Mokyklinės matematikos turinys: trupmenos sąvoka

Mokyklinė matematika Add comments

Bir 072013

Šis įrašas apie sunkumus mokant(is) trupmenas mokykloje ir apie tai, kaip šiuos sunkumus paaiškinti. Trupmenos sąvoka yra viena pirmųjų sukelianti rimtų sunkumų mokant(is) matematikos mokykloje. Vėliau sunkumų tik daugėja. Tačiau trupmenos turi savo išskirtinumą. Trupmenų (ne)supratimą iliustruoja anekdotai ir net priežodžiai. Pavyzdžiui, internete galima rasti tokį pasakymą:

keturi trečdaliai ( $\frac{4}{3}$ ) žmonių nesupranta trupmenų (iš matematikų folkloro).

P. Mašioto liudijimu panašus požiūris į trupmenas buvo ir prieš šimtą metų. Savo straipsnyje jis rašo: ,,….vokietis, patekęs į painią situaciją, sakosi į trupmenas įbridęs“ (P. Mašiotas. Skaičiaus sąvokos augimas. Švietimo darbas, 1, 32-34 (1923))

Siekiant įveikti sunkumus su trupmenomis paprastai naudojamos įvairios pedagoginės priemonės. Trupmenos sąvoką stengiamasi padaryti paprastesne ir aiškesne interpretuojant ją konkrečiais tikrovės objektais, pavyzdžiui, dalijant picą ar tortą į dalis. Tačiau vaizdingi aiškinimai paprastai nėra papildomi tiksliais apibrėžimais.

Be abejonės, pirmosiose mokyklos klasėse neišvengiamai tenka pradėti nuo intuityvios trupmenos sampratos. Tačiau 5-oje ar 6-oje klasėje yra būtina žengti pirmuosius žingsnius bandant aiškinti abstrakčias sąvokas. Būtina todėl, kad vyresnėse klasėse, susipažįstant su algebra, abstrakcija tampa dar didesne.

Penktos klasės vadovėliuose yra įprasta trupmenos aiškinimą pradėti nuo picos dalijimo, kaip ir pradinėse klasėse. Toliau apie trupmenas pasakome bent keletas dalykų:

trupmena yra dalmuo, gautas vieną sveikąjį skaičių dalijant iš kito sveikojo skaičiaus;
trupmena yra viena ar kelios lygios vieneto (ar visumos) dalys;
trupmena yra dviejų sveikųjų skaičių santykis;
trupmena yra dydis dalies gautos objektą (picą) dalinant į lygias dalis;
trupmena yra taškas skaičių spindulyje.

Tokia trupmenos apibūdinimų gausa yra pirmoji problema. Trupmena siejama su iš pažiūros labai skirtingomis sąvokomis. Pirmą kartą bandančiam suprasti trupmenos prasmę, tai yra sunkus išbandymas.

Antroji panašių apibūdinimų problema yra ta, kad nei vienas jų nėra naudojamas paaiškinti visas trupmenų savybes, tokias kaip trupmenų ekvivalentumas, tvarka tarp trupmenų ir aritmetinės operacijos su trupmenomis. Kiekviena trupmenų savybė apibrėžiama pasitelkiant vienu iš daugelio apibūdinimu arba tik iliustruojant pavyzdžiais. Pavyzdžiui, bent jau vadovėliuose, nepaaiškinama

kodėl $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ , bet ne $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$ , panašiai kaip dauginant trupmenas?

Trečia problema yra ta, kad trupmenos apibūdinimuose naudojamos neapibrėžtos sąvokos. Pavyzdžiui, penktos klasės moksleiviams dalmuo nėra apibrėžtas, kai vienas natūralusis skaičius (tarkim, vienetas) nesidalija iš kito natūraliojo skaičiaus.

Ketvirta problema susijusi su klausimu: ,,trupmena yra skaičius ar simbolis?“ Pripažinimas, kad trupmena yra skaičius reiškia, kad trupmena yra vienareikšmiškai apibrėžtas matematinis objektas. Pripažinimas, kad trupmena yra simbolis reiškia, kad trupmena yra matematinio objekto vardas. Problemą sudaro tai, kad kalbant apie trupmeną dažnai ignoruojamas skirtumas tarp galimų trupmenos vaidmenų. Vienais atvejais teigiama, kad: ,,Trupmena yra skaičius sudarytas iš lygių vieneto dalių‘‘. Arba, toks trupmenos vaidmuo suprantamas iš konteksto (pavyzdžiui, 5-6 klasės matematikos ugdymo programoje, žr. čia). Šiuo atveju vaikui gali likti neaišku, kodėl vieni skaičiai yra lygūs (pavyzdžiui, $\frac{1}{2}$ ir $\frac{2}{4}$ ), o kiti skaičiai yra skirtingi (pavyzdžiui, $\frac{1}{2}$ ir $\frac{2}{3}$ ). Kitais atvejais teigiama, kad: ,,Trupmena yra matematinė skaičiaus išraiška, kuri gali reprezentuoti vieną arba kelias lygias vieneto (arba visumos) dalis“ (žr. čia), arba ,,Trupmena yra simbolis $\frac{m}{n}$ racionaliajam skaičiui reikšti“ (žr. Lietuviškoji Tarybinė Enciklopedija, 11 t, 417 psl.).

Dabartinis trupmenų mokymas ignoruoja esminius matematikos bruožus: tikslų sąvokų apibrėžimą, susijusių sąvokų (šiuo atveju sveikojo skaičiaus ir trupmenos) loginį suderinamumą ir, kas svarbiausia, savybių ir procedūrų paaiškinimą (pagrindimą) remiantis sąvokų apibrėžtimis. Be supratimo, trupmenų savybes ir procedūras tenka mokytis mintinai. Neišvengiamai prarandama mokinio motyvacija mokytis matematikos.

Matematikoje racionalieji skaičiai ir aritmetinės operacijos su jais apibrėžiami naudojant ekvivalentumo klases, o tai yra per daug abstraktu moksleiviams. Todėl reikia rasti tokią skaičiaus sampratos formą, kuri išsaugotų loginį tikslumą. Čia pabandysime paaiškinti Hung-Hsi Wu knygoje Understanding Numbers in Elementary School Mathematics (AMS, USA, 2011) siūlomą trupmenų sampratą.

Tolesnis aiškinimas skiriamas matematikos mokytojams. Naudodami pedagogines priemones, mokytojai galėtų kvalifikuotai perteikti idėjas moksleiviams.

Mano aiškinimas naudoja natūraliųjų skaičių aritmetikos supratimą ir kai kurias geometrijos sąvokas (geometrinė tiesė, taškas ant tiesės, atkarpa, kongruencija). Tai, kad čia aš jų nekomentuoju, nereiškia, kad vadovėliuose šių sąvokų aiškinimas neturi problemų. Dėl trumpumo privalau kažkuo remtis.

Skaičių tiesė ir kitos susijusios sąvokos. Skaičių tiesė yra geometrinė tiesė, kurioje vienodu atstumu išsidėstę taškai žymi nulį ir natūraliuosius skaičius. Reikalingos sąvokos, kurios padėtų papildyti skaičių tiesę trupmenas žyminčiais taškais.

Apibrėžtis. Tarkime, kad [a,b] ir [b,c] yra dvi tos pačios tiesės atkarpos, turinčios vieną bendrą tašką b. Šių atkarpų jungtis yra atkarpa [a,c] (concatenated line segments, H.-H. Wu 24 psl.).

Taip pat apibrėžiama bet kurio skaičiaus vienas kitą liečiančių intervalų jungtis.

Apibrėžtis. Sakysime, kad geometrinės tiesės taškų poros (T,S) ir (U,V) yra vienodai nutolusios, jei jų sudarytos atkarpos [T,S] ir [U,V] yra kongruenčios, t.y. pastūmus [T,S] taip, kad T sutaptų su U, S turi sutapti su V (equi-spaced points; H.-H. Wu 23 psl.).

Geometrinės tiesės taškų pora (T,S) vienareikšmiškai apibrėžia atkarpą [T,S]. Apie atkarpas sakysiu, kad dvi ar daugiau atkarpų turi vienodą ilgį, jei jos yra kongruentiškos. Kol kas neapibrėžiau, kas yra atkarpos ilgis.

Tarkime, kad geometrinėje tiesėje yra pažymėtas nulis ir taškas T esantis į dešinę nuo nulio. Stumkime atkarpą [0,T] į dešinę nuo nulio tol, kol kairysis atkarpos galas nulis sutaps su T. Pastumtos atkarpos dešinį galą žymėkime 2T, t.y. atkarpos [0,T] ir [T,2T] turi vienodą ilgį. Nuosekliai kartodami atkarpos [0,T] stumimą, gauname taškus 0,T,2T,3T,….., kurie sudaro tai, ką vadinsime taško T kartotinių taškų seka (multiples of T; H.-H. Wu 99 psl). Šioje sekoje T vadinamas taško T pirmuoju kartotiniu tašku, 2T vadinamas taško T antruoju karotiniu tašku ir t.t. Taško T kartotinių taškų sekos iliustracija:

|——————|——————|——————|——————|——

0 T 2T 3T ir t.t.

Dabar priminsiu skaičių tiesės apibrėžimą.

Apibrėžtis. Duotoje geometrinėje tiesėje pasirenkame du skirtingus taškus: pirmasis kairėje žymi 0 (nulį), o kitas žymi 1 (vienetą). Vieneto kartotinius taškus vadinsime natūraliaisiais skaičiais. Skaičių tiesė yra geometrinė tiesė su natūraliuosius skaičius žyminčiais taškais:

|——————|——————|——————|——————|——

0 1 2 3 ir t.t.

Atkarpa tarp taškų 0 ir 1 vadinama vienetine atkarpa ir žymima [0,1]. Sakysime, kad vienetinei atkarpai kongruentiškos atkarpos ilgis yra lygus vienetui. Vėliau apibrėšime atkarpos ilgį, kurio reikšmė yra trupmena.

Turėdami skaičių tiesę galime apibrėžti skaičiaus sąvoką.

Apibrėžtis. Realusis skaičius yra taškas skaičių tiesėje (H.-H. Wu 128 psl.).

Skaičių tiesėje turime natūraliuosius skaičius. Tolesnis uždavinys identifikuoti tuos taškus, kurie yra trupmenomis (racionalieji skaičiai). Du skaičiai yra lygūs, žymima =, jei jų vieta skaičių tiesėje yra ta pati.

Trupmenos apibūdinimas. Siūlomas trupmenos apibūdinimas grindžiamas galimybe atkarpą padalinti bet kuriuo skaičiumi vienodai nutolusių taškų, arba, kas yra tas pats, atkarpą padalinti bet kuriuo skaičiumi vienodo ilgio atkarpų (žr. čia arba čia).

Pirmiausia skaičių tiesėje nurodysime tas trupmenas, kurių vardikliais yra skaičius trys, t.y. trupmenas $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{4}{3}$ ir t.t.

Vienetinę atkarpą [0,1] daliname į tris vienodo ilgio atkarpas $[0,\frac{1}{3}]$ , $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$ ir $[\frac{2}{3},1]$ , kurių jungtis yra vienetinė atkarpa. Kiekvieną kitą atkarpą [1,2], [2,3],.. tokiu pačiu būdu padaliname į tris vienodo ilgio atkarpas. Taip gautų visų atkarpų ilgiai yra vienodi, nes jie kongruentiški. Pirmąją atkarpą $[0,\frac{1}{3}]$ pasirinksime trupmenos standartine išraiška:

|▬▬ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .

0 $\frac{1}{3}$ 1 2 3

Ši atkarpa vienareikšmiškai nusakoma savo dešiniuoju galu:

|——•——ǀ——|——ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .

0 $\frac{1}{3}$ 1 2 3

Tai yra taškas skaičių tiesėje toliau tapatinamas su trupmena $\frac{1}{3}$ . Taip pat sakysime, kad atkarpos $[0,\frac{1}{3}]$ ilgis yra $\frac{1}{3}$ .

Panašiu būdu, imant vienetinių atkarpų trečdalius ir apjungus bet kuriuos keturis iš jų, galima gauti trupmenos $\frac{4}{3}$ išraišką. Dėl vienaties, pasirinksime pirmųjų keturių atkarpų jungtį, vadindami ją trupmenos $\frac{4}{3}$ standartine išraiška:

|▬▬ǀ▬▬ǀ▬▬|▬▬ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .

0 1 $\frac{4}{3}$ 2 3

Kadangi ši atkarpa vienareikšmiškai nusakoma savo dešiniuoju galu, tai jį tapatinsime su trupmena $\frac{4}{3}$ :

|——ǀ——ǀ——|——•——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .

0 1 $\frac{4}{3}$ 2 3

Bendru atveju, su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi m, trupmena $\frac{m}{3}$ yra pirmųjų m vienetinės atkarpos trečdalių jungties dešinysis galas. Gauti skaičių tiesės taškai sudaro tai, kas toliau vadinama trečdalių aibe:

|——•——•——•——•——•——•——•——•—— .

0 $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{3}{3}$ $\frac{4}{3}$ $\frac{5}{3}$ $\frac{6}{3}$ $\frac{7}{3}$ $\frac{8}{3}$

Pastebėsime, kad trečdalių aibę sudaro taško $\frac{1}{3}$ kartotiniai taškai.

Samprotavimai apie trupmenas, kurių vardikliais yra trejetas, apibendrinami trupmenoms, kurių vardikliais yra bet kuris natūralusis skaičius n=1,2,3,… . Panašiu būdu, dalindami vienetines atkarpas į n dalių, gauname trupmenų $\frac{1}{n}$ , $\frac{2}{n}$ , $\frac{3}{n}$ … standartines išraiškas atkarpomis. Šių atkarpų dešinieji galai skaičių tiesėje sudaro tai, kas vadinama n-tųjų dalių aibe. Šią aibę sudaro taško $\frac{1}{n}$ kartotiniai taškai.

Dabar esame pasiruošę apibrėžti trupmenos sąvoką.

Apibrėžtis. Duotam natūraliajam skaičiui n, skaičių tiesės vienetinę atkarpą [0,1] padaliname į n vienodo ilgio atkarpų. Nuo nulio pirmosios gautos atkarpos dešinysis galas yra taškas, žymimas simboliu $\frac{1}{n}$ . Taško $\frac{1}{n}$ kartotiniai taškai sudaro n-tųjų dalių aibę, kurios elementus žymi simboliai $\frac{1}{n}$ , $\frac{2}{n}$ , $\frac{3}{n}$ … . Visi šių aibių elementai kai n=1,2,3,… sudaro trupmenų aibę (fractions, H.-H. Wu, 183 p.).

Pagal apibrėžimą, trupmena yra taškas skaičių tiesėje. $\frac{m}{n}$ yra trupmenos simbolis žymintis trupmeną, kuri yra taško $\frac{1}{n}$ m-tasis kartotinis taškas.

Apibrėžtis. Lygybė $\frac{a}{b}$ = $\frac{m}{n}$ reiškia, kad trupmenų simboliais $\frac{a}{b}$ ir $\frac{m}{n}$ žymimi taškai yra vienas ir tas pats taškas skaičių tiesėje. Be to, nurodytos lygybės atveju sakoma, kad trupmenų simboliai $\frac{a}{b}$ ir $\frac{m}{n}$ yra ekvivalentūs.

Taigi, kai n=1, taško $\frac{1}{1}$ kartotiniai taškai $\frac{1}{1}$ , $\frac{2}{1}$ ,…, $\frac{m}{1}$ ,…yra lygūs atitinkamiems natūraliesiems skaičiams 1,2,…m,…. Be to, natūralieji skaičiai išreiškiami trupmenomis:

$\frac{n}{n}$ = 1, $\frac{2n}{n}$ = 2, ….. $\frac{mn}{n}$ = m,

su bet kuriuo teigiamu natūraliuoju skaičiumi n.

Kitas teiginys nurodo pakankamas sąlygas tam, kad du trupmenų simboliai būtų ekvivalentūs.

Teiginys. Tarkime, kad $\frac{m}{n}$ ir $\frac{k}{l}$ yra du trupmenų simboliai ir egzistuoja toks teigiamas natūralusis skaičius c, kad k = cm ir l = cn. Tada $\frac{m}{n}$ = $\frac{k}{l}$ .

Įrodymas. Pagal apibrėžimą, $\frac{m}{n}$ yra taško $\frac{1}{n}$ m-tasis kartotinis taškas, t.y. atkarpa $[0, \frac{m}{n}]$ yra m vienodo ilgio atkarpų $[0, \frac{1}{n}]$ , $[\frac{1}{n},\frac{2}{n}]$ ,…., $[\frac{m-1}{n},\frac{m}{n}]$ jungtis. Kiekvieną iš šių atkarpų daliname į c vienodo ilgio atkarpų. Šių dalinimų pasekmė yra vienetinės atkarpos [0,1] padalinimas į nc vienodo ilgio atkarpų. Kadangi $\frac{1}{n}$ yra taško $\frac{1}{nc}$ c-tasis kartotinis taškas, tai $\frac{m}{n}$ yra taško $\frac{1}{nc}$ (mc)-tasis kartotinis taškas, t.y. $\frac{m}{n}$ = $\frac{cm}{cn}$ , ką ir reikėjo įrodyti.

Išvada. Bet kurios dvi trupmenos išreiškiamos trupmenų simboliais, kurių vardikliai yra lygūs. Pavyzdžiui, jei $\frac{m}{n}$ ir $\frac{k}{l}$ yra du trupmenų simboliai, tai kiekvienas iš jų ekvivalentus, atitinkamai, trupmenų simboliams $\frac{lm}{ln}$ ir $\frac{nk}{nl}$ .

Pastaba. Kaip jau buvo minėta, mūsų mokyklose nėra įprasta skirti trupmeną-skaičių nuo trupmenos-simbolio. Tokio skyrimo pripažinimas matyt reiškia atitinkamos matematinės brandos lygio turėjimą. Matematikos mokytojai turėtų suprasti šiuos skirtumus ir, reikalui esant, sugebėti paaiškinti. Kitas susijęs klausimas yra žodžio ,,skaitmuo‘‘ reikšmė. Atrodo, kad mūsų mokyklose skaitmuo yra vienaženklis skaičius. Tačiau skaitmuo turi kitą reikšmę: skaičiaus išraiška ženklais. Palyginimui prisiminkime anglų kalbos žodius number, numeral, digit. Naudojant skaitmens reikšmę kaip numeral galėtume trupmenų simbolius vadinti skaitmenimis.

Trupmenos-skaičiaus ir trupmenos-simbolius skyrimas yra svarbus kalbant apie aritmetines operacijas. Matematikoje aritmetikos operacijos su skaičiais yra funkcijos. Tai reiškia, kad skaičių porai turi būti priskiriamas vienintelis aibės elementas. Ši savybė nėra išpildoma, kad aritmetikos operacijos atliekamos su trupmenų simboliais.

Trupmenos apibrėžtis yra paprasčiausioji dalis. Įdomiausia yra parodyti kaip iš šios apibrėžties išvedamos visos trupmenos savybės. Aritmetinės operacijos su trupmenomis apibrėžiamos taip, kad jos apibendrintų atitinkamas operacijas su natūraliaisiais skaičiais.

Trupmenų suma.

Aritmetinės operacijos su trupmenomis apibrėžiamos ne ad hoc, bet apibendrinant natūraliųjų skaičių atitinkamas aritmetines operacijas. Pavyzdžiui, skaičių 1 ir 2 suma 1+2 išreiškiama dešiniuoju galu atkarpos [0,3] gaunamos apjungiant vienetinio ilgio atkarpą [0,1] su iš karto po jo esančia dvigubai ilgesne atkarpa [1,3]:

|——————|————————————|——

0 1 3

Tokį natūraliųjų skaičių sumos apibrėžimą galima apibendrinti trupmenoms.

Apibrėžtis. Dviejų trupmenų $\frac{m}{n}$ ir $\frac{k}{l}$ suma, žymima $\frac{m}{n}+\frac{k}{l}$ , yra dešinysis galas atkarpos, kuri yra atkarpos $[0,\frac{m}{n}]$ ir iš nulio į tašką $\frac{m}{n}$ pastumtos atkarpos $[0,\frac{k}{l}]$ jungtis.

Apibrėžties iliustracija: suma $\frac{m}{n}$ + $\frac{k}{l}$ yra šių dviejų atkarpų jungties dešinysis galas

[——————][————————————]——

0 $\frac{m}{n}$ $\frac{m}{n}$ + $\frac{k}{l}$

Turint sumos apibrėžimą, jos išraiška įrodoma trupmenos apibrėžimą. Dabartiniuose mūsų vadovėliuose ši išraiška pateikiama kaip apibrėžtis ir be motyvacijos.

Teiginys. $\frac{m}{n}$ + $\frac{k}{l}$ = $\frac{ml+nk}{nl}$ .

Įrodymas. Trupmenų simboliai $\frac{m}{n}$ ir $\frac{k}{l}$ yra ekvivalentūs trupmenų simboliams, atitinkamai, $\frac{lm}{ln}$ ir $\frac{nk}{nl}$ . Trupmena $\frac{lm}{ln}$ yra taško $\frac{1}{ln}$ (lm)-tasis kartotinis taškas, o trupmena $\frac{nk}{nl}$ yra taško $\frac{1}{nl}$ (nk)-tasis kartotinis taškas. Pagal sumos apibrėžimą, pakanka rasti atkarpų $[0,\frac{lm}{ln}]$ ir $[\frac{lm}{ln},\frac{lm}{ln}+\frac{nk}{nl}]$ jungties dešinįjį galą. Abi atkarpos yra padalintos vienodo ilgio atkarpomis, kurios kongruentiškos atkarpai $[0,\frac{1}{ln}]$ . Suskaičiavę kartotinius taškus gauname, kad ieškomas dešinysis galas yra taško $\frac{1}{ln}$ (ml+nk)-kartotinis taškas. Todėl

$\frac{m}{n}$ + $\frac{k}{l}$ = $\frac{lm}{ln}$ + $\frac{nk}{nl}$ = $\frac{ml+nk}{nl}$ ,

ką ir reikėjo įrodyti.

Trupmenų daugyba.

Istoriškai natūraliųjų skaičių daugyba kaip aritmetinė operacija atsirado tik Descarteso (1596-1650) dėka. Iki tol dviejų natūraliųjų skaičių sandauga buvo atitinkamo stačiakampio plotas. Toliau aprašomas trupmenų sandaugos apibrėžimas yra istoriškai motyvuotas, bet ne vienintelis.

Jei a ir b yra trupmenos ir p yra geometrinė plokštuma su koordinačių sistema, tai stačiakampis su kraštinėmis a ir b yra plokštumos p geometrinė vieta taškų (x,y), kur x ϵ [0,a] ir y ϵ [0,b].

Apibrėžtis. Dviejų trupmenų $\frac{m}{n}$ ir $\frac{k}{l}$ sandauga, žymima $\frac{m}{n}\times\frac{k}{l}$ , yra plotas stačiakampio, kurio kraštinės yra $\frac{m}{n}$ ir $\frac{k}{l}$ .

Stačiakampio ploto skaičiavimui pakanka šių pagrindinių faktų apie plokštumos figūros plotą:

plokštumos figūros plotas yra skaičius;
vienetinio kvadrato plotas yra skaičius 1;
jei dvi plokštumos figūros yra kongruenčios, tai jų plotai yra lygūs;
jei dvi plokštumos figūros nesikerta arba turi bendrą tik sieną, tai šių figūrų jungties plotas lygus jų plotų sumai.

Svarbiausia skaičiuojant plotą yra tai, kad tapatinamos dvi skaičių tiesės: vienos jų vienetas yra vienetinės atkarpos ilgis, o kitos tiesės vienetas yra plotas vienetinio kvadrato, kurio kraštinė yra pirmosios tiesės vienetinė atkarpa. Jei pavyksta parodyti, kad vienetinis kvadratas padengiamas n kongruenčių stačiakampių, tai vieno tokio stačiakampio plotas yra $\frac{1}{n}$ .

Teiginys. $\frac{m}{n}\times\frac{k}{l}$ = $\frac{mk}{nl}$ .

Įrodymas. Stačiakampis, kurio kraštinės yra $\frac{m}{n}$ ir $\frac{k}{l}$ , padengiamas mk kongruenčių stačiakampių kurių kraštinės yra $\frac{1}{n}$ ir $\frac{1}{l}$ . Pastarojo stačiakampio plotas yra $\frac{1}{nl}$ , nes nl tokių kongruenčių stačiakampių padengia vienetinį kvadratą. Gauname, kad ieškomo stačiakampio plotas yra $\frac{mk}{nl}$ , ką ir reikėjo įrodyti.

Šioje vietoje baigsiu trupmenų aptarimą tikėdamasis, kad to pakanka susidaryti pirmam įspūdžiui. Apie kitus trupmenų niuansus galima sužinoti studijuojant minėtąją H.-H. Wu knygą Understanding Numbers in Elementary School Mathematics (apie 550 psl.).

Matematika kaip kultūros reiškinys

Mokyklinės matematikos turinys: trupmenos sąvoka

Leave a Reply Cancel reply