Šiandien pirmą kartą viešai (matematikų konferencijoje) kalbėjau matematikos idėjų istorijos tema. Norisi pasidalinti savo įspūdžiais apie tai, ką iki šiol supratau ir ką bandžiau šiandien paaiškinti (pranešimo pristatymas ir padalomoji medžiaga yra šio tinklaraščio skyrelyje Apie).
Už milžiniško matematikos žinių klodo, išreiškiamo formaliomis teoremomis, apibrėžimais, aksiomomis ir kitais panašiais dalykais, slypi nepaprastai aistringa idėjų kaitos ir jų tarpusavio kovos istorija. Kai kuriuos šios istorijos aspektus mes žinome iš filosofijos istorijos ir gal būt kitų sričių istorijos. Bet matematinis gilumas suteikia šioms idėjoms tikslumo ir konkretumo. Kalbu apie tai, ką paprastai išreikiame sąvokomis tolydumas ir diskretumas, baigtinumas ir begalybė. Toks sąvokų suporavimas padeda geriau išreikšti kryptį, kurią norima suprasti. Tolydumo ir diskretumo sąvokų turinį padeda išreikšti noras suprasti ir paaiškinti geometrinės tiesės struktūrą. Ar tiesė yra tolydi ta prasme, kad ją galima dalinti be galo, nesusiduriant su tokiomis jos dalimis, kurios toliau yra nedalomos (savotiškais matematiniais atomais)? Apytikriai turime alternatyvą: arba tiesę sudaro ,,atomai”, arba ji yra ,,ištisa” – neturinti ,,atomų”.
Įdomu buvo suvokti tai, kad požiūris į tiesę kaip į diskrečių objektų rinkinį yra dominuojantis šiuolaikinėje matematikoje. Dominuojantis ta prasme, kad šiuolaikinėje matematikoje priimta ,,tapatinti” tiesę su realiųjų skaičių aibe. ,,Tapatinimas” išreikšiamas abipus vienareikšme atitiktimi išsaugančia tvarką (Cantoro-Dedekindo aksioma). Tiesą sakant frazė ,,požiūrio dominavimas” čia nelabai tinkamas dėl visokiausių matematikos sociologijos niuansų į kuriuos čia nesinori gilintis. Bent jau Lietuvos matematikų bendruomenėje, galima drasiai tvirtinti, kad tarp jų šis požiūris dominuoja.
Antras įdomus dalykas buvo suvokimas kokią didelę įtaką matematikos vystymuisi turi pasirinkimas tarp diskretumo ir tolydumo. Tą pasirinkimą išreiškia matematinio objekto, vadinamo be galo mažu dydžiu (infinitesimal) pripažinimas arba nepripažinimas. Iki 17 amžiaus buvo ginčijamasi dėl nedalomumo (indivisibility). Apie šių dviejų sąvokų skirtumus kol kas taip pat neverta kalbėti, kad nenuslysti į detales. Taigi naujaisiais amžiais diskretumo ir tolydumo žaizdrą pakurstė Leibnizas su savo be galo mažais dydžiais ir monadomis. Nesenai pasirodė knyga, kurioje parodoma kokią didelę įtaką Europos politinei ir kultūrinei istorijai darė be galo mažo dydžio sąvokos problema. Apie tai smulkiau taip pat neverta čia kalbėti.
Šiokį tokį bendrą vaizdą apie be galo mažo dydžio vaidmenį galima susidaryti apžvelgiant matematinės analizės pagrindų evoliuciją per pastaruosius tris ar keturis šimtus metų. Šiuolaikinio diferencialinio ir integralinio skaičiavimo atsiradimas siejamas su I. Newtono (1642-1727) ir G. Leibnizo (1646-1716) darbais. Siekdamas apibūdinti judėjimą matematiškai Newtonas sukūrė ir naudojo geometrija pagrįstus tyrimo metodus, kurie vėliau tapo diferencialiniu ir integraliniu skaičiavimu. Jo analizės objektu buvo nuo laiko priklausantis kintamasis dydis, pavyzdžiui, kreive judantis taškas. Leibnizo darbo motyvacija buvo visai kita; jis siekė sukurti bet kokiam samprotavimui tinkamą universalią kalbą. Jo sukurtas diferencialinio ir integralinio skaičiavimo variantas buvo pritaikytas be galo mažiems dydžiams ir puikiai tiko įvairiems geometrijos ir mechanikos uždaviniams spręsti.
Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo idėjos 18 amžiuje buvo apibendrinamos bet kokios prigimties kintamiesiems dydžiams ir sąryšiams tarp jų, kurie buvo šiuolaikinės funkcijos sąvokos pirmtakais. Pavyzdžiui, L. Euleris (1707-1783) savo darbuose funkcija laikė (analizinę) išraišką, o funkcijos f(x) tolydumas reiškė išreiškimą vienintele formule. 17 ir 18 amžiais matematika iš esmės buvo gamtos mokslas, jos faktų pagrindimas rėmėsi atitikimu realiems gamtoje vykstantiems reiškiniams. Svarbus buvo pats matematikos fakto atradimas, bet ne jo pagrindimas. Lyginant su antikos matematika, loginių samprotavimų griežtumas tuo metu buvo gerokai sumenkęs, dažnai pakako intuicijos ir geros vaizduotės.
Matematinės analizės pagrindų paiešką skatino 1734 metais publikuota G. Berkeley (1685-1753) kritika. Be didesnio pasisekimo analizės loginio pagrįstumo problemą sprendė daugelis matematikų: C. MacLaurinas (1698-1746), J. L. D‘Alembertas (1717-1783), L. Euleris, Jacobas Bernoulli (1655-1705) ir kiti. Matematinės analizės pagrindimą kaip matematinę problemą pirmasis suformulavo J.-L. Lagrangeas (1736-1813). Jo iniciatyva 1784 metais Berlyno mokslų akademija paskelbė premiją tam, kuris išspręs šią problemą. Premija buvo paskirta nors problema liko neišspręsta. Paties Lagrangeo pasiūlytas problemos sprendimas rėmėsi originalia idėja – funkcijos išvestine taške laikyti koeficientą prie pirmojo laipsnio nario esančio tos funkcijos skleidinyje taško aplinkoje laipsnine (Tayloro) eilute. Jo nuomone, problemos sprendimas turėtų paaiškinti visus iki tol rastus matematinės analizės faktus.
Pirmu sėkmingu darbu sprendžiant matematinės analizės pagrindimo problemą laikomas B. Bolzano 1817 metais publikuotas straipsnis. Šio darbo tikslu buvo vienos akivaizdžios tolydinių funkcijų savybės ,,grynai analizinio“ įrodymo paieška. Būtent, 18 amžiuje akivaizdžiu buvo laikomas faktas, kad tarp dviejų argumento reikšmių, kuriose tolydi funkcija įgyja priešingo ženklo reikšmes, egzistuoja bent viena argumento reikšmė, kurioje funkcija virsta nuliu. Šią funkcijos savybę toliau vadiname vidurinės reikšmės savybe. Bolzano įrodinėjo šią savybę remdamasis savo pasiūlyta nauja funkcijos tolydumo apibrėžtimi ir realiųjų skaičių mažiausio viršutinio rėžio egzistavimo savybe. Tačiau pastarąją savybę Bolzano taikė be įrodymo. Matematikų bendruomenė apie jo rezultatus sužinojo gerokai pavėluotai.
Reikšmingą įtaką tolesnei matematinės analizės pagrindų paieškai turėjo 1821 metais A.-L. Cauchy (1789-1857) parašytas vadovėlis Course d‘Analyse. Kaip ir Bolzano, Cauchy nuosekliai ir savaip apibrėžė pagrindines analizės sąvokas, bei naudojo jas įrodydamas akivaizdžiais anksčiau laikytus teiginius. Tarp jų buvo ir vidurinės reikšmės savybė tolydinėms funkcijoms. Cauchy siūlomas įrodymas pagrįstas kita, taip pat neįrodyta, realiųjų skaičių pilnumo savybe. Ne visas sąvokas įmanoma apibrėžti, neapibrėžtomis lieka pirminės sąvokos. 1821 metų Cauchy knygoje, vietoje anksčiau dominavusios išraiškos sąvokos, pirmine sąvoka tapo kintamasis dydis. Tuo tarpu funkcija Cauchy vadovėlyje yra kintamasis dydis y, priklausantis nuo kito kintamojo dydžio x, vadinamo funkcijos y argumentu.
Tarp matematikų paplitusi nuomonė, kad, ε-δ nelygybėmis grindžiamos, funkcijos tolydumo savybės apibrėžties autorius A.-L. Cauchy, nėra tiksli. Iš tikro, ε-δ nelygybės yra naudojamos funkcijos tolydumo kontekste kai kuriuose jo įrodymuose, bet ne sąvokos apibrėžtyje. Kaip toliau matysime, Cauchy tolydumo apibrėžtis grindžiama be galo mažo dydžio samprata. Kaip ir kintamasis dydis, ši sąvoka tais laikais nebuvo griežtai apibrėžiama. Tačiau tai nereiškia, kad nebuvo bandoma tai padaryti, net ir tada, kai matematinėje analizėje įsigalėjo ε-δ nelygybėmis grindžiama funkcijos konvergavimo samprata.
Paprastai be galo mažu dydžiu laikomas skaičius a, kuris nėra lygus nuliui ir jo absoliutinis dydis yra mažesnis už trupmeną 1/n su kiekvienu natūraliuoju skaičiumi n. Realiųjų skaičių aibėje nėra be galo mažo dydžio, nes jo egzistavimas prieštarauja realiųjų skaičių Archimedo savybei: kiekvienam teigiamam realiajam skaičiui r egzistuoja toks natūralusis skaičius n, kad n > r, t.y. natūraliųjų skaičių aibė nėra aprėžta realiųjų skaičių aibėje. Apie 1960 metus logikas A. Robinsonas (1918-1974) įrodė, kad egzistuoja nestandartinis modelis turintis daugiau matematinių objektų už standartinį modelį, kuriems teisingi visi šiuolaikinės matematinės analizės teiginiai. Tarp naujų objektų, greta įprastas realiųjų skaičių savybes turinčių objektų, yra be galo mažus ir be galo didelius dydžius atitinkantys objektai. Skaičių aibės elementus nestandartiniame modelyje paprastai vadina hiperrealiaisiais skaičiais. Hiperrealiųjų skaičių aibė *R turi lauko struktūrą ir ją galima laikyti realiųjų skaičių aibės R plėtiniu, kuriame yra be galo maži ir be galo dideli dydžiai. Atsižvelgiant į šį faktą ir papildant kintamųjų dydžių reikšmių aibę hiperrealiaisiais skaičiais, galima taip interpretuoti A.-L. Cauchy tolydumo sampratą, kuri ekvivalenti įprastinėje realiųjų skaičių aibėje apibrėžtos funkcijos tolygaus tolydumo savybei.
Cauchy vadovėlio idėjos yra kertinės aptariamoje kelių šimtų metų istorijoje ta prasme, kad jos generavo dvi skirtingas analizės vystymosi kryptis. Viena iš jų tapo dominuojančia, o kita nepripažinta bent jau iki neseno laiko. Kaip šios idėjos plito skirtingų šalių visuomenėse atspindi tos šalies matematinės ir bendrosios kultūros lygį. Mano šios dienos LMD pranešimo tema buvo pristatymas rezultatų, kuriuos aš gavau apžvelgdamas matematinės analizės idėjų aiškinimą Pirmosios Lietuvos Respublikos laikotarpiu (1918-1940 m.). Bandžiau išsiaiškinti to meto Lietuvos matematikų požiūrį į matematinės analizės pagrindus ir įvertinti jo vietą matematinės analizės idėjų raidos kontekste. Konkrečiai nagrinėjau J. Stoukous ir A. Juškos matematinės analizės vadovėlius bei Z. Žemaičio diferencialinio-integralinio skaičiavimo paskaitų konspektus.
Apibendrindamas savo veiklos rezultatus teigiu, kad matematinė analizė tarpukario Lietuvoje iš esmės atitiko A.-L Cauchy 1821 metų vadovėlyje Course d‘analyse pasiūlytą analizės pagrindų formą bet ne įrodymų griežtumą. Nesėkmingai bandyta aiškinti K. Weierstrasso 1861 metais pasiūlytą ribos sampratą, bei jo ir kitų matematikų įrodytas tolydžiųjų funkcijų savybes. Teigiu, kad tarpukario Lietuvoje dėstytos matematinės analizės samprata neatitiko 19 a. pabaigoje ir 20 a. pradžioje Vakarų Europoje brendusio matematinės analizės supratimo, grindžiamo realiųjų skaičių aibe su sutvarkyta pilno lauko struktūra.
Trumpai savo išvadas suformulavau taip: tarpukario Lietuvoje dėstomos matematinės analizės turinį sudaro tik procedūrų ir metodų aiškinimas. Ignoruojamas matematinės analizės pagrindų ir istorijos aiškinimas. Panaši padėtis yra ir dabartinėje Lietuvoje. Tuo tarpu matematikos istorikai pastebi, kad matematikos mokymas buvo viena iš pagrindinių paskatų rūpintis matematinės analizės pagrindais.
Siauras požiūris į matematikos mokymo turinį ugdo siaurą požiūrį į matematikos vaidmenį pasaulio pažinime ir dvasinėje kultūroje.