (tiesą sakant vienas moksleivis norėjo, bet dėl vieno studento paskaitos nevyks). LEU matematikos mokymą nuo šių metų studijuos trys studentai, o šokių mokymą ten pat studijuos 50 naujų studentų, fizinį lavinimą studijuos 200 naujų studentų. Galima ir toliau vardinti požymius rodančius krentantį matematikos svarbos supratimą mūsų šalyje. Manau, kad panašioje padėtyje yra ne tik matematika, bet ir kai kurie kiti mūsų visuomenės akimis žiūrint ,,neprestižiniai“ dalykai.
Mano nuomone, pirmiausia reikia aiškintis kokius tikslus mes keliame savo švietimo sistemai. Tai nėra lengva, nes oficialiuose tekstuose kalbama bendrais ir pompastiškais žodžiais. Kartais į viešumą prasprūsta konkretesni švietimo sistemai priklausančių žmonių pasisakymai. 2013 m. rugsėjo 13 d. internetiniame žinių portale DELFI pasirodė straipsnis Pažymiai traumuoja? Kada baigti žaisti ir pradėti rimtai vertinti vaikus, kuriame skirtingi žmonės pasisako apie atsisakymą vertinti pažymiais pradinių klasių moksleivius. Straipsnio gale į klausimus atsakė Švietimo ir mokslo ministerijos Bendrojo ugdymo ir profesinio mokymo departamento Ikimokyklinio ir pradinio ugdymo skyriaus vedėja Gražina Šeibokienė. Į klausimą: Kada buvo atsisakyta vertinimo pažymiais ir kodėl? G. Šeibokienė atsakė:
Greitai bus pora dešimtmečių. Praktiškai nuo pat nepriklausomybės atkūrimo pradžios, kai buvo patvirtinta Lietuvos švietimo koncepcija. Kodėl? Todėl, kad pasikeitė mokymosi tikslai. Ugdydami mes siekiame ne tik žinių įsisavinimo, atskirų temų ar dalykų išmokimo, bet ir vertybinių nuostatų, asmens gebėjimo taikyti tas žinias praktiškai. Todėl labai svarbu matyti ir vertinti kiekvieno vaiko daromą individualią pažangą, nenuslopinti jo noro siekti vis geresnių rezultatų.
Klausiama: Ar sprendimas nevertinti pradinukų pažymiais pasiteisino? G. Šeibokienė pasakė taip:
Šį klausimą suprantu kaip „Ar tikite humanizmu ir demokratija?“ Taip. Tai nelengvas kelias, tačiau tai tikrai įdomi ir prasminga veikla, padedant atsiskleisti geriausioms asmenybės savybėms, paskatinti jų plėtotę.
Atsakymai rodo, kad mūsų švietimo sistema reguliuojama vadovaujantis konkrečiais tyrimais nepagrįstomis teorinėmis nuostatomis, vadinamomis paradigmomis. Jų esmė ta, kad bendrojo pobūdžio žinios nėra svarbiausiu mokymo tikslu. Vietoje tokių žinių kalbama apie vertybių ugdymą ir ,,žinių praktiškumą“. Tokia ,,žinių praktiškumo“ nuostata ypač nepalanki keisti matematikos ugdymo kokybę. Bandymai kalbėti apie sąvokinių matematikos žinių būtinumą mūsų moksleiviams vertinami kaip ,,perdėtas formalizmas“ arba kaip siekimas mokykloje mokyti ,,akademines žinias“. Bendrojo ugdymo programa numato, kad matematikos ugdymo tikslas yra pasaulio pažinimas. Rezultatas – šumerų ir babiloniečių laikų matematika, suteikianti priemones naudotis matematika buityje. Tokia matematika ugdo ir atitinkamas vertybes. Žodžiais siekdami ,,vertybinių nuostatų“, humanizmo ir demokratijos ugdymo, praktiškai diegiame ekonominės naudos siekimo poreikius.
Kaip ten bebūtų su mūsų švietimo sistema, turime siekti savo darbą atlikti sąžiningai, siekdami tokios kokybės, kaip mes ją suprantame, net jei tai ir neatitinka dabarties vertybių kodekso. Todėl ir toliau šio tinklaraščio puslapiuose bus kalbama apie sąvokines matematikos žinias ir apie matematiką kaip kultūros reiškinį.
Atsakymas vienas — iš esmės pradėti kovoti už didesnį privačių mokyklų tinklą.