Mokyklinės matematikos turinys: funkcijos grafiko liestinė

School mathematics Add comments

Dec 172014

Funkcijos grafiko liestinės sąvoka naudojama mokyklinėje matematikoje kai kalbama apie funkcijos išvestinę. Funkcijos išvestinė yra jos reikšmių ir argumentų skirtumo santykio riba. Dabartinėje mokyklinėje matematikoje riba paprastai nėra apibrėžiama, apsiribojama jos intuityviu aiškinimu. Siekiant didesnio aiškumo išvestinės apibrėžimas siejamas su ,,funkcijos kitimo greičio” interpretacija arba su funkcijos grafiko liestinės krypties koeficiento interpretacija. Momentinio greičio interpretacijos naudojimas apibrėžiant išvestinę vargiai yra pateisinamas, ypač mokyklinėje matematikoje. Tačiau liestinės sąvoka gali būti naudinga kai ji pati apibrėžiama nesinaudojant ribos intuityvia samprata. Šiame įraše pabandžiau paaiškinti Irl C. Brivenso straipsnyje What a Tangent Line is When it isn’t a Limit pasiūlytą funkcijos grafiko liestinės sampratą, kaip ,,geriausią tiesinę aproksimaciją taške” (tiksli Apibrėžtis yra žemiau).

Šį tekstą skiriu matematikos mokytojams, nes būtent jiems ši tema turėtų būti labiausiai aktuali. Aš nemanau, kad samprotavimai apie Brivenso liestinės apibrėžimą galėtų būti tiesiogiai naudojami pamokose. Aš manau, kad mokytojai turėtų gebėti patys nuspręsti kokiu būdu reikia pateikti medžiagą, kad ji būtų suprantama mokiniui. Bet prieš pasirinkdami mokytojai turėtų suprasti galimo aiškinimo stipriąsias ir silpnąsias puses. Įrašo gale yra didaktinio pobūdžio pastaba.

Šiuo įrašu tęsiu savo bandymus aiškinantis samprotavimų loginį tikslumą elementariojoje matematikoje (žr. ankstesnius įrašus kintamasis dydis ir riba, išvestinė, trupmenos sąvoka).

Liestinės samprata mūsų matematikos vadovėliuose

Tiesą sakant, aš žinau vienintelį matematikos vadovėlį, kuriame funkcijos grafiko liestinė yra apibrėžiama. Kituose mano matytuose vadovėliuose funkcijos grafiko liestinė visai neaiškinama, pateikiant liestinės lygtį kaip jos apibrėžimą, arba aiškinimui naudojami konkrečių situacijų piešiniai. Liestinės apibrėžimas lygtimi yra tik dar vienas faktas, kurį mokinys turi įsiminti be supratimo ir konteksto.

Dėmesio nekreipimas į liestinės apibrėžimą yra tik vienas mažas faktas iš bendro mūsų mokyklinės matematikos gyvenimo. Kuo toliau, tuo labiau mokyklinės matematikos turinys susinamas atsisakant abstrakčių objektų logiškai tikslaus apibrėžimo ir tą turinį verčiant daugybe mažai tarpusavyje susijusių faktų ir receptų suvestine. Tokiu būdu mes jau ilgą laiką tęsiame požiūrio į matematiką kaip į abstrakčių objektų pasaulį naikinimą. Vienas jaunas kolega vakar pasakė man labai simptomišką pavyzdį iš savo mokyklinės patirties. Jam buvo neaišku, kuo skiriasi atkarpa nuo tiesės, nes brėžiant tiesę ant popieriaus ar bet kur kitur ji lyg ir turėtų turėti galus, t.y. nesiskirti nuo atkarpos. Tai rodo, kad mokiniai gali neįtarti egzistuojant abstrakcijų pasaulį, skirtingą nuo realaus apčiuopiamo pasaulio.

Verta prisiminti šių metų brandos egzaminų užduočių formuluotėse buvusių klaidų. Vienoje iš jų tiesė ir atkarpa buvo žymima tuo pačiu simboliu. Patyrusiam matematikui tai nesukelia jokių problemų. Tačiau mes neturėtume būti atlaidūs klaidoms mokyklinės matematikos turinyje.

Minėtą vienintelį vadovėlį parengė Vilius Stakėnas ir autorių kolektyvas. Čia yra vadovėlio reikalingo puslapio kopija:

Šiame puslapyje matome kreivės, o tuo pačiu ir funkcijos grafiko, liestinės apibrėžimą naudojant intuityvią ribinės tiesės sampratą. Apibrėžime kalbama apie tiesės artėjimą į (ribinę) tiesę. Apie tokį artėjimą, kaip ir skaičių atveju, tiksliau nieko nepasakoma.

Toliau vadovėlyje išvedama liestinės lygtis ir parodoma, kad liestinės egzistavimas ekvivalentus funkcijos išvestinės egzistavimui, kuri tokiu atveju yra liestinės krypties koeficientas. Tokia liestinės apibrėžtis iš esmės sutampa su funkcijos išvestinės apibrėžtimi. Tiek, kiek ,,artėjimas” suprantamas intuityviai, abi sąvokos yra vienodai netikslios. Kitaip tariant, nei viena jų negali būti panaudota geriau suprasti kitą. Tačiau abu apibrėžimai turi prasmę siekiant palyginti skirtingų sričių sąvokas.

Liestinės apibrėžtis tiesiogiai nesinaudojant ribos sąvoka

Priminsiu toliau naudojamų sąvokų sampratas. Funkcija $f$ , kaip paprastai, yra tam tikras sąryšis siejantis dvi skaičių aibes, t.y. matematinės analizės sąvoka. Atvirame intervale $(a,b)$ apibrėžtos funkci
jos $f$ grafikas yra aibė taškų $\{(x,f(x))\colon\, x\in (a,b)\}$ geometrinėje plokštumoje su koordinačių sistema, t.y. analizinės geometrijos sąvoka. Tiesė $L$ geometrinėje plokštumoje yra ir taip pat žymimos funkcijos $L$ su reikšmėmis $L(x)=d+mx$ grafikas, čia $d,m$ yra fiksuoti skaičiai, o $x$ yra kintamasis žymintis realųjį skaičių. Mokykloje tokia funkcija paprastai vadinama tiesine. Aš naudoju kitą jos pavadinimą – afininė funkcija, kuri tampa tiesine funkcija kai $d=0$ . Tegul $c$ yra intervalo $(a,b)$ elementas ir funkcija $f$ yra apibrėžta intervale $(a,b)$ . Per plokštumos tašką $P=(c,f(c))$ einanti tiesė $L$ yra grafikas funkcijos su reikšmėmis $L(x)=f(c)+m(x-c)$ . Paprastai $L(x)$ vadinama tiesės $L$ lygtimi, o $m$ vadinamas tiesės krypties koefcientu.

Minėtame Bivenso straipsnyje siūloma toliau formuluojama funckijos grafiko liestinės samprata.

Apibrėžtis. Tarkime, kad $f$ yra atvirame intervale $(a,b)$ apibrėžta funkcija, $c\in (a,b)$ ir $P = (c,f(c))$ yra funkcijos $f$ grafiko taškas. Tiesė $L$ nubrėžta per tašką $P$ vadinama funkcijos $f$ grafiko liestine taške $P$ , jei su kiekviena kita tiese $K$ nubrėžta per tašką $P$ egzistuoja toks skaičius $\delta\in (0, \min\{c-a,b-c\})$ , kad

$|f(x)-L(x)|\leq |f(x)-K(x)|\quad\mbox{visiems}\quad x\in (c-\delta,c+\delta).\qquad\qquad (1)$

Kitaip tariant, funkcijos $f$ grafiko liestine taške $P$ yra tiesė $L$ , esanti funkcijos $f$ geriausia tiesine aproksimacija taške $P$ .

Naudojant šį apibrėžimą, nesunku įsitikinti, kad funkcijos $f(x)=|x|$ grafikas neturi liestinės taške $(0,0)$ (žr. žemiau esantį funkcijos grafiką). Pakanka pastebėti, kad bet kuriam kandidatui į liestinę arba tiesė $K_1(x)=x$ arba tiesė $K_2(x)=-x$ geriau aproksimuoja funkciją $f$ iš vienos kurios nors pusės. Pavyzdžiui, jei tartume, kad liestine yra horizontalioji x-ų ašis, t.y. $L(x)=0$ visiems x, tai pagal (1) gauname nelygybę $|x|\leq ||x|-K_1(x)|=0$ visiems $x\in [0,\delta)$ su kažkuriuo $\delta >0$ , kas yra neteisinga.

Kitas pavyzdys. Jei $f$ yra afininė funkcija, t.y. jei jos grafikas yra tiesė, tai ji pati yra liestinė kiekviename grafiko taške ir ši liestinė yra vienintelė.

Teorema. Jei funkcijos grafikas turi liestinę taške, tai ji yra vienintelė.

Įrodymas. Tarkime, kad funkcijos $f$ grafikas kuriame nors taške $(c,f(c))$ turi dvi skirtingas liestines $L_1$ ir $L_2$ . Tada galioja lygybė

$|f(x)-L_1(x)|=|f(x)-L_2(x)|$

visiems x iš taško c aplinkos. Naudojantis modulio apibrėžtimi ir tuo, kad $L_1(x)\not =L_2(x)$ kai $x\not =c$ , gauname, kad $f(x)=(1/2)[L_1(x)+L_2(x)]$ . Taigi taško $c$ aplinkoje $f$ yra afininė. Dėl afininės funkcijos grafiko liestinės vienaties, $L_1=L_2$ – prieštara įrodanti teoremos teiginį. QED

Dabar įrodysime svarbiausią faktą apie liestinės ir išvestinės sąvokų ekvivalentumą. Teoremos įrodyme naudojame ribos apibrėžimą ε-δ kalba, o ne intuityvią ,,artėjimo” sampratą.

Teorema.Tarkime, kad $f$ yra atvirame intervale $(a,b)$ apibrėžta funkcija, $c\in (a,b)$ ir tiesė $L$ eina per tašką $P=(c,f(c))$ . Tiesė $L$ yra funkcijos $f$ grafiko liestinė taške $P$ tada ir tik tada, kai funkcija $f$ yra diferencijuojama taške $c$ ir išvestinė $f'(c)$ yra tiesės $L$ krypties koeficientas.

Įrodymas. Tarkime, kad lygtimi $L(x)=f(c)+m(x-c)$ apibrėžta tiesė $L$ yra funkcijos $f$ grafiko liestinė taške $(c,f(c))$ . Įrodysime, kad funkcija $f$ yra diferencijuojama taške $c$ ir $f'(c)=m$ , t.y.

$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=m.$

Tegul $\epsilon >0$ . Tarkime, kad $L_1$ ir $L_2$ yra dvi tiesės apibrėžtos lygtimis $L_1(x)=f(c)+(m+\epsilon)(x-c)$ ir $L_2(x)=f(c)+(m-\epsilon)(x-c)$ , atitinkamai. Remiantis liestinės apibrėžtimi egzistuoja toks skaičius $\delta >0$ , kad nelygybės

$|f(x)-L(x)|\leq|f(x)-L_1(x)|\quad\mbox{ir}\quad |f(x)-L(x)|\leq |f(x)-L_2(x)\qquad\qquad (2)$

galioja visiems $x\in (c-\delta,c+\delta)$ . Pirma tarkime, kad $c<x<c+\delta$ . Tada $L_2(x)<L(x)<L_1(x)$ . Naudomi modulio apibrėžimą ir (2) nelygybes, gauname $L_2(x)<f(x)<L_1(x)$ . Pastarosiose nelygybėse atimdami $f(c)$ ir dalindami iš $(x-c)$ gauname

$\left |\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-m\right |<\epsilon.$

Šią nelygybę lygiai taip pat gauname ir tuo atveju, kai $c-\delta <x<c$ . Kadangi $\epsilon >0$ yra laisvai pasirinktas, išvestinė $f'(c)$ egzistuoja ir lygi $m$ . Pirmoji teoremos implikacija įrodyta.

Dabar tarkime, kad egzistuoja išvestinė $f'(c)$ ir tiesė $L$ apibrėžta lygtimi $L(x)=f(c)+f'(c)(x-c)$ . Įrodysime, kad $L$ yra funkcijos $f$ grafiko liestinė taške $P$ . Tegul $K$ yra tiesė apibrėžta lygtimi $K(x)=f(c)+m(x-c)$ ir jos krypties koeficientas $m\not = f'(c)$ . Pakanka įrodyti, kad nelygybė

$|f(x)-L(x)|\leq (1/2)|L(x)-K(x)|\qquad\qquad\qquad (3)$

galioja visiems $x\in (c-\delta,c+\delta)$ su kuriuo nors $\delta >0$ . Iš tikro, su bet kuriuo $c-\delta<x<c+\delta$ , pridėdami ir atimdami $f(x)$ , gauname

$|L(x)-K(x)|=|L(x)-f(x)+f(x)-K(x)|\leq |f(x)-L(x)|+|f(x)-K(x)|.$

Įstatę gautą nelygybę į (3) ir pertvarkę gauname (1) nelygybę. Dabar įrodysime (3). Kadangi egzistuoja išvestinė $f'(c)$ , egzistuoja toks skaičius $\delta\in (0, \min\{c-a,b-c\})$ , kad nelygybė

$\left |\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-f'(c)\right |\leq\frac{1}{2}|f'(c)-m|$

galioja visiems $0<|x-c|<\delta$ . Padauginę abi nelygybės puses iš $|x-c|$ , gauname, kad nelygybė

$|f(x)-L(x)|\leq\frac{1}{2}|f'(c)-m||x-c|=\frac{1}{2}|L(x)-K(x)|$

galioja visiems $x\in (c-\delta,c+\delta)$ , t.y. (3) galioja visiems $x$ iš taško $c$ aplinkos $O = (c-\delta,c+\delta)$ . Kadangi $K$ yra laisvai pasirinkta tiesė einanti per tašką $P$ , antroji teoremos implikacija ir tuo pačiu visa teorema yra įrodyta. QED

Daugiau pavyzdžių ir faktų apie Brivenso liestinės sampratą yra jo straipsnyje.

Pastaba. Pastarasis įrodymas atskleidžia kaip Brivenso liestinės apibrėžime netiesiogiai naudojama ribos samprata ε-δ kalba. Pakanka tiesę $K$ išreikšti lygtimi

$K(x)=f(c)+(m+\epsilon)(x-c)\qquad\mbox{arba} \qquad K(x)=f(c)+(m-\epsilon)(x-c).$

Jei $L(x)=f(c)+m(x-c)$ , tai liestinės Apibrėžties (1) nelygybė virsta nelygybėmis

$-\epsilon <\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-m<\epsilon.$

Ši pastaba galėtų būti toliau tikslinama ir gal būt panaudojama didaktikos tikslams.

2 Responses to “Mokyklinės matematikos turinys: funkcijos grafiko liestinė”

Edmundas Adomonis says:

Thursday December 25th, 2014 at 09:21 PM

Keletas pastabų:

a) Kiek pamenu pirmus susidūrimus su funkcijos išvestine, tai momentinio greičio interpretacija gerokai padėjo, nors kol kas negaliu atkurti tuometinės minties eigos. Gal visai ne taip blogai.

b) O su liestine tada turėjau problemų; geometrinė interpretacija kaip kirstinių riba buvo lyg ir aiški, bet negalėjau nepriklausomai galvoti apie liestinę, kaip ji ten liečiasi. Kaip dabar suprantu, kažką nerišliai klausinėjau savęs kaip čia apie tą liestinę galvoti, nepriklausomai nuo ribos, t.y. kai “ji nėra riba”. Tada aišku kyla problemų dėl x modulio funkcijos taške 0. Formaliai lyg ir aišku, bet žiūri juk x ašis kuo ramiausiai liečia taške 0, o dar pažiūrėjus atrodo lyg ir daugybę liestinių turi tame taške. Žodžiu, šioje vietoje supratimas nekoks, tinkamas tik egzaminams laikyti 🙂

c) Galvoju, būtų naudinga pažiūrėti ir istoriškai, kaip traktuojama liestinė – juk nuo graikų laikų apie tai galvota.

Reply
Rimas says:

Friday December 26th, 2014 at 04:46 AM

Iš tikro, įdomu sužinoti apie liestinės sampratos istorinę evoliucija.
Šiuo klausima galima pasiremti Viliaus Stakėno matematikos istorijos konspektu.
Jame yra skyrius pavadinta 11 tema. Kreivės ir jų liestinės.
Nukopijavau šią temą čia:

http://www.mif.vu.lt/katedros/matinf/asm/vs/pask/mathist/mh11.pdf

Kaip rašo Vilius, Euklido Pradmenyse liestinės sąvoka siejama tik su apskritimu. Liestinės klausimas pradėtas intensyviai nagrinėti tik 17 amžiuje kartu su judėjimo problemomis.

Savo įraše aš aptariu tik tokias kreives, kurios yra funkcijos grafikai. Todėl liestinės apibūdinimas siejamas su funkcija.

Reply

Matematika kaip kultūros reiškinys

Mokyklinės matematikos turinys: funkcijos grafiko liestinė

2 Responses to “Mokyklinės matematikos turinys: funkcijos grafiko liestinė”

Leave a Reply Cancel reply