Begalinė mažybė: matematikos sąvoka ir jos dramatiška istorija

Kas yra matematika Add comments

Sep 242014

Šiuolaikinėje matematikoje begalinė mažybė (angl. infinitesimal) yra logiškai pagrindžiama sąvoka: hiperrealusis skaičius nestandartinėje analizėje ir mikrodydis sintetinėje diferencialinėje geometrijoje. Tačiau taip buvo ne visada. Begalinė mažybė yra pagarsėjusi kaip naudinga, naudota dar antikos laikais, bet logiškai nepagrindžiama matematinė sąvoka. Savo laiku buvo vadinama ,,išnykstančiu vaiduokliu“ , ,,chimeros bacila“ ir panašiai. Šios sąvokos evoliucija susijusi su tolydumo (kontinuumo) ir diskretumo sampratos evoliucija ir šia prasme svarbi ne tik matematikoje.

Tai yra santrauka viešos paskaitos skaitytos rugsėjo 15 dieną VU Matematikos ir informatikos fakultete. Toliau yra patikslintas ir papildytas šios paskaitos tekstas.

Be galo mažu dydžiu arba begaline mažybe vadinamas skaičius h, jei toks yra, kuriam teisinga: -1/n < h < 1/n su kiekvienu natūraliuoju skaičiumi n. Tarp realiųjų skaičių tik nulis yra be galo mažas dydis. Nenuliniai be galo maži dydžiai gaunami praplečiant realiųjų skaičių aibę. Taip yra dabar. Bet kelių tūkstančių metų sąvokas istorija rodo, kad buvo labai įvairiai.

Kaip matematikoje atsiranda poreikis be galo mažiems dydžiams?

Momentinis greitis. Tarkime, kad dalelės judėjimą geometrine tiese nusako realiuosius skaičius siejanti funkcija y= y(x), čia x yra laikas ir y yra nueitas kelias. Norime apibrėžti momentinį greitį, kaip laiko funkciją. Fiksuokime laiko momentą x₀ ir nagrinėkime laiko intervalą ∆x.

Momentinis greitis galėtų būti vidutinio greičio atskiras atvejis, kai laiko intervalas susitraukia į akimirką. Dalelės vidutinis greitis VG tarp laiko momentų x₀ ir x₀ + ∆x yra santykis

VG = $\frac{y(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x}$ , čia ∆x ≠ 0.

Akimirką turėtų atitikti atvejis, kad ∆x = 0. Bet šiuo atveju vidutinis greitis neturi prasmės. Ką daryti?

Kai judėjimas vyksta tolygiai, t.y. kai y(x) = kx, tai vidutinis greitis yra skaičius k nepriklausantis nuo intervalo ∆x ilgio. Natūralu vidutinio greičio reikšmę pratęsti ir tam atvejui kai ∆x = 0. Tarkime, kad dalelė juda netolygiai pagal dėsnį y(x) = x². Kaip apskaičiuoti momentinį greitį momentu x₀? Pastarajame pavyzdyje

VG = $\frac{(x_0+\Delta x)^2-x_0^2}{\Delta x} = 2x_0 +\Delta x$ .

Kas gi darosi su santykiu VG kai ∆x artėja prie nulio. Jimo Fowlerio video paskaita (anglų kalba) atsako į šį klausimą kai x₀ = 1, ∆x = x-1 ir x artėja prie vieneto, t.y. aiškina kas darosi su santykiu $\frac{x^2-1}{x-1}$ kai x artėja prie vieneto. Kyla noras momentiniu greičiu (momentu x₀) laikyti 2x₀, t.y. tiesiog numesti ∆x.

Galimi keli samprotavimo būdai pagrindžiantys ,,numetimą“. Pirmasis samprotavimo būdas grindžiamas ribos sąvoka naudojama matematinėje analizėje. Jimo Fowlerio video paskaitoje ši sąvoka aiškinama intuityviai. Priminsime formalų ribos apibrėžimą mūsų atveju. Pažymėkime f(∆x) := VG. Šios reikšmės apibrėžia funkciją f kai argumentas nėra lygus nuliui. Taške nulis funkcija f yra neapibrėžta. Pagal ribos apibrėžimą, 2x₀ yra funkcijos f riba taške 0, jei

$(\forall \epsilon > 0)\,(\exists\delta >0 )\,(\forall\,\Delta x\in{\bf R})\quad [0 < |\Delta x| <\delta \Longrightarrow|f(\Delta x)-2x_0| < \epsilon ]$ .

Norint patikrinti apibrėžties sąlygą reikia, duotam teigiamam $\epsilon$ , rasti tokį teigiamą skaičių $\delta$ , kad nurodyta implikacija būtų teisinga visiems skaičiams ∆x. Iš tikro, tegul $\epsilon$ yra bet kuris teigiamas skaičius. Imkime $\delta =\epsilon$ . Tada

|f(∆x) – 2x₀ | = | (2x₀ + ∆x) – 2x₀ | = |∆x| < $\delta = \epsilon$ .

Gavome, kad šiuo atveju momentinis greitis momentu x₀ yra riba 2x_0, t.y. MG = lim_∆x→0 f(∆x) = 2x₀.

Ribos sąvokos autoriais yra matematikai B. Bolzano (1781-1848) ir K. Weierstrass (1815-1897).

Antrasis samprotavimo būdas grindžiamas paskaitos pradžioje apibrėžta be galo mažo dydžio samprata. Sakysime, kad skaičiai r ir s yra be galo artimi arba r ≈ s, jei jų skirtumas r-s yra be galo mažas dydis. Taip pat sakysime, kad realusis skaičius 2x₀ yra funkcijos f šešėlis taške 0, jei teisinga implikacija

$\Delta x\approx 0\Longrightarrow f(\Delta x) \approx 2x_0$ .

Patikrinsime šią implikaciją. Iš tikro, tegul ∆x ≈ 0. Tada

f(∆x) – 2x₀= (2x₀ + ∆x) – 2x₀ = ∆x ≈ 0.

Gavome tą patį momentinį greitį 2x₀momentu x_0,t.y. šešėlis (f(∆x)) = 2x_0.

Manoma, kad antrasis samprotavimas yra lengviau suprantamas tiems, kas nėra susipažinęs su realiųjų skaičių teorija ir ribos teorija, t.y. nėra susipažinęs su šiuolaikine matematine analize. Be to, antrasis samprotavimo būdas yra istoriškai ankstesnis už pirmąjį sprendžiant pagal Galileo Galilei (1564-1642) darbų komentarą.

Kaip matematikoje pagrindžiamas antrasis samprotavimo būdas?

Hiperrealieji skaičiai. Sukonstruosime realiųjų skaičių aibės R plėtinį ^*R, kuriame yra be galo mažų dydžių ir be galo didelių dydžių. Aibės ^*R elementai vadinami hiperrealiaisiais skaičiais. Konstrukcija labai panaši į tą, kuri naudojama sukonstruoti realiųjų skaičių aibę R naudojant racionaliųjų skaičių Cauchy sekas. Naujos aibės elementais bus realiųjų skaičių sekų ,,ryšuliai“ ( ekvivalentumo klasės) gaunami rūšiuojant sekas pagal tam tikrą požymį.

Tegul R^∞ yra visų realiųjų skaičių sekų $(r_k) = (r_1,r_2,\dots)$ aibė. Pavyzdžiui, seka $(k)=(1,2,3,\dots)$ ϵ R^∞. Sekų aibėje R^∞ apibrėšime ekvivalentumo sąryšį sakydami, kad (r_k) ~ (s_k) jei indeksų aibė {k ϵ N: r_k = s_k } yra ,,didelė“ natūraliųjų skaičių aibėje N. Indeksų aibės ,,didumas“ ir ,,mažumas“ turi savybes:

kiekvienas N poaibis yra arba ,,didelis“ arba ,,mažas“, bet ne kartu;
kiekviena baigtinį elementų skaičių turinti aibė (baigtinė aibė) yra ,,maža“;
kiekviena aibė, kurios papildinys aibėje N yra baigtinė aibė yra ,,didelė“;
„didelės“ aibės papildinys aibėje N yra ,,maža“ aibė ir atvirkčiai;
dviejų ,,didelių“ aibių sankirta yra ,,didelė“.

Tam tikra natūraliųjų skaičių aibių klasė, vadinama laisvuoju ultrafiltru, turi šias savybes. Tapatindami ekvivalenčias sekas gausime hiperrealiųjų skaičių aibę ^*R. Jai priklauso ir visi realieji skaičiai; tokiais yra ekvivalentumo klasės, kurioms priklauso sekos (r,r,…). Pavyzdžiui, ekvivalentumo klasė, kuriai priklauso seka

$\omega=(1,2,3,\dots,n,\dots)$ yra be galo didelis dydis;

klasė, kuriai priklauso seka

$10^{\omega}=(10,10^2,10^3,\dots,10^n,\dots)$ yra kitas be galo didelis dydis;

klasė, kuriai priklauso seka

$\frac{1}{\omega}=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots,\frac{1}{n},\dots)$ yra be galo mažas dydis;

klasė, kuriai priklauso seka

$\frac{1}{\omega^2}=(1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},\dots,\frac{1}{n^2},\dots)$ yra kitas be galo mažas dydis.

Aritmetiniai veiksmai ir tvarka aibėje ^*R apibrėžti pakoordinačiui. Kaip ir realiųjų skaičių aibė, ^*R tenkina tas pačias savybes, t.y. sudaro lauką, bet nėra pilna.

Hiperrealiųjų skaičių lauke ^*R yra standartiniai realieji skaičiai r, be galo maži skaičiai h ir be galo dideli skaičiai. Greta standartinio realiojo skaičiaus be galo arti jo yra hiperrealiųjų skaičių ,,spiečius“. Tiksliau kiekvieną hiperrealųjį skaičių x galime išskaidyti į sumą H+r+h, čia H yra hipernatūralusis, realusis r ϵ [0,1) ir h be galo mažas dydis. Hiperrealiųjų skaičių aibėje apibrėžta funkcija š( ), kuri kiekvienam hiperrealiajam skaičiui x priskiria vienintelį be galo arti jo esantį standartinį realųjį skaičių x₀, t.y. š(x) = x₀, čia x ≈ x₀. Funkcija š( ) vadinama standartine dalimi arba šešėliu. Pavyzdžiui, jei h yra be galo mažas dydis, tai š(h) = 0.

Dešimtainės trupmenos. Realiųjų skaičių dešimtainės trupmenos suteikia intuityvią išraišką tokiems skaičiams. Tačiau begalinės dešimtainės trupmenos turi ir keistų savybių, pavyzdžiui, galioja lygybė

0.999… = 1.

Kita vertus, su kiekvienu teigiamu be galo mažu dydžiu h turime nelygybę 1-h < 1. Ar hiperrealieji skaičiai turi dešimtainės trupmenos išraiškas ir ar tokioms išraiškoms gali galioti nelygybė

0.999… < 1 ?

Prisiminkime, kad realiojo skaičiaus r ϵ (0,1] išraiška dešimtaine trupmena yra lygybė

$r=0.a_1a_2a_3\dots=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\frac{a_3}{10^3}+\dots =\lim_{n\to\infty}\big (\frac{a_1}{10}+\dots+\frac{a_n}{10^n}\big )$ .

Galimi trys atvejai: dešimtainė trupmena yra baigtinė (a_n=0 visiems n >N su kuriuo nors N), periodinė arbar ne periodinė. Kiekvienas racionalusis skaičius išreiškiamas baigtine arba/ir periodine dešimtaine trupmena. Taigi

$0.999\dots=\lim_{n\to\infty}(0.\underbrace{999\dots 9}_{n\,\, devynetu}) =\frac{9}{10}\lim_{n\to\infty}\big (1+\frac{1}{10}+\dots+\frac{1}{10^{n-1}}\big )$

$=\lim_{n\to\infty}\big (1-\frac{1}{10^n}\big )=1$ ,

čia panaudota geometrinės progresijos sumos formulė. Manoma, kad realiojo skaičiaus šiuolaikinė žymėjimo dešimtaine trupmena autorius yra jėzuitas Christopheris Clavius 1593 m. Toks žymėjimas kompaktiškas bet neatitinka intuicijos, kurios dar nepaveikė šiuolaikinės analizės žinios (ribos sąvoka). Nesiremiant realiųjų skaičių teorijos ir ribų teorijos žiniomis simbolis 0.999… apibūdinamas kaip dešimtainė begalinė periodinė trupmena su be galo daug devynetų arba neribotai daug devynetų. Tokiu atveju aukščiau parodyta lygybė 0.999… = 1 atrodo prieštaraujančia intuicijai. Neveltui!

Tegul H yra begalinis hipernatūralusis skaičius. Atsižvelgdami į jau naudotą lygybę

$0.\underbrace{999\dots 9}_{n\,\, devynetu}=1-\frac{1}{10^n}$ ,

sudarykime dešimtainę trupmeną, kurioje yra H devynetų

$0.\underbrace{999\dots 9}_{H\,\, devynetu}=1-\frac{1}{10^H}$ .

Kadangi be galo mažas dydis 1/10^H yra teigiamas, tai dešinioji pastarosios lygybės pusė yra mažesnė už vienetą. Tokias hiperrealiųjų skaičių dešimtaines trupmenas nagrinėjo A. H. Lightstone (1972) ir žymėjo taip:

$0.999\dots ;\dots 99\hat{9} :=1-\frac{1}{10^H} < 1$ .

Naudodami šešėlio funkciją turime š( $0.999\dots ;\dots 99\hat{9}$ ) = 1. Taigi šešėlio vaidmuo yra panašus į ribos vaidmenį standartinėje analizėje: pirma, reiškinys įvertinamas begaliniame taške H ir, antra, įvertinamas gauto hiperrealaus skaičiaus šešėlis.

Grįškime prie dalelės judėjimo apibrėžiamo funkcija y = x² ir paskaičiuokime jos greitį laiko momentu x = 1. Tarkime, kad pokytis ∆x = – 1/10^H = – 0.000…;…01. Tada

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y(1+\Delta x)-y(1)}{\Delta x}=\frac{(0.999\dots ;\dots 99\hat{9})^2-1^2}{0.999\dots ;\dots 99\hat{9}-1}=0.999\dots ;\dots 99\hat{9}+1$ .

$\frac{dy}{dx} = \check{s}\Big (\frac{\Delta y}{\Delta x}\Big )=\check{s}(0.999\dots ;\dots 99\hat{9}+1)=1+1=2$ .

Apibendrinant, galime palyginti ribos ir šešėlio sąvokas. Tegul (u_n) = (u₁,u₂,…) yra skaičių seka. Tada

$\underbrace{\lim_{n\to\infty}u_n}_{standartine\,\, analize} =\underbrace{\check{s}e\check{s}elis (u_H)}_{nestandartine\,\, analize}$ .

Begalinės mažybės evoliucija. Be galo mažo dydžio istorija yra ir matematinės analizės atsiradimo istorija. Matematine analize vadinama matematikos sritis atsiradusi greta geometrijos ir algebros.

Begalinės mažybės sąvoka pradėta naudoti antikos laikais bandant apibūdinti tolydumą. Intuityvia prasme tolydumo idėja arba kontinuumas yra tai, kas neturi ,,plyšių”. Priešingas tolydumui yra diskretumas. Diskretumas yra tai, kas sudaryta iš atskirų, savarankiškų dalių. Tolydumas išreiškia vieningumą (angl. unity), o diskretumas išreiškia daugumą (angl. plurality). Šis priešpastatymas susijęs su Graikų filosofijai fundamentaliu klausimu apie vienį ir daugę (angl. the One and the Many).

Antikinėje matematikoje turėjome dvi matematinių objektų rūšis: skaičius ir dydis (magnitude). Skaičius buvo tai, kas dabar vadinama natūraliaisiais skaičiais. Dydžiais buvo vadinamos įvairios geometrinių objektų charakteristikos (ilgis, tūris ir t.t.). Šios dvi objektų rūšys taip pat atspindėjo diskretumo ir tolydumo skyrimą. Be galo mažas dydis antikoje, vadinamas nedalomuoju (indivisible), buvo susijęs su abiem: diskretumu ir tolydumu.

Manoma, kad pirmasis begalinės mažybės kaip nedalomojo idėją matematikoje panaudojo Democritus iš Abdera (460-370 m. pr. Kr. g.). Dviejų figūrų plotui ar tūriui palyginti jis panaudojo prielaidą, kad figūrą ,,sudaro” milžiniškas kiekis labai mažų ,,nedalomų” atomų. Šia prielaida grindžiamas matematinis metodas vadinamas nedalomųjų metodu (angl. method of indivisibles). Jei nedalomųjų skaičius yra begalinis ir jų dydis yra nulinis, tai jų ,,suma” turėtų būti nulinio dydžio. Jei nedalomųjų skaičius yra begalinis ir jų dydis yra nenulinis, tai jų ,,suma” turėtų turėti begalinį dydį. Dėl šio paradokso nedalomųjų metodas Graikų matematikoje buvo laikomas nepagrįstu. Tam pačiam uždaviniui spręsti buvo sukurtas išsėmimo metodas (angl. method of exhaustion). Nedalomųjų metodas buvo laikomas nelegaliu nors ir efektyviu. Tai liudija Heibergo 1906 m. rastas prarastu laikomas Archimedo darbas The Method. Šis darbas rodo, kad Archimedas (287-212 m. pr. Kr. g.), norėdamas rasti nežinomą atsakymą, greta mechaninio metodo naudojo ir nedalomųjų metodą. Tačiau savo pradinio įrodymo neskelbdavo, o sugalvodavo naują įrodymą grindžiamą išsėmimo metodu.

Begalinė mažybė atgimsta 16 ir 17 amžiais Europoje vis dar nedalomojo pavidale. Nedalomuosius savo darbuose naudojo Kepleris, Galileo, Cavalieri, Wallisas ir kiti matematikai. Šiais metais publikuotoje Alexanderio knygoje Infinitesimal. How a dangerous mathematical theory shaped the modern world vaizdžiai nušviečiama begalinės mažybės istorija ir vaidmuo 16 amžiaus kultūros ir politikos kontekste. Vėliau begalinė mažybė evoliucionuoja Barrow, Newtono, Leibnizo, J. Bernoulli ir kitų žmonių veikloje. 18 amžiuje begalinę mažybę sukritikuoja Berkeley. 19 amžiuje G. Cantoras begalinę mažybę pavadino ,,cholera-bacila” užnuodijusia matematiką. 20 amžiuje B. Russellas laiko begalinę mažybę nereikalinga, klaidinga ir sau-prieštaraujančia sąvoka. Tokiu būdu 20 amžiaus pradžioje begalinė mažybė įgijo matematiškai nepagrįstos sąvokos įvaizdį.

Kontinuumas šiuolaikinėje matematikoje. Matematikoje kontinuumu dažnai vadinama realioji tiesė. Savo ruožtu realioji tiesė yra tapatinama (abipus vienareikšmė atitiktis išlaikanti tvarką) su realiųjų skaičių aibe R – Dedekindo-Cantoro aksioma. Realiųjų skaičių papilninimas be galo mažais dydžiais priskiriamas Johannui Bernulliui (1667-1748) apie 1693-uosius metus (iš jo laiškų savo mokytojui Leibnizui).

Taigi, turime dvi kontinuumo sampratas (iš tikro jų yra nepaprastai daug):

——————————————————– A-kontinuumas

================================ B-kontinuumas

A-kontinuumas dėl Archimedo aksiomos. Šiuolaikinėje matematikoje (Hilbertas, 1899) Archimedo aksioma:

$(\forall\,\epsilon >0)\,(\exists\, n\in{\bf N})\,[n\epsilon\, >\,1]$ .

Ši aksioma reiškia, kad tarp realiųjų skaičių nėra teigiamų be galo mažų dydžių. B-kontinuumas taip vadinamas Johanno Bernullio garbei.

Apie fizikinę tiesę mes nieko kito nežinome, kas nėra išreiškiama matematika. Matematika suteikia fizikinės tiesės sampratą (modelį, interpretaciją). Tiesė fizikoje yra paprastai tapatinami su geometrine tiese, o ši savo ruožtu tapatinama su realiųjų skaičių aibe R. Panašiai yra ir su kitais fizikiniais dydžiais, pavyzdžiui, laikas. Jei turime kelias geometrinės tiesės sampratas, tai tuo pačiu turime ir kelias fizikinės tiesės sampratas. Skirtingos fizikinių reiškinių sampratos suteikia mums skirtingą prasmę to, ką stebime pasaulyje. Matematika yra tarsi akiniai per kuriuos mes stebime pasaulį. Skirtingo spektro spalvas praleidžiantys akiniai rodo mums skirtingus pasaulius.

Pagrindinė papildoma literatūra:

Keisler H. Jerome. Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach.
J. Bair et al. (12 autorių). Is Mathematical History Written by the Victors? Notices of the American Mathematical Society 60 (2013), no 7, 886-904.
T. Bascelli et al (9 autoriai). Fermat, Leibniz, Euler, and the Gang: The True History of the Concepts of Limit and Shadow Notices of the American Mathematical Society 61 (2014), No 8, 848-864.

P.S. Be galo maži dydžiai Lietuvoje yra nematomi

Be galo mažo dydžio sąvoka visada buvo kontraversinė, nes beveik visą laiką iki 20 a. vidurio buvo logiškai nepagrindžiama. Mūsų matematinėje kultūroje tą kontraversiškumą atspindi ir sąvokos infinitesimal vertimas į lietuvių kalbą. Versdamas infinitesimal kaip ,,begalinė mažybė” ar ,,be galo mažas dydis” aš nusižengiu matematikos terminų žodynui. Ten žodis infinitesimal verčiamas fraze ,,nykstamasis dydis”. Tačiau ,,nykstamasis dydis” šiuolaikinėje matematikoje turi konkrečią reikšmę: kuriame nors taške į nulį konverguojanti funkcija arba į nulį konverguojanti seka. Kitaip tariant, tai yra nuo parametro priklausantis matematinis objektas, kuris artėja į nulį kai tas parametras artėja prie kurios nors savo reikšmės. Tikslią artėjimo arba konvergavimo prasmę nusako šiuolaikinė ribų teorija arba ε – δ apibrėžtis, naudojant matematikų žargoną. ,,Nykstamasis dydis“ išreikšdamas kitimą vargiai suderinamas su hiperrealaus skaičiaus įvaizdžiu. Pastarojo termino taip pat nėra mūsų matematikos terminų žodyne, nors jame yra apie 60 kitų skirtingų terminų su priešdėliu hiper– (pvz. hiperkompleksinis skaičius).

Jau minėjau, kad matematinis samprotavimas pagrįstas be galo mažais dydžiais ir be galo dideliais dydžiais yra geriau suprantamas tų, kurie nepraėjo šiuolaikinę matematinės analizės indoktrinaciją. Tai patvirtina daugybė eksperimentų ir tyrimų. Čia pateikiu tik vieną nuorodą į Robert Ely darbą Nonstandard Student Conceptions About Infinitesimals. Tačiau mes Lietuvoje to nepastebime kaip rodo mūsų matematikos didaktikų darbai. Tai iliustruoja A. Apynio straipsnis Matematinės analizės pradmenų dėstymo vidurinėje mokykloje klausimu. LMD darbai, 2010. Cituoju:

Galima būtų aiškinti, kad skaičius A vadinamas funkcijos f riba taške a jei galioja tokia sąlyga:

$x\approx a (x\not = a)\,\,\Longrightarrow\,\,f(x)\approx A$ .

Žinoma, matematinis tikslumas čia prarandamas; užtat labiau išryškėja pačios sąvokos esmė.

Galima būtų tik pridurti, kad matematinis tikslumas nėra prarandamas kai $x\approx a$ reiškia, jog skirtumas x-a yra be galo mažas dydis.

One Response to “Begalinė mažybė: matematikos sąvoka ir jos dramatiška istorija”

Edmundas says:

Friday November 28th, 2014 at 07:31 PM

Tik dabar pastebėjau tekstą. Labai įdomu. Dėkui. Mažiau žinomas vietas reiks pastudijuoti atidžiau.

Reply

Matematika kaip kultūros reiškinys

Begalinė mažybė: matematikos sąvoka ir jos dramatiška istorija

One Response to “Begalinė mažybė: matematikos sąvoka ir jos dramatiška istorija”

Leave a Reply Cancel reply