Grd 062020
 

Šiame įraše apžvelgiama pamiršta ir vėl atsimenama geometrinė daugybos konstrukcija, kurios pradininku yra René Descartesas. Daugyba yra proporcijos sąvokos variantas. Pagal ją, vienetas yra daugikliui tas pats, kas dauginamasis yra sandaugai. Ši daugyba vadinama įvairiai: daugybos prigimtimi; daugybos esme; daugyba kaip vieneto keitimas (angl. multiplication as a change in units); arba daugyba kaip mastelio keitimas (angl. multiplication as scaling). Mokyklinėje matematikoje populiari, kartotine sudėtimi vadinama, daugyba yra apžvelgiamos daugybos atskiras atvejis.

Daugybos veiksmo konstruktyvi apibrėžtis įdomi visų pirma pedagoginiu požiūriu. Natūraliųjų skaičių aibėje atliekama daugyba paprastai vadinama kartotine sudėtimi. Taip ji suprantama ne tik pradinėse klasėse bet ir vėliau, kai pasitelkiama  rekursija Peano aksiomų kontekste. Aukštojoje mokykloje dažnai apsiribojama supažindinimu su realiųjų skaičių lauko struktūros aksiomomis.

Įdomi ne tik konstruktyvi daugybos apibrėžtis. Kartu su apibrėžtimi svarbu suprasti kaip jos pagalba gaunamos įprastinės daugybos veiksmo savybės. Pavyzdžiui, būtų gerai turėti realiųjų skaičių aibėje konstruktyviai apibrėžtą sandaugą, kurios atskiru atveju yra lygybė (-1)(-1)=1. Galiausiai daugybos apibrėžties klausimas yra įdomus matematikos idėjų istorijos kontekste.

Ši apžvalga pagrįsta įvairiais šaltiniais.  Nėra vieno straipsnio, kuriame būtų paminėti bent dauguma šios srities darbų. Šaltiniuose nagrinėjami daugybos kontekstai yra labai įvairūs. Todėl apibrėžiant daugybą turime didelę tos pačios idėjos interpretacijų įvairovę. Ši apžvalga yra bandymas jas suprasti.  Apžvalga buvo pristatyta Matematikos mokymo seminare 2020 m. balandžio 30 d.

Daugyba pagal Descartesą

Šiais laikais Descarteso sandauga dažniausiai vadinama dviejų aibių sandauga lygi tų aibių elementų sutvarkytų porų aibei. Kai dauginamos aibės yra realiųjų skaičių intervalai, tai gauto stačiakampio ploto pagalba galima apibrėžti realiųjų skaičių sandaugą. Tačiau šis skyrelis apie kitokią geometrinę sandaugos konstrukciją. Tą, kurią René Descarte  (1596 kovo 31 – 1650 vasario 11.) iš tikro pasiūlė savo knygos Discourse de la methode (1637) priede  La Gèomètrie. Apie daugybą pagal Descartesą rašome remdamiesi australų matematikos istoriko  Jonathan J. Crabtree darbu (2017).

1 piešinys. Daugyba pagal Descartesą.

1 apibrėžtis. Šiame piešinyje tarkime, kad atkarpa BA yra vienetas. Tarkime, kad dauginame atkarpas BD ir BC. Sujungę taškus A ir C, brėžiame atkarpą DE lygiagrečią atkarpai  AC. Atkarpa BE yra ieškoma atkarpų BD ir BC sandauga. 

Jei reikia dalinti BE iš BD, tai jungiame taškus E ir D, po to brėžiame AC  lygiagrečią DE. Atkarpa BC yra dalybos rezultatas.

Panašiu geometriniu būdu Descartesas apibrėžė ir kvadratinę šaknį. Šios aritmetinės  operacijos toliau naudojamos geometriškai spręsti kvadratines lygtis. Atitinkamas  sprendinių formules išreikšdamas geometriškai. 

Daugybos ir dalybos pagal Descartesą apibrėžtyse slypi proporcijos idėja kartu su naujo nario – vieneto – įtraukimu į daugybos procesą. Daugyba pagal  Descartesą suformuluota žodžiais skamba taip: kaip vienetas susijęs su daugikliu, taip dauginamasis susijęs su sandauga.

Pagal Euklido Pradmenis skaičius yra vienetų daugis (angl. multitude of units), ir vienetas nėra skaičius. Crabtree teigimu skaičių 1 atkarpai priskyrė Leonardo Pisano 1220 m. savo Praktinėje Geometrijoje. Nei prieš jį nei keletą šimtmečių po jo, vienetas nebuvo laikomas skaičiumi (vakarų matematinėje kultūroje).
Tik 16 amžiuje Pisano idėją vėl panaudojo Van Ceulenas.  Descartesas rašydamas apie vienetą pamini tik Euklidą.

Akivaizdu, kad kampo B didumas 1 piešinyje nėra svarbus. Todėl jį galima pakeisti stačiuoju, visą piešinį pasukti ir patalpinti plokštumoje su koordinačių sistema  kaip 2 piešinyje.

2 piešinys. Kita daugybos pagal Descartesą forma (Crabtree, 2017).

Gert Schubringo  (2005, 49 pusl.) teigimu, nors Descartesas naudojo neigiamus skaičius, bet juos traktavo kaip nelygiaverčius teigiamiesiems skaičiams. Jo darbuose visi grafikai nupiešti koordinačių plokštumos pirmąjame ketvirtyje. Nei Descarteso plokštuma, nei anksčiau minėta Descarteso sandauga
nėra susijusios su René Descartesu ir jo geometrine daugybos konstrukcija.

1707 m. Isaac Newtonas parašė Arithmetica Universalis. Joje daugyba apibrėžta Descarteso būdu naudojant beveik tą patį brėžinį. Bet jis nuėjo toliau daugybą pratęsdamas neigiamiems skaičiams ir grafikus brėžė visuose koordinačių plokštumos ketvirčiuose. Kaip tai veikia galima pamatyti
3 piešinyje dauginant Latex formulaLatex formula.

3 piešinys. Teigiamų ir neigiamų skaičių daugyba pagal Descartesą (Crabtree, 2017).

Daugyba atkarpų aritmetikoje

Pradėsiu atkarpų kongruencijos ekvivalentumo klasių daugyba. Šios klasės yra aibės, ne skaičiai; jos vadinamos atkarpų ilgiais. Taip daroma sekant senovės graikų matematikos tradicijomis. Kalbant trumpai vienai klasei priklauso visos tos atkarpos,  kurios sutampa vieną uždėjus ant kitos. Taigi, konkreti atkarpa yra kurios nors ekvivalentumo klasės elementas. Daugybos veiksmas apibrėžiamas ekvivalentumo klasių aibėje.

Piešinys vaizduoja trikampius sudarytus iš konkrečių atkarpų. Pavyzdžiui, atkarpa BC priklauso ekvivalentumo klasei a. Panašiai yra ir su kampais. Kaip ir atkarpa, konkretus kampas yra aibė. Kampas CAB priklauso kongruencijos santykiu apibrėžtai ekvivalentumo klasei Latex formula.

 

4 piešinys. Atkarpų daugyba.

 

Atkarpų sandauga apibrėžta Davido Hilberto knygoje (1902, 15§). Čia Roberto Hartshorne knygoje (2000, 170 pusl.) kontekstas, kuriame apibrėžiama  atkarpų daugyba yra Hilberto plokštuma. Daugiau apie ją yra šio teksto paskutiniame skyrelyje, o tiksliau yra 13 apibrėžtyje.

2 apibrėžtis. Hilberto plokštumoje su lygiagretumo aksioma (P) bet kurioms dviems  atkarpų kongruencijos ekvivalentumo klasėms a, b jų \emph{sandauga} ab apibrėžiama taip. Pirma, brėžiame statųjį trikampį ABC su kraštinėmis Latex formula ir Latex formula, o stačiojo kampo viršūnė yra B. Tegul Latex formula yra kampas ∠ BAC. Antra, brėžiame kitą statųjį trikampį DEF su kraštine Latex formula ir kampu Latex formula prie viršūnės D. Tada ab yra ta atkarpų kongruencijos ekvivalentumo klasė, kuriai priklauso antrojo trikampio kraštinė EF.

Kita teorema įrodyta Hartshorne knygoje (2000, Proposition 19.1, 168 p.).

Teorema. Bet kurioje Hilberto plokštumoje su aksioma (P), atkarpų klasių sandaugai teisingi teiginiai:

  1. Latex formula apibrėžta korektiškai visiems Latex formula;
  2. Latex formula visiems Latex formula;
  3. Latex formula visiems Latex formula;
  4. Latex formula visiems Latex formula;
  5. kiekvienam Latex formula egzistuoja vienintelis Latex formula toks, kad Latex formula;
  6. Latex formula visiems Latex formula.

Įrodymas. 1. Tegul Latex formula yra dvi atkarpų kongruencijos ekvivalentumo klasės ir tegul sandauga Latex formula sukonstruota pagal 2 apibrėžtį. Tegul A’B’C’ yra kitas statusis  trikampis, kurio statinių ilgiai yra Latex formula ir stačiojo kampo viršūnė yra B’. Pagal (C6) aksiomą arba pagal (SAS), A’B’C’ yra kongruentus trikampiui ABC. Gauname  kongruentų kampą Latex formula. Jei D’E’F’ yra kitas statusis trikampis su kampu Latex formula ir kraštine Latex formula, tai jis yra kongruentus trikampiui  DEF pagal (ASA). Gavome kongruenčią atkarpą Latex formula.

 

Daugyba pagal McLoughlin ir Droujkova

 

Šiame skyrelyje realiųjų skaičių daugyba apibrėžiama geometriškai.

Peter F. McLoughlin ir Maria Droujkova  (2013) teigimu matematikos mokytojai Amerikoje dažnai baigia universitetą niekada nematę šių dalykų:

  • Logiškai nepriekaištingo realiųjų skaičių daugybos apibrėžimo;
  • Įrodymo, kad du trikampiai turi lygius atitinkamus kampus tada ir tik tada, kai jų atitinkamų kraštinių ilgiai yra proporcingi;

  • Sąryšio tarp stačiakampio ploto ir skaičių sandaugos įrodymo.

Iš dalies to priežastimi yra mokyklinės matematikos kursas, kuriame daugybos,  stačiakampio ploto ir trikampių panašumo apibrėžimai yra priklausomi vienas nuo kito.

3 apibrėžtis. Tegul Latex formula ir Latex formula yra realieji skaičiai. Descarteso plokštumos y- ir   x-ašyse atidėkime taškus Latex formula ir Latex formula, atitinkamai. Sandauga Latex formula yra x-ų ašies sankirta su tiese, kuri yra lygiagreti atkarpai Latex formula ir eina per tašką Latex formula.

Ši geometrinė daugybos apibrėžtis apibendrina daugybą kaip kartotinę sumą.

2 teorema. Jei Latex formula yra sveikasis skaičius ir Latex formula bet kuris realusis skaičius, tai Latex formula.

3 teorema. Bet kuriems realiesiems skaičiams Latex formula ir Latex formula teisinga:

  • Latex formula;
  • Latex formula.

4 teorema. Jei Latex formula yra realusis skaičius, tai egzistuoja vienintelis realusis skaičius Latex formula toks, kad Latex formula. Be to, Latex formula vadinamas atvirkštiniu skaičiui Latex formula ir žymimas  Latex formula.

Šiai daugybai teisingi komutatyvumo, asociatyvumo ir distributyvumo dėsniai.

5 teorema. Realiesiems skaičiams Latex formula ir Latex formula teisinga

Latex formula

4 apibrėžtis. Du trikampiai vadinami panašiais, jei atitinkami kampai yra lygūs.

6 teorema. Tegul trikampio Latex formula kraštinės lygios skaičiams Latex formula ir tegul trikampio Latex formula  kraštinės lygios skaičiams Latex formula. Trikampiai Latex formula ir Latex formula yra panašūs tada ir tik tada kai egzistuoja skaičius Latex formula toks, kad

Latex formula.

P. Katiliaus vadovėlyje (1966, 1 apibrėžimas, 193 pusl.) du trikampiai kongruentūs, jei atitinkami kampai yra kongruentūs ir atitinkamos kraštinės yra kongruenčios.

Lietuvos jaunųjų matematikų mokyklos metodinėje medžiagoje rašoma: ,,Du trikampiai  vadinami panašiais, jeigu jų atitinkami kampai lygūs ir vieno trikampio kraštinės proporcingos atitinkamoms kito trikampio kraštinėms.“

Alternatyvi skaičių daugybos apibrėžtis:

5 piešinys. Iš interneto platybių (anonimas).

Dydžių daugyba

5 apibrėžtis. Sandauga Latex formula yra susijusi su dauginamuoju Latex formula taip, kaip daugiklis Latex formula yra susijęs su vienetu.

Tarkime Latex formula ir Latex formula yra tos pačios rūšies dydžiai, t.y. jie yra pamatuojami tuo pačiu vienetu Latex formula. Pavyzdžiui, Latex formula ir Latex formula yra atkarpos, kurių ilgiai metrais yra Latex formula ir Latex formula. Tokiu atveju apibrėžtas dydžių Latex formula ir Latex formula santykis Latex formula išreiškiamas skaičiumi

Latex formula

Tada dydžio Latex formula skaitinė reikšmė Latex formula turi savybę

Latex formula.

Gauname, kad Latex formula ir Latex formula sandauga Latex formula yra dydis įgyjantis reikšmę Latex formula atžvilgiu vieneto Latex formula.  Pavyzdžiui, daugindami metrus iš metrų gauname vėl metrus. Tuo tarpu naudojant sandaugos apibrėžimą kaip stačiakampio plotą, metras padaugintas iš metro duoda kvadratinį metrą (SIC).

Daugyba kaip vieneto keitimas

6 apibrėžtis. Tarkime, kad žinoma taisyklė pagal kurią skaičius yra susietas su  vienetu. Tegul Latex formula ir Latex formula yra skaičiai. Skaičius Latex formula vadinamas sandauga, jei vienetas yra daugikliui Latex formula  tas pats, kas dauginamasis Latex formula yra skaičiui Latex formula.
Skaičių Latex formula ir Latex formula sandaugą žymėsime Latex formula, o daugybos veiksmą vadinsime vieneto keitimu.

Įprastinė realiųjų skaičių sandauga apibrėžiama algebrinio lauko aksiomų sistema  tenkina šį apibrėžimą. Tuo galima įsitikinti skaičius siejant jų santykiu. Tegul  Latex formula žymi įprastinę realiųjų skaičių Latex formula ir Latex formula sandaugą, t.y. ji tenkina algebrinio lauko aksiomas. Naudodami vieną iš daugelio realiųjų skaičių santykio išraišką, gauname

Latex formula

Taigi, daugiklis Latex formula yra susijęs su Latex formula taip, kaip sandauga latex]a{\cdot}b[/latex] susijusi su dauginamuoju Latex formula.

6 apibrėžtis naudinga apskaičiuoti sandaugą tais atvejais, kai žinoma konkreti skaičiaus reikšmės radimo taisyklė pasirinkus vienetą. Toliau nagrinėjami du tokios  taisyklės pavyzdžiai.

Kartotinė sudėtis. Viena skaičiaus reikšmės nustatymo taisykle galėtų būti visų natūralųjį skaičių sudarančių vienetų suma. Pavyzdžiui, natūralusis skaičius  Latex formula išreiškiamas lygybe

Latex formula  dėmenų.                                          (1)

Ši lygybė nusako sąryšį tarp Latex formula ir Latex formula.

Tegul Latex formula yra kitas natūralusis skaičius. Tolesni samprotavimai tinka,  kai Latex formula yra bet kuris realusis skaičius. Pagal 6 apibrėžimą, sandaugos Latex formula sąryšis su dauginamuoju Latex formula yra toks pat  kaip ir daugiklio Latex formula sąryšis su vienetu Latex formula. Laikydami  Latex formula nauju vienetu ir toliau taikydami skaičiavimo taisyklę (1), gauname lygybę

Latex formula  dėmenų.                       (2)

Dešinėje (2) lygybės pusėje esantis reiškinys paprastai vadinamas kartotine suma,  kartotinės sudėties rezultatas. Joje yra Latex formula sudėties veiksmas. Kai Latex formula, kartotinė suma (2) turi vienintelį dėmenį Latex formula.

Kairėje (2) lygybės pusėje esantis reiškinys gaunamas 6 apibrėžtimi nusakytu būdu.  Šiame reiškinyje užkoduotas keturių skaičių, Latex formula,  proporcijos sąryšis. Šio sąryšio nagrinėjimui galėtų pagelbėti skirtingos situacijos, mokyklinėje matematikoje paprastai išreiškiamos tekstiniais uždaviniais. Tokių (multiplikatyvių) situacijų įvairovės nagrinėjimas nėra šios apžvalgos tikslu.

Matematikos mokymo bendruomenėje vienu metu vyko karštos diskusijos dėl to ar  daugyba mokykloje turėtų būti mokoma tik kaip kartotinė sudėtis (žr. Wikipedia).  Kita vertus pastaruosius dešimtmečius vis daugėjo tyrimų susijusių su  multiplikatyviuoju samprotavimu naudojamu sprendžiant tekstinius uždavinius.

Skaičius kaip taškas skaičių tiesėje. Kita skaičiaus reikšmės nustatymo taisyklė  naudojasi skaičių tiesės idėja. Skaičių tiesė gaunama kai geometrinėje tiesėje  pasirenkame nulį ir vienetą. Po šio pasirinkimo visi skaičiai randami skaičių  tiesėje vienareikšmiškai. Skaičių vietos skaičių tiesėje radimas naudojant  geometrijos priemones buvo nagrinėtas anksčiau. Čia nagrinėsime trupmeninių skaičių
daugybą naudodami jų vietos skaičių tiesėje radimo taisyklę.

Pradėkime trupmenomis, kurios yra natūraliaisiais skaičiais. 6 piežinys iliustruoja   daugybą kai Latex formula ir Latex formula. Rausvi skaičiai rodo  dauginamąjį Latex formula pradinėje skaičių tiesėje su vienetu Latex formula.  Žalsvi skaičiai rodo skaičių tiesės dalį, kurioje nauju vienetu laikomas Latex formula. Sandauga 6 gaunama perskaičiavus Latex formula pagal tą
pačią taisyklę naujoje skaičių tiesėje.

6 piešinys. Daugyba keičiant vienetą.

6 piešinys iliustruoja du skaičiavimo būdus. Greta jau aptartojo pagal 6 apibrėžimą čia yra ir geometrinis sandaugos skaičiavimas pagal \emph{Descartes}ą. Nenuostabu,  kad abu jie duoda tą patį rezultatą.

Prisiminsime trupmenos apibrėžtį iš H.-H. Wu (2011, 183 pusl.). Ji suteikia taisyklę pagal kurią ant skaičių tiesės gauname paprastąja trupmena pažymėtą tašką.

7 apibrėžtis. Tegul Latex formula ir Latex formula teigiami natūralieji skaičiai. Dalinant intervalą Latex formula į Latex formula lygių dalių,  po to apjungus nuo 0 pirmas gautas dalis į vieną intervalą, jo dešinysis galas yra trupmena Latex formula

Tegul Latex formula ir Latex formula yra dvi trupmenos.  Pagal 6 ir 7 apibrėžimus, šių trupmenų daugyba keičiant vienetą reiškia trupmenos  Latex formula vietos radimą skaičių tiesėje, kurioje naujasis vienetas  užima trupmenos Latex formula vietą. Sandauga Latex formula yra tas pats, kas H.-H. Wu knygoje
apibrėžiama sąvoka „Latex formula of Latex formula“ (2011, Section 15.4). Būtent.

Definition (2011, p. 246). Latex formula of a fraction Latex formula means the length of Latex formula concatenated parts when the segment Latex formula is devided into Latex formula parts of equal length.

Ši apibrėžtis gali būti svarbi kai reikia atitinkamą tekstinio uždavinio situaciją interpretuoti kaip daugybą.

7 teorema. Turint trupmenas Latex formula ir Latex formula ir jas dauginant vieneto keitimu teisinga lygybė

Latex formula

Įrodymas. Rasime trupmenos Latex formula vietą naujoje vienetinėje  atkarpoje Latex formula. Kadangi šią atkarpą reikia dalinti į Latex formula lygių dalių, trupmeną Latex formula pakeičiame jai ekvivalenčia trupmena Latex formula. Kadangi Latex formula yra Latex formula dėmenų kartotinė suma
Latex formula, intervalą Latex formula sudaro Latex formula intervalo Latex formula kopijų. Apjungę Latex formula
tokių kopijų, gauto intervalo dešinysis galas yra taške Latex formula, ką ir reikėjo įrodyti.

Pastaroji teorema arba tiesiogiai tikrinant galima įsitikinti, kad daugyba pagal Descartesą leidžia vizualizuoti trupmenų daugybos savybes.

7 piešinyje matosi kaip pasirinkus trupmenas Latex formula ir  Latex formula, po to sujungus taškus 1 su Latex formula  ir per tašką Latex formula brėžiant lygiagrečią gauname tašką 

Latex formula

7 piešinys. Trupmenų sandauga.

Man atrodo būtų gerai parengti mokymo priemonę ,,Trupmenų skaičiavimas geometrijos priemonėmis“, pradžiai mokytojams.

Istorinės pastabos. Matematikos istoriko Crabtree (2016) teigimu daugybos kaip vieneto keitimo idėja buvo prapuolusi šimtmečiams. Dar gerokai iki Descarteso (SIC), 1501 m. vokiečių matematikas Johann Huswirt apibrėžė daugybą taip:

[T]he creation of a number (product), being in proportion to a multiplicand, as the multiplier is to the unity.

Analogiškai dalyba:

Division is the creation of a quotient, being in proportion to a dividend, as the unit is to the divisor.

1677 m. anglas Edwardas Cockeris, knygos Cocker’s Arithmetick autorius, skyrių apie  daugybą pradėjo žodžiais:

Multiplication is performed by two Numbers of like Kind for the Production of a  Third, which will have such Reason (ratio) to the one, as the other hath to the Unit.

Pagal Crabtree (2016), Cockeris buvo vienas iš paskutiniųjų rašančių apie matematiką populiariai, kuris sandaugos prigimties formulavimą pateikė prieš pradėdamas jos praktinius skaičiavimus.

Panašiu metu apie daugybos prasmę ir jos geometrinę formą pagal Descartesą  užsimenama prancūzų Antoine Arnauldo (1612-1694) ir Jean Presteto (1648-1691) matematikos vadovėliuose. Daugybos apibrėžties klausimas pasirodė svarbus kontraversijoje tarp abiejų prancūzų dėl ženklų sandaugos taisyklės. Kontraversija detaliai aprašyta Gert Schubring knygoje (2005, 2.5 Section). Įdomu, kad Arnauldas siūlė nenaudoti proporcijos neigiamiems skaičiams,  nes lygybė $1:(-1)=(-1):1$ sukuria prieštarą: jei proporcijos pirmas narys yra didesnis už antrąjį, tai trečiasis narys taip pat turi būti didesnis už ketvirtąjį.

Hilberto plokštuma

Tiksliau – Hilberto aksiomomis pagrįsta plokštumos geometrija. Toliau suformuluotos pagrindinės aksiomas ir sąvokas paimtos iš Hartshorne (2000). Tai minimumas naudojamas apibrėžiant atkarpų daugybą. Daugumas faktų yra ir Katiliaus vadovėlyje(1966, III skyrius).

Taškai ir tiesės yra objektai, kurie yra apibrėžti netiksliai tokia prasme. Tariama, kad duota aibė, jos elementai vadinami  taškais, o tam tikri poaibiai vadinami tiesėmis. Nėra pasakoma, kas yra taškais ir kokie poaibiai yra tiesėmis, bet reikalaujama, kad šios neapibrėžtos sąvokos tenkina aksiomas:

(I1) Bet kuriems dviems skirtingiems taškams A, B egzistuoja vienintelė juos turinti tiesė Latex formula.

(I2) Kiekviena tiesė turi bent du taškus.

(I3) Egzistuoja trys nekolinearūs taškai (tai yra, trys taškai ne vis priklausantys vienai tiesei)

8 apibrėžtis. Incidencijos geometrija (priklausomumo geometrija) yra aibė, kurios taškais vadinami elementai ir tiesėmis vadinami poaibiai tenkina aksiomas (I1), (I2) ir (I3). Jei taškas P priklauso tiesei Latex formula, tai sakoma, kad P yra ant Latex formula arba Latex formula eina per P.

Incidencijos geometrijos modeliu (pavyzdžiu) yra Descarteso plokštuma.

9 apibrėžtis. Dvi tiesės vadinamos lygiagrečiomis, jei jos neturi bendrų taškų. Kiekviena tiesė yra lygiagreti pati sau.

(P) (Lygiagretumo aksioma). Kiekvienam taškui A ir kiekvienai tiesei Latex formula egzistuoja ne daugiau kaip viena tiesė einanti per A ir lygiagreti Latex formula.

Sąryšis ,,tarp“ (betweenness) yra apibrėžtas netiksliai tokia prasme.

Tariama, kad trijų taškų A, B, C aibei galioja sąryšis ,,B yra tarp A ir C“.  Reikalaujama, kad šiam sąryšiui teisingos keturios aksiomos.

(B1) Jei B yra tarp A ir C (rašoma A∗B∗C), tai A, B, C yra trys skirtingi taškai ant tiesės ir C∗B∗A.

(B2) Bet kuriems dviems skirtingiems taškams A, B egzistuoja toks taškas C, kad A∗B∗C.

(B3) Bet kuriems trims skirtingiems taškams ant tiesės, vienas ir tik vienas iš jų  yra tarp kitų dviejų.

(B4) (Pašo aksioma). Tegul A, B, C yra trys nekolinearūs taškai ir tegul Latex formula yra tiesė neinanti per kiekvieną iš jų. Jei tiesė Latex formula eina per tašką D, esantį tarp A ir B, tai ji taip pat turi eiti per tašką esantį tarp A ir C arba turi eiti per tašką esantį tarp B ir C, bet ne per abu taškus.

10 apibrėžtis. Jei A ir B yra skirtingi taškai, tai atkarpa AB yra aibė taškų  sudaryta iš taškų A, B ir visų taškų esančių tarp A ir B. Kitaip tariant, atkarpa yra aibė

Latex formula

Jei A, B, C yra nekolinearūs taškai, tai trijų atkarpų AB, BC, AC sąjunga yra trikampis. Taškai A, B, C yra trikampio viršūnės ir atkarpos AB, BC, AC yra trikampio kraštinės.

11 apibrėžtis. Turint du skirtingus taškus A, B, spindulys  Latex formula yra aibė sudarytas iš A ir visų tų taškų ant tiesės AB, kurie yra toje pačioje pusėje nuo A kaip ir B. Kitaip tariant, spindulys yra aibė

Latex formula

Tegul A, B, C yra trys taškai nesantys ant vienos tiesės. Kampas ∠BAC yra sąjunga dviejų spindulių Latex formula ir Latex formula, turinčių bendrą pradžią, vadinamą jo viršūne, ir nesančių ant tos pačios tiesės. (Taigi nėra ,,nulinio kampo“ ir nėra ,,tiesaus kampo“). Kitaip tariant, kampas yra aibė 

∠BAC Latex formula

Kampo ∠BAC vidus yra sudarytas iš visų tokių taškų D, kad D ir C yra vienoje tiesės AB pusėje, o D ir B yra vienoje tiesės $AC$ pusėje. Jei ABC yra trikampis, tai jo vidus yra aibė taškų, kurie yra kiekvieno kampo ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB vidaus taškais. (Hartshorne, 2000, 77 pusl.)

Dviejų atkarpų AB ir CD kongruencijos sąryšis, žymimas AB≅CD, apibrėžiamas netiksliai, t.y. reikalaujant tik aksiomų (C1), (C2), (C3) galiojimo.

8 piešinys. Atkarpų kongruencija.

(C1) Turint atkarpą AB ir turint spindulį r prasidedantį taške C egzistuoja  vienintelis taškas D ant spindulio r toks, kad AB≅CD.

(C2) Jei AB≅CD ir AB≅EF, tai CD≅EF. Kiekviena atkarpa yra kongruenti sau pačiai.

(C3) Turint tris taškus A, B, C ant tiesės sąryšyje A∗B∗C ir turint tris kitus taškus D, E, F ant tiesės sąryšyje D∗E∗F, jei AB≅DE ir BC≅EF, tai AC≅DF.

8 teorema (Hartshorne, 2000, Proposition 8.1). Atkarpų aibėje kongruencija yra ekvivalentumo sąryšis.

12 apibrėžtis. Tarkime, kad turime dvi atkarpas AB ir CD. Pasirinkime AB galų tvarką (A,B). Tegul Latex formula yra tiesė turinti taškus A, B ir tegul r  yra spindulys tiesėje Latex formula, kuriam priklauso B ir visi Latex formula taškai esantys kitoje nuo B pusėje negu A. Tegul E yra vienintelis r taškas toks, kad CD≅BE. Tada atkarpa AE yra atkarpų AB ir CD suma priklausanti nuo tvarkos (A,B) ir žymima AE=AB+CD.

9 teorema (Sumos kongruencija). Tarkime, kad atkarpos AB≅A’B’ ir CD≅C’D’. Tada (AB+CD)≅(A’B’+C’D’).

Kadangi atkarpa AB yra lygi atkarpai BA, kongruencijos tikslumu atkarpų suma nepriklauso nuo tvarkos (A,B). Todėl atkarpų kongruencijos ekvivalentumo klasių aibėje suma apibrėžta korektiškai. Galima parodyti, kad kongruencijos tikslumu atkarpų suma yra komutatyvi ir asociatyvi.

Galiausiai kampų kongruencija apibrėžiama netiksliai ta prasme, kad reikalaujame tik aksiomų (C4), (C5), (C6) galiojimo.

(C4) Turint kampą ∠BAC ir turint spindulį Latex formula,  priešingose atkarpos DF pusėse egzistuoja kampai ∠EDF ir ∠FDG tokie, kad ∠BAC = ∠EDF = ∠FDG.

(C5) Turint bet kuriuos tris kampus Latex formula, Latex formula, Latex formula, jei Latex formula ir Latex formula, tai Latex formula.  Kiekvienas kampas yra kongruentūs sau.

(C6) Turint kampus ABC ir DEF, tarkime, kad AB≅DE, AC≅DF ir ∠BAC ≅ ∠EDF. Tada du trikampiai yra kongruentūs, būtent, BC≅EF, ∠ ABC≅ ∠DEF ir ∠ACB ≅ ∠DEF.

Katiliaus vadovėlyje (192 pusl. apačioje) rašoma, kad Rozentalis (?) įrodė (C5) aksiomos nereikalingumą. Ši ir kitos vadovėlio pastabos nesuprantamos, nėra tikslių nuorodų.

10 teorema (Hartshorne, 2000, Proposition 9.1). Kampų aibėje kongruencija yra ekvivalentumo sąryšis.

13 apibrėžtis. Taškų aibė kartu su tiesėmis vadinamais poaibiais, bei neapibrėžtomis sąvokomis ,,tarp“ (betweenness), atkarpų kongruencija, kampų kongruencija vadinama Hilberto plokštuma, jei galioja aksiomos: (I1)-(I3), (B1-B4) ir (C1)-(C6).

 

Literatūra

 

  • Cocker, E. (1677). Cocker’s Arithmetic, p. 31. John Hawkins, London.
  • Crabtree, J. (2016). A new model of multiplication via Euclid. Vinculum, 53(2), 16.
  • Crabtree, J. (2017). Multiplication and division in the manner of René Descartes and Isaac Newton. In: Capital Maths. Proceedings of the 26th Biennial Conference of the Australian Association of Mathematics Teachers Inc., pp. 90-98.
  • Crippa, Davide. (2017). Descartes on the Unification of Arithmetic,  Algebra and Geometry Via the Theory of  Proportions.  Revista Portuguesa de Filosofia T. 73, Fasc. 3/4, Ciências Formais e Filosofia: Lógica e Matemática / Formal Sciences and Philosophy: Logic and Mathematics, pp. 1239-1258.
  • Descartes, R. (1637). La Gèomètrie in Discourse de la Mèthode. I. Maire: [Holland] Leyde.
  • Descartes, R. Smith, D.E. \& Latham, M.L. (1925). The Geometry of Renè Descartes: With a Facsimile of the First Edition. Chicago: Open Court, 1925.
  • Hartshorne, R. (2000). Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
  • Hilbert, D. (1902).  The Foundations of Geometry. Engl. transl. 
  • Huswirt, J. (1501).  Enchiridion Algorismi, (Handbook of Algorithms) Cologne, Germany. (Multiplication definition translated by Ulrich Reich, Freie Universität, Berlin, Germany)
  • Katilius, P. (1966). Geometrijos pagrindai. Vilnius, Mintis.
  • Lietuvos jaunųjų matematikų mokyklos metodinė medžiaga ir užduotys. \url{https://www.mif.vu.lt/ljmm/kursb/ketv/ketvuzd.htm}
  • McLoughlin, Peter F., Droujkova, Maria. (2013). A Geometric Approach to Defining  Multiplication. \url{https://arxiv.org/abs/1301.6602}
  • Schubring, Gert. (2005). Conflicts between Generalization,  Rigor, and Intuition. Number Concepts Underlying the Development of Analysis in 17-19th Century France and Germany. Sources and Studies in the History of  Mathematics and Physical Sciences. Springer.
  • Multiplication and repeated addition. Wikipedia.
  • Wu, Hung-Hsi. (2011). Understanding Numbers in Elementary School Mathematics. AMS.

 Leave a Reply

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

(required)

(required)