Atnaujintos matematikos bendrosios programos projekto recenzija ir atsakymas į ją

Santrauka. Programos projektas parengtas ignoruojant W.H. Schmidt ir jo kolegų tyrimus  dėl matematikos programos kokybės charakteristikų įtakos mokinių pasiekimams, ignoruojant EBPO atliktų tyrimų rezultatus, rodančius grynosios matematikos teigiamą įtaką mokinių pasiekimams matematikoje ir jos taikymuose bei socialinės nelygybės visuomenėje mažinimui. Vietoje matematinio samprotavimo diegimo, programos turinys yra plečiamas naujomis temomis  arba keičiama ankstesnių temų vieta. Nesant atliktų pakeitimų tikslingumo ir teigiamo poveikio pagrįstumo, siūloma nekeisti 2008 metų matematikos programos atnaujintu programos projektu.  Siūloma pradėti rengti naują matematikos programą kartu su naujais vadovėliais bei iš anksto organizuoti pagal naują programą gebančių dirbti mokytojų perkvalifikavimą.

1. Įžanga: glaustai pristatytas Atnaujintos matematikos bendrosios programos projektas (toliau – Programos projektas), jo vieta ir reikšmė tarp kitų mokomųjų dalykų.

Matematika yra vienas iš dviejų dalykų (greta lietuvių kalbos ir literatūros), kurie yra mokomi visus 12 metų praleistų mokykloje, o nuo 2024 m. stojantiems į aukštąsias mokyklas matematika bus vienu iš dviejų privalomų brandos egzaminu.

Programos projektas vertinamas remiantis Bendrųjų programų atnaujinimo gairėse, 2019, (toliau – Gairėse) numatytais reikalavimais visų dalykų programoms. Programos projektas rengiamas orientuojantis į kompetencijų ugdymą matematikos dalyku. Orientacija į kompetencijų plėtotę yra ugdymo programų reformos kryptis, vykstanti įvairiose pasaulio šalyse nuo 1990 metų. Tokiomis reformomis bandoma atsisakyti orientuoti ugdymą į žinių perdavimą, kuris tapatinamas su žinių atsiminimu ir jų taikymu be supratimo. Vietoje to siekiama dalykų programas ,,integruoti“ ir kurti tokią aplinką klasėje, kuri padeda mokiniams žinias   ,,konstruoti“, patiems jas atrasti ir suprasti. Šiomis idėjomis grįstas programų atnaujinimas vyko 2008 metais.

Dabartinis programų atnaujinimas vyksta vadovaujantis panašiomis taisyklėmis. Tačiau yra ir skirtumų. Dabartinis Gairių 40 punktas yra toks:

Dalyko turinys sudaro sąlygas ugdytis kompetencijas, bendrojoje programoje jis pateikiamas nuosekliai, atsižvelgiant į atitinkamo mokslo akademinę logiką, metodologiją ir paisant mokinių amžiaus tarpsnio ypatumų.

Recenzijoje taikome toliau šiame Gairių punkte išvardintus dalyko turinio kokybės kriterijus: vertybinį kryptingumą, reiklumą, kontekstualumą, dinamiškumą, sutelktumą, nuoseklumą, integralumą ir dermę.   

Reikalavimas matematikos dalykui atsižvelgti į ,,atitinkamo mokslo akademinę logiką“ reiškia matematinio samprotavimo principų laikymąsi mokyklinėje matematikoje.  Lietuvoje šiuo metu neturime tokios mokyklinės matematikos. Siekiant įgyvendinti šią nuostatą, reikia skirti tris dalykus: programa; turinys; mokytojo pasirengimas. Sukurti matematinio samprotavimo principais paremtą programą santykinai nėra sudėtinga. Matematikos atveju programą atitinkantis dalyko turinys ir mokytojo pasirengimas dirbti pagal programą yra patys sudėtingiausi lyginant su kitais mokomaisiais dalykais. Pasirengimui įgyvendinti matematikos programą nėra numatyta pakankamai laiko ir resursų.

Matematikos turinys yra hierarchinė (nuosekli) logiškai susijusių sąvokų struktūra. Mokyklinis matematikos variantas negali būti paprasta dalies akademinės matematikos kopija dėl mokinių kognityvinių gebėjimų ribotumo egzistuojančio dėl jų amžiaus. Tačiau akademinės matematikos vidinė logika, kalbant vaizdingai, yra išreiškiama ,,veikiančiu žaisliniu modeliu“.  Kokias sąvokas ir kada mokyti apsprendžia sąvokų vidinė logika bei mokinių amžius. Mokyklinėje matematikoje sąvokos yra abstrakčios, o kasdieninė mokinio patirtis nėra pakankama jų giliam supratimui. Be to, kaip ir kiekvienas mokomasis dalykas, matematika turi tik jai būdingą mąstymo būdą, kurį turėtų demonstruoti matematinis samprotavimas. Be to, matematinio samprotavimo gebėjimų trūkumas smukdo mokinių pasiekimus mokantis fizikos, chemijos ir ekonomikos[1].

Toliau vertinant matematiką tarp kitų mokomųjų dalykų reikia pastebėti, kad net trečdalis mokinių neišlaikė 2020 metų matematikos brandos egzamino. Nors 2021 metais matematikos brandos egzaminą mokiniai laikė geriau lyginant su ankstesniais metais, pastarųjų septynių metų matematikos brandos egzaminų laikymo tendencija yra nuosekliai blogėjanti (1 lentelė).

1 lentelė. Matematikos valstybinio brandos egzamino rezultatai pagal Nacionalinės švietimo agentūros informaciją (2015 – 2021 m.)[1]

II.1. Programos projekto vertinimas dalyko turinio struktūros, sudėtingumo, apimčių ir tikslingumo aspektais.

Mokyklinės matematikos turinio struktūra savyje negali turėti kitų dalykų sąvokų sistemų arba kitų dalykų sąvokos negali būti integruojamos į matematikos sąvokų struktūrą. Finansinį raštingumą Programos projekte sudaro 90% finansų teorijos ir tik 10% sudaro finansiniai skaičiavimai. Pastarieji galėtų būti integruojami į matematikos dalyką per užduotis, o ne kaip atskira tema. Didelę žalą matematikai ir jos taikymams visose srityse daro ,,procento“ sąvokos susiejimas tik su finansiniu raštingumu (žr. 6.5.1.3[3]). Daugiau apie finansinio raštingumo temą Programos projekte yra Priede B.

Finansinis švietimas yra svarbus savaime. Tai pabrėžia daugelis EBPO švietimo dokumentų[4]. Tačiau juose siūlomos įvairios finansinio švietimo formos mokykloje. Viena jų yra kaip atskiras mokomasis dalykas. Kita forma yra organizuoti finansinio švietimo dienas vaikams ir tėvams, kurias vestų finansų ekspertai.  EBPO studijose atkreipiamas dėmesys į mokytojų tinkamą pasirengimą bei priemonių parengimą. Lietuvoje pasirinktas finansinio švietimo ugdymas kaip atskira tema matematikos programoje be tinkamo aprūpinimo gali padaryti žalos ir matematikai, ir finansiniam švietimui. Manome, kad būtina atsisakyti mokyti finansų teoriją per matematikos pamokas.

Programavimas yra kitas ne matematinis dalykas, kurio sąvokos integruojamos su matematikos sąvokų struktūra. Terminai ,,seka“ ir ,,kintamasis“ naudojami informatikos ir matematikos kontekste nuo pirmųjų klasių (6.1.2.1 ir 6.3.2.2). Vėlesnėse klasėse šios sąvokos pradedamos traktuoti matematine prasme (6.9.1.1 ir 6.9.1.3). Kadangi mokykloje ,,kintamojo“ terminas nėra paaiškinamas šiuolaikine matematine prasme, o naudojamas bendrinės kalbos prasme, tai jis išlieka vienu iš matematikos nesupratimo šaltinių. Kitas programavimo sąvokos integravimo į matematiką pavyzdys yra ,,įvesties/išvesties lentelės“ terminas. Tai naujas terminas matematikoje, akivaizdžiai susijęs su funkcijos sąvoka. Galbūt todėl juo siūloma naudotis net keturis kartus: 6.5.2.1, 6.6.2.2, 6.7.2.2 ir 6.8.2.2.  Tuo tarpu funkcijos sąvokos nagrinėjimas rekomenduojamas vėliau, devintoje klasėje (6.9.1.3).  

2008 metų matematikos programoje ne matematinių temų nėra. Tačiau orientacija į taikomąją matematiką mokimuisi mokykloje Lietuvoje pradėta gerokai anksčiau. Dabartinės Programos projekto prototipu galima laikyti vieną iš trijų projektų publikuotų 1994 metais[5]. Trečiajame projekte (84 pusl.) rašoma:

Taikomoji matematika tapo vienu iš lemiamų žmonijos progreso veiksnių. Todėl dabar ypač svarbu mokyklinėje matematikoje akcentuoti matematikos praktinę reikšmę.

 1994 metų matematikos programoje, greta tradicinių matematikos temų siūlyta įtraukti ekonomikos elementus ir informatikos elementus. Dabartinis Programos projektas tiesiogiai įgyvendina šias idėjas.

Savo laiku idėjos orientuoti matematikos mokymą į jos taikymus buvo paplitusios pasaulyje daugelio šalių mokyklinėse programose dėl priežasčių, kurių aptarti čia nėra vietos. Svarbiau yra atkreipti dėmesį į tyrimų rezultatus rodančius šių idėjų neigiamas pasekmes. Kokią įtaką mokinių pasiekimams daro taikomosios ir grynosios matematikos temų svarba mokyklinės matematikos programoje yra įvertinta EBPO studijoje: OECD (2016), Equations and Inequalities: Making Mathematics Accessible to All, PISA, Paris. Ši studija įvertina Lietuvos ir kitų šalių mokinių pasiekimus priklausomai nuo toje šalyje 2012 metais galiojusios matematikos programos. Detaliau ši studija aptariama recenzijos priede A. Čia pacituosime tik šios studijos pristatyme suformuluotus EBPO švietimo ir įgūdžių departamento direktoriaus Andreas Schleicher žodžius[6]:

Our analysis is [that] when students have really understood the foundations, they can extrapolate. They can apply that knowledge in another context. However, if they only teach students tips and tricks, how to solve small everyday problems, they know how to solve those problems, but they’re not good at transferring that knowledge to another context.

Grupė Mičigano universiteto (JAV) mokslininkų vadovaujami  W.H. Schmidt jau keletą dešimtmečių tiria matematikos programos kokybės rodiklių įtaką mokinių pasiekimams remdamiesi tarptautinio moksleivių pasiekimų tyrimo TIMSS rezultatais. Ši grupė ir jos atliktų tyrimų rezultatai sudarė pagrindą EBPO organizuotai matematikos programos tyrimams Education 2030. Mūsų Gairės taip pat perėmė šiuos matematikos programos kokybės kriterijus. Čia pacituosime tik vieną darbą[7], kuriame įvertinta matematikos programa nuoseklumo (coherence) ir sutelktumo ir sutelktumo (focus) aspektais.

Priminsime, kad programos nuoseklumas reiškia,  kad temų išdėstymo seka turėtų atitikti akademinės matematikos logiką, įgalinti perėjimą nuo pagrindinių sąvokų prie sudėtingesnių ir  nepažeisti besimokančiojo amžiaus tarpsnių galimybes. Programos sutelktumas reiškia, kad kiekvienoje klasėje turėtų atsirasti kuo mažesnis naujų temų skaičius tam, kad užtikrinti mokymosi gylį ir kokybę. Temos gali persidengti tam, kad sutvirtinti bazines sąvokas. Įvairias programos sutelktumo galimybes rodo žemiau pateikta iliustracija Figure 12. Schmidt ir Houang (2007) straipsnyje atlikta tiesinė regresinė analizė: programos nuoseklumas ir sutelktumas versus mokinių pasiekimai. Straipsnio rezultatai (p. 77) rodo, kad šalies matematikos programoje esant didesniam nagrinėjamų temų skaičiui ir didesniam jų nagrinėjimo metų skaičiui tuo žemesni tos šalies mokinių pasiekimai.  Kaip netrukus matysime ši tendencija būdinga Programos projektui jį lyginant su 2008 metais atnaujinta matematikos programa. 

Tolesniam Programos projekto struktūros vertinimui naudojame mūsų sudarytą Programos projekto temų pasiskirstymą nuo 1 iki 8 klasės pavaizduotą 2 ir 3 lentelėse.  Jose matosi temų pasiskirstymas Programos projekte lyginant su tų pačių temų pasiskirstymu 2008 metų programoje.  Tiriamos tos matematikos programų temos, kurios buvo išskirtos 1995 metų atlikto TIMSS tyrimo pagrindu.

Figure 12 ir Figure 13 paimta iš EBPO vykdomos programos Education2030 studijos: Mathematics curriculum analysis report (bus publikuota 2022 rugsėjo mėnesį).

Žali langeliai rodo matematikos programų temų pasiskirstymą tų šalių, kurių mokinių pasiekimai yra didžiausi pagal 1995 metais atliktą TIMSS tyrimą.  Oranžiniai langeliai rodo tų pačių temų pasiskirstymą daugumoje EBPO šalių įvertintą 2020 metais. Mėlyni langeliai rodo atitinkamą vaizdą Lietuvos atveju, t.y. temų pasiskirstymą 2008 metais atliktame matematikos programos atnaujinime. Pagal šį pasiskirstymą sudarytas temų pasiskirstymas Programos projekte.

2 lentelė. Temų iš Figure 12 pasiskirstymas Programos projekte nuo 1 iki 8 klasės.

Mėlynai pažymėti tie langeliai, kurie buvo mėlynai pažymėti 2008 metų programoje.  Šviesiai melsvi langeliai reiškia, kad šis langelis buvo mėlynas 2008 metų programoje. Programos projekte, skirtingai, nei 2008 metų programoje, kiekvienoje klasėje aprašytas tik naujas, toje klasėje numatytas mokytis matematikos turinys. Raudoni langeliai žymi atitinkamos temos naują pasirodymą Programos projekte.

3 lentelė. Temų iš Figure 13 pasiskirstymas Programos projekte nuo 1 iki 8 klasės.

Reikia atkreipti dėmesį į tai, kad tarp TIMSS tyrime išskirtų temų nėra finansinio raštingumo. Todėl šios plačios temos egzistavimas Programos projekte neatsispindi pateiktose lentelėse.

Apibendrinant galima teigti, kad programos projekto sudėtingumo lygis žemas, apimtimi programa plati, o tikslingumo požiūriu programoje dominuoja orientacija į taikymus realiame gyvenime.

II.2. Programos projekto vertinimas ryšio su dalyko turiniu susijusiomis programomis aspektu.

Dėl savo prigimties matematika yra svarbi daugeliui kitų mokomųjų dalykų programoms, nes juose naudojamos matematinės sąvokos. Matematikoje sąvokos yra tampriai susietos loginiais ryšiais. Todėl pasirinkimas, kurioje klasėje yra mokoma viena ar kita sąvoka priklauso tik nuo dalyko vidinės logikos ir negali būti laisvai perkeliama iš vienos klasės į kitą. Mums nežinomi motyvai dėl kurių buvo daugelio temų mokymas perkeltas iš vienų klasių į kitas.

Pavyzdžiui, 6 klasėje yra numatyta mokyti proporciją (6.6.2.2), o geometrijoje nagrinėti panašiuosius trikampius (6.6.3.2). 8 klasėje numatyta mokyti Pitagoro teoremą (6.8.3.2), o 10 klasėje racionaliąsias lygtis (6.10.1.2). Tačiau toks temų išdėstymas prasilenkia. Jei 6 klasėje nagrinėjame proporciją, tai reiškia, kad jas sprendžiant lygtyse negalės būti nežinomasis vardiklyje (nebent proporcija nebus užrašoma kaip dviejų trupmenų lygybė), nes racionalioji lygtis atsiranda tik 10 klasėje. Tas pats galioja ir panašiesiems trikampiams. Ar kraštinių santykiai bus užrašomi be trupmenų, o su dalybos ženklu? Nes kas kartą sudarant lygtį, reikėtų iš anksto numatyti, kad nežinomasis būtų skaitiklio vietoje, kitaip turėsime racionaliąją lygtį. Kadangi Pitagoro teorema atsiranda 8 klasėje, o panašieji trikampiai 6 klasėje, tai reiškia, kad nagrinėjant panašiuosius trikampius stačiųjų trikampių neturėsime, o tik po to bus galima prie jų sugrįžti kartu su Pitagoro teorema. Kai panašieji trikampiai buvo 9 klasėje tokių problemų nekildavo. Programos rengėjų atsakymas į klausimą, kodėl kai kurios temos paankstintos neįtikino. Rengėjai paaiškino, kad „buvo apklausta kažkiek mokytojų ir jie su tam tikrų temų paankstinimu visai sutiko“.

Kita vertus, kadangi Programos projektas aukštesniųjų mąstymo gebėjimo požiūriu yra seklus, neretai yra nepaisoma loginių ryšių tarp atskirų temų. Pavyzdžiui, visai atsisakyta absoliučių ir santykinių matavimo paklaidų mokymo matematikoje, jų mokymas perduotas fizikos dalykui. Tuo būdu yra nepaisoma šios temos svarba statistikos mokymui, kaip ir daugumai kitų matematikos taikymo sričių. Be to, ši tema yra matematiniu požiūriu gili, jos supratimui reikalingas gilus pozicinės skaičiavimo sistemos išmanymas. 

II.3. Programos projekto vertinimas kognityvinių gebėjimų raidos atitikties mokinių amžiaus tarpsniui aspektu.

Žinių gylio požiūriu Programos projektas nėra orientuotas į aukštesnių mąstymo gebėjimų ugdymą. Todėl galima sakyti, kad mokinių kognityviniai gebėjimai ugdomi menkai. Iš esmės Programos projektas orientuotas į didelės apimties, mažai tarpusavyje susijusių, matematikos žinių rinkinio įsisavinimą ir perteikimą. Be to, pradiniame ugdyme numatytas per didelis kiekis abstrakčių sąvokų. Tai prieštarauja neurodidaktikos principams (žmogaus darbinė atmintis yra labai ribota).

II.4. Programos projekto vertinimas skirtingų mokinių mokymosi pasiekimų lygių požymių išskleidimo aspektu (kaip taikoma SUP mokiniams, kaip taikoma siekiant aukštesnių pasiekimų).

Pasiekimai tai pasiekimų sritis ir pasiekimų raidą (4 ir 5 skyriai). Tuo pačiu ir apie pasiekimų lygių požymius (8 skyrius). Pasiekimai faktiškai nesikeičia einant iš klasės į klasę. Jose nėra konkretaus matematikos turinio, formuluojamo 6-ame skyriuje, įgalinančio mokytoją įvertinti pasiekimus.

Pavyzdžiui, antroje klasėje geometrijos srityje mokytojui reikia žinoti kokių šios srities gebėjimų reikia pasiekti. Be to, tie gebėjimai turėtų keistis iš klasės į klasę. Gebėjimai turėtų atitikti kažkokius lygius (lygmenis) pagal mokinių kognityvinius gebėjimus. Tai, kas turinyje parašyta apie geometriją niekaip neatsispindi pasiekimų lygmenyse.  Tuo tarpu pasiekimų lygmenyse rašoma apie ,,tinkamą procedūrų atlikimą”, ,,apie užduočių sprendimą” ir t.t.

Mokinių pasiekimų lygiams aprašyti Programos projekte naudojamos savarankiškumo ir sudėtingumo skalės (7.4). Savarankiškumo skalė apibūdina užduoties atlikimo savarankiškumo laipsnį. Sudėtingumo skalė sudaryta pagal užduoties atlikimui taikomų procedūrų skaičių. Siūloma sudėtingumo skalė matuoja tik procedūrines žinias ir nematuoja aukštesnių mąstymo gebėjimų lygių. Tai yra svarbiausias pasiekimų lygių vertinimo trūkumas Programos projekte. Jis nenumato aukštesnio lygmens mąstymo gebėjimų ugdymo.

Siūlomos užduotys[8] rodo, kad tarp skirtingų lygių (slenkstinis, patenkinamas, pagrindinis, aukštesnysis) beveik nėra kokybinio skirtumo, skiriasi tik skaičių dydžiais. Kaip taisyklė, siūlomose užduotyse nėra reikalaujama pagrįsti ar įrodyti. Tai patvirtina matematinio samprotavimo Programos projekte ignoravimą. 

Kita vertus Programos projekte nėra numatyti modulių gabiesiems pavyzdžiai. Jų kūrimas paliktas mokykloms ir priklauso nuo kiekvienos mokyklos finansinių galimybių.

III.Išvados. Pateikiama bendra nuomonė, stipriosios – silpnosios Programos projekto pusės, galutinis vertinimas.

Stipriosios Programos projekto pusės.

1. Programos projekte yra teiginių, kurių nagrinėjimas klasėje skatina matematinio samprotavimo ugdymą. Tokių teiginių pavyzdžių galima rasti 6.4.3.3 ir 6.5.3.3 temose. Tai galima vadinti matematinio samprotavimo užuomazgomis Programos projekte.
2. Teigiamais bruožais galima laikyti dėmesį parodytą geometrijos bei duomenų ir statistikos temoms Programos projekte.

Silpnosios Programos projekto pusės.

1. Programos projektas parengtas ignoruojant W.H. Schmidt ir jo kolegų tyrimus dėl matematikos programos kokybės charakteristikų įtakos mokinių pasiekimams.
2. Programos projektas parengtas ignoruojant EBPO atliktų tyrimų rezultatus, rodančius grynosios matematikos teigiamą įtaką mokinių pasiekimams matematikoje ir jos taikymuose bei socialinės nelygybės visuomenėje mažinimui.
3. Mokyklinė matematika traktuojama kaip įrankis sprendžiant praktines problemas, t.y. mokymo tikslu laikomas matematinis raštingumas. Tai pasireiškia tuo, kad turinyje dominuoja procedūros be matematinio samprotavimo.
4. Programoje yra nematematinių ir nesusijusių su matematikos taikymais  temų.
5. Programos projektas negali padėti ugdyti loginio ir matematinio mąstymo. Tuo būdu nėra įgyvendinamas Gairių 40.2 punkte minimas dalyko turinio reiklumas.
6. Pradinio ugdymo turinyje yra per daug skirtingų temų ir naujų abstrakčių sąvokų. Tai gali suformuoti netinkamą mokinio santykį su matematikos pagrindais ir lemti tolesnius jo pasiekimus.
7. Pasiekimų lygmenys vertina tik procedūrinių užduočių atlikimo teisingumą ir nevertina nei aukštesnių mąstymo gebėjimų nei žinių gylio.

• Atskiros matematikos temos neturi aiškių tikslų. Pavyzdžiui, neaišku ko siekiama geometrijos mokymu, kokie naudojami geometrijos pasiekimų lygiai, visai neaišku ko siekiama mokant statistikos ar tikimybių.

9. Iš mokyklinio matematikos turinio išėmus apytikrį skaičiavimą prarastas ryšys tarp matematikos ir jos taikymų.
10. Dauguma brėžimo užduočių siūloma atlikti naudojant informacines technologijas. Tuo būdu nepanaudojama galimybė ugdyti mokinio kūrybinė vaizduotę.

Galutinis vertinimas.

Programos projektas parengtas neišnagrinėjus ankstesnės programos galimą poveikį mokinių pasiekimams atskleistą 2016 metų EBPO studijoje Equations and Inequalities: Making Mathematics Accessible to All ir ignoruojant studijos išvadas dėl grynosios matematikos teigiamo poveikio mokinių pasiekimams. Programos projektas nepakeis nuosekliai blogėjančių mokinių matematikos pasiekimų rezultatų tendencijos ir neprisidės prie socialinės atskirties visuomenėje mažinimo. Labiausiai tikėtina, kad Programos projektas turės reikšmingai blogos įtakos švietimo kokybei ir kitose srityse. Recenzentai vienbalsiai siūlo šio Programos projekto netvirtinti.

1. Rekomendacijos

Pirma. Esminiai Programos projekto taisymai dabartinėmis sąlygomis yra neįmanomi o paviršiniai Programos projekto taisymai yra nepakankami. Be to, dėl matematikos sąvokų loginio susietumo, Programos projekto įgyvendinimas vienu metu nelyginėse klasėse nuo 2023 m. rugsėjo 1 ir lyginėse klasėse nuo 2024 m. rugsėjo 1 d. yra nepagrįstas ir galimai žalingas.  Todėl siūlome mokyklose tęsti mokymą pagal 2008 metais atnaujintą matematikos programą.

Antra. Ateityje reikėtų planuoti atnaujinti matematikos programą taip, kad ji ugdytų mokinių mąstymą mokymo turinį grindžiant matematiniu samprotavimu. Matematikos taikymus perteikti per statistinio raštingumo ugdymą ir uždavinius, kuriuose konkrečios matematinės idėjos būtų pritaikomos kitų sričių problemoms spręsti. Tokiam atnaujinimui būtina įkurti nuo ministerijos nepriklausomą matematikos mokymo tyrimų (pedagoginių tyrimų) institutą, kurio pagrindiniu tikslu būtų matematikos mokymo turinio ir mokytojų žinių turinio analizė, grindžiama tarptautinio lygio moksliniais tyrimais. Taip pat čia būtų nuolat tvarkomas sąvokų ir terminų sąvadas.

Trečia. Siūlomas matematikos programos atnaujinimas galėtų naudoti jau sukurtą tokio tipo programą. Būtent, amerikiečiai 2010 metais baigė rengti visoms valstijoms pavyzdinę programą Common Core State Standards for Mathematics[9]. Šią programą lydinčiais dokumentais yra Principles and Standards for School Mathematics. NCTM, 2000, Principles to Actions. Ensuring Mathematical Success For All. NCTM, 2014 ir kiti

Ketvirta. Suformuoti procedūrą, kuri išdiskutuotų matematikos mokymo tikslus ir matematinio išsilavinimo turinį (standartus). Diskusijoje turėtų dalyvauti tėvai, matematikos mokytojai, matematikai, kitų dalykų ekspertai, akademinė bendruomenė, politikai.  Po to, numatyti kaip rengti naują programą atsižvelgiant į diskusijos rezultatus. Ši rekomendacija yra dabartinio programos atnaujinimo patirties pasekmė. Būtent, visos šalies vaikų matematikos mokymo tikslu pasirinktas ,,matematinis raštingumas“, o deklaruojamas ,,matematinis samprotavimes“ nėra ugdomas turiniu.

1. Apibendrinta informacija po susitikimo su Programos projekto rengėjais apie priimtus – nepriimtus programos tikslinimus.

Siūlymus tikslinti, tobulinti ir koreguoti programą galima rasti šios recenzijos prieduose. Čia paminėsime keletą jų dėl kurių vyko diskusijos.

1. Diskusija dėl matematikos terminų naudojimo mokyklinės matematikos kurse: ar svarbu juos naudoti? Programos projekte yra žodžių ir frazių, kuriais vadinamos matematinės sąvokos skirtingai negu siūlo Matematikos terminų žodynas. Pavyzdžiui, frazės ,,skaitmens skaičiuje vertė“, ,,skaitmens vietos vertė“, ,,skaitmens vieta skaičiuje“ naudojamos vietoje termino ,,pozicinė skaitmens reikšmė“ (6.1.1.1, 5.1.1).
2. Kai kurie matematikoje sutinkami žodžiai turi keletą skirtingų reikšmių. Viena žodžio reikšmė yra ta, kuri naudojama kasdieniniame gyvenime. Kita to paties žodžio reikšmė yra matematinė sąvoka, kuri gali skirtis nuo reikšmės naudojamos kasdieniniame gyvenime. Diskusija vyko dėl to ar reikia programoje atkreipti dėmesį į panašaus pobūdžio reikšmių skirtumus. Tokių žodžių pavyzdžiais yra ,,kintamasis“ (6.3.2.2), ,,atstumas“ (6.1.3.1) ir t.t.
3. Funkcijos ir jos reikšmių tapatinimas yra klaidinantis besimokančiam. Toks tapatinimas pasireiškia, kai funkcija traktuojama kaip reiškinys arba kai funkcija žymima simboliu y=f(x) (6.12.4.1). Dėl šio traktavimo atsiranda klaidingi išsireiškimai tokie, kaip ,,funkcijos reikšmių kitimas”, ,,funkcijos reikšmių didėjimas”, ,,funkcijos reikšmių vidutinis greitis”, ,,funkcijos greitis” ir panašiai (6.13.3.1, 6.13.3.3, 6.14.3.1,6.14.3.3). Ši tradicija ateina iš 18 amžiaus. Dar anksčiau, Niutono laikais, funkcijos prototipu buvo ,,kintamasis dydis” arba tiesiog ,,kintamasis” su tam žodžiui priskiriama natūralia prasme. 19 amžiuje funkcija matematikoje tapo sąryšiu arba taisykle. Kai kurie matematikai leidžia sau to nepaisyti ir tai suprantama, nes jie žino ką daro. Tuo tarp besimokantįjį toks trijų sampratų mišinys klaidina.
4. 2020 m. liepos 2 d. R. Norvaišos susitikime su matematikos programą atnaujinančia grupe buvo pristatyti šioje recenzijoje cituojami pagrindiniai faktai apie matematikos programos kokybės charakteristikas ir jų reikšmę mokinių pasiekimams. 2018 m. balandžio 29 d. R. Norvaiša pristatė šiuos rezultatus VU Filosofijos fakulteto seminare Consilium Educationis, kuriame dalyvavo edukologai ir tuometinės švietimo ministerijos atstovai.

Priedas A: Teorinis recenzijos pagrindimas.   Apimtis 14 pusl.

Priedas B: Skaičiai ir skaičiavimai – 6.k.1  1≤k≤8.  Apimtis 9 pusl.

Priedas C: Geometrija ir matavimai – 6.k.3,     1≤k≤8,  6.9.2, 6.10.2.  Apimtis 10 pusl.   

Priedas D: Modeliai ir sąryšiai – 6.k.2,    1≤k≤8,    6.9.1, 6.10.1.  Apimtis 6 pusl.

Priedas E: Duomenys ir tikimybės – 6.k.4,     1≤k≤8,   6.9.3, 6.10.3.  Apimtis 10 pusl.

Priedas F: Gimnazijos III ir IV klasės.  Apimtis 27 pusl.

Paslaugų teikėjų grupė: Erikas Karikovas, Miglė Meidutė, Rimas Norvaiša, Antanas Augaitis,

Alfredas Račkauskas.

PASTABOS

[1] Prieiga internete https://www.cuemath.com/learn/mathematical-reasoning/

[2] Prieiga internete:  https://www.nsa.smm.lt/wp-content/uploads/2021/07/matematika_2021.pdf

[3] Čia ir toliau nuorodos teikiamos projekto 2022-01-26 variantui

[4] OECD INFE guidelines on financial education in schools 2012. https://www.oecd.org/daf/fin/financial-education/2012%20Schools%20Guidelines.pdf 

[5] LR ŠMM. Matematikos programos projektai. Vilnius, 1994.

[6] J. Barshay. Is it better to teach pure math instead of applied math? OECD study of 64 countries and regions finds significant rich-poor divide on math instruction. The Hechinger report, 2016.

[7] W. Schmidt, R. Houang (2007). Lack of Focus in the Mathematics Curriculum: Symptom or Cause? In: T. Loveless (Ed.) Lessons Learned. What International Assessments Tell Us about Math Achievement.

[8] Pagrindinio ugdymo matematikos bendrosios programos įgyvendinimo rekomendacijų projektas. 2021-08-16.

[9] Prieiga internete http://www.corestandards.org/Math/

Atsakymas ekspertams į atnaujintos matematikos bendrosios programos projekto recenziją gautą 2022-02-28