Lie 272012
 

Diskretumo ir tolydumo sampratos yra kontraversinės matematikos pagrindų kontekste; ginčai dėl jų neblėsta visoje matematikos evoliucijos eigoje, t.y. daugiau kaip 4000 metų (žr. P. Ehrlich  ir J.L. Bell). Ribos apibrėžtis yra nepaprastai svarbi matematikai, nes išreiškia tolydumo sampratą. Deja, pastaruoju metu mokyklinėje matematikoje riba visai neapibrėžiama (bet naudojama apibrėžiant išvestinę), arba aiškinama naudojant supaprastintą apibrėžimą. Dėl konkretumo, vieną tokį toliau formuluojamą apibrėžimą vadinsime mokykline ribos apibrėžtimi.

Tarkime, kad f yra funkcija iš realiųjų skaičių aibės į realiųjų skaičių aibę, ir a yra realusis skaičius. Skaičius A yra funkcijos f riba taške a, jei kintamajam x artėjant prie a, funkcijos f(x) reikšmės artėja prie A.

Šioje apibrėžtyje naudojamas žodis ,,artėja” nėra matematikos sąvoka, t.y., ji nėra apibrėžta taip, kaip kitos sąvokos šioje apibrėžtyje. Paprastai turima galvoje, kad šis žodis išreiškia intuityviai suvokiamą ir potencialiai begalinį procesą vykstantį realiųjų skaičių aibėje, t.y., remiamasi realiųjų skaičių samprata, kuri mokykloje nėra formuojama (kaip ir universitete). Parodysime, kad šio žodžio neapibrėžtumas savyje slepia skirtingas matematines ribos sampratas. Viena iš jų yra toliau formuluojama ribos apibrėžtis, kurią vadinsime  Weierstrasso ribos apibrėžtimi.

Tarkime, kad f yra funkcija iš realiųjų skaičių aibės į realiųjų skaičių aibę, ir a yra realusis skaičius. Skaičius A yra funkcijos f riba taške a, jei bet kokiam teigiamam skaičiui ε galima parinkti tokį atvirąjį intervalą, kuriam priklauso taškas a, kad visur jo viduje, išskyrus, gal būt, patį tašką a, galiotų nelygybė |f(x)-A|<ε.

Ribą apibrėžianti savybė išreiškiama dviem iš eilės einančiais loginiais kvantoriais (visuotinumo ir egzistencijos). Mokyklinėje apibrėžtyje atitinkama savybė išreiškiama logine implikacija, kuri yra lengviau suprantama. Pastaruoju metu Weierstrasso ribos apibrėžtis laikoma per sudėtinga mokyklinio amžiaus vaikams išbraukiant šią temą iš mokyklinės matematikos programos (taip yra teigiama A. Apynio straipsnyje Lietuvos matematikos rinkinys. LMD darbai, 51 tomas, 2010, 80-84). Kažkokia prasme riba vis tiek moksleiviams yra aiškinama, nes programoje yra išvestinės sąvoka, o išplėstiniame kurse yra reikalavimas pavyzdžiais iliustruoti funkcijos ribos sąvoką.  Tačiau taip nebuvo anksčiau, nes pastarąjį ribos formulavimą nukopijavome iš mokyklinės matematikos vadovėlio: J. Kočetkovas, J. Kočetkova. Algebra ir elementarinės funkcijos. II dalis. Mokymo priemonė X-XI klasei. Kaunas, Šviesa, 1975 (žr.  159 psl.).

Šio puslapio svarstymai nėra reikalavimas tuoj pat keisti mokyklinės  matematikos programą. Mūsų nuomone, prieš apsisprendžiant ką daryti, reikia žinoti galimas alternatyvas, pasirinkimo pasekmes, matematikos mokymo tikslus ir sunkumus susijusius su realiai egzistuojančia švietimo sistema. Šiame puslapyje bandome parodyti, kad, tikslinant mokyklinį ribos apibrėžimą, galima gauti dvi matematiškai pagrįstas ribos sampratas. Abi jos yra skirtingos, abi yra naudojamos, bet panašu, kad ne visi žino skirtumus.

Suformuluosime naują ribos sampratą, pavadindami ją nestandartine ribos apibrėžtimi.

Tarkime, kad f yra funkcija iš realiųjų skaičių aibės į realiųjų skaičių aibę, ir a yra realusis skaičius. Skaičius A yra funkcijos f riba taške a, jei kiekvienam skaičiui x,  su kuriuo skirtumas Δx=x-a yra be galo mažas ir nelygus nuliui, jį atitinkantis skirtumas Δf(x)=f(x)-A yra be galo mažas.

Nematematiko akimis žiūrint, pastaroji ribos apibrėžtis turėtų būti panaši į mokyklinį ribos apibrėžimą. Kai kas gal būt sakytų, kad šie apibrėžimai tapatūs, nes juose naudojami išsireiškimai ,,kažkas artėja į kažką” ir ,,skirtumas yra be galo mažas“ turėtų reikšti tą patį dalyką. Matematiniu požiūriu abu apibrėžimai nėra korektiški dėl minėtų sąvokų neapibrėžtumo. Dabar suteiksime matematiniu požiūriu tikslią prasmę skaičiaus savybei ,,be galo mažas” sakydami, kad

skaičius ω yra be galo mažas, arba infinitezimalus, jei nelygybės -ε<ω<ε galioja visiems teigiamiems realiesiems skaičiams ε.

Jei be galo mažas skaičius ω yra realusis skaičius, tai ω=0 (nes priešingu atveju būtų teisinga ω<ω/2). Klausimas: ,,Ar yra begalo mažų skaičių, kurie nėra lygūs nuliui?“ Atsakymas: ,,Taip, jei praplėsime realiojo skaičiaus sampratą“. 1960 metais A. Robinsonas įrodė, jog įmanoma papildyti realiųjų skaičių aibę R taip, kad jai priklausytų be galo maži nelygūs nuliui skaičiai; šios aibės, žymimos *R, elementai vadinami hiperrealiaisiais skaičiais. Sakoma, kad hiperrealieji skaičiai c ir d yra be galo artimi, jei jų skirtumas c-d yra be galo mažas skaičius. Su kiekvienu realiuoju skaičiumi egzistuoja nelygus jam hiperrealus ir be galo artimas skaičius. Naudojant hiperraliuosius skaičius ir nestandartinį ribos apibrėžimą galima sukurti naują analizę (diferencialinį ir integralinį skaičiavimą), vadinamą nestandartine analize; čia yra elementarus tokios analizės kursas skiriamas moksleiviams. Lyginant su ,,standartine“ analize, naudojančia realiųjų skaičių aibę ir Wierstrasso ribos apibrėžimą, nestandartinė analizė apima didesnę klasę matematinių objektų (pastebėsime, kad hiperrealiųjų skaičių aibė *R netenkina Archimedo aksiomos).

Šioje vietoje atsiranda įtarimas, jog mokyklinė matematika, nenaudojanti tikslių apibrėžimų, nesąmoningai formuoja matematinę intuiciją labiau suderinamą su nestandartine analize. Tie, kas studijuoja ,,standartinę“ matematinę analizę universitete gali turėti papildomų problemų įsisavinant matematiką jei neatsižvelgiama į šią aplinkybę.  Tie, kas nestudijuoja ,,standartinę“ matematinę analizę universitete, neturi problemų naudodami ,,be galo mažo“ skaičiaus sampratą. Tuo galima įsitikinti su Google search frazei ‘ “be galo mažas” pokytis’, kuriai šiuo metu pateikiama beveik 10000 nuorodų; tarp šių nuorodų daugiausia yra tekstai ekonomikos ir fizikos kontekste, nors yra ir matematikos tekstų, bei nemokslinių tekstų. Siekiant visuomenės matematinio išsilavinimo (dabartinėje ugdymo programoje tokio tikslo nematome), mūsų nuomone, reikia moksleivius supažindinti su visomis matematikos suteikiamomis pasaulio suvokimo galimybėmis, taip pat ir alternatyviomis. Šiuo atveju turime galvoje tai, kad mokyklinė matematika turėtų supažindinti moksleivius su alternatyviomis kontinuumo sampratomis, atitinkančiomis realiųjų skaičių aibę ir hiperrealiųjų skaičių aibę.

Mūsų siūlymas nėra lengvai įvykdomas uždavinys, nes tarp pačių matematikų sklando nemažai mitų apie matematikos pagrindus. Tai liudija ir kontraversinės abiejų matematinės analizės krypčių vystymosi istorijos pamokos; kai kurios jų apžvelgiamos A. Boroviko ir M.G. Katzo straipsnyje   ,,Iš kur atsirado Cauchy-Weierstrasso pasaka? Dviguba griežtosios analizės istorija.“ Cauchy-Weierstrasso pasakos esmė yra mitas, kad  A.-L. Cauchy buvo Weierstrasso ribos apibrėžties pradininku ir tokiu būdu priartino matematinės analizės pagrindų pertvarką loginio griežtumo linkme. A.-L. Cauchy ribos sampratą nusako tokia funkcijos y=f(x) tolydumo apibrėžtis:

nepriklausomojo kintamojo x infinitezimaliam pokyčiui α atitinka priklausomojo kintamojo y infinitezimalus pokytis f(x+α)-f(x).

Šios apibrėžties originalas yra čia, t.y., knyga A.-L. Cauchy. Cours d’Analyse de L’Ecole Royale Polytechnique. Première Partie. Analyse algèbrique. Paris: Imprimérie Royale, 1821 (žr. šios knygos 34 psl. galą). Šioje knygoje infinitezimalus dydis siejamas su kintamuoju dydžiu. Pastaroji sąvoka buvo interpretuojama dviem skirtingais būdais. Pirma, kintamasis dydis yra reikšmių seka konverguojanti į nulį, kuri, Weierstrasso ribos apibrėžties kontekste, siejama su ε-δ išraiška. Antra, kintamas dydis interpretuotas kaip be galo mažas dydis. Tik po 1960 metų pastarajai intepretacijai pavyko suteiktį griežtą prasmę. Be to, parodyta, kad visi A.-L. Cauchy teiginiai yra teisingi naudojant, aukščiau minėtą, be galo mažo dydžio interpretaciją. Čia praleidome keletą subtilesnių aspektų, prie kurių tikimės grįžti vėliau.

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>