Pabandysiu trumpai išdėstyti Krzysztofo Burdzy (Vašingtono universitetas, JAV) knygos The Search for Certainty. On the Clash of Science and Philosophy of Probability (World Scientific, 2009) pagrindinius teiginius. Pirma, tai darau todėl, kad apie tikimybės sąvoką šioje knygoje parašyta trumpai ir aiškiai, bet kartu pakankamai giliai ir plačiai. Retas derinys. Matyt paaiškinamas tuo, kad autorius yra profesionalus matematikas. Antra, tai darau todėl, kad ši tema yra tikras matematikos taikymo problemos pavyzdys. Deja, mūsuose matematikos taikymas suprantamas labai paviršutiniškai ir dažnai yra tik propagandos reikalas. Apie savo knygą autorius yra parašęs čia ir čia. Kitų žmonių komentarai apie aptariamą knygą yra čia ir čia. Laisvai (legaliai) internete yra prieinamas Burdzy knygos ankstesnis variantas Probability is symmetry.
Tikimybių teorija ir matematinė statistika yra atitinkamais tikrovės reiškiniais motyvuotos matematikos sritys. Tai reiškia, kad jose nagrinėjami įprastiniai (abstraktūs) matematikos objektai. Taip pat galima būtų sakyti, kad abi šios sritys yra su neapibrėžtumu susijusių reiškinių matematiniai modeliai. Tikimybių teorija ir matematinė statistika skiriasi nuo įprastinės matematikos tik tuo, kad nagrinėjamiems matematiniams objektams suteikti neįprasti matematikai vardai. Pavyzdžiui, kurios nors aibės Ω tam tikroje poaibių klasėje F apibrėžta suskaičiuojamai adityvi funkcija P vadinama tikimybe, atsitiktiniu dydžiu vadinama bet kuri aibėje Ω apibrėžta mati funkcija, atsitiktiniu įvykiu vadinamas bet kuris klasės F elementas. Šiame pavyzdyje naudoju 1933 metais rusų matematiko A. Kolmogorovo pasiūlytą tikimybės matematinę konstrukciją. Yra ir daugiau matematinių tikimybės teorijų, bet jos nėra visuotinai tarp matematikų pripažintos. Bet kurios matematinės tikimybių teorijos atveju, realaus pasaulio atsitiktinių reiškinių nagrinėjimas perkeliamas į idealių ir abstrakčių matematinių objektų pasaulį. Šiame idealiame pasaulyje padarytos išvados be išlygų tinka tik tame pačiame pasaulyje. Taigi, mus domina sunki ir sena problema: Koks yra ryšys tarp ,,atsitiktinumų“ matematiniame pasaulyje ir realioje tikrovėje?
Pastarasis klausimas turi keletą dalių. Pirma, ar realioje tikrovėje yra kažkas, kieno atitikmuo būtų matematinė tikimybės samprata? Kitaip tariant, ar tikimybės sąvoka atspindi objektyvią realaus reiškinio savybę? Antra, kaip konkrečiam atsitiktiniam įvykiui priskirti (išmatuoti) jo tikimybę? Klausimai naturalūs. Neturint atsakymų į šiuos klausimus nėra įmanomas tikimybių teorijos ir matematinės statistikos taikymas kitose mokslo ir praktikos srityse. Man yra netikėtas kategoriškas Burdzy teigimas aptariamoje knygoje, kad mokslo bendruomenėje pripažintų atsakymų į šiuos klausimus mes neturime. Trumpai kalbant, Burdzy teigia, kad plačiai žinomos kaip tikimybės sampratą pagrindžiančios von Miseso ir de Finetti teorijos, tokio pagrindimo visai nesuteikia. Paprasčiausiai abi šios teorijos teigia, kad individualūs atsitiktiniai įvykiai tikimybių neturi. von Misesas sako, kad galima kalbėti tik apie atsitiktinio įvykio pasikartojimo dažnumą, kuris yra eksperimentų sekos savybė. de Finetti teigia, kad atsitiktiniam įvykiui galima priskirti bet kokią tikimybę, svarbu, kad tas priskirimas būtų neprieštaringas priimtoms taisyklėms. Burdzy rašo (8 pusl.):
The fully developed philosophical theories of von Mises and de Finetti turned out to be complete intellectual failures. The philosophical theory of probability proposed by Popper, although known to philosophers and developed in detail in some books and articles, is practically unknown among the general scienti c community. One of my main goals may be described as repackaging of Popper’s idea for general consumption.
Kitoje vietoje Burdzy rašo:
A reader not familiar with the history of statistics may be astounded by the audacity of my criticism of the frequency and subjective theories. In fact, there is nothing new about it, except that some of my predecessors were not so bold in their choice of language. Countless arguments against the frequency and subjective philosophies were advanced in the past and much of this book consists of a new presentation of known ideas.
Tuo tarpu matematinių teorijų taikymas vyksta visuotinai ir nepriklausomai nuo atsakymų į aukščiau suformuluotus klausimus apie teorijos atitikimą realybei. Apibendrindamas šių taikymų praktiką ir matematinių teorijų vadovėliuose pateikiamus pavyzdžius, Burdzy suformulavo šiuos realaus (ne matematinio) atsitiktinio įvykio tikimybės dėsnius:
- Tikimybės yra skaičiai tarp 0 ir 1 priskiriami įvykiams, kurių rezultatas gali būti nežinomas.
- Jei įvykiai A ir B negali pasirodyti vienu metu, tai bent vieno iš šių įvykių pasirodymo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, t.y. P(A arba B) = P(A) + P(B).
- Jei įvykiai A ir B yra fiziškai nepriklausomi, tai jie yra nepriklausomi matematine prasme, t.y. P(A ir B) = P(A)P(B).
- Jei galimų įvykių rezultatų aibėje egzistuoja simetrija siejanti įvykį A su įvykiu B, tai šių įvykių tikimybės yra lygios, t.y. P(A) = P(B).
- Įvykio tikimybė yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai jis yra negalimas. Įvykio tikimybė yra lygi vienetui tada ir tik tada, kai jis yra būtinas.
Burdzy teigia, kad šie dėsniai nėra nauji, nes netiesiogiai ar neišreikštiniu būdu jie yra senai naudojami. Tačiau tokioje paprastoje formoje suformuluotų šių dėsnių jam neteko matyti. Šiuos dėsnius jis suformulavo ne tam, kad suteiktų tikimybei filosofinį pagrindą, o tam, kad įvardintų tikimybių teorijos ir matematinės statistikos taikymų praktiką. Burdzy rašo (7 pusl.):
Personally, I believe that (1)-(5) are objectively true but this is not my main claim. People familiar with the probability theory at the college level will notice that (1)-(5) are a concise summary of the first few chapters of any standard undergraduate probability textbook. It is surprising that probabilists and statisticians, as a community, cling to odd philosophical theories incompatible with (1)-(5), and at the same time they teach (1)-(5), although most of the time they do it implicitly, using examples. I will argue that both classical statistics and Bayesian statistics fi t quite well within the framework of (1)-(5).
Visuose savo samprotavimuose Burdzy aiškiai atriboja mokslinę teoriją nuo filosofijos. Todėl jis skiria ,,klasikinę statistiką“ nuo ,,dažnuminės tikimybės teorijos“ , o ,,Bayeso statistiką“ nuo ,,subjektyvios tikimybės teorijos“. ,,Klasikinė statistika“ ir ,,Bayeso statistika“ yra matematinės teorijos su savo matematiniais modeliais ir duomenų analizės metodais. Tuo tarpu ,,dažnuminė tikimybės teorija“ ir ,,subjektyvios tikimybės teorija“ yra tikimybės esmę aiškinančios filosofinės teorijos. Savo knygoje Burdzy susilaiko nuo matematinių teorijų lyginimo. Jis tik neigia, kad matematinės teorijos yra pagrindžiamos atitinkamomis filosofinėmis teorijomis. Būtent Burdzy teigia (8 pusl):
I will argue that the classical statistics has nothing (essential) in common with the frequency theory of probability and the Bayesian statistics has nothing (essential) in common with the subjective theory of probability. The two branches of statistics and the two corresponding philosophical theories have roots in the same intuitive ideas based on everyday observations. However, the intellectual goals of science and philosophy pulled the developing theories apart.
Didesnė Burdzy knygos dalis yra skirta tikimybės filosofinių teorijų pagrįstumui vertinti ir jų santykiui su statistika aptarti. Jo manymu iki šiol dauguma statistikų nepakankamai rimtai žiūri į filosofinį tikimybės aspektą. Burdzy rašo (11 pusl.):
The scientifi c dispute within statistics was always tainted by philosophical controversy. It is only fair to say that some statisticians considered the understanding of philosophical aspects of probability to be vitally important to the scienti fic success of the fi eld. My impression, though, is that philosophy was and is treated in a purely instrumental way by many, perhaps most, statisticians. They are hardly interested in philosophical questions such as whether probability is an objective quantity. They treat ideology as a weapon in scienti fic discussions, just like many politicians treat religion as a weapon during a war. Most statisticians find little time to read and think about philosophy of probability and they find it convenient to maintain superfi cial loyalty to the same philosophy of probability that other statisticians in the same branch of statistics profess. Moreover, many statisticians feel that they have no real choice. They may feel that their own philosophy of probability might be imperfect but they do not find any alternative philosophy more enticing.
Burdzy knygos turinys ir pirmasis skyrius yra čia. Kituose tinklaraščio įrašuose tikiuosi detaliau aptarti knygos turinį.
Šį įrašą baigsiu nuoroda į W.M. Briggso tinklaraščio tekstą Statistics Is Not Math. Jo autorius rašo, kad statistika iš esmės yra ne matematika, o filosofija apie realios tikrovės pažinumą, t.y. epistemologija. Tikimybė ir statistika galėtų būti vadinamos kiekybine epistemologija.
Visai pabaigai pridėsiu anekdotą apie statistikus iš S. Singho knygos The Sympsons and Their Mathematical Secrets:
While heading to a conference on board a train, three statisticians meet three biologists. The biologists complain about the cost of the train fare, but the statisticians reveal a cost-saving trick. As soon as they hear the inspector’s voice, the statisticians squeeze into the toilet. The inspector knocks on the toilet door, and shouts: „Tickets, please!“ The statisticians pass a single ticket under the door, and the inspector stamps it and returns it. The biologists are impressed. Two days later, on the return train, the biologists showed the statisticians that they have bought only one ticket, but the statisticians reply: „Well, we have no ticket at all.“ Before they can ask any questions, the inspector’s voice is heard in the distance. This time the biologists bundle into the toilet. One of the statisticians secretly follows them, knocks on the toilet door and asks: „Tickets please!“ The biologists slip the ticket under the door. The statistician takes the ticket, dashes into another toilet with his colleagues, and waits for the real inspector. The moral of the story is simple: „Don’t use a statistical technique that you don’t understand.“