Lap 102013
 

Mūsuose elementariąja matematika vadinama mokyklinė matematika. Kitaip tariant elementarioji matematika yra tai, kas mokoma mokykloje matematikos pamokose. Toks apibūdinimas nepasako dėl kokių priežasčių mokomasi mokyklinės matematikos. Šis apibūdinamas panašus į tokį: matematika yra tai, kuo užsiima matematikai. Abu apibūdinimai teisingi, bet nėra pakankamai informatyvūs.

Galima pasirinkti ir tokį elementariosios matematikos apibūdinimą. Elementarioji matematika yra matematikos sąvokos, objektai, jų savybės ir samprotavimo metodai matematikų bendruomenės daugumos pripažįstami esantys natūraliais, nepriskirtini vienai matematikos šakai ir plačiai naudojami skirtingose jos srityse. Ši apibrėžtis nenusako konkretaus elementariosios matematikos turinio, bet nurodo tokio turinio pasirinkimo kriterijus. Tai reiškia, kad elementariosios matematikos turinys gali keistis ir, tuo labiau, gali nesutapti su mūsiškės mokyklinės matematikos turiniu. Šis aspektas man atrodo esantis svarbus aptariant diskusijas apie mokyklinę matematiką.

Mūsų visuomenėje paplitęs mitas, kad elementarioji matematika yra matematikos uždavinių sprendimo metodai. Manoma: kuo daugiau ir geriau sprendžiate tipiškus uždavinius, tuo jūs geresnis matematikas. Esant tokiam požiūriui, atrodytų, kad mūsų mokyklinė matematika nėra prasta. Mūsų moksleiviai laimi aukštas vietas tarptautinėse matematikos olimpiadose. Šis faktas dažnai pateikiamas kaip argumentas, kad su mokykline matematika pas mus daugiau ar mažiau yra nebloga padėtis. Manau, kad šis argumentas netinkamas dėl dviejų priežasčių. Pirma, mokyklinės matematikos tapatinimas su matematikos uždavinių sprendimu yra gerokai pasenęs, švelniai kalbant. Aiškindamas antrąją priežastį, pasitelksiu analogiją: matyt niekas iš mūsų nebandytų plaukikės Meilutytės laimėjimais pagrįsti mūsų piliečių plaukymo gebėjimų neblogą lygį.

Jei norime, kad elementarioji matematika išreikštų šiuolaikinės matematikos požiūrį į matematikos objektus, jų savybes ir samprotavimo metodus elementariame lygmenyje, tai minėtas mūsų visuomenės požiūris nėra adekvatus. Tipiškiems uždaviniams spręsti pakanka įsisavinti žinomas procedūras ir metodus, bei įsisavinti faktus.  To ir mokoma mūsų mokyklų matematikos pamokose. Tačiau šiuolaikinės matematikos esmė yra mąstymo būdas įgalinantis formuluoti ir spręsti naujas problemas. Ar įmanoma šią savybę, kad ir elementariame lygmenyje, ugdyti mokyklose? Dėl to ir vyksta diskusijos.

Šiame įraše norėjau aptatri naują Liping Ma straipsnį A Critique of the Structure of U.S. Elementary School Mathematics. Liping Ma pagarsėjo 1999 metais publikuota savo knyga Knowing and Teaching Elementary Mathematics, kurioje ji palygino Kinijos ir Amerikos matematikos mokytojų mokymą savo mokyklose (apie tai rašiau čia kovo 16 dieną). Naujajame straipsnyje autorė vėl lygina amerikiečių ir kiniečių mokyklinės matematikos stilių. Šiuo atveju kalbama apie mokyklinės matematikos turinį ir šio turinio perteikimo vaikams kokybę.

Straipsnyje “A Critique…” Liping Ma rašo apie dvi skirtingas elementariosios matematikos (toliau EM) struktūras. Pirmąją EM struktūrą, vadinamą “core-subject structure“, sudaro mokyklinė aritmetika ir keletas kitų temų, gerokai mažesnių savo apimtimi. Tokia struktūra reiškia, kad aritmetikos (sveikųjų ir trupmeninių skaičių) mokymu norima pasiekti pagrindinius matematinio ugdymo tikslus. Sutelkus dėmesį į apimtimi nedidelę, bet idėjomis turtingą matematikos temą, norima pasiekti gerokai gylesnį matematikos idėjų supratimą. Toks supratimas reiškia ir matematinio mąstymo formavimą. Būtent aritmetikos loginis pagrindimas 19 amžiuje pakeitė matematiką iš esmės. Visiems puikiai žinomą aritmetiką tapo įmanoma pagrįsti logiškai, kažkas panašaus į geometrijos pagrindimą, aiškinamą Euklido knygose. Aritmetika tapo tampriai susijusi ir hierarchinė sąvokų sistema. Deja, 19 amžiuje (su)kurtas  teorinis aritmetikos pagrindimas daugumoje švietimo sistemų neišliko.

Ar kurios nors šalies matematikos mokymo sistema turi aritmetiką pagrindžiančią sąvokų sistemą galima nustatyti tuo, kaip sprendžiamas, pavyzdžiui, toks uždavinys:

Misis Chen iškepė keletą tortų. 3/5 visų tortų ji pardavė iš ryto, o 1/4 likusių tortų ji pardavė po pietų. Kiek tortų iškepė Misis Chen, jei iš ryto ji pardavė 200 tortų daugiau negu po pietų?  

Be abejo, šį uždavinį mes nesunkiai išspręsime pasinaudoję algebros metodais. Bet abejoju, ar kuris nors mūsų mokyklos auklėtinis, įskaitant matematikus profesionalus, galėtų išspręsti šią užduotį aritmetinių lygybių pagalba:

200 : [3/5 - 1/4 (1- 3/5)] = 200 : 1/2 = 400.

Jei mano komentaras teisingas, tai reiškia, kad mes, kaip ir amerikiečiai, neturime aritmetikos sąvokų sistemos. Liping Ma teigimu panašias aritmetikos sąvokų sistemas turi matematikos mokymas Singapūre, Kinijoje, Rusijoje ir gal būt kai kuriose kitose šalyse.

Alternatyvią EM struktūrą, vadinamą “strands structure“,  sudaro keletas, pavyzdžiui 10, skirtingų, bet apimtimi panašių, temų. Iš principo ir ši struktūra neprieštarauja matematinio ugdymo tikslų pasiekimui. Tačiau realybėje švietimo sistema (programa, mokytojai, vadovėliai) yra tokia, kad esant plačiam turiniui ugdymo gylis tampa labai seklus. Tokia EM struktūra yra  Amerikoje, jos evoliuciją po 1960 metū aprašo Liping Ma savo straipsnyje. Tokia matematikos mokymo sistema yra ir pas mus, Lietuvoje. Liping Ma teigia, kad šios sistemos pasekmė yra mokymo turinio nestabilumas, mokymo netolydumas ir sąvokų nesuderinamumas.

Man pasirodė labai įdomus Keith Devlin tinklaraštyje parašytas straipsnio “A Critique..” komentaras The Educational Power of Elementary Arithmetic. Jo tekste yra naujų minčių. Pavyzdžiui, jis teigia, kad matematikos ugdymo programa nėra svarbi siekiant kokybiško matematikos mokymo. Šiam tikslui siekti reikalingi gerai paruošti matematikos mokytojai. Supaprastindamas jis rašo taip:

BLOGA PROGRAMA + STIPRŪS ARBA GERAI PARUOŠTI MOKYTOJAI  = STIPRUS ŠVIETIMAS

GERA PROGRAMA   + SILPNI ARBA SILPNAI PARUOŠTI MOKYTOJAI  = SILPNAS ŠVIETIMAS

Keith Devlin rašo, kad jo teiginį patvirtina suomių matematikos mokymo sistema, kurią jis labai gerai pažįsta. Įdomi kita jo pastaba:

 The only people for whom curriculum really matters are politicians and the politically motivated (who can make political capital out of curriculum) and publishers (who make a lot of financial capital out of it).

Taigi, Keith Devlin teigimu, programos sureikšminimu yra suinteresuoti politikai ir vadovėlių leidėjai. Mano nuomone, mūsų atveju programos sureikšminimas padeda ES lėšų įsisavinimui. Be to, stiprių mokytojų ruošimas būtų nepalyginamai sunkesnis uždavinys ir matyt politiškai nepriimtinas.

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>