Veiksmo-objekto dualumas matematikoje

Matematinės abstrakcijos skiriasi nuo ,,eilinių“ abstrakcijų tuo, kad jos turi konkrečių daiktų bruožus. Su matematinėmis abstrakcijomis elgiamasi taip, kaip su realiais daiktais. Gal todėl matematinės abstrakcijos dažnai vadinamos matematiniais objektais. Jie nusakomi matematinėmis sąvokomis. Mokyklinėje matematikoje yra svarbu suprasti kaip atsiranda tokios abstrakcijos arba kaip galima išsiugdyti tokį abstrakcijų supratimą. Spėjama, kad tokio supratimo neturėjimas gali būti viena iš priežasčių, kodėl kai kurie žmonės, gal jų dauguma, niekada tinkamai nesupranta matematikos ir jos bijo ar nekenčia.

Pagal  Annos Sfard teoriją daugumai matematinių objektų būdingas dualumas ta prasme, kad juos galima traktuoti ir kaip objektus ir kaip veiksmus (procesus) priklausomai nuo  konteksto. Pavyzdžiui, natūralusis skaičius, būdamas matematiniu objektu, gali būti traktuojamas kaip skaičiavimo veiksmas, kurio rezultatu jis yra.  Šiame įraše pateikiau vieno Annos Sfard straipsnio konspektą, kurį buvau pasiruošęs aptarimui matematikos mokymo seminare. Straipsnio originalas yra čia.   

Sfard (1991). Duali matematinės sampratos prigimtis: refleksijos apie procesus ir objektus kaip dvi tos pačios monetos puses.

Santrauka. Straipsnyje pasiūloma teorinė konstrukcija (theoretical framework) įgalinanti tirti algoritminio aspekto matematiniame mąstyme vaidmenį. Studijoje naudojamas ontologinis-psichologinis požiūris. Įvairių matematinių apibrėžimų ir reprezentacijų analizės rezultatu yra išvada, kad tokios abstrakčios sąvokos kaip skaičius ir funkcija gali būti suvokiamos dviem fundamentaliai skirtingais būdais: struktūriniu – kaip objektai ir veiksminiu (operationally) – kaip procesai. Šios dvi prieigos, nors tariamai nesuderinamos, faktiškai yra papildančios viena kitą. Parodoma, kad mokymasis ir problemų sprendimas yra neatsiejami nuo painios sąveikos tarp sąvokų veiksminės ir struktūrinės sampratos.

Istorinių pavyzdžių pagrindu ir kognityvinių schemų teorijos šviesoje spėjama, kad daugumai žmonių veiksminė samprata yra pirmasis žingsnis pažįstant naują matematinę sąvoką. Sąvokos formavimo  etapų nuodugni analizė verčia manyti, kad perėjimas nuo skaitmeninių operacijų prie abstrakčių objektų yra ilgas ir iš prigimties sunkus procesas, realizuojamas trimis žingsniais: interiorizacija, kondensacija ir reifikacija. Atskiras dėmesys straipsnyje skiriamas sudėtingam reifikacijos reiškiniui, kuris atrodo iš principo toks sudėtingas, kad tam tikruose lygmenyse kai kuriems mokiniams gali likti nepasiekiamu.

Kodėl dalis protingų žmonių niekaip negali suprasti matematikos? (Henri Poincare)

Iki šiol nėra patenkinamo atsakymo į šį klausimą, nepaisant bandymų gerinti matematikos mokymą.

Greičiausiai matematika nėra vien tik logika. Panašu, kad sunkumų priežasčių reikia ieškoti bandant atsakyti į episteminį klausimą apie matematikos žinių prigimtį. Kadangi savo neprieinamumu matematika pranoksta visas kitas mokslines disciplinas, kažkas ypatingo turėtų būti jos mąstymo būde. Sakymas, kad matematika yra abstrakčiausias mokslas nepaaiškina. Tai tik klišė. Klausimas turėtų būti apie kokybę, o ne apie kiekybę: kuo matematinė abstrakcija skiriasi nuo kitų abstrakcijų savo prigimtimi, savo vystymosi būdu, savo funkcijomis ir taikymu?

Klausimas nėra naujas. Amžių sandūros metu vykusi krizė vertė matematikus klausti savęs fundamentalių filosofinių klausimų apie matematinio mąstymo prigimtį. Po kelių dešimtmečių Piage genetinės epistemologijos kontekste panašių dalykų buvo klausiama iš psichologinės pusės. Bet  iki šiol nėra sukurta matematikos filosofiją ir matematikos psichologiją vienijanti bendra teorija, kuri vienodai rūpintųsi ir matematiniu mąstymu ir matematikos žiniomis, kaip procesu ir kaip rezultatu. Ypač liūdina beveik visuotinis aukštosios (advanced) matematikos ignoravimas šiame kontekste, kadangi sudėtingesnės temos aiškiau parodo skirtumą tarp matematikos ir kitų mokslų, o abstraktus matematinis mąstymas matomas savo gryniausioje formoje.

Atrodo, kad nagrinėjant matematikos sąvokų prigimtį ypač reikia filosofinių įžvalgų tam, kad suprasti tas sąvokas gimdančius psichologinius procesus.

1.Duali matematinės sampratos prigimtis

Siekiant išreikšti matematikos sudedamąsias dalis, toliau bus naudojami du skirtingi žodžiai: sąvoka (concept or notion) – matematinė idėja išreikšta ,,oficialia“ forma – kaip teorinis konstruktas ,,idealių žinių pasaulyje“ ir samprata (conception) – sąvokos pažadintas vidinių reprezentacijų ir asociacijų spečius (telkinys – cluster) – sąvokos atitikmuo vidinėje, subjektyvioje žmogaus žinojimo sferoje.

Kalbos požiūriu panašumai tarp matematikos ir gamtos mokslų stebina labiau negu skirtumai. Iš tikro, ir fizikai ir matematikai kalba apie tam tikro pasaulio objektus ir jų savybes, Tie objektai pavaldūs tam tikrų dėsnių reguliuojamiems procesams.

Tačiau, skirtingai nuo materialių objektų, aukštosios matematikos konstruktai yra pojūčiais nesuvokiami. Matematiniai objektai suvokiami tik proto ,,žvilgsniu“. ……  Gebėjimas ,,matyti“ fiziškai neapčiuopiamus objektus yra matematinio gebėjimo esmine komponente; šio gebėjimo neturėjimas gali būti pagrindine priežastimi kodėl matematika yra neįveikiama daugeliui talentingų žmonių.

Net jei pastarasis teiginys yra teisingas (autorė dės visas pastangas tuo įtikinti), vadovėliuose esančių apibrėžimų kruopšti analizė parodys, kad matematinių sąvokų traktavimas taip, lyg jos būtų abstraktūs objektai dažnai nėra vienintele galimybe. Tokia samprata nuo šiol bus vadinama struktūrine. Ji atrodo dominuojam šiuolaikinėje matematikoje. Tačiau yra naudojami ir kitokios prieigos matematiniai apibrėžimai. Funkcija gali būti apibrėžiama ne tik kaip sutvarkytų porų aibė, bei ir kaip tam tikras skaičiavimo procesas arba kaip ,,metodas iš vienos sistemos pereiti į kitą“ (Skemp, 1971, 246 pusl). Simetrija gali būti suprantama kaip geometrinės formos statinė savybė ir kaip tam tikros rūšies transformacija. Pastarasis apibūdinimas išreiškiamas žodžiais  procesas, algoritmas ir veiksmas, o ne objektas. Nuo šiol tai bus vadinama sąvokos veiksmine samprata (operational conception).

Matematinės esybės matymas kaip objekto reiškia gebėjimą nurodyti į jį kaip į realų daiktą – statinę struktūrą, egzistuojantį kažkur erdvėje ir laike. Tai taip pat reiškia galimybę atpažinti idėją ,,žvilgtelėjimu“ ir manipuliuoti ja kaip visuma nekreipiant dėmesio į detales. Priešingai, sąvokos interpretavimas procesu įgalina laikyti ją potencialia, o ne aktualia esybe. Taigi, struktūrinė samprata yra statine, momentine ir integralia, veiksminė samprata yra dinamine, sekvenciale ir detalia.

Praktiškai neįmanoma iškarto tiksliai įvertinti visus nusakyto skirtumo aspektus, jau nekalbant apie tikslių apibrėžimų suformulavimą laikantis struktūrinio ir veiksminio mąstymo būdų. Kol kas galima pasakyti, kad pirmasis yra abstraktesnis, labiau integruotas ir mažiau detalus už antrąjį. Šie skirtumai yra kiekybiniai. Kokybinis skirtumas tarp aptariamų mąstymų būdų glūdi baziniame, paprastai žodžiais neišreiškiamame, tikėjime apie matematinių esybių prigimtį. Kitais žodžiais tariant, egzistuoja gilus ontologinis plyšys tarp veiksminės ir struktūrinės sampratų. Autorė tikisi padaryti šį skirtumą aiškesniu.

Svarbu pabrėžti, kad tos pačios sąvokos veiksminė ir struktūrinė sampratos nėra nesuderinamos. Jos yra viena kitą papildančios. Detaliau Žr. Otte, 1984 ir Steiner, 1985. Kitame skyriuje autorė parodys, kad gebėjimas matyti skaičių ir funkciją ir kaip procesą, ir kaip objektą yra būtini giliam matematikos supratimui, kokia bebūtų ,,supratimo“ samprata. 

Dažniausiai kiekvieną matematinę sąvoką galima apibrėžti struktūriniu ir veiksminiu būdu.

Fig. 2 funkcija su reikšmėmis y = 3x⁴ pavaizduota trim skirtingais būdais. Kompiuterinė programa atitinka labiau funkcijos veiksminę sampratą negu struktūrinę. Grafinėje reprezentacijoje be galo maži funkcijos komponentai išreikšti glodžia kreive ir todėl įgalina suvokti integruotą visumą; todėl grafikas išreiškia struktūrinę sampratą. Tuo tarpu algebrinė reprezentacija gali būti interpretuojama dviem būdais: veiksmine, kaip skaičiavimo išraiška, arba struktūrine, kaip statinė dviejų dydžių santykio išraiška. Pastarasis interpretacijos dualumas atitinka gerai žinomą lygybės ženklo dualią prasmę.

Vizualizacija, taip pat ir mintyse, susijusi su abstrakčių idėjų struktūrine išraiška, nes yra panaši į realų objektą. Tuo tarpu verbalinė išraiška negali būti suvokiama ,,žvilgterėjimu” ir reikalauja sekvencinio suvokimo, taigi išreiškia skaičiuojamas procedūras.

Reikėtų pastebėti, kad matematinėje, filosofinėje ir psichologinėje literatūroje knibždėte knibžda užuominų apie įvairias dichotomijas matematiniame pasaulyje. Kai kurios jų gali būti susijusios su čia aptariamu veiksminių-struktūriniu dualumu.

Kai kurių tyrėjų nuomone, matematiką galima padalinti į abstrakčią ir algoritminę (Halmos, 1985) arba į deklaratyvią ir procedūrinę (Anderson, 1976). Naudojami terminai paaiškina kas turima galvoje ir be apibrėžimų aiškų, kad šios dichotomijos susijusios su čia nagrinėjamu dualumu. Kita kategorizacija taip pat susijusi su dabartine yra matematikos dalinimas į dialektinę ir algoritminę (Henrici, 1974).  Aišku, kad algoritminė matematika susijusi su įvairios rūšies skaičiavimais, o deklaratyvioji matematika  yra griežtai loginis mokslas, kurio teiginiai yra arba teisingi, arba klaidingi ir objektai su  nurodytomis savybėmis arba egzistuoja, arba neegzistuoja.

Kai kurios rūšies dichotomijos susijusios ne su filosofiniais, bet su psichologiniais matematikos aspektais. Piaget (1970, p. 14) skyrė dvi skirtingas matematinio mąstymo rūšis: vaizdingas (figurative), nurodantis į ,,momentinių ir statinių būsenų“ stebėjimą ir atitinkantis šio straipsnio struktūrinę sampratą; ir operacinę (operative), nurodanti į transformacijų nagrinėjimą, tad susijusi su veiksmine šio straipsnio samprata. Tai yra susiję su Piaget reflektyvios abstrakcijos teorija, kurios vėlesnė plėtotė palietė procesų ir objektų vaidmenį matematiniame mąstyme. Netgi plačiai paplitusi matematinio supratimo (ar žinių) kategorizacija į konceptualų ir procedūrinį (conceptual and procedural Lesh ir Landau, 1983; Hiebert, 1985) arba instrumentinį ir santykinį (instrumental and relational, Skemp, 1976)  atrodo susijusi su dabar aptariamu dualumu. Tas ryšys bus toliau šiek tiek išryškintas.

Visos šios dichotomijos, kai ir dabar aptariamas dualumas, yra šiek tiek migloti (fuzzy). Jei esmę įmanoma įvardinti, tai pakraščius įvardinti sunku. Tokius pakraščius yra bandoma įvardinti šio straipsnio dualumui.

Šio straipsnio veiksminis-struktūrinis dualumas skiriasi nuo kitų savo jungtine ontologine-psichologine prigimtimi ir jos papildomumu (its combined ontological-psychological nature and its complementarity). Pirma, dauguma ligšiolinių dichotomijų nekreipė dėmesio į matematinės veiklos filosofines prielaidas. Vietoje to dėmesys kreipiamas į akivaizdžius turinio (subject-matter) aspektus arba į kognityvinius procesus susijusius su žiniomis. Sfard savo klasifikacijoje dėmesį koncentravosi į matematinių esybių prigimtį (ontologinė problema) suvokiamą mąstančiojo (psichologinė perspektyva). Antra, kitos dichotomijos skaidė matematikos žinias į skirtingas komponentes (sąvokas vs procedūras), Sfard prieiga akcentavo vienovę (unity). Todėl kalbama apie dualumą, o ne apie dichotomiją.

Be to, Sfard prieiga siekė išvengti konkurencijos tarp požiūrio aspektų. Tokios konkurencijos, kuri egzistuoja tarp algoritmiškumo ir abstraktumo (Maurer, 1985; Stein, 1988). Visi sutaria, kad ,,algoritminė“ matematika svarbi, bet antrarūšė. Sfard dualumas išvengia tokio priešpastatymo. Veiksmės ir struktūros elementai neatskiriami vienas nuo kito. Panašiai kaip ėjime nėra prasmės atskirti kairią koją nuo dešinės kojos. Veiksmės ir struktūros vaidmenų kognityviniuose procesuose tolesnė analizė parodys padės suvokti kodėl abstrakčioji matematika (struktūrinė prieiga) taip labai vertinama. Matematinis kūrybiškumas sunkiai pasiekiamas be gebėjimo ,,matyti“ abstrakčius objektus ir antra vertus struktūrinė samprata yra labai sunkiai pasiekiama (neprieinama paprastiems mirtingiesiems).  Tačiau veiksminis mąstymo būdas taip pat svarbus: jo įvaldymas lemia sąvokos supratimą ir šia prasme yra bazinis, o ne pasekmė. Todėl techninis gebėjimas reabilituojamas, kai buvo nepelnytai pažemintas biheiviorizmo.   Tai įgalima atsakyti į apmaudų edukologų klausimą: kodėl tiek daug atrodytų inteligentiškų mokytojų taip labai vertina rutininius aritmetikos ir algebros gebėjimus nepaisant dešimtmečiais tai neigiančių taip vadinamų ekspertų? Kas yra tokio ką žino mokytojai, bet kiti nežino (Kilpatrick, 1988).

2. Veiksminės ir struktūrinės sampratų vaidmuo matematikos sąvokų formavimui – žvilgsnis į istoriją

Kalbant apie dvi matematinio apibrėžimo rūšis, struktūrinis apibūdinimas atrodo esantis abstraktesnis. Tikai, norint kalbėti apie matematinius objektus, turime gebėti įvardinti ė rezultatą nesirūpinant apie patį procesą. Atrodytų, kad struktūrinė prieiga yra pažangesnė sąvokos formavime. Tad galime tikėtis, kad formuojant sąvoką, veiksminė samprata turėtų prasidėti anksčiau už struktūrinę. Įvairūs istoriniai ir individualūs pavyzdžiai rodo, kad iš esmės tai teisinga.

Tačiau geometrijos atvejis verčia tuo abejoti. Geometrinėms idėjoms natūralesne atrodo statinė grafinė reprezentacija. Tad struktūrinė prieiga galimai turėtų pasirodyti anksčiau už alternatyvų procedūrinį apibūdinimą. Apskritimo atveju atrodo, kad apvalumas pirmiausia suteikia apskritimo idėją, bet apskritimo konstravimo algoritmas galvoje įgalina išreikšti apvalumą kitaip. Tačiau skaičiuojamojoje matematikoje procesas atrodo ankstesniu už objektą. 

Natūriniai skaičiai. Pastebėti, kad vaikui mokantis skaičiuoti egzistuoja etapas, kuriame jis geba naudoti abipus vienareikšmę atitiktų tarp skaičių žodžių ir objektų duotame rinkinyje bet nenaudoja  paskutinio skaičiaus vardo atsakyti į klausimą ,,Kiek daug yra objektų?“ Atsakydamas į tokį klausimą jis pradeda skaičiuoti iš naujo. Tokiam vaikui ,,skaičius“ reiškia skaičiavimo procesą.

,,Skaičiaus“ terminas matematikui keitėsi per pastaruosius tris tūkstančius metų. Ilgais periodais matematikai gebėjo atlikti skaičiavimus ir neįvardinti naujo proceso abstraktaus rezultato. Pavyzdžiui, dviejų sveikų natūraliųjų santykis (ratio) iš pradžių reiškė tik matavimo proceso apibūdinimą, o ne skaičių. Kitas pavyzdys yra šių dienų trylikametis mokinys, 50% jų negeba išreikšti dalybos 7 iš 4 rezultato trupmena. Tokiems mokiniams natūraliųjų skaičių dalyba vis dar yra procesas neturintis statinės išraiškos (esaties).

Ilgą laiką ,,skaičius“ dažniausiai pasirodydavo tik matavimo proceso kontekste. Pitagoriečių atradimas, kad tam tikruose kvadratuose jo diagonalė nėra išreiškiama natūraliųjų skaičių santykiu sukėlė sumaištį (Hippasus iš Metapontum istorija). Praėjo daug laiko kol matematikai sugebėjo skaičiaus sąvoką atskirti nuo proceso ir pripažinti faktą, kad bet kurios atkarpos ilgis išreiškiamas skaičiumi netgi kai jis nėra randamas įprastu būdu. Tokiu būdu atsirado įracionalieji skaičiai greta natūraliųjų skaičių ir trupmenų.

Savo ruožtu išplėsta skaičių aibė pagimdė naujus skaičiavimo procesus ir toliau naujos rūšies skaičius. 1545 metais paskelbtas Cardano metodas spręsti trečios ir ketvirtos eilės lygtis reikalavo atimti teigiamą racionalų skaičių iš mažesnio skaičiaus ir net rasti šaknį iš vėliau taip įvardintų neigiamųjų skaičių. Naudodami šiuos algoritmus, matematikai vengė pripažinti pašalinius rezultatus net kelis šimtmečius juos vadindami ,,absurdais“ arba ,,menamais“ objektais. Tik gerokai vėliau, matematikams įpratus, beprasmės skaitinės operacijos buvo pripažintos  pilnateisiais matematiniais objektais.

Sfard cituoja (12 pusl.) Jourdain (1956, p. 27) neigiamą skaičių vadinantį procesu.

Skaičių plėtroje galima išskirti etapus:

Pirma, ikisąvokinė stadija, kai matematikai įpranta atlikti tam tikras operacijas su jau žinomais legaliais skaičiais (konkrečiais objektais – skaičiavimo atveju). Toks manipuliavimas buvo traktuojamas kaip procesas ir niekas daugiau.

Antra, daugiausia veiksminės prieigos ilgas periodas, kurio metu pradeda pasirodyti nauji skaičiai procesų eigoje (veiksmų neįprastumą keitė jų naudingumas). Šioje stadijoje atsiradęs naujo skaičiaus vardas žymėjo procesą, o  ne ,,realų“ objektą. Naujos abstrakčios konstrukcijos idėja kėlė stiprų pasipriešinimą ir karštas filosofines diskusijas.

Trečia, struktūrinė stadija, kai diskutuojamas skaičiaus galiausiai būdavo pripažįstamas kaip pilnateisis matematinis objektas. Nuo to momento nauji skaičiavimo procesai atsirasdavo su naujais skaičiais, tuo sudarant sąlygas atsirasti dar naujesniems skaičiams.

Apibendrinant, skaičių istorija tokiu būdu pateikiama kaip grandinė perėjimų iš operacinės prieigos į struktūrinę prieigą: atliekami procesai galiausiai virsdavo kompaktine visuma arba reifikacija (sudaiktinimas, res lotiniškai daiktas). Sfard spėja, kad toks modelis gali būti apibendrintas kitoms matematinėms idėjoms.

Pavyzdžiui, istorija kartojasi su funkcijos sąvoka. Oficialiai funkcijos idėja gimė 17 amžiuje (Leibniz, 1692), kaip fizinio reiškinio vadinamo dydžio kitimu matematinio modelio radimas. Tuo metu populiarėjo ir plito algebrinis simbolizmas. Nenuostabu, kad funkcijos samprata iš pradžių buvo susijusi su algebriniais procesais. Naujasis terminas iš pradžių žymėjo ,,dydį, kurį sudarė kintamasis ir konstanta (Jean Bernoulli, 1718), arba taip vadinamas ,,analizinis reiškinys“ (Euleris, 1747). Taigi, tam tikra prasme, funkcijos sąvoka išreiškianti algebrinį manipuliavimą su kintamaisiais analogiškai neigiamo skaičiaus idėjai atimant: kažkas tarp proceso ir rezultato.

Pagrindinė problema su pirmaisiais funkcijos apibrėžimais buvo ta, kad jie grindžiami kintamojo sąvoka, kuri pati buvo miglota ir išvengė bet kokių bandymų tapti reifikuota.  Tikriausiai dėl to 1755 Euleris, po ilgos diskusijos su d‘Alembert, pasiūlė kitą apibrėžimą, kuriame ,,kintamasis“ nebuvo tiesiogiai minimas: ,,dydis“ turėtų būti vadinamas funkcija tik tuo atveju, jei jis priklauso nuo kito dydžio taip, kad pasikeitus pastarajam keičiasi pirmasis. Veiksmingumas tiesiog sklinda iš šio apibrėžimo net labiau, nei iš ankstesnių apibrėžimų.

Visa tolesnė sąvokos vystymosi istorija gali būti matoma kaip įtemptų, bet nesėkmingų, bandymų reifikuoti seka. Pats Euleris bandė pasiekti pilną struktūriną versiją ,,kintantiems dydžiams“ suteikdamas ,,sutvirtinančią“ grafinę reprezentaciją. Euler‘io idėja nepadėjo, nes nei jam, nei kitiems nepavyko sukonstruoti patenkinamo tilto tarp algebrinės ir grafinės prieigų: kiekvieną kartą kai būdavo pasiūlomas algebrinę-veiksminę intuiciją atitinkantis apibrėžimas, po kurio laiko kas nors rasdavo pavyzdį rodantį, kad naujasis variantas neturi struktūrinės-grafinės versijos: ir atvirkščiai (Kleiner, 1989).

Reikėtų pasakyti, kad tam tikrame etape, matematikai ir filosofai suvokė, kad tai kas iki tol buvo daroma tik intuityviai – reifikacijos siekimas, buvo paieška tokio apibrėžimo, kuris funkciją padarytų panašia į realų ,,daiktą“ (Frege, 1970, 107 pusl.).  Frege‘s siūlymas eliminuoti laiką iš kintamojo yra tiesioginis siūlymas reifikuoti.

Reifikacijos nesėkmės privertė Dirichlet sukilti prieš algoritminę prieigą ir dar vėliau paskatino dabar plačiai pripažįstamą Bourbaki grynai struktūrinį apibrėžimą. Pastarasis paprastas apibūdinimas funkcija padarė sutvarkytų porų aibę, kuri niekaip nėra susijusi su skaičiavimo procesu. Nenuostabu, kad naujasis apibrėžimas, turintis mažai ką bendro su intuityviu veiksminiu originalu, iš pradžių sukėlė didelė kritiką, Bet, kai galų gale funkcija buvo paversta matematiniu objektu, Sfard siūloma sąvokos vystymosi schema vėl pasikartojo: su naujais objektais naujos operacijos galėjo būti atliekamos – funkcinė analizė, funkcionalas.

Apibendrinant, visuose pavyzdžiuose pastebimas tas pats reiškinys: įvairūs procesai buvo paverčiami kompaktinėmis statinėmis visumomis tapdamos aukštesnio lygmens teorijos baziniais vienetais. Plečiant šį požiūrį į matematiką (ar tik į didelę jos dalį) kaip visumą, galima suvokti tai kaip tam tikros rūšies hierarchiją, kurioje tai, kas suvokiama grynai kaip veikimas  viename lygmenyje vėliau suvokiamas struktūriškai naujame lygmenyje.  Tokia hierarchija  iškylą ilgoje reifikacijų sekoje, kiekvienas jos narys prasideda ten, kur ankstesnis baigiasi, kiekvienas narys prideda naują abstrakčių sąvokų sistemą. Kai kuriais atvejais šis paveikslas yra šiek tiek supaprastintas. Sąvokos formavimas yra labiau painus už tą, kuris čia aprašytas. Tad šis modelis laikytinas ne daugiau kaip pirmoji aproksimacija  indikuojančia dominuojančią tendenciją.

3. Veiksminės ir struktūrinės sampratų vaidmuo matematikos sąvokų formavimui – psichologinis požiūris

Stebina tai, kad sąvokos struktūrinės sampratos formavimas yra ilgas, dažnai skausmingai sunkus procesas. Kur yra šio sunkumo šaltinis? Atsakymo ieškoma pasitelkiant psichologiją. Kitas klausimas: ar siūlomas sąvokos formavimo modelis taip pat galioja mokantis individualiai? Toliau siekiama parodyti, kad atsakymas turėtų būti – taip. Klausimas performuluojamas teiginiu: atrodo, kad schema sukonstruota istorinių pavyzdžių pagrindu gali būti taip pat naudojama apibūdinti mokymosi procesus.

4. Veiksminės ir struktūrinės sampratų vaidmuo kognityviuose procesuose

Pagal siūlomą sąvokos formavimo modelį kai kurios matematinės sąvokos turėtų būti laikomos pilnai išvystytos tik tada, kai jos suvokiamos ir veiksmiškai ir struktūriškai. Klausimas: kodėl reikalingas toks dualus požiūris? Kitais žodžiais, ko galima pasiekti turint gebėjimą matyti sąvoką veiksmiškai ir struktūriškai ir tai būtų nepasiekiama taikant tik vieną iš dviejų požiūrių?

Praleidžiu aiškinimą apie reifikacijos sunkumą. Jis įmanomas kai atsiranda poreikis atlikti aukštesnio lygmens veiksmus su objektais, kurie iki tol turi tik proceso pobūdį. Tokiu būdu atsiranda matematikos sąvokų hierarchija.

4.1.Veiksminė prieiga: neabejotinai būtina, kartais taip pat pakankama

Apskritai, kam reikalingi matematiniai objektai? Atrodytų viskas, ko reikia iš matematikos, tai gebėti atlikti skaičiavimo veiksmus, ar kitokius mažiau elementarius procesus. Matematikos istorija rodo, kad ilgą laiką matematika tokia ir buvo. Babiloniečių, Egipto, senovės Rytų matematika buvo algoritminio tipo. Tik naujausiais laikais atsirado matematika visai be algoritminio turinio, kurią galima būtų vadinti dialektine arba egzistencialistine. Savo veiksminį charakterį išsaugojo dabar algebra vadinamas skaičiavimo mokslas. Iš pradžių ,,retorinė“ algebra, vėliau simbolinė algebra (16 amžius), bet vis tik algoritminė savo esme ir jos vieninteliais abstrakčiais objektais buvo skaičiai. Kol skaičiavimo procesai formuluojami grynai veiksminiu būdu, jie negali būti suspausti į statinius abstrakčius esinius, taigi nepasiduodančiais objektiniam traktavimui.

4.2.Struktūrinės sampratos būtinumas

Dvidešimto amžiaus matematikai tiek persismelkė struktūriniu požiūriu, kad be ,,matematinių objektų“ neįmanoma apsieiti. Ši sąvoka matematikui atrodo tokia natūrali, kaip fizikui materijos idėja. Kaip materialaus pasaulio akivaizdoje atsirado polinkis abstrahuoti? Šis klausimas gali būti nagrinėjamas dviem lygmenimis. Akivaizdžiausiu atsakymu yra pastebėjimas, kad mūsų vaizduotę formuoja pojūčiai. Greičiausiai dėl to mums sunku įsivaizduoti, kad neįmanoma atlikti proceso ne objektui ir kad proceso rezultatu turi būto objektas. Prieš pateikiant kitą aiškinimą siūloma atlikti eksperimentą, kuris turėtų geriau įtikinti.

Promenade ir stroll – pasivaikščiojimas formalus ir kojomis.

Dėl geresnio efekto, antrą eksperimento dalį geriau nepradėti tol, kol iki galo neatlikta pirma eksperimento dalis.

Antroji eksperimento dalis rodo, kad struktūrinis vaikščiojimo formulavimas, lyginant su algoritminiu pirmoje eksperimento dalyje, sprendimą padaro gerokai paprastesniu.

Toliau Anna Sfard samprotauja pasitelkdama kognityviosios psichologijos žinias apie darbinės atminties ribotumą. Tuo būdu paaiškinama kodėl mokymasis ir problemų sprendimas gali būti efektyviau  vykdomi naudojant kompaktiškai formuluojamais apibūdinimais. Kuo problema sudėtingesnė, tuo svarbesnis tampa struktūrinis požiūris aukštesniame lygmenyje.

4.3. Reifikacijai būdingas sunkumas

Kodėl reifikacija yra tokia sunki? Kodėl patiems matematikams prireikė šimtmečių tam, kad pasiekti struktūrines versijas tokių svarbių sąvokų kaip skaičius ir funkcija?

Atsakymą lengvina pastebėjimas, kad reifikacija yra kokybinis pokytis, o ne kiekybinis. Jei trumpai, tai reifikacijai atsiradimas yra susijęs su subtiliu prasmės ir taikymų srities keitimu, su gebėjimu pakeisti iki tol pažįstamų dalykų matymą naujai.