Šiame įraše yra tekstas pranešimo, kurį šiandien dariau Ekonometrijos katedros seminare.
Mokyklinės matematikos Lietuvoje dabartis:
- Atsisakyta ,,bereikalingo formalizmo” (loginio samprotavimo);
- Treniruojama spręsti tipinius uždavinius;
- Ruošiamasi PISA tyrimams;
- Ruošiamasi egzaminams;
- Nepadedame matematikos mokytojams giliai suprasti elementariąją matematiką;
- Neturime mokyklinės matematikos tyrimų tradicijų.
Vasario 26 dieną susitikime su VU edukologais ir ŠMM bendrojo ugdymo specialistais kalbėjau apie mokyklinės matematikos ugdymo tikslus ir turinį (žr. čia). Pratęsdamas aną pokalbį, noriu pasidalinti savo nuomone šiais klausimais:
- Ar treniravimas spręsti uždavinius užtikrina naudojamų sąvokų supratimą?
- Kaip paaiškinti susiklosčiusią padėtį ?
- Kokio norime matematinio išsilavinimo?
Treniravimas versus supratimas
Iki šiol aš nekalbėdavau apie tipiškų matematikos uždavinių sprendimo praktiką. Manau, kad uždavinių sprendimas yra pagrindinė priemonė įsisavinant mokyklinę matematiką. Tačiau ar tinkamai tai darome? Aš panaudojau žodį ,,treniravimas“ todėl, kad uždavinių sprendimo metodų įsisavinimas be naudojamų sąvokų gilaus supratimo nėra pakankamas. Matematiko patirtis rodo, kad į universitetą ateinantys buvę mokiniai neturi supratimo apie loginį samprotavimą, nekalbant apie įrodymus, ir negali paaiškinti pagrindinių sąvokų prasmės. Tačiau reikia manyti, kad visą savo mokymosi laiką jie sprendė uždavinius.
Asmeninė patirtis nėra pakankamai rimtas argumentas. Todėl paminėsiu keletą tyrimų rezultatų, kuriuose atsakoma į panašius klausimus. Tai jokiu būdu nėra kokia nors tyrimų apžvalga. Tai tik tyrimų pavyzdžiai.
Straipsnyje Conceptual Knowledge of Fraction Arithmetic jo autoriai R.S. Siegleris ir H. Lortie-Forguesas parodė, kad ,,skaičių jausmas“ nėra savaiminė tobulos skaičiavimo technikos pasekmė. Kaip jie tai padarė? Aritmetikos veiksmų supratimas apima gebėjimą numatyti atliekamo veiksmo kryptį be skaičiavimo. Autoriai formulavo užduotį – žvelgiant į nelygybę
ir neatliekant aritmetinių veiksmų atsakyti: teisinga nelygybė ar ne? Mokiniai ir mokytojai teisingai atsakė rečiau negu tai būtų dare spėdami atsitiktinai. Tą pačią užduotį atliko ir rinktinių universitetų studentai. Jų atsakymai buvo pastoviai teisingi. Mažesnių už vienetą trupmenų daugybos ir dalybos silpnas supratimas būdingas ir tiems mokiniams bei jų mokytojams, kurie labai gerai įvertina individualių trupmenų dydžius. Straipsnyje aptariamos tyrimų teorinės ir pedagoginės išvados.
Apie trupmenas dažnai kalbama neatsitiktinai. Tai pirmas mokyklinės matematikos turinio dalykas, kurio įsisavinimas kelia sunkumų. Taip yra todėl, kad veiksmų su trupmenomis rezultatai gali skirtis nuo tokių pačių veiksmų su natūraliaisiais skaičiais. Pavyzdžiui, daugindami trupmenas galime gauti mažesnį skaičių už kiekvieną dauginamąjį. Tokių dalykų neatsitinka kai dauginami natūralieji skaičiai. Be to, veiksmų su trupmenomis supratimas yra pirmas žingsnis link didesnės abstrakcijos vėliau būtinos algebroje.
Straipsnyje Early Predictors of High School Mathematics Achievement jo autoriai R.S. Siegler ir kiti parodė dar įdomesnį dalyką. Būtent, mokinių žinios apie trupmenas ir jų dalybą vienareikšmiškai nulemia jų mokyklinės matematikos pasiekimus, netgi kai atsižvelgiama į daugelį kitų aplinkybių. Straipsnyje teigiama, kad siekiant pagerinti matematinio ugdymo rezultatus būtina sutelkti dėmesį į trupmenų supratimą. Tai suteikia papildomos svarbos dar 2005 metais publikuotam V. Būdienės straipsniui Lietuvos moksleivių paprastosios trupmenos sąvokos supratimo tyrimas.
Pagrindinis dalykas kalbant apie supratimo ir treniravimo skirtumą yra tas, kad uždavinių sprendimas nebūtinai suteikia matematikos kaip logiškai susietos visumos supratimą. Tai patvirtinama J.W. Stiglerio ir kitų autorių straipsnyje WHAT COMMUNITY COLLEGE DEVELOPMENTAL MATHEMATICS STUDENTS UNDERSTAND ABOUT MATHEMATICS? Autorių išvada: būtina mokyti matematikos kaip logiškai ir tampriai tarpusavyje susijusių idėjų ir procedūrų sistemą bei ugdyti gebėjimą samprotauti apie matematikos sąvokas. Trumpai kalbant – įtikinti, kad matematika turi prasmę.
Kaip atskirti tai, kas skatina supratimą, nuo mechaninio procedūrų mokymosi. Tokiam kriterijui atsirasti galėtų pagelbėti kompiuteris ar išmanusis skaičiuoklis. Tai, kas įmanoma padaryti naudojant šiuolaikines technologijas yra mažiau vertinga už tai, ko šiomis technologijomis neįmanoma padaryti. Nekyla abejonių, kad netolimoje ateityje visą mokykloje dabar mokomą matematikos techniką bus galima atlikti išmaniuoju skaičiuokliu, tokiu kaip būsimos kartos PhotoMath. Dabartiniai matematikos egzaminai praras prasmę, jei tokia dar yra.
Visuomenė į matematikos mokymą jau senokai žiūri skeptiškai. Ne be pagrindo teigiama, kad mokyklinės matematikos turinys gyvenime nereikalingas balastas. Ne vienas pilietis didžiuojasi tuo, kad mokykloje matematika jam nesisekė, turėjo žemiausią įvertinimą. Matyt skaudžiausia tai, kad daugumos nuomone matematika ir mokyklinė matematika yra tas pats. Gretimų mokslų atstovai stebisi, ką šiais laikais dar galima atrasti naujo matematikoje. Nepadeda ir matematikų argumentas, kad matematikos mokymas vysto loginį mąstymą. Deja, loginis samprotavimas dingo iš mokyklinės matematikos ŠMM pageidavimu kaip ,,nereikalingas formalizmas“.
Visuomenė ir matematikai nepatenkinti mokyklinės matematikos kokybe daugelyje šalių ir tai vis sunkiau ignoruoti. Tokiam reiškiniui rastis turėtų egzistuoti racionalūs paaiškinimai.
Darbo pasidalinimas ir matematika
Mokyklinės matematikos problemas paaiškinančių įdomių minčių yra A. Boroviko straipsnyje Calling a spade a spade: Mathematics in the new pattern of division of labour. Trumpai tariant, šaknys glūdi, dar Adamo Smitho aprašytame, ekonominėje visuomenės veikloje atsiradusio darbo pasidalinimo. Su darbo pasidalinimu susijusi vis gilėjanti specializacija. Šiais laikais99% žmonių neturi supratimo apie 99% technologijų veikimo principus, o tuo labiau nežino apie jose naudojamą matematiką. Naudojama ne šiaip matematika, bet jos vis daugiau ir ji vis sudėtingesnė.
Darbo rinkoje klostosi nauji poreikiai. Didėja skirtumai tarp aukštos kvalifikacijos ir žemos kvalifikacijos darbų, palaipsniui išnykstant vidutinės kvalifikacijos poreikiui. Pastarasis reiškinys – vidutinės kvalifikacijos darbuotojų nereikalingumas tapo nauju reiškiniu ekonomikoje vadinamu smėlio laikrodžio ekonomika ( angl. hourglass economy)
Gilesnei specializacijai reikalingas vis ilgesnis mokymosi laikas. Pakankamam matematiniam išsilavinimui dabar reikia ne mažiau kaip 15 metų. Matematinis išsilavinimas yra kaupiamojo pobūdžio – nauji įgūdžiai įgyjami jau turimų įgūdžių pagrindu. Tam reikia nemažai pastangų ir aukštesnio lygio matematinį išsilavinimą įgyja mažiau žmonių. Iki 20 amžiaus vidurio visų lygių matematinis išsilavinimas turėjo paklausą darbo rinkoje ir ta paklausa atitiko pasiūlą. Santykis tarp paklausos ir atitinkamo lygio matematinio išsilavinimo santykis buvo panašus į piramidę.
Smėlio laikrodžio ekonomikoje santykis tarp paklausos ir matematinio išsilavinimo lygio įgyja naują formą.
Grafike vaizduojamas santykis tarp paklausos (horizontali ašis) ir matematinio išsilavinimo lygio (vertikali ašis).
Tradicinės piramidės formos santykis turi tolydaus kitimo formą. Aukštesnio matematinio išsilavinimo žmonių paklausos mažėjimas tolydus ir sutampa su natūraliu tokio lygio žmonių skaičiaus mažėjimu. Pastaruoju meto klostosi kokybiškai naujos formos paklausos-pasiūlos santykis – nyksta vidutinio matematinio išsilavinimo žmonių poreikis.
Šis formos pasikeitimas paaiškina kai kuriuos reiškinius susijusius su matematika ir politika. Tuo pačiu atsiranda svarbi problema. Vidutinio lygio matematinio išsilavinimo žmonių nebereikia. Tačiau aukščiausią lygį pasiekia maža dalis besimokančių. Šis plyšys paklausoje sukūrė didelę riziką mokiniams ir jų tėvams. Ar verta rizikuoti ir mokytis matematikos rimtai, nežinant ar pavyks pasiekti reikalingą lygį. Nesėkmės atveju prarandami pinigai ir laikas. Tokiu būdu dabartinė matematinio ugdymo sistema tampa nestabilia.
Šio matematinio ugdymo sistemos nestabilumo neįmanoma išvengti tais atvejais, kai šalyje dominuoja vienintelė švietimo sistema, kaip Lietuvoje. Mokinys ir jo tėvai neturi realaus pasirinkimo. Tokioje sistemoje galima laukti mokymosi imitavimo.
A. Borovikas puikiai iliustravo pasirinkimo neturinčią sistemą ir jos pasekmes. Jis priminė, kad socializmą sugriovė požiūris – jei manoma, kad už darbą gaunu atlyginimą, tai tegul manonma, kad aš dirbu (angl. If they think they pay me let them think I am working). Perfrazavus, vakarietišką matematinį ugdymą sugriovė požiūris – jei manoma, kad mane moko kažko naudingo, tai tegul manoma, kad aš mokausi (angl. If they think they teach me something useful, let them think I am learning).
Universalių sprendimų tokioms problemoms matyt nėra ir negali būti. Viskas priklauso nuo šalies kultūrinio, socialinio, ekonominio ir istorinio konteksto. Išsivysčiusiai demokratinė visuomenė, pagal A. Boroviką, turi šias alternatyvas:
- matematikos mokyti visus vaikus – didelė investicija į mokytojų ruošimą.
- matematikos mokyti tik dalį vaikų – tiek, kad užtikrinti ekonominius poreikius.
- tenkintis matematiniu raštingumu – tikėtis technologinės ir karinės pagalbos iš kitur.
Matematikos mokymas Lietuvoje
Lietuvoje ką nors svarstyti yra sunku, nes kai kurių problemų egzistavimo nepripažįstama tol, kol jų nemato absoliučiai visi. Pirmas klausimas: Ar Lietuvoje bus kuriamos naujos technologijos, ar tik bandoma jau sukurtas svetur technologijas adaptuoti mūsų rinkai? Antruoju atveju matematinio išsilavinimo nereikia. Galima bandyti spėti remiantis netiesioginiais faktais.
Ataskaitoje The Global Information Technology Report 2014 galima įžvelgti įdomių dalykų. Šios ataskaitos 287 pusl. yra lentelė, kurioje 148 šalys išrikiuotos pagal ekspertų atsakymus į klausimą “how would you assess quality of math and science education”. Lietuva yra 16-ta, lenkdama P.Korėją (20), Vokietiją (21), Estiją (26), Latviją (33), Vengriją(38), Rusiją (56), Lenkiją (69) ir t.t. Lentelė sudaryta pagal daugiau kaip 100 verslo ekspertų vertinimus. Čia svarbu tai, kad aiškiai geresnės už mūsų švietimo sistemos vietinių verslininkų vertinamos gerokai prasčiau. Pagal vietą lentelėje ir pagal tai, kad ši vieta aukštesnė už tų šalių, kuriose matematinio ugdymo sistema žymiai geresnė, galima spėti, kad mūsų verslas patenkintas dabartine kokybe, geresnės lyg ir nereikia. Manau, kad tokia nuomonė įvertina patį verslą. Netiesiogiai darau išvada, kad verslas Lietuvoje nesiruošia kurti naujų technologijų. Todėl jam esamas matematinio išsilavinimo žemas lygis yra pakankamas.
Galima manyti, kad matematikos lygis mūsų šalies visuomenei patenkinamas, nes nekuriame technologijų. Be abejonių, matematika yra gyvybiškai būtina ne tik naujų technologijų kūrimui. Dar daugiau normali matematika būtina visuomenės narių sąmoningumui ir jų loginiam mąstymui ugdyti. Bet iki tokio supratimo mums dar toli. Taigi, kol nėra paskatų pripažinti problemas, tenka toliau imituoti matematikos mokymą? Vis tiek lieka klausimas: Kas atsitiks kai Lietuvoje paplis PhotoMath?
Man atrodo viso to pakanka matematikų bendruomenei susirūpinti matematikos likimu Lietuvoje.
Matematikų bendruomenei reikalinga juos vienijanti ir skatinanti veikla greta tiesioginio darbo. Tokia veikla galėtų būti mokyklinės matematikos kokybės siekimas. Matematikos olimpiadų ir užklasinės veiklos organizavimas nėra pakankama veikla. Ji priklauso taip vadinamam neformaliam ugdymui. Formalusis matematinis ugdymas vyksta pasroviui. Rūpestis mokytojų ruošimu ir mokyklinės matematikos turinio gilinimas būtų tai, ko akademinei bendruomenei šiuo metu reikia – užmegzti ryšį su visuomene.