Tiksliau, šis įrašas apie matematinį samprotavimą istorijos perspektyvoje. Tokiai temai turiu bent tris motyvus. Pirma, kai kuriuose tekstuose apie matematinio ugdymo tikslus panaudojau frazę ,,samprotavimų loginis tikslumas“. Praėjus keliems metams aiškėja, kad švietimo ir net matematikų bendruomenėse ši frazė arba nesuprantama, arba klaidingai interpretuojama. Antra, dar svarbesnis šio įrašo motyvas yra noras išsiaiškinti matematikos istoriko Jenso Høyrupo atlikto darbo pasekmes verčiant ir interpretuojant Mesopotamijos raštininkų dantiraštį. Trečia, visa ši istorija su jos pasekmėmis yra įdomesnė nei galėjau tikėtis.
Ne kartą rašiau, kad šiuolaikinė matematika yra mūsų žinios apie tam tikras abstrakčias sąvokas ir jų loginius ryšius. Tačiau, matematika yra ne tik žinių sistema. Matematika yra ir veikla. Vienu matematinės veiklos pavyzdžiu yra tyrimai, kuriais siekiama nustatyti ryšius tarp matematinių objektų. Tai yra matematikų-profesionalų veikla, kuria jie siekia papildyti turimas žinias. Ne mažiau svarbios yra kitos matematinės veiklos. Pavyzdžiui, matematikos žinių perdavimas, jų įsisavinimas, matematikos taikymas ir t.t. Dažniausiai matematinė veikla yra protinė, susijusi su samprotavimu, kuris gali būti labai įvairus: nuo intuityvaus iki matematinių įrodymų.
Kalbant apie matematinę veiklą, svarbu pabrėžti samprotavimo formų įvairovę. Neretai manoma, kad įrodymas yra vienintelė samprotavimo forma matematinėje veikloje. Be to, manoma, kad įrodymas yra baigtinis matematinių teiginių rinkinys, susietas logikos ryšiais. Toks apibūdinimas tinka vadovėliams. Reikia nemažos matematiko praktikos, kad galų gale įrodymu vadintum pasakojimą, kuris įtikina teiginio teisingumu bet kurį kvalifikuotą skaitytoją ar klausytoją (žiūrėk, pavyzdžiui, čia). Tai gal nekvalifikuotam žmogui matematinė veikla neprieinama? Anaiptol. Tikiuosi įrašas padės įtikinti.
Šiame įraše bandau paįvairinti supaprastintą požiūrį į matematinį samprotavimą naudodamas matematikos istoriją. Noriu pasakyti bent keturis dalykus. Pirma, matematinės veiklos esminis bruožas yra samprotavimas, reiškiamas ne tik ,,įrodymu“, bet ir argumentais, aiškinimu, piešiniais ir t.t. Antra, matematinės veiklos tikslas yra ne ,,įrodymas“, o problemos sprendimas. Trečia, supaprastintas požiūris į matematinę veiklą yra, matyt, svarbiausias mokyklinės matematikos problemų šaltinis, bent jau Lietuvoje. Ketvirta, Senojo Babilono raštininkai užsiėmė tokia matematine veikla, kuria buvo siekiama parodyti savo matematinius gebėjimus sprendžiant vis sudėtingesnias užduotis žinomais metodais. Skirtumas nuo dabartinės matematinės veiklos tik tas, kad senais laikais nebuvo kitos savęs sureikšminimo alternatyvos.
Matematika kaip dviveidis dievas Janusas
Knygos Mathematics without apologies. Portrait of a problematics vocation autorius matematikas Michael Harris tvirtina, kad dažniausiai sutinkamas matematikos įvaizdis yra dramblys:
Piešinys iš Sophie Woods, World Stories for Children (1916) knygos John G. Saxe teksto Aklas žmogus ir dramblys.
Šiuo įvaizdžiu tarsi norima pasakyti, kad matematika yra kažkas milžiniška ir sunkiai apibūdinama. Tačiau žvelgiant į matematiką iš istorijos laiko perspektyvos, joje galima įžvelgti dviveidžio dievo Januso siluetą. Matematika yra ne tik savarankiškumo siekianti intelektinė veikla, bet ir žmonių gyvenimą smarkiai įtakojanti veikla. Panašu, kad Januso veidų bruožai yra sunkiai įžvelgiami kiekvienoje epochoje ir atskiroje valstybėje.
Tolesniems samprotavimams apie matematiką paskatino matematikos istoriko Jenso Høyrupo darbas What is mathematics? Perspectives inspired by anthropology [2015 March 16]. Mane sudomino tai, kad Mesopotamijos civilizacijų tyrimuose jis sugebėjo įžvelgti šių dienų požiūriu prasmingas matematinės veiklos ypatybes. Tuo labiau, kad iki šiol šiuolaikinės matematikos lopšiu laikoma vėlesnių laikų Antikinė Graikija (nors taip nebūtinai yra sprendžiant pagal kitą Høyrupo darbą The formation of a myth: Greek mathematics – our mathematics). Pirmajame darbe What is mathematics? Perspectives inspired by antropology Høyrupas rašo (5 pusl.):
In any practice making use of mathematical knowledge, the problem to be solved is primary, and methods have to be developed and chosen in order to solve it; that is, methods are subordinate. That relation is turned around in the kind of mathematics that serve to display dexterity, professional or otherwise. This holds even today (and not only in mathematics) if you want to display your abilities in order to earn a degree and hopefully get a corresponding position: then, if you are cautious, you choose (or your doctoral advisor responsibly helps you choose) a problem that methods with wich you are or can become familiar are liable to attack successfully.
Prie šios temos dar grįšiu įrašo gale pamąstymuose apie matematikos diskursą.
Netrukus įsitikinau, kad ankstesni Høyrupo darbai yra dar įdomesni. Matyt reikšmingiausias jo pasiekimas yra Senojo Babilono matematinio palikimo naujas vertimas. Iš jo išplaukia, kad vadinamoji babiloniečių ,,algebra“ yra pagrįsta matininkų naudotais geometriniais metodais. Ši išvada yra priešinga tai, kurią pasiūlė Otto Neugebaueris apie 1930-uosius. Babiloniečių teksto skaitymui Neugebaueris taikė šiuolaikinės matematikos sąvokiniu aparatu grindžiamą metodologiją. Tekste esančius skaičius susiejo taip, kad jie turėtų prasmę šiuolaikinės matematikos požiūriu ir ignoravo tarp skaičių esančias frazes, net jei jos neturėjo prasmės. Naudodamas struktūrine analize grindžiamos metodologijos principus, Høyrupas parodė, kad praleistos frazės reiškia matininkų naudojamas pjovimo ir klijavimo (cut-and-paste) geometrines operacijas. Tai buvo netikėta, nes iki šiol žinomose babiloniečių molinėse lentelėse nėra pieštų iliustracijų, kurios galėtų būti geometrinio mąstymo užuominomis. Vertindamas savo metodologiją Høyrupas išsireiškė taip (cituoju iš Laudatio Jens Høyrup):
It is definitely easier to recognize which part of our mental luggage is absent from the Babylonian mind than to identify ingredients of this foreign thinking that are absent from ours.
Babiloniečių teksto naujasis vertimas yra publikuotas 1990 metais straipsnyje Algebra and Naive Geometry. An Investigation of Some Basic Aspects of Old Babylonian Mathematical Thought I. Altorientalische Forschungen, 17, pp. 27-69 and 262-354. Gerokai išplėstas rezultatų pristatymas yra 2002 metais publikuotoje knygoje Lengths, Widths, Surfaces: a Portrait of Old Babylonian Algebra and its Kin (knygos recenzija). Šiais rezultatais grindžiami kiti Høyrupo senosios matematinės veiklos tyrimai. Ypač įdomu tai, kad Høyrupas nevengia tarpkultūrinių palyginimų su matematikos vaidmeniu šiuolaikinėje visuomenėje. Viename iš savo tekstų Høyrupas apibūdino save kaip matematikos istoriką su aiškiai išreikštu polinkiu į filosofiją ir sociologiją.
Šio įrašo turinį galima būtų priskirti matematikos kultūrinės istorijos (cultural history of mathematics) bruožų aptarimui. Tam, kad geriau orientuotis apie ką yra kalbama, sudariau savo pradinį matematikos kultūrinės istorijos bruožų planelį. Priklausomai nuo matematikos evoliucijos etapo, naudoju šiuos, iš dalies tikslesnius, jos apibūdinimus:
- Praktinė ir aiškinančioji matematika – Mesopotamijos civilizacijose, bronzos amžius;
- Praktinė matematika (logistika) ir tikrumo matematikoje paieška – Antikinė Graikija, 6-4 amžiai pr. Kr. g.;
- Matematika kaip gamtos pažinimas (kintamųjų dydžių analizė?)
- Matematikos modernizmas – Europa, nuo 19 amžiaus pabaigos iki 20 amžiaus pradžios.
- Mokyklinė matematika ir tikrumo matematikoje praradimas?
Šiame įraše rašau tik apie pirmuosius du bruožus. Pernai čia ir čia rašiau apie vieną matematikos kultūrinės istorijos epizodą, vykusį 17 amžiuje. Tuo metu susiklostė priešprieša tarp geometrijoje naudojamo deduktyvaus samprotavimo ir begalo mažų dydžių analizės, naudotos matematiškai apibūdinti judėjimą.
Høyrupo tyrimų metodas – matematikos tarpkultūrinė analizė, arba, jo žodžiais tariant, matematikos antropologija. Labai supaprastinant galima sakyti, kad jis tiria matematinio samprotavimo pobūdžio priklausomybę nuo socialinės aplinkos ir jos kaitos. Høyrupas analizuoja daugelį kultūrų, aptinka analogijas tarp skirtingų tradicijų ir kuria naujas interpretavimo galimybes; jis moka daugiau kaip dešimt kalbų. Aš apsiriboju iliustracijomis iš Senojo Babilono bei Antikinės Graikijos.
Labai apibendrintai kalbant galima sakyti, kad Høyrupo matematikos istorijos tyrimai ir jų apmąstymas keičia mūsų požiūrį ne tik į senųjų laikų matematikos istoriją, bet ir į pačią matematiką, bei jos mokymą. Pagal standartinį požiūrį, šiuolaikinės matematikos lopšiu yra Antikinė Graikija. Konkrečiau kai kas mini pitagoriečius, kiti Thales iš Mileto. Neneigiama, kad tam tikra matematinė veikla vyko ir anksčiau, bet jos pasekmė buvo tarpusavyje nesusijusių praktinių skaičiavimų ir matavimo metodų rinkiniai. Neretai teigiama, kad Antikinėje Graikijoje dominavusi geometrija yra iracionaliojo skaičiaus atradimo rezultatas (nebendramatiškumo problema), pateikiamas kaip pirmoji ,,matematikos pagrindų“ krizė.
Pastaruosius kelis mėnesius skaitant Høyrupo tekstus, man ryškėja kitoks vaizdas. Vėlgi trumpai kalbant, atrodo, kad graikų matematika yra babiloniečių skaičiavimų rezultatų pagrindimas (demonstration, justification). Senojo Babilono raštininkų mokyklose naudota iš esmės naivi geometrinė skaičiavimo technika nebuvo vien tik praktinės vertės, o jos pateikimas buvo aiškinamojo pobūdžio. Nors Senojo Babilono raštininkų technika ir samprotavimas buvo pamiršti, bet paskutinio prieš mūsų erą tūkstantmečio viduryje skaičiavimo faktai paplito senuosiuose Artimuosiuose Rytuose. Dabar sakytume, kad šie faktai tapo ,,matematiniu folkloru“ (žinomi be konkrečių šaltinių). Dėl babiloniečių naudoto geometrinio požiūrio, senovės graikų reinterpretacija nereikalavo anksčiau įsivaizduoto ir tvirtinamo perėjimo nuo aritmetikos prie geometrijos. Šiuos teiginius bandysiu paaiškinti detaliau ir iliustruoti pavyzdžiais.
Tirdamas Senojo Babilono (tarp 1900 ir 1600 m. pr. Kr.g.) raštininkų ruošimą Høyrupas išskiria mažiausiai dvi jų ruošimo formas ar būdus. Pirmuoju būdu žinios perduodamos darbo vietoje patyrusių raštininkų priežiūroje arba „learning by doing under supervision“. Antruoju būdu žinios perduodamos ne darbo vietoje, bet savotiškoje mokykloje, kurioje mokymas atskirtas nuo mokomo dalyko. Pastarasis institucionalizuotas mokymas mokyklose pasižymėjo tuo, kad tarp užduočių atsirado tokių, kurios nebuvo tiesiogiai susijusios su praktine veikla. Praktiniu požiūriu užduotys atrodo dirbtinėmis ir naudojamos tam, kad įsisavinti žinomus sprendimo metodus. Daroma išvada, kad Senojo Babilono raštininkų mokyklose matematika plėtojama ieškant naujų užduočių, kurias galima spręsti įprastais metodais. Priešingai, vėliau Antikinėje Graikijoje atsiradusi ,,filosofinė“ matematika plėtojosi kurdama metodus spręsti naujas problemas. Senojo Babilono raštininkų mokyklose naudojamos užduotys buvo santykinai sunkios. Daroma prielaida, kad jų įsisavinimui nepakanka atminties, bet reikalingas minimalus supratimas. Užduočių analizė rodo, kad užduočių ,,sprendimus“ galima laikyti jų aiškinimu. Vėlgi, lyginant su Antikinės Graikijos ,,filosofine“ matematika, jos problemų ,,sprendimu“ tapo aksiominis-deduktyvus samprotavimas (neretai vadinamas matematiniu įrodymu), o tokios matematinės veiklos aplinka nebuvo institucionalizuota mokykla.
Taigi, matematika, suprantama pagal Høyrupo siūlomą apibūdinimą, atsirado gerokai anksčiau už Antikinės Graikijos iškilimą. Tai yra apibendrintas vertinimas. Toliau rašau šiek tiek konkrečiau.
Senojo Babilono matematikos diskursas: praktinė ir aiškinančioji matematika
Matematikos (tiksliau turėčiau sakyti ,,etnomatematikos“) evoliuciją Høyrupas nagrinėja kaip visuomenės vystymosi proceso rezultatą, išskirdamas Pietų Mesopotamijos (šumerų ir babiloniečių) valstybių formavimosi, raštininkų mokyklos institucijos ir raštininkų vaidmens valstybėje ypatybes. Nemanau, kad man pavyko tiksliai išdėstyti daugybėje atskirų tekstų Høyrupo kuriamą bendrą vaizdą. Šiuo metu man atrodo, kad išsamiausias šiam klausimui skirtas Høyrupo tekstas Mathematics and Early State Formation, or The Janus Face of Early Mesopotamian Mathematics: Bureaucratic Tool and Expression of Scribal Professional Autonomy (yra knygos In Measure, Number, and Weight trečiasis skyrius). Siekiau glaustumo ir esmės atskleidimo. Be to, rašau tik apie tuos dalykus, kurie man šiuo metu atrodo įdomūs. Gal kada nors pasitaisysiu.
Mesopotamijos civilizacijose visuomenės formavimasis į valstybę vyko Šventyklų aplinkose. Matematika formavosi ir vystėse ne šiaip Šventyklos aplinkoje dirbančių administratorių, bet mokyklose, kuriose buvo ruošiami būdimi valstybės tarnautojai, tarp kurių raštininkas (scribe) buvo specializuota profesija. Raštininkai atliko metraštininkų, notarų, matininkų, buhalterių funkcijas, kurios reikalavo tam tikrų skaičiavimo ir matavimo įgūdžių. Raštininkų valstybinis vaidmuo labai didelis; faktiškai jie įgyvendino karaliaus valdžią.
Senojo Babilono valstybės vystymasis pasiekė tokį lygį, kai matematinė veikla tampa integruota ir autonominė. Raštininkas, būdamas karaliaus tarnautoju, įgyjo privataus žmogaus statusą. Dėl šio statuso raštininkas galėjo siekti pripažinimo ir tam naudotį turimą matematinių gebėjimų lygį, galėjo naudotis savo matematinių gebėjimų virtuoziškumu, jei tokius turėjo. Kaip minėjau, būsimieji raštininkai savo profesinei veiklai buvo ruošiami perduodant žinias dviem skirtingais būdais. Pirmuoju būdu žinios buvo perduodamos darbo vietoje patyrusių raštininkų priežiūroje (learning by doing under supervision). Antruoju būdu žinios buvo perduodamos ne darbo vietoje, bet savotiškoje mokykloje, kurioje mokymas atskirtas nuo mokomo darbo. Manoma, kad dauguma rastų rašytinių dokumentų skirti būsimųjų raštininkų mokymui mokyklose, o darbo vietose mokymas vyko žodžiu ir pavyzdžiu.
Siekimas parodyti aukštus matematinius gebėjimus, sukūrė tokią aplinką mokykloje, kurioje buvo sprendžiamos užduotys tiesiogiai nepritaikomos praktikoje ar realioje veikloje. Tarp užduočių radosi daug tokių, kuriose, kalbant šių dienų terminais, buvo nagrinėjamos antros ir aukštesnės eilės algebrinės lygtys ir tapatybės. Tokia ,,algebra“ tapo dominuojančia raštininkų mokyklose. Jos tik savo forma buvo panašios į ,,realaus pasaulio“ užduotis. Šia prasme galima kalbėti apie Senajame Babilone atsiradusią ,,grynąją matematiką“.
Matematikai priskiriami Senojo Babilono raštininkų tekstai išliko molinėse lentelėse užrašyti akadų kalbos dantiraščiu. Šimtai tokių lentelių buvo rasta 19 amžiuje dabartinio Irako pietinės dalies teritorijoje. Maždaug prieš 4000 metų mirusia kalba rašyto teksto problema – jį perskaityti ir suprasti. Matematinio teksto supratimas ne mažiau sudėtingas, reikalaujantis atspėti Senojo Babilono raštininkų matematinio mąstymo principus. Pirmuose bandymuose perskaityti tekstą buvo remiamasi šiuolaikinės matematikos samprata ir todėl rezultatas gerokai apytikris. Tekstų vertimas buvo atliktas ir publikuotas apie 1930 metus (Otto Neuegebauer ir Francois Thureau-Dangin). Šiuose vertimuose dominavo šiuolaikinės algebros metodais grindžiamas samprotavimas (sudaromos lygtys atžvilgiu simboliais žymimų nežinomųjų ir po to jos sprendžiamos). Gal būt todėl buvo manoma, kad babiloniečių matematinis mąstymas buvo grynai algebrinis (Bartel van der Waerden, Science Awakening, 1954).
1990 metais Jensas Høyrupas sukritikavo Senojo Babilono matematikos algebrinę interpretaciją, vietoje jos pasiūlydamas geometrinę interpretaciją (J. Høyrup. Algebra and Naive Geometry. Altorientalische Forschungen 17, 27-69 and 262-354). Siekdamas atsiriboti nuo šiuolaikinio matematinio mąstymo idėjų ir suprasti originalias prasmes, istorikas sukūrė naują terminų žodyną, naudodamas retus arba sukurdamas naujus anglų kalbos žodžius. Jo vertimas atskleidė tai, kad Senojo Babilono raštininkai gausiai naudojo geometrinę terminologiją, kuri išreiškė senai pamirštą geometrinį mąstymą. Pavyzdžiui, šiuolaikinį x2 reikia keisti x kvadratu, tiesiogine geometrine prasme. Tai tik trivialus jo pasiūlyto naujo žodyno pavyzdys.
Høyrupo naująjį vertimą iliustruosiu pirmąja užduotimi iš BM 13901 lentelės (Britų muziejaus eksponatas) :
I totalled the area and (the side of) my square: it is 0;45.
Pasitelkus mūsų Euklido geometrijos sąvokas galima būtų sakyti, jog šia užduotimi reikia rasti kvadrato kraštinės ilgį žinant, kad jos ploto ir nežinomo kraštinės ilgio suma yra 0;45. Čia skaičius yra užrašytas šešiasdešimtaine trupmena, t.y. 
The surface and my confrontation I have accumulated: 0;45 is it. 1, the projection, you posit. The moiety of 1 you break, 0;30 and 0;30 you make hold. 0;15 to 0;45 you append: by 1, 1 is the equalside. 0;30 which you have made hold in the inside of 1 you tear out: 0;30 the confrontation.
Prieš aiškinantis šio sprendimo esmę, kelios pastabos apie terminus. Pagal babiloniečius, kvadrato reljefas tapatinamas su savo kraštine, o skaitmenimis išreiškiamas kraštinės ilgiu. Kitaip tariant, babiloniečių kvadratu ,,buvo“ jo kraštinė, taip pat ,,turėjusi“ plotą, o mūsų (Euklido) kvadratas ,,turi“ kraštinę ir ,,yra“ plotas. Taigi, ,,confrontation“ reiškia ir kvadrato reljefą ir jo kraštinę. „To accumulate“ reiškia skaičiais matuojamų dydžių sumos operaciją. Galima ir kitokia sumavimo operacija, vadinama „appending“, reiškinti vieno dydžio prijungimą prie kito (įsiliejimą į kitą), pastarajam išsaugant savo tapatybę. „Projection“ žymi vienetinio ilgio atkarpą ir veiksmą su L ilgio atkarpa, kurio rezultatas yra stačiakampis (L,1). ,,Moiety“ taikoma objektui reiškia jo ,,natūraliąją“ pusę, arba skėlimą pusiau.
Naudojant šiuos terminų paaiškinimus ir iliustracijas užduoties formulavimas ir sprendimas atrodytų taip:
Užduotis. Rasti kvadrato kraštinės ilgį žinant, kad jo ploto ir tos kraštinės ilgio suma yra 
Piešinys iliustruoja ir palengvina molinėje lentelėje užrašyto užduoties sprendimo supratimą.
Kvadratas su nežinomo ilgio x kraštine yra nuspalvotas juodai 
Tai yra babiloniečių tipiškos užduoties tipiškas sprendimas. Tokių užduočių pavyzdžių yra daug. Pagal Høyrupą, ši yra paprasčiausia. Sprendimo procedūra yra intuityviai suprantama ir paaiškinanti. Pastaroji aiškumo savybė yra svarbi, lyginant šį sprendimą su kitais, kuriuos dar nagrinėsime. Babiloniečių molinėse lentelėse paprastai nėra iliustracijų-piešinių, bet manoma, kad mokymo metu iliustracijos galėjo būti piešiamos smėlyje.
Palyginimui žvilgterkime į algebrinį tos pačios BM 13901 #1 užduoties sprendimą. Pasižymėjęs nežinomą dydį x ir naudodamas užduoties sąlygą, sudarysiu lygtį 
Ištreniruotam algebroje šis užduoties sprendimas yra trivialus ir aiškus. Kartu su babiloniečių sprendimu, abu jie yra analitiniai sprendimai. Būtent, daroma prielaida, kad sprendinys egzistuoja ir po to jis randamas atliekant keletą akivaizdžių pertvarkimų. Panašus vertinimas tinka ir babiloniečių procedūrai – naivus samprotavimas, kurio akivaizdumas išplaukia iš vykdomų operacijų sampratos.
Kitoks, iš esmės tos pačios užduoties, sprendimas randamas Euklido ,,Pradmenyse“. Skirtingai nuo pirmųjų dviejų sprendimo procedūrų, kuriose ieškomas nežinomas skaičius, Euklidas pagrindžia tam tikro geometrinio sąryšio teisingumą naudodamas aksiominį-deduktyvų samprotavimą.
Babiloniečių užduoties BM13901 #1 analogas Euklido ,,Pradmenyse“ ( tiksliau Book II. Proposition 6):
If a straight line is bisected and a straight line is added to it in a straight line, then the rectangle contained by the whole with the added straight line and the added straight line together with the square on the half equals the square on the straight line made up of the half and the added straight line.
Ši Euklido versija yra ne kvadrato kraštinės ilgio radimo užduotis, bet tam tikrų geometrinių figūrų (plotų) lygybės įrodymas. Euklido teiginio formulavimą ir jo įrodymą iliustruoja antras Piešinys.
Būtent, jei atkarpa AB yra dalinama pusiau tašku C ir ji pratęsiama atkarpa BD, tai stačiakampio AM ir kvadrato LG sąjungos plotas lygus kvadrato CF plotui. Kitaip tariant, jei atkarpą AB žymėsime 2b, o atkarpą BD žymėsime a, tai
⊏⊐(a,a+2b) + □(b) = □(a+b).
Dabar verta šią konstrukciją palyginti su babiloniečių užduoties iliustracija pirmame Piešinyje. Cituojamas Euklido Pradmenų teiginys įrodomas remiantis postulatais ir apibrėžtimis. Su juo galima susipažinti čia 55 pusl.
Jei atitinkamas atkarpų raides a ir b laikysime skaičiais a ir b, tai Euklido teiginį galima išreikšti ir kaip algebrinę tapatybę:
a + b2 = (a + b)2.
Kaip minėjau, Euklido antrosios knygos 6 teiginys nėra tam tikras sąlygas tenkinančio nežinomo skaičiaus paieška, kaip babiloniečių užduotyje BM 13901 #1. Euklido teiginys yra deduktyvus patvirtinimas to, kas babiloniečių samprotavime parodoma kaip akivaizdi tiesa. Matyt nekyla abejonių, kad abiem atvejais kalbama apie tą pačią esmę. Tik forma kita.
Babiloniečių matematiką toliau vadinu naiviąja geometrija. Toks pavadinimas pateisinamas pagal analogiją su Cantoro naiviąja aibių teorija. Abiem atvejais turime aksiominės-deduktyvios teorijos analogus Euklido geometriją ir Zermelo-Fraenkel aibių teoriją.
Ar naivioji geometrija laikytina formaliomis žiniomis kaip šiuolaikinė matematika? Primenu, kad ,,formaliuoju mokslu“ vadinamos žinios, kurios nieko nesako apie pasaulį. Tokia teorija tarsi pirštinės galinti tikti daugeliui rankų. Straipsnyje Bronze age formal science? Høyrupas į šį klausimą atsako teigiamai. Remdamasis akadų ir šumerų kalbų savybėmis, jis daro išvadą, kad stačiakampiai ir kvadratai matematiniuose tekstuose suprantami skirtingai nuo šių žodžių vartojimo praktinėje veikloje. Taigi, panašiai kaip skaičiai mūsų supratimu, babiloniečių naivioji geometrija yra taip pat abstrakti. Be to, babiloniečių sprendimo procedūros taikomos skirtingoms situacijoms. Galiausiai, pati naivioji geometrija babiloniečiams yra individuali žinių sistema.
Apibendrindami prieiname Høyrupo išvadą:
[Greek geometry] is a transfer from the „naive“ reason of everyday to the level of deductive and axiomatic theory. The moving force is no „foundation crisis“ but the general philosophical drive of Greek thought … This transfer involves not only a change of proof style and of formulations …it also changes the aim from the finding of unknown quantities (and, on the level of general aims, to train and display computational virtuosity) to the search for explanations or causes, in the idiom of Aristotelian philosophy (and, on the general level, search for and display of wisdom).
Cituoju iš J. Høyrup. Translation and the genesis of mathematics in Greece. (publikuota 2007). Šiame tekste autorius pakankamai tiksliai nubrėžia tarpines grandis, kuriomis babiloniečių matematika, per graikų praktinę matematiką, pateko į Euklido ,,Pradmenis“.
Senojo Babilono matematika turėjo tris svarbias ypatybes. Pirma, tarpusavyje beveik nesusiję buhalterinio skaičiavimo, praktinės geometrijos ir matavimo metodai buvo integruoti į vieną darnią sistemą, kurią jau galima būtų vadinti matematika Høyrupo pasiūlyta prasme. Būtent, jis rašo [Høyrup 1994: 67f]:
I shall end up by defining the transition [from ethnomathematics] to mathematics as the point where preexistent and previously independent mathematical practices are coordinated through a minimumo of at least intuitively grasped understanding of formal relations. Remaining ambiguities I shall accept as an unavoidable ingredient of human existence (paryškinta J.H.).
Kitaip tariant, perėjimas nuo praktinės veiklos prie matematikos įvyksta tada, kai naudojami atskiri faktai pradedami tarpusavyje sieti aptinkant formalius ryšius. Tokią matematiką Høyrupas vadina integruota (integrated mathematics). Jo teigimu, tokia sistema radosi vykdant būsimųjų raštininkų mokymą mokyklose (scribal school mathematics), o ne ,,gamybinėje aplinkoje“.
Antra, Senojo Babilono matematika yra institucionalizuotos mokyklos rezultatas. Tai iš esmės skiria Senojo Babilono ,,grynąją matematiką“ nuo Antikinės Graikijos ,,grynosios matematikos“. Pastaroji atsirado už institucionalizuotos mokyklos ribų. Be to, Senojo Babilono ,,grynoji matematika“ vystėsi taikydama tuos pačius metodus vis sudėtingesnėms užduotims. Tuo tarpu, Antikinės Graikijos ,,grynoji matematika“ vystėsi spręsdama problemas kurdama naujus metodus.
Trečia Senojo Babilono matematikos ypatybė yra ta, kad mokymo aplinka skatino tam tikrą praktinėje veikloje (scribal computation) naudojamos technikos pateikimo būdą, kurį galima būtų vadinti aiškinimu. Aiškinimo tikslas – supratimas. Matematinis aiškinimas, Høyrup‘o teigimu, kai kuriuos mokytojus galėjo skatinti naujų metodų paieškai. Be to, kai kurie metodą iliustruojantys pavyzdžiai ir užduotys buvo sudėtingesni ir tinkami tik kaip priemonė ruošti naujus raštininkus. Høyrup‘as abi šias aplinkybes tampriai sieja teigdamas, kad matematinių metodų aiškinimas atsiranda tada ir tik tada, kai matematikos mokymas tampa atskirta nuo ,,gamybos“ institucija. Vietoje Høyrupo termino integruotoji matematika aš naudoju frazę aiškinančioji matematika (explanatory mathematics), tikėdamasis tokiam vardui suteikti daugiau konkretumo. Dar svarbesnė priežastis yra nuojauta dėl matematikos aiškinamojo vaidmens svarbos. Prie šio vaidmens matematiniame samprotavime aptarimo reikės grįžti dar ne kartą.
Antikinės Graikijos matematikos diskursas: Logistika ir tikrumo paieška matematikoje
Atrodo, kad populiarioje matematinėje literatūroje paplitęs gana paprastas požiūris į Antikinės Graikijos vaidmenį matematikos vystymuisi. Pavyzdžiui, Morris Kline savo 1972 metų knygą Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Vol. 1) pradeda žodžiais:
Mathematics as an organized, independent, and reasoned discipline did not exist before the classical Greeks of the period from 600 to 300 B.C. entered upon the scene. There were, however, prior civilizations in which the beginnings or rudiments of mathematics were created.
Ankstesnėje 1953 metų knygojeMathematics in Western Culture Morris Kline rašo (38 pusl.):
When most people describe the Greek contribution to modern civilization, they talk in terms of art, philosophy, and literature. No doubt the Greeks deserve the highest praise for what they bequeathed to us in these fields. …. Nevetherless, the contribution of the Greeks that did most to determine the character of present-day civilization was their mathematics.
Pastarojoje savo knygoje Morris Kline aiškina kodėl ir kaip atsirado matematika remdamasis senovės graikų visuomenės pobūdžiu ir jų mentalitetu. Pirma, deduktyvus samprotavimas yra natūrali filosofinio mąstymo priemonė, o senovės graikai, Kline teigimu, buvo apsigimę filosofai. Antra, vergų darbo naudojimas Antikinėje Graikijoje suformavo neigiamą požiūrį į darbą. Tokiu būdu buvo sureikšmintas požiūris į teoriją ir sumenkintas praktikos vaidmuo. Rezultatas – matematikos objektai yra idėjos gautos iš tikrovės daiktų atskyrus jų fizinę prigimtį. Pagal Kline, graikai teikė pirmenybę abstrakčioms sąvokoms todėl, kad jos pasižymi pastovumu, idealumu ir tobulumu, o fiziniai objektai yra trumpalaikiai, netobuli ir kintantys.
Pagal Kline ir kitus matematikos istorikus, senovės graikai matematikos veide įspraudė dar vieną svarbų bruožą – geometrijos svarbą. Šiuo atveju pagrindinė priežastis slypi pačioje matematikoje. Graikai sugebėjo įrodyti, kad ne kiekvienos atkarpos ilgį įmanoma išreikšti (natūraliuoju) skaičiumi, ar net (natūraliųjų) skaičių santykiu. Be matematinių priežasčių, Morris Kline mano esant ir kitų, panašių į jau minėtas graikų visuomenės pobūdžio ir jos mentaliteto ypatybes.
Morris Kline požiūrį Høyrupas laiko palyginus nuosaikiu tarp kitų „hellenophile“ matematikos istorikų. Jo teigimu, toks vertinimas neatitiko tuo metu matematikos istorikų akademinėje aplinkoje žinomų faktų.Tokio pobūdžio graikų matematikos vertinimai yra tokie dažni, kad sudaro vienintelės matematikos ir jos istorijos egzistavimo iliuziją.
Sveikas protas sako, jog Antikinėje Graikijoje, kaip ir ankstesnėse civilizacijose, turėjo išlikti vadinamoji praktinė matematika. Taip ir buvo. Tačiau populiarioje matematikos istorijoje apie tai užsimenama trumpai, jei apskritai tai daroma. Tokiais atvejais pasakoma, kad greta senovės graikų aritmetikos – arithmêtikê – visuomenėje buvo žinoma ir vadinamoji logistika (skaičiavimo menas). Vienas skirtumas tarp logistikos ir aritmetikos yra vienos jų – praktinis taikymas, o kitos – deduktyvus samprotavimas.
Kitas svarbus skirtumas tarp logistikos ir aritmetikos yra skaičiaus sąvokos samprata. Gaikų aritmetikoje skaičiais buvo laikomi tik natūralieji skaičiai pradedant dvejetu. Vienetas buvo ypatingas abstraktus objektas, o skaičiai reiškė vienetų kiekius. Tuo tarpu logistikoje skaičiai siejami su konkrečiais daiktais; skaičiuojami ne abstraktūs objektai bet konkretūs daiktai. Jacobo Kleino knygoje Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra (1968) rašo:
The Neoplatonic commentaries on the Platonic definitions of arithmetic and logistic in the Charmides and in the Gorgias show that in this “reduction” arithmetic is con-cerned with the “kinds” (ειδη) of numbers while logistic is concerned with their “material” (υλη).
Tiksli logistikos samprata vis dar nėra aiški dėl originalų šaltinių nebuvimo. Apie logistiką rašė vienas iš vėlesnių pitagoriečių Archytas. Bet jo logistikos samprata yra žinoma tik iš Platono komentarų, kurio objektyvumas Archyto atžvilgiu yra diskutuojamas (žr.čia).
Logistikos ir aritmetikos skirtumai įdomūs dar ir tuo, kad jie iliustruoja skirtingus požiūrius į trupmenas. Kadangi graikų aritmetikoje vienetas yra nedalomas, trupmenos negalėjo būti skaičiais, jų vietą užėmė dydžių (ne skaičių) santykiai. Tuo tarpu logistikoje, kaip ir praktinėje matematikoje, trupmenų samprata turėjo gal tik techninių sunkumų, bet ne principinių. Apie šio pobūdžio problemas išsamiai rašo Jacobas Kleinas aukščiau minėtoje knygoje.
Kitoks graikų matematikos vertinimas yra Markuso Aspero straipsnyje The two cultures of mathematics in ancient Greece (2009). Autoriaus teigimu, tikrumo siekianti matematika ir jos kūrėjai (Euklidas, Archimedas, Apollonius ir kiti) yra tik graikų matematikos ledkalnio viršūkalnė. Tiksliau, graikų matematiką sudaro dvi, tik iš dalies sutampančios, dalys: praktinė matematika ir teorinė matematika (mano vadinama tikrumo siekiančia matematika). Apibendrindamas savo svarstymus, Asperas teigia, kad graikų praktinė matematika:
- yra senovės Artimuosiuose Rytuose užgimusios, senesnės tradicijos tąsa;
- sprendė ,,realaus gyvenimo“ problemas;
- naudoja pasitikėjimu ir autoritetu grindžiamą veiklos organizavimą;
- remiasi nuolatine ir tradicine socialine struktūra (institucija).
Tuo tarpu graikų teorinė matematika:
- atsirado šeštame-penktame šimtmečiais, iš dalies remdamasi praktiniu pagrindu;
- pabrėžtinai praktinio naudingumo vengianti neprofesinė veikla;
- kaupė teoremas apie idealius geometrinius objektus;
- neturėjo jokios socialinės struktūros ar formalios mokyklos.
Šie apibendrinimai atrodo gal ir nuobodžiai, bet verta perskaityti visą autoriaus tekstą. Savo svarstymus ir išvadas Asperas grindžia pakitusia rašytine matematikos kalba ir teigia, kad jos tikslumas ir vienareikšmiškumas siekia objektyvumo, bet praranda aiškumą.
Ar didelė senovės graikų visuomenės dalis žinojo teorinę matematiką? Atsakymas – labai maža. Netgi Euklido Pagrindų pirmoji knyga paprastai nebuvo žinoma tiems, kurie įgyjo ,,liberalųjį išsilavinimą“. Høyrupas rašo (2015), 16 pusl.:
Even if we look at Platonizing, neopythagorean or neoplatonic philosophers (with the exception of Proclos) we are up for a surprise. When writers like Plutarch or Iamblichos know not only about mathematics – about its philosophical status, about its ideological importance –but also some substance, what they know comes not from Euclid or Archimedes but from techniques of Near Eastern practitioners…. Like the alchemists, they transformed the knowledge of practitioners into „wisdom“.
Tuo labiau paslaptingas teorinės matematikos atsiradimas. Høyrupas savo 1994 metų knygoje (9 pusl.) svarsto kaip atsirado graikų (teorinė) matematika. Jis turi argumentų rodančių, kad graikų matematikos atsiradimas neturėtų būti siejamas nei su sofistais, nei su pitagoriečiais. Tad lieka trečias šaltinis – to meto filosofinis diskursas, bet ne pati filosofija. Høyrupas rašo:
[T]he rationality of fifth-century Greek mathematics appears to build on general philosophical rationality, and on open, non-hierarchical type of discourse: Not the one-way master-student relationship of institutionalized teaching, but a discourse of mutual disagreement, conflict, and common search. Whereas the former may be more effective for the assimilative expansion of a knowledge system, the latter, open discourse, may be the presupposition for fundamental change. So, if I am right in my interpretations, the specific formation of Greek mathematics may have originated in the lack of didactical institutionaliztion of the soil from which it grew during the first phase, as claimed already. [pajuodinta J.H.]
Čia minima pirmoji fazė yra Høyrupo naudojamo graikų laikotarpio skirstymo pirmąja dalimi:
- The rise of reasoned mathematics, in the sixth and fifth centuries B.C. – „pre-Socratic mathematics“.
- The creation of deductive and axiomatic mathematics, in the fourth and early third century – from Plato and Eudoxos to Euclid.
- Finally, the mature period from Euclid onward, in which the style and character of Greek mathematics was already fixed, and in which every Greek mathematical text known to us, a few fragments aside, was created.
Antroje fazėje graikų matematika susiformavo kaip žinių sistema. Tokia sistema turėjo atsirasti norint išvengti samprotavimų uždaru ratu. Kai kurie teiginiai, pavyzdžiui, ,,trikampio kampų suma yra 180o“ ir ,,per tašką šalia tiesės galima nubrėžti lygiai vieną lygiagretę“ gali būti logiškai išvedami vienas iš kito. Tam, kad išvengti skirtingų samprotavimo krypčių reikėjo pasirinkti vieną iš jų naudojant aksiomas, t.y. pasirenknt teiginius, kurie laikomi neįrodomais, bet akivaizdžiai teisingais. Matyt, jei to nebūtų padaryta, matematika galėjo panašėti į filosofiją.
Pereidamas prie trečiojo tipo matematinio samprotavimo aptarimo, Høyrup‘as klausia: Ar iš tikro įrodymo atsiradimas sietinas su Antikine Graikija? Jo teigimu senovės graikai nebuvo pirmieji, kurie naudojo argumentavimą mokant matematikos ir jis tai iliustruoja pavyzdžiais. Daugelis rastų matematikos metodų buvo tokie sudėtingi, kad negalėjo būti perduodami iš kartos į kartą be matematinio aiškinimo ir tuo labiau negalėjo būti sukurti be supratimo.
Tačiau senovės graikai galėjo būti pirmaisiais matematikos argumentavimą padariusiais savaime prasminga veikla. Høyrupas rašo (12 pusl.):
[In] classical Greece … mathematical argument – probably for the first time in history – emancipated itself from its subservience to teaching, and somehow became a distinctive charactersitic of the μαθηματα, paradoxically „the matters to be taught“ par excellence.
Praėjus 250-iai metų nuo Thaleso iš Mileto laikų, buvo teigiama jį sukūrus ,,teoriją“ aiškinančią iš Egipto perimtą geometriją. Thalesui priskiriamas įrodymas, bet ne faktų atradimas. Be to, jo geometrija laikoma tokia ,,teorija“, kurią įmanoma reflektuoti bet ne kažkas naudingo praktinėje veikloje. Tokį požiūrį į geometriją Høyrupas priskiria graikų filosofams gyvenusiems trečiame amžiuje iki Kristaus gimimo. Šis požiūris taip pat atitinka 6-ojo ir 5ojo amžių graikų filosofiją su jai priskiriamomis priežasčių ir reiškinių prigimties paieškomis.
Toliau Høyrupas parodo, kad įrodymu grindžiama matematika, arba ,,filosofinė matematika“, randama Euclidoo, Archimedo, Apollonios ir kitų darbuose, buvo visai nežinoma tai visuomenės daliai, kuriai reikėjo tik praktinių žinių.
Pamąstymas apie matematikos diskursą
Apie matematikos diskursą užsimenu todėl, kad ši frazė naudojama mano gausiai cituojamame Høyrupo straipsnyje Varieties of Mathematical Discourse in Pre-Modern Sociocultural Contexts (jo 1994 knygos pirmas skyrius). Viena šios frazės ypatybių yra jos reikšmės problemiškumas. Aš ją suprantu ir naudoju maždaug tokia reikšme kuri išplaukia iš žodžio Diskursas apibūdinimo J. Gee knygoje Social Linguistics and Literacies: Ideology in Discources (131 pusl.):
A Discourse is a socially accepted association among ways of using language, other symbolic expressions, and `artifacts`, of thinking, feeling, believing, valuing and acting that can be used to identify oneself as a member of a socially meaningful group or `social network`, or to signal (that one is playing) a socially meaningful role.
Naudojant šią Diskurso reikšmę, matematikos diskursas yra tai, kas apibūdina matematiką konkrečioje žmonių bendrijoje, pavyzdžiui, dabartinė akademinė matematika Lietuvoje ar dabartinė mokyklinė matematika Lietuvoje. Bent jau panašiai norėčiau suprasti.
Redaktoriaus priremtas prie sienos, Høyrupas taip apibūdina savąją diskurso sampratą (jo 1994 knygos 279 pusl.):
You will recognize that the modes of communication is School, in the Church, and in the Army are completely different; in the selection of themes or subjects about which one communicates, but in many other respects too. The didactical, ecclesiastical/religious, and military discourses are different. Philosophically speaking, the discourse can be considered the form (in an Aristotelian sense) of the totality of communications of a certain institution or type of situation.
Minėtame straipsnyje Høyrupas lygina Senojo Babilono, Antikinės Graikijos ir Lotyniškosios Viduriniųjų Amžių matematikos diskursus.
Høyrupas išskiria samprotavimą kaip matematikos diskurso esminę charakteristiką. Tai išreiškia teigdamas – matematika yra samprotavimo diskursas (mathematics is a reasoned discourse). Samprotavimas kaip nustatymas ryšių tarp skirtingų teoremų, skirtingų aksiomų grupių ir kitų matematikos faktų. Matematinio samprotavimo ryšiai, tam tikra prasme, yra žmonių ir daiktų pasaulio realių ryšių vaizdas. Skirtingose aplinkose formavosi skirtingi matematinio samprotavimo tipai. Pavyzdžiui, tai kas buvo matematinio samprotavimo standartu Euklido laikais neatitiko analogiškų standartų D. Hilberto laikais. Kitais pavyzdys – be galo mažo dydžio naudojimas matematiniame samprotavime: euristika Archimedui, atitinka matematikos standartus viduriniais amžiais, vėl netinkama 19 amžiaus matematikai, galiausiai vėl atitinka šiuolaikinės matematikos standartus (nestandartinėje analizėje).
Daugeliu atvejų (gal visais?) matematinis samprotavimas siekė tikslumo, aiškumo, tikrumo ir tuo skyrėsi nuo tokio samprotavimo kaip paprasčiausia nuomonės reiškimas. Gal todėl matematika Lietuvoje nėra populiari; neatitinka lietuviško mentaliteto?
Skirtingi laikmečiai ir skirtingos aplinkos nebūtinai atitinka labai skirtingus matematikos diskursus. Cituoju Høyrupą (8 pusl.):
Mutatis mutandis, we can speak of a Babylonian parallel to the effects of the „publish-or-perish“ pressure on contemporary publication patterns. When submitted to such pressure, the easiest way out is to choose your problems according to their accessibility, given your ability and the methods with which you are familiar; current complaints that the scientific literature is drowned in publications treating problems of no other merit than that of tretability indicate, even if great exaggeration is allowed for, that some reasearchers have found this way out.
Ši ir kitos analogiškos pastabos atsispindi šio įrašo pavadinime. Mūsų mokslo finansavimo priemonės sukuria Senojo Babilono laikų požiūrį į problemų sprendimą. Ieškomos ar kūriamos tokios problemos, kurioms galima pritaikyti senai įsisavintą sprendimo metodą. Pavyzdžiui, moksliniame projekte neįmanoma užsibrėžti tikslo spręsti problemą, kurios sprendimo metodo nežinai iš anksto. Kaip paprastai, mokslinis projektas laikomas įvykdytu, jei publikavai tam tikrą skaičių straipsnių prestižiniuose leidiniuose. Mūsų moksliniuose darbuose dominuojantys tikslai ir vertybės rodo, kad mūsų matematikos diskursas iš esmės sutampa su Senojo Babilono matematikos diskursu.
Matematikos diskursas kaip tyrimo priemonė gali būti vertingas ir ne akademinei aplinkai vertinti. Matematikos mokymo atžvilgiu man pasirodė įdomūs J. Moschkovich straipsnis What counts as mathematical discourse? bei K. Umland ir R. Hersh straipsnis Mathematical discourse: the link from pre-mathematical to fully mathematical thinking .
Pamąstymas apie mokyklinę matematiką
Høyrupo atliktas Senojo Babilono matematikos tekstų vertimas rodo esant matematikai priskirtinų užduočių, kurios formuluojamos ir sprendžiamos kitais nei iki šiol matematikoje žinomais būdais. Tai iliustruoja mano aptarta BM 13901 užduotis. Ši užduotis turi mažiausiai tris reprezentacijas: babiloniečių naivioji geometrinė, Euklido dedukcinė geometrinė ir (standartinė) algebrinė. Matematikui įprastu formaliu požiūriu šie formulavimai ir sprendimai iš esmės ekvivalentūs ir nėra prasmės juos traktuoti kaip skirtingus. Straipsnyje Bronze Age Formal Science? Høyrupas tam prieštarauja siūlydamas didaktinį argumentą.
Savo argumentą Høyrupas motyvuoja taip:
If we are to make students understand some general principle, we present it through a variety of concrete representations – no elementary school trains addition only on cows, and engineering students who have trained differentiation with respect exclusively to a variable colled x will mostly be at loss when the physics teacher asks for a differentiation with respect to a variable called t and standing for time. Transfer is only achieved when students encounter the same underlying structure in may different situations.
The question about mathematical sameness can therefore be turned into a didactical problem: Would it facilitate the practical insight into what algebra is and can be used for if students encountered algebraic reasoning and structures in several different versions – modern symbolic, Babylonian „cut-and-paste“ procedures, and perhaps Euclidean proofs of identities?
Iš esmės tai nėra naujas argumentas mokyklinei matematikai tobulinti. Bet jos iliustravimo priemonė, babiloniečių naivioji geometrija, tikrai nauja. Matematinis ugdymas taptų efektyvesniu, jei būtų atsisakyta požiūrio į matematiką kaip kažką užbaigto, nekintamo, absoliutaus, kad vienintelis matematinis samprotavimas yra aksiominis-deduktyvus.
Minėtas Umland ir Hersh straipsnis apie matematikos diskursą pradedamas įdomia įžvalga apie matematikos mokymą. Ką mes mokome ir kaip mes mokome lemia (profoundly influences) mūsų supratimas apie matematiką. Jei manome, kad matematika yra formalizmas, tai galvojame, kad reikia mokyti įrodymų. Jei manome, kad matematika yra problemų sprendimas, tai galvojame, kad reikia mokyti matematikos taikymų. Jei manome, kad matematinis tikrumas yra logikos pasekmė, tai galvojame, kad reikia mokyti dedukcinio mąstymo.
Jei ši įžvalga galioja, tai visuomenėje, matematikų bendruomenįje ar ministerijoje dominuojantis matematikos supratimas gali nulemti matematikos mokymo tikslus. Matyt neįmanoma tiesiogiai nustatyti, koks matematikos supratimas dominuoja. Bet galima įvertinti esamo matematinio mokymo realią koncepciją.
Daugumai mūsų mokyklinė matematika yra tik kliūtis, kurią reikia įveikti norint baigti mokyklą ir gauti universiteto diplomą. Mokykloje, taip pat ir universitete, paprastai ugdome tik tokius matematinius gebėjimus, kuriuos įmanoma vertinti testais. Testais patikrinama, kaip mokinys sugeba taikyti per dvyliką metų išmoktų standartinių uždavinių sprendimo metodus. Mokyklinė matematika faktiškai tapo testavimo instrumentu, kurio pagalba vertinami jaunų žmonių protiniai gebėjimai. Tokią matematikos funkciją rimtai svarsto matematikai ir edukologai. Tokia matematikos mokymo koncepcija patogi, nes, reikalui esant, testus galima palengvinti ar pasunkinti.
Mūsuose madingas požiūris – samprotavimas tai yra nuomonės. Neatsitiktinai samprotavimas mokykliniame ugdyme yra literatūros objektas. Mokyklinėje matematikoje iš esmės samprotavimo nėra.
P.S. Man beruošiant šį įrašą, liepos 8 dieną ŠMM vyko diskusija dėl matematinio ugdymo tikslų. Diskusijos metu neatsirado supratimo ir, tuo labiau, sutarimo dėl matematinio ugdymo tikslų. Prieš kelis metus Bendrojo ugdymo taryboje priimtos matematinio ugdymo gairės daugumai diskusijos dalyvių iš tikro nėra priimtinos, kaip supratau, dėl joje formuluojamo tikslo skatinti samprotavimų loginį tikslumą. Matyt dėl panašios nuomonės, ŠMM požiūriu, asmeniškai R. Norvaiša neturėtų dalyvauti keičiant matematinio ugdymo programą. Diskusijos metu buvo pasiūlyta naudotis estų matematinio ugdymo dokumentais.
P.P.S. Man jau paskelbus šį įrašą, Verslo žiniose pasirodė Dariaus Versecko straipsnis Verslininkas iš JAV: dirbti Lietuvoje neleistumėte net Gatesui. Šiame straipsnyje minima daugybė pavyzdžių, rodančių liguistą pedantiškumą vertinant žmogaus kvalifikaciją mūsų biurokratinėje sistemoje. Manau, kad tai yra pasekmė veiklos, kuria siekiama pademonstruoti savo gebėjimus, o ne spręsti problemas. Svarbiau parodyti, kad esi kvalifikuotas pagal priimtus standartus, o ne darbo rezultatas. Kai toks elgesys dominuoja, motyvacine prasme tampame panašūs į Senojo Babilono raštininkus.