Mokyklinėje matematikoje ypač daug sunkumų kelia funkcijos ribos, tolydumo ir diferencijuojamumo sąvokos. Šiame įraše bandau aiškintis sunkumų priežastis apžvelgdamas šių ir kitų susijusių sąvokų formavimosi raidą. Matysime, kad šioje sąvokų raidos evoliucijoje įdomų vaidmenį vaidina kintamojo dydžio sampratos įvairovė. Dėl to dažnai cituoju A. Cauchy 1821 darbą ir du tarpukario Lietuvos matematikos vadovėlius. Tikiuosi, kad toks aiškinimosi būdas bent jau paskatins tolesniems apmąstymams ir svarstymams susijusiems su mokykliniu kursu.
Intarpas po dviejų dienų, vasario 2 d: Buvau pamiršęs, kad ribos sąvokos aptarimas buvo vienas iš pirmųjų šio tinklaraščio įrašų Ribos apibrėžtis 2012 metų liepos 27 d. Manau, kad verta jį paskaityti prieš tęsiant šio įrašo skaitymą, jis bent jau gerokai trumpesnis.
Matematikoje dažnai sutinkama frazė ,,kintamasis dydis“, ar tiesiog ,,kintamasis“, yra simbolis, reiškiantis ne konkretų matematinį objektą, o galintis žymėti skirtingus matematinius objektus. Paprastai yra arba nežinomas ir ieškomas (kaip lygtyje) arba gali būti bet kuriuo aibės elementu. Pavyzdžiui, tegul 
Kita prasme kintamasis dydis atsiranda nagrinėjant aplinkos objektus, realius ar abstrakčius. Sakysiu, kad objektas yra dydis, jei su juo galima susieti vieną ar daugiau skaičių taip, kad šis siejimas būtų prasmingas. Pavyzdžiui, trikampio kampas yra dydis kai kuriuo nors būdu siejamas su skaičiais, žingsniuojančio žmogaus nueinamo kelio ilgis ir jo ėjimo laikas yra dydžiai. Šiuose pavyzdžiuose dydis vadinamas kintamuoju. Dydis yra pastovusis, jei jam priskiriamas vienintelis skaičius. Pavyzdžiui, žmogaus rankos pirštų skaičius. Tokia kintamojo dydžio samprata dominavo matematikoje iki 19 amžiaus, prieš atsirandant aibių teorijai. Ne loginė kintamojo dydžio samprata dažnai naudojama ir šiais laikais už matematikos ribų, pavyzdžiui, fizikinis dydis, kuris nėra konstanta.
Su dydžiais susijusios dvi be galo mažo dydžio sampratos. Pirma, kintamasis dydis 
Sprendžiant pagal kontekstą, mokyklinėje matematikoje ,,kintamojo dydžio“ frazė dažnai suprantama tiesmukai, t.y. kažkas, kas kinta ar juda. Pavyzdžiui, tiek vadovėliuose tiek ir matematikos ugdymo programoje kalbama apie ,,funkcijos kitimo greitį“, o pati funkcija aiškinama kaip ryšys tarp dviejų kintamųjų dydžių. Apie tai rašiau sausio 13 dienos įraše pavadinimu mokyklinės matematikos turinys: išvestinė. Kaip jau minėjau, šiame įraše bandau išsamiau pasiaiškinti šios frazės atsiradimą matematikos idėjų evoliucijoje ir pasvarstyti: Gal neverta atsisakyti visuomenėje paplitusio ne loginio jos supratimo ir galvoti apie kitokį matematinės analizės pagrindų mokymą mokykloje? Šį klausimą nagrinėsiu sąryšyje su ribos sąvoka, kurio tikslaus aiškinimo šių dienų mokykloje yra vengiama, manant, kad tai per daug sudėtinga.
Šiuolaikinėje matematikoje naudojama ribos sąvoka pasiūlyta K. Weierstrasso 19 amžiaus antroje pusėje ir yra funkcijos savybė. Būtent, funkcija 
Toliau šį funkcijos ribos apibrėžimą vadinsime 
jei kintamasis 
Šiame apibūdinime frazės ,,kintamasis artėja“ ir ,,funkcijos reikšmė artėja“ nėra aiškinamos ir jų prasmė laikoma akivaizdžia. Tačiau to akivaizdumo nepakako sprendžiant kai kurias 19 amžiaus matematikos problemas, pavyzdžiui, aiškinantis galimą egzistavimą tokios tolydžios funkcijos, kuri nėra diferencijuojama nei viename taške. Dėl to, vietoje (2) ribos apibrėžimo buvo pereita prie (1) apibrėžimo. Šis ribos patikslinimas susijęs su perėjimu prie aibių ir aksiominės realiųjų skaičių sampratos, atsisakant ankstesnės kintamojo dydžio sampratos. Be to, lyginant (1) ir (2) ribos apibrėžimus galime jausti, kad pirmasis yra ,,statinis“ (niekas ten nejuda), o antrasis yra ,,dinaminis“ (kažkas kažkur artėja).
Siūlau svarstyti klausimą: gal būt vietoje dabartinės funkcijos ribos sampratos verta pirmine sąvoka laikyti be galo mažą dydį?
Siūlymas reiškia atsisakymą mokyklinę matematiką grįsti aibių teorija, nes ir dabar ji yra tik tam tikras fonas naudojamas tradicijos dėlei. Tačiau aibių teorija galėtų išlikti tuo, kuo yra dabar – viena iš daugelio iliustracijų. Aibių teorijos kontekste apibrėžta ir į nulį konverguojanti funkcija būtų tik be galo mažo dydžio pavyzdys. Nemanau, kad toks siūlymas yra drastiškas, nes vis platesnį pripažinimą sulaukia siūlymas mokyklinėje analizėje naudoti infinitezimalinius dydžius. Manau, kad pasirinkimą turėtų lemti matematikoje ,,netreniruoto“ žmogaus intuicijos vertinimas. Būtų įdomu išgirsti šį tekstą skaitančių nuomones apie tai.
Tarp kitko, Liubomiras Kulviecas (1928-1995), buvęs Vilniaus pedagoginio universiteto profesorius, siekė tam tikru būdu matematizuoti fizikinius dydžius ir tokius juos naudoti fizikos ugdymui mokykloje. Tiksliau kalbant, kintamųjų dydžių fizikinius aspektus, tokius kaip laikas, jis įvilko į matematinį rūbą naudodamas vieną aibių teorijos alternatyvą, mereologiją, aksiomatizuojančią visumos ir dalies savybę. Čia paminėsiu tik vieną jo darbą ,,Klasikinė mechanika. Vadovėlio fragmentai“, Vilnius, 2013, vis pasirodantį jo dukters Donatos Kulviecaitės dėka. Bet pagrindinis jo darbas, be abejo, yra 1990 metais Maskvos valstybiniame universitete (MGU) apginta jo antroji disertacija ,,Laiko sampratos klasikinėje mechanikoje aksiominio pagrindimo problema“. Atrodo, kad šis žmogus yra mūsų aplinkoje nepripažinto gilaus mąstytojo pavyzdys.
Toliau savo siūlymo realumą iliustruosiu jau žinomais faktais iš Cauchy darbo ir iš dviejų tarpukario Lietuvos matematikos vadovėlių.
1. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo evoliucija
Mano svarstymas remiasi keliais faktais. Pirma, sąvokos ,,kintamasis“ ir ,,dydis“ yra matematinio nagrinėjimo objektas beveik visą matematikos vystymosi laikotarpį. Šiame įraše šių sąvokų turinio svarstymą apriboju laikotarpiu nuo 17 amžiaus iki dabar. Laikotarpio pradžioje I. Newtonas ir G. Leibnizas pasiūlė savo skirtingus kūno judėjimo matematinio apibūdinimus, kurie šiais laikais tapo diferencialiniu ir integraliniu skaičiavimu. Šio skaičiavimo pagrindimas šiuolaikinėje matematikoje turi du variantus: standartinę arba matematinę analizę (vis dar visuotinai pripažįstama dominuojančia matematikoje) ir nestandartinę analizę (po 1960-ųjų paprastai siejama su A. Robinsono vardu). Svarbiausias šiuos keturis amžius besirutuliojantis matematikos idėjų evoliucijos etapas yra 19 amžius. Tuo metu matematinė judėjimo teorija, kaip ir visa matematika, palaipsniui įgijo loginį pagrindimą, reiškiantį realiųjų skaičių aksiominę sampratą, Weierstrasso pasiūlytą funkcijos ribos sampratą (1), bei daugelį kitų dalykų. Nuo tada matematika tapo tokia, kokia ji yra šiandien.
Bet, tai yra oficiali matematikos istorijos versija. Šiek tiek kitokią aptariamos matematikos dalies vystymosi versiją galima rasti grupės matematikų parašytame straipsnyje Is mathematical history written by the victors? Jame infinitizimalinio dydžio vaidmuo matematikos istorijoje nušviečiamas nestandartinės analizės pasiekimų šviesoje. Būtent, parodomas kai kurių matematikų naudotų metodų nuoseklumas (angl. consistency), skiriant šią problemą nuo pagrįstumo (angl. rigour) klausimo. Tokiu būdu reabilituoti daugelis iki šiol neigiamai daugumos vertintini pasiekimai matematikoje.
Antra, pastaruoju metu pervertinamas L. Cauchy vaidmuo formuojant matematikos pagrindus. Iki šiol dominuojantis požiūris teigia, kad Cauchy darbuose iš esmės jau slypi ribos samprata (1), kurią jai vėliau suteikė Weierstrassas. Išsamus klausimo svarstymas paneigiant dominujantį mitą yra A. Boroviko ir M.G. Katzo straipsnis Who gave you the Cauchy-Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus. Atskirus šio vertinimo momentus bandau atskleisti žemiau.
Trečia, nors tiesiogiai šiame įraše nesiremiu nestandartine analize, bet jos egzistavimas yra svarbus tam apie ką rašau. Todėl manau verta šiek tiek pasiaiškinti kokiu būdu legalizuotas infinitizimalinis dydis kaip matematinis objektas. Priminsiu, kad infinitizimalinis dydis 
Tarkime, kad 
Pagrindinis logikoje įrodytas faktas yra tas, kad greta standartinio pasaulio 
Išsamiau ir aiškiau apie infinitezimalinio dydžio peripetijas ir nestandartinę analizę galima skaityti P.J. Davis, R. Hersh ir E.A. Marchisotto knygos The Mathematical Experience skyrelyje Nonstandard Analysis (261 pusl.). Man atrodo verta pacituoti vieną šio skyrelio paragrafą, kuriuo aiškinamas svarbiausias dalykas (276 pusl.):
When we say infinitesimals or monads exist, it should be clear that we do not mean this at all in the sense it would have been understood by Euclid or by Berkeley. Until 100 years ago it was tacitly assumed by all philosophers and mathematicians that the subject matter of mathematics was objectively real in a sense close to the sense in which the subject matter of physics is real. Whether infinitesimals did or did not exist was a question of fact, not too different from the question whether material atoms do or do not exist. Today many, perhaps most, mathematicians have no such conviction of the objective existence of the objects they study. Model theory entails no commitment one way or the other on such ontological questions. What mathematicians want from infinitesimals is not material existence but rather the right to use them in proofs. For this all one needs is the assurance that a proof using infinitesimals is no worse than one free of infinitesimals.
Bet šio įrašo pagrindine tema yra ne infinitezimaliniai dydžiai, o be galo maži dydžiai. Manau, kad jie yra gerokai artimesni tipiškai treniruoto matematiko intuicijai.
2. Be galo mažas dydis ir kitos analizės sąvokos Cauchy, Stoukous ir Juškos knygose.
Cituodamas A.-L. Cauchy (1789-1857) naudoju ne jo originalų 1821 metų darbą Cours d’Analyse de L’Ecole Royale Polytechnique, bet jo vertimą į anglų kalbą: Cauchy’s Cours d’analyse. An Annoted Translation by R.E. Bradley, C.E. Sandifer. Springer 2009. Ši knyga nėra koks nors analizės kursas. Tai knyga skirta suformuluoti analizės pagrindus pasiūlant naujus pagrindinių sąvokų apibrėžimus ir pavyzdžius. Kiti Cauchy darbai yra naujų matematikos faktų paieška naudojant šiuos pagrindus.
Taigi pagal Cauchy, kintamasis dydis yra pirminė analizės sąvoka (p. 6):
We call a quantity variable if it can be considered as able to take on successively many different values. We normally denote such a quantity by a letter taken from the end of the alphabet. On the other hand, a quantity is called constant, ordinarily denoted by a letter from the beginning of the alphabet, if it takes on a fixed and determined value. When the values successively attributed to a particular variable indefinitely approach a fixed value in such a way as to end up by differing from it by as little as we wish, this fixed value is called the limit of all the other values. (čia ir toliau pajuodinta mano)
Prisiminkime, kad tais 1821 metais aibių teorijos ir jos pagalba formuluojamos ribos (1) dar nebuvo. Pagal Cauchy riba apibrėžiama ne funkcijai bet kintamajam dydžiui. Toliau apibrėžiamas be galo mažas dydis (p. 7):
When the successive numerical values of such a variable decrease indefinitely, in such a way as to fall below any given number, this variable becomes what we call infinitesimal, or an infinitely small quantity. A variable of this kind has zero as its limit.
When the successive numerical values of a given variable increase more and more in such a way as to rise above any given number, we say that this variable has positive infinity as its limit, denoted by the symbol ∞, if it is a positive variable, and negative infinity, denoted by −∞, if it is a negative variable. The infinities, positive and negative, are designated together by the name of infinite quantities.
Toliau pacituosiu be galo mažo dydžio sampratą iš J. Stoukaus vadovėlio Begalinių mažybių analizio pagrindai. Kaunas, Vyties b-vė, 1925. Pradedama nuo pastovaus ir kintamojo dydžio apibūdinimo pavyzdžiais. Toliau rašoma (3 p.):
Kintamąjį dydį vadina begaline mažybe [..] jei, bekintant jam tam tikru būdu, absoliutinis jo didumas gali darytis ir likti mažesnis už bet kurį duotąjį mažą teigiamą dydį.
Matome, kad Stoukous begalinė mažybė iš esmės nesiskiria nuo Cauchy be galo mažo dydžio. Toliau Stoukus parodo, kad sudedant, atimant ir dauginant begalines mažybes gauname vėl begalines mažybes. Cauchy knygoje be galo mažų dydžių aritmetika išvystyta gerokai toliau.
Galiausiai pažiūrėkime į A. Juškos vadovėlį Matematinės analizės pagrindai. Kaunas, Sakalo b-vė, 1934 metai. ^ioje knygoje kintamasis dydis taip pat yra pirmine sąvoka. Toliau autorius tiesiogiai nenaudoja begalinės mažybės, tačiau su kintamuoju dydžiu elgiasi taip kaip Cauchy ir Stoukus su begaline mažybe. Iš karto po trumpo kintamojo dydžio paminėjimo Juška apibrėžia funkcijos sąvoką (28 pusl.):
Jei tarp dviejų ar daugiau kintamųjų dydžių yra toks ryšys, kad kintant vieniems dydžiams, būtinai kinta kiti, tai mes sakome, kad tie kiti dydžiai yra pirmųjų funkcijos. Šiuo tarpu tekalbėsime apie dvejetą kintamųjų dydžių, kurių vienas laisvai kinta ir esti vadinamas argumentu, o antras kinta pareinamai nuo šito pirmojo. Sakome, antras yra pirmojo funkcija.
Taip pat funkciją apibrėžia Stoukus (žr. 24 pusl.) ir Cauchy (17 pusl.):
When variable quantities are related to each other such that the value of one of the variables being given one can find the values of all the other variables, we normally consider these various quantities to be expressed by means of the one among them, which therefore takes the name the independent variable. The other quantities expressed by means of the independent variable are called functions of that variable.
Toliau pereinu prie tolydžiosios funkcijos sampratos pradėdamas nuo Cauchy (26 pusl.):
Let f (x) be a function of the variable x, and suppose that for each value of x between two given limits, the function always takes a unique finite value. If, beginning with a value of x contained between these limits, we add to the variable x an infinitely small increment a, the function itself is incremented by the difference
f (x+a)− f (x),
which depends both on the new variable a and on the value of x. Given this, the function f (x) is a continuous function of x between the assigned limits if, for each value of x between these limits, the numerical value of the difference
f (x+a)− f (x)
decreases indefinitely with the numerical value of a. In other words, the function f (x) is continuous with respect to x between the given limits if, between these limits, an infinitely small increment in the variable always produces an infinitely small increment in the function itself.
Verta atkreipti dėmesį į tai, kad funkcijos tolydumas apibrėžiamas ne taške, o visame intervale.
Stoukus tolydžią funkciją apibrėžia taip (28 pusl.):
Tyrinėjant funkcijas, argumentas paprastai laikomas duotajame tarpe 
Jeigu argumentas, bekisdamas, pereina nuo reikšmės 
Funkcija f(x) vadinasi netruki argumento kitimo tarpe nuo 
Galiausiai pacituosiu Juškos formuluojamą funkcijos tolydumo apibrėžimą (31 pusl.):
Griežčiau ir matematiškiau tolydinę funkciją taip formuluojame: kuri nors funkcija 
Norint Juškos apibrėžime galima bandyti įžvelgti panašumą į (1) apibrėžimą, kurį maždaug prieš 50 metų buvo pasiūlęs Weierstrassas. Manau, kad neverta, nes Juška toliau savo vadovėlyje naudoja argumentus panašius į tuos, kurie remiasi be galo mažais dydžiais. Pavyzdžiui, prieš įrodydamas sudėtinės funkcijos (funkcijų kompozicijos) diferencijavimo taisyklę, jis (šių laikų požiūriu standartinę) funkcijos išvestinės sąvoką papildo jos diferencialo sąvoka taip (53 pusl.):
Iš lygčių, kurios pasako, kas yra išvestinė, būtent, iš
galima parašyti, kad
kur
arba
Juo mažesnis bus argumento ir (tolydinės) funkcijos pakitėjimas juo mažesnis bus ir 
Kadangi, be to,
tai matyti, kad iš diferencialų galima dalyti ir dauginti, kaip iš paprastų algebrinių dydžių. Funkcijos diferencialo reiškinys (4) padeda įrodyti, kaip reikia diferencijuoti sudėtinės ir atvirkštinės funkcijos.
Juška toliau savo vadovėlyje tai ir padaro. Be to, pagalvokime, kaip iš (3) jis gauna (4). Nematau, kito argumento kaip tai, kad aukštesnės eilės be galo mažus dydžius galima atmesti, kai lygybė suprantama atitinkamai tarp be galo mažų dydžių. Nuo Leibnizo laikų šis argumentas turi savo vardą transcendental law of homogeneity. Taigi, manau, kad Juška per paradines duris išspyręs be galo mažus dydžius, juo vės įsileidžia per užpakalines duris, paslapčia. Bet tai nėra mano kokia nors kritika. Man tai rodo, kad samprotavimai su be galo mažais dydžiais daugeliui žmonių yra intuityviai suprantami. Reikia prisiminti, kad Juška buvo astronomas, o ne matematikas.
Šie pavyzdžiai manau yra neblogas pagrindas aukščiau suformuluotam pasvarstymui: gal būt vietoje dabartinės funkcijos ribos sampratos verta pirmine sąvoka laikyti be galo mažą dydį? Stoukous ir Juškos vadovėliuose visai neužsimenama apie aibės sąvoką, jos jiems visai nereikia. Taigi, šie dalykai manau atitinkamai nušviečia ir šių dienų matematikos vadovėlių turinį, kuriuose kartu naudojami ir kintamasis dydis ir aibės sąvoka. Viskas nuolat perpinama, o realaus pasaulio pavyzdžiai galutinai nusveria ne loginei kintamojo dydžio sampratai. Nėra ko stebėtis, kad šių dienų matematinio ugdymo programoje kalbama apie ,,funkcijos kitimo greitį“ (žr. mano ankstesnį įrašą čia).
Sveikas Rimai,
Citatoje :
„When the values SUCCESSIVELY attributed to a particular variable indefinitely approach a fixed value in such a way as to end up by differing from it by as little as we wish, this fixed value is called the limit of all the other values“
matyt, neišreikštiniu būdų kalbama apie seką (sekos ribą). Priešingu atveju turėtume rūpesčių su, pvz. visur tiršta aibe, kurios ribinių taškų ne vienas.
Apskritai, fizikinis „artėjimas“, geometrinis vaizdas yra geri pagalbininkai, kuriuos eliminuotų abstrakti „begaliniai mažo dydžio sąvoka“. Suprantu, kad dėl skonio nesiginčijama ir nepraktikuojančio geometrinių įvaizdžių pateiktas argumentas neįtikins.
M.
Labas M.
Pagal tavo cituojamą sakinį, kintamojo dydžio reikšmės „end up“ tuo, kas skiriasi nuo ribos kaip norimai mažai. Apie ribą, pavyzdžiui realujį skaičių, gali būti mažutis ,,debesėlis“, į kurį patenka kintamojo dydžio reikšmės. ,,Debesėlį“ sudarantys objektai gali būti skirtingi ir vienas iš jų pavadinamas riba. Čia pabandžiau pafantazuoti, kai nesinaudojame šiuolaikine matematinės analizės teorija, kurios Cauchy nežinojo, nes jos nebuvo. Nebuvo ir aibės sąvokos, tokios kokią mes suprantame dabar. Logiškai nepriekaištingą prasmę debesėlio įvaizdžiui suteikia hiperrealiųjų skaičių teorija. Bet gal galimas ir kitoks paaiškinimas.