Matematika ir jos mokymas

Tekstas diskutuotas Consilium Educationis 2017 balandžio 20 d.   Pristatymo planas: 

o   Matematinio samprotavimo atsisakymas – klaida matematikos mokyme;

o   PISA tyrimas apie grynosios matematikos reikšmę mokinių pasiekimams;

o   Matematikos mokymas geografiniame ir istoriniame kontekste – nesėkmės ir pasiekimai iš kurių nesimokome;

o   Matematikos mokymo Lietuvoje perspektyvos;

o   Papildymas – matematikos mokytojų žinios ir jų ruošimas skirtingose švietimo sistemose.

Matematinio samprotavimo atsisakymas – klaida matematikos mokyme.

Matematiniu samprotavimu vadinu matematinį diskursą, kuriam būdinga:

 – kiekviena sąvoka yra apibrėžiama;

– kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma;

– kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu;

– kiekviena nauja sąvoka formuojama turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalimi;

– matematikos žinios yra orientuotos į tikslą ir sprendžia kurią nors problemą.

Matematinis samprotavimas siekia supratimo, aiškumo, tikslumo ir tuo skiriasi nuo mokymosi, kuriame svarbu tik gebėjimas naudotis standartiniais algoritmais, nesuprantant jų prasmės.

Matematinio samprotavimo iliustracija.

Apibrėžtis. Skaičius yra taškas (skaičių) tiesėje.

Apibrėžtis. Teigiamų skaičių a ir b suma  a+b yra dešinysis galas intervalo, gaunamo apjungus vieną greta kito padėtus intervalus [0,a] ir [0,b]:

     ————————-|—————-|—————————|————————->

                                   0                   a                               a+b

Teorema. Trupmenų   ir    suma yra trupmena  .

Įrodymas. Intervalus ir   nuosekliai padaliname ilgio intervalais ir  suskaičiuojame kiek jų telpa.

Matematiniu samprotavimu iš prielaidų ir apibrėžimų gaunami nauji teiginiai. Matematinis samprotavimas yra įmanomas tik tada, kai sąvokos yra tarpusavyje susijusios. Pavyzdžiui, ,,natūralusis skaičius yra trupmena, kurios vardiklis lygus vienetui“, arba ,,trupmena yra skaičius“. Tokiais loginiais ryšiais susijusios sąvokos sudaro hierarchinę struktūrą, arba sąvokų medžius.

Matematinis samprotavimas yra panašus į formalųjį įrodymą akademinėje matematikoje, bet ir skirtingas. Įrodymas akademinėje matematikoje yra dedukcinis samprotavimas siejantis šiuolaikinės matematikos faktus, apibrėžimus ir aksiomas, kurių nėra ir negali būti mokyklinėje matematikoje.  Tačiau mokyklinėje matematikoje yra įmanomas ir būtinas loginis samprotavimas (įrodymas) siejantis mokyklinės matematikos sąvokas, kurios sudaro savo struktūrą.

Naudojant vaizdingą palyginimą, mokyklinės matematikos žinios yra susijusios su akademinės matematikos žiniomis, kaip žaislas (pavyzdžiui, žaislinis lėktuvas) yra susijęs su realiu objektu (tikru lėktuvu). Žaislas gali būti įvairaus tikslumo, nuo primityvaus iki skraidančio modelio. Panašiai yra su mokyklinės matematikos struktūra ir samprotavimu; nuo paprasto pradiniame ugdyme iki sudėtingesnio mokymosi pabaigoje.

Įrodymo akademinėje matematikoje ir įrodymo mokyklinėje matematikoje tapatinimas yra žalingas nesusipratimas. Tapatinant šias sampratas, galima nesunkiai pademonstruoti, kad įrodymas nesuprantamas daugeliui mokinių.

PISA tyrimas apie grynosios matematikos reikšmę mokinių pasiekimams.

Pagal studiją Equations and Inequalities . Making Mathematics Accessible to All. OECD Publ. 2016

Tyrimo rezultatai rodo, kad mokinių pažintis su grynąja matematika ir jų pasiekimai matematikoje yra stipriai susiję ir šis ryšys stiprėja, kai sunkėja matematikos užduotys.

[originalas: The results show that exposure to pure mathematics has a strong association with performance that tends to increase as the difficulty of mathematics problems increases.]

Ryšys tarp mokinių pažinties su grynąja matematika ir jų pasiekimais, bei mokinių pažinties su taikomąja matematika ir jų pasiekimais išreiškiamas kiekybiškai. Pavyzdžiui, pažinties su grynąja matematika indekso padidėjimas vienu vienetu, Lietuvos vidutinio moksleivio įvertinimą PISA pasiekimų skalėje padidina 36 taškais. Tuo tarpu, pažinties su taikomąja matematika indekso padidėjimas vienu vienetu, Lietuvos vidutinio moksleivio įvertinimą PISA pasiekimų skalėje padidina tik 8 taškais.    

Mokinių pažintis su grynąja matematika matuojama jų deklaruota patirtimi su tomis matematikos užduotimis, kurios sprendžiamos pamokų metu mokykloje, ir kurioms reikia algebros žinių (tiesinės ir kvadratinės lygtys).  Ši patirtis įvertinama indeksu vadinama normuota skale (jos nuliu yra OECD vidurkis, o standartinis nuokrypis lygus vienam).

Mokinių pažintis su taikomąja matematika matuojama jų deklaruota patirtimi atitinkamomis matematikos užduotimis, kurios sprendžiamos pamokų metu mokykloje. Užduoties pavyzdys: naudojant traukinių tvarkaraštį, apskaičiuoti kaip ilgai reikia keliauti traukiniu iš vienos vietos į kitą. Kitos užduoties pavyzdys: apskaičiuoti kiek padidės kompiuterio kaina, jei į ją bus įskaičiuoti mokesčiai. Pažintis su taikomąja matematika taip pat įvertinama analogiška normuota skale, vadinama indeksu.

Šio tyrimo išvados daugumai yra akivaizdžios. Tačiau mums svarbios todėl, kad Lietuvos švietimo bendruomenei mokinių pasiekimai PISA tyrimuose yra kokybės standartas. Tokia yra realybė.

Matematikos mokymas geografiniame ir istoriniame kontekste.

Matematikos mokymo peripetijos ir matematinio samprotavimo vaidmuo yra geriau suprantami atsižvelgus į tai, kas vyko už Lietuvos ribų, bei vertinant savo pasiekimus pasaulio kontekste. Šis kontekstas mums mažai žinomas, nes matematika mūsų kultūroje nėra tokia svarbi kaip pas mūsų kaimynus.

Matematikos mokymo istorija rodo, kad jos lygį (kokybę) konkrečioje valstybėje lėmė dydis tos visuomenės dalies, kuriai prieinamas matematikos mokymas, ir vyriausybės rūpestis matematikos mokytojų kvalifikacija. Šiems faktoriams būdinga tai, kad nesirūpinant mokytojų kvalifikacija ir didėjant besimokančių matematikos skaičiui, lygis krenta. Šios problemas pasireiškimas buvo mažinamas sudarant tokias sąlygas, kai matematika prieinama tik elitui. Tai buvo veiksminga tol, kol nebuvo judėjimo laisvės. Kiekvienos konkrečios valstybės matematikos mokymosi lygį daugiau ar mažiau įtakoja specifiniai faktoriai.

Matematikos mokymas Rusijoje. Taip atsitiko, kad Petras I-asis 1730 metais į Peterburgą pasikvietė Leonhard‘ą Euler‘į, kuris ten praleido didžiąją savo gyvenimo dalį. Būdamas ne tik geriausiu to meto matematiku, Euler‘is parašė matematikos vadovėlius mokyklai. Jie buvo išversti ne tik į rusų kalbą, bet ir į pagrindines Europos valstybių kalbas. Euler‘io vadovėliaibuvo naudojami 150 metų ir padarė didžiulį poveikį mokyklinei matematikai.

Nuo Euler‘io laikų matematika Rusijoje buvo pagrindiniu mokomu dalyku. Iš pradžių, kaip ir kitose Europos valstybėse, buvęs elitiniu matematikos mokymas Rusijoje, palaipsniui tapo dviejų lygių – vienas elitui ir kitas likusiai visuomenės daliai. 20 amžiuje matematikos mokymas SSRS išsiskyrė savo giliais matematikos mokymo(si) psichologijos tyrimais, nuosekliu matematikos mokytojų ruošimu ir nepriklausomumu nuo vakaruose vykusių pokyčių matematikos mokyme. Dar daugiau, (gimęs Vilniuje ir įgyjęs ten išsilavinimą) amerikiečių matematikas Izaak’as Wirszup’as, ilgą laiką stebėjo matematikos mokymo sistemą SSRS ir 1981 metais viešai paskelbė išvadą apie jos pranašumą lyginant su kitomis pasaulio matematikos mokymo sistemomis ( The Soviet Challenge ,1981).

Matematikos mokymas Europoje iki 1960-ųjų. Vakarų Europoje jėzuitų ir protestantų prižiūrimą švietimą pakeitė Prancūzų Revoliucija ir Napoleono valdymas. Nuo 19 amžiaus pradžios atsiranda vyriausybės proteguojamas švietimas siekiantis lavinti būsimus valstybės tarnautojus ir karininkus. Prancūzijoje tokį švietimą realizavo lycees ir Ecole Polytechnique, kuriame mokėsi elitas (iki 3% berniukų), bei kolegijos, kuriose mokėsi likusi visuomenė dalis. Lycees pagrindinėmis disciplinomis buvo lotynų kalba ir matematika, mokomos tokiu lygiu, kad paruoštu mokymuisi Ecole Polytechnique. Matematika buvo laikoma proto galias formuojanti disciplina. Kolegijose vietoje matematikos buvo mokoma skaičiavimo pakankamo kasdieniniam gyvenimui, komercijai. Prancūzijos švietimo sistema buvo kopijuojama ir tobulinama kai kurių  kitų Europos valstybių.

Siekiant išsaugoti matematikos mokymo lygį jam tampant visuotiniu ir privalomu, 1908 metais įkurta Matematikos mokymo tarptautinė komisija (International Commission on Mathematics Instruction), kurios nariai buvo Vokietija, Anglija ir Šveicarija. Pagrindinis organizacijos tikslas skatinti geresnį visų lygių matematikos mokymą. Organizacija turi Tarptautinės matematikų draugijos mandatą analizuoti skirtingų šalių vidurinio matematikos mokymo panašumus ir skirtumus. Organizacijos Generalinė asamblėja renkasi kas keturi metai į tarptautinius kongresus. Dabar organizacijai priklauso 93 šalys. Kiekviena šalis gali paskirti savo atstovą, kuris tampa tarpininku tarp organizacijos ir tos šalies matematinio švietimo bendruomenės.

20 amžiaus trečiajame dešimtmetyje, pasibaigus  ,,kalimo teorijos“ (,,drill theory“) populiarumo laikotarpiui, matematikos mokyme atsirado matematikos supratimą skatinanti tendencija. Tuo metu to supratimo siekta naudojant naujus mokymo metodus, o klausimas ,,kaip mokyti?“ buvo svarbiausiu. Kartu, tiek Europoje, tiek ir Amerikoje, buvo bandoma keisti matematikos mokymo turinį ruošiant naujas programas ir vadovėlius. Tačiau tokių bandymų rezultatai nebuvo įgyvendinti.

Nuo Eulerio laikų, maždaug iki 1960-ųjų, Europoje ir už jos ribų, matematikos mokymas turinio prasme daugiau ar mažiau buvo vieningas. Pradinėje mokykloje – aritmetika. Vidurinėje mokykloje – algebra ir plokštumos figūrų geometrija. Paskutinėse klasėse – erdvinių kūnų geometrija, trigonometrija ir analizinę geometrija. Dėl išorinių aplinkybių ši situacija pasikeitė apie 1960-uosius.

Matematikos mokymas po 1960-ųjų metų.

Padėtis pasikeitė po 1957-ųjų metų, kai sovietai į kosmosą paleido Sputniką. Atsakydami į tai, amerikiečiai nusprendė iš esmės pagerinti matematikos mokymą. Amerikiečių ryžtas ir būdas keisti mokyklinę matematiką persikėlė į Europą padedant EBPO pirmtakui. Ši organizacija 1959 Prancūzijoje organizavo Royaumont Seminarą, kuris išplėtė amerikiečių reformą į Europą ir papildė ją Jean Dieudonne pasiūlymu atsisakyti Euklido geometrijos kaip pasenusios.  Ši reforma pradėta vadinti New Math judėjimu (Europoje – Mathèmatiques Modernes).

Nuo tada matematikos mokymo veikloje geografiniu požiūriu galima išskirti dvi stovyklas – Vakarų ir Rytų.  Vakarų stovyklai priklausė Europos ir šiaurės Amerikos valstybės, kurias atstovavo JAV. Rytų stovyklą atstovavo Rusija (anksčiau SSRS).  Kaip klostėsi matematikos mokymas Vakarų stovykloje?

New Math judėjimas (1959-1970). Kaip ir jo analogas Europoje, New Math judėjimas Amerikoje atsirado skatinamas kelių tendencijų:

o   Šaltojo karo priešpriešos ir visuomenėje stiprėjančio suvokimo apie matematikos, mokslo ir technologijų svarbos nacionaliniam saugumui;

o   Bourbaki  vardu pasivadinusios matematikų grupės darbuose propaguojamo aksiominio metodo matematikoje populiarumo;

o   Suvokimo, kad tuometinė matematikos programa neturėjo nieko bendro su šiais pasiekimais;

o   Žemo matematikos mokymo lygio mokyklose.

Judėjimą skatino greitų rezultatų siekis ir visuomenės, bei žiniasklaidos spaudimas. Mokyklinės matematikos programa buvo keičiama skubiai ir neapgalvotai, ne nuo pradinio mokymo, o kai kuriais atvejais pokyčiai pradėti nuo 10-12 klasių, vadovėliai nepatikrinti, mokytojai neparuošti.

New Math judėjimas pakeitė matematikos mokymo metodų tobulinimo tendenciją, nukreipdamas dėmesį į matematikos turinį. Anksčiau pagrindiniu laikytą klausimą ,,kaip mokyti?“ pakeitė klausimas ,,ką mokyti?“.  H. Bass, 2005  nuomone, New Math pastangos padaryti mokyklinę matematiką struktūra išlieka labai reikšmingos ir šių pastangų žlugimas susilpnino mokyklinę matematiką. Pagrindine klaida buvo iš akademinės matematikos be didelių pakeitimų perkelto aksiominio formalizmo naudojimas.

New Math judėjimas skirtingose valstybėse turėjo skirtingas pasekmes. Pavyzdžiui, Suomijoje ( G. Malaty, 2010 )  ir  Estijoje  ( M. Lepik, 2009, p. 59 ) šio judėjimo analogai tose šalyse, vertinami labai teigiamai. Tam įtakos turėjo geresnis pasiruošimas  reformai ir tinkamesnė aplinka.

Back-to-basics judėjimas (1970-1980). Kaip ir New Math atveju, judėjimo pagrindiniais iniciatoriais buvo viešoji nuomonė ir žiniasklaida. Nesuprasdami naujosios programos, tėvai nesugebėjo padėti savo vaikams ir piktinosi savo augintinių negebėjimu atlikti paprasčiausius aritmetikos veiksmus. Tam pritarė kai kurie matematikos mokymo specialistai ir matematikai.

Back-to-basics judėjimas siekė padaryti mokyklinę matematiką glaudžiai susijusia su kasdieniniu gyvenimu, padaryti matematiką labiau praktine negu teorine. Kai kurie specialistai abejojo galimybe vaikus supažindinti su matematika, nes jos supratimas tariamai yra neįmanomas. Todėl, pasak judėjimo dalyvių, pagrindinis dėmesys turi būti skiriamas išmokyti taikyti matematikos procedūras kasdieninėje žmogaus veikloje ( G. Malaty, 1988 ).  Tačiau dėmesys ,,pagrindams“ nepagerino mokinių skaičiavimo įgūdžių.

Problem-solving judėjimas. 1980 metais amerikiečių Matematikos mokytojų nacionalinė taryba (National Council Teachers of Mathematics) paskelbė An Agenda for Action, o 1983 metais JAV Švietimo departamentas paskelbė A Nation at Risk. Šiuose dokumentuose pripažinta, kad išskirtinis dėmesys ,,pagrindams” buvo klaida. Teigta, kad pagrindiniu mokyklinės matematikos tikslu turėtų būti ,,problemų sprendimo”  įgūdžių ugdymas. Tačiau ,,problemomis” vadintos realaus gyvenimo kontekste formuluojamos procedūrinės užduotys buvo tik problemų sprendimo parodijomis (A.H.Schoenfeld, 2004 ).

To laikotarpio situaciją (G. Malaty, 1998) iliustruoja pavyzdžiu. Apie 1980-uosius, septintos klasės vadovėlyje prašoma apskaičiuoti stačiojo trikampio plotą, kurio įžambinės ilgis 8 cm ir į ją besiremiančios aukštinės ilgis 5 cm. Daugelį metų mokiniai buvo teigiamai vertinami, jei jie sudaugino 5 ir 8, bei padadalino iš 2 gaudami vadinamojo ,,stačiojo trikampio” plotą 20 cm². Kai Malaty įvairiuose mokytojų kursuose atkreipdavo dėmesį į neegzistuojantį trikampį, šie atsakydavo ,,na ir kas?”, ,,tai visai nerimta klaida”, ,,reikia džiaugtis, kad mokinys suskaičiuoja plotą pagal žinomą formulę”. Vėliau Malaty prašydavo mokytojų įrodyti, kad toks statusis trikampis neegzistuoja. Su dideliais vargais, mažiau kaip 1% mokytojų, tai padarydavo.

Mathematics Standards (nuo 1990 iki šiol). Šio, paskutinio etapo, pradžia siejama su matematikos mokytojų iniciatyva. Skatinama silpnų pasiekimų matematikos mokyme ir kitų problemų, Matematikos mokytojų nacionalinė taryba paskelbė naują programą Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, vadinamą tiesiog ,,standartais“ (buvo keli jos variantai – 1989, 1991, 1995, 2000). ,,Standartuose“ buvo formuluojami mokymo programos kokybės ir vertinimo kriterijai. Jie buvo bendro pobūdžio ir galėjo būti skirtingai interpretuojami (vadintas šūkių rinkiniu). Dešimtmetis po ,,standartų“ atsiradimo nebuvo naujųjų programų efektyvumo tyrimo rezultatų. ,,Standartai“ sukėlė labai karštas ir emocionalias diskusijas viešojoje erdvėje, kurios žinomos  kaip matematikos karai (A.H.Schoenfeld, 2004).

Po 2000-ųjų metų, į diskusiją apie ,,standartus“ įsijungus matematikams, buvo sukurtas daugumai priimtinas variantas, vadinamas Common Core State Standards, kuriame iš esmės susitarta dėl to ką ir kaip mokyti (matematikos ir anglų kalbos dalykus). Šiuose standartuose mokyklinė matematika tapo panašia į matematiką, t.y. joje atsispindi MS apie kurį rašau teksto pradžioje.

Matematikos mokymo tendencijos Amerikoje ir Suomijoje (pagal Kupari 1999):

 Matematikos mokymo Lietuvoje perspektyvos.

Suomio  M.S. Hannula, 2009, p. 11-18  vertinimu: Atrodo, kad Rytų Europa iš lėto gręžiasi į vakarus perimdama vakarietišką požiūrį ir tyrimų darbotvarkę. Rusija ir daugelis rytų Europos šalių vis dar randasi už vakarų mokyklos ribų.  Tose šalyse didžiausią dėmesį susilaukia tik talentingų vaikų ugdymas ir jų ruošimas matematikos olimpiadoms.

[originalas: The Eastern Europe seems to be slowly turning to west, adopting western frameworks and research agendas. Russia and many eastern European countries have to a large extent remained outside the [Psychology of Mathematics Education]  community. There the main interest seems to lie on education of the talented few, with a special interest on excelling in mathematics Olympiads.]

 Kitas suomis ( G. Malaty, 1999 ) rašo:

The changes in European political life at the end of the 80s and the collapse of the Soviet Union at the beginning of the 90s have brought pressure on the Eastern countries to change their mathematics education. In relatively small countries like the Baltic countries, changing mathematics curriculum to be similar to that of Western countries has become an urgent issue. It has been an urgent need to stress the independence from Russia and belonging to Western Europe. Moreover, the attractive-looking Western textbooks have inspired these countries to match mathematics education in the West with the attractive-looking Western style of life. The effect of Western mathematics education on Eastern mathematics education is increasing all the time, to even touch mathematics education in Russia.

 Lietuva yra tarp tų Rytų Europos šalių, kurios didžiausią dėmesį skiria tik talentingų vaikų ugdymui ir jų ruošimui matematikos olimpiadoms. Aiškindamas tokią situaciją, R. Kudžma, 2009, p. 45-55 rašo, kad Lietuvoje nėra tinkamų sąlygų matematikos mokymo tyrimams. Būtent, jo teigimu, Lietuvos mokslo klasifikatoriuje nėra ,,mathematics education“ dalies ir šios dalies darbai nėra teigiamai vertinami kitose srityse (matematika, socialiniai mokslai). Taip pat jis teigia, kad dauguma ,,mathematics education“ dalies darbų publikuojama konferencijos darbuose, kurie neturi Impact Factor. Tai sukelia problemas norint vadovauti disertacijų rašymui.

Tačiau, ,,Mathematics education“ yra matematikos klasifikatoriaus dalimi (97.XX):

Šios ir kitos temos turi smulkesnes potemes. Pavyzdžiui:

Darbai šiomis temomis publikuojami daugybėje tarptautinių žurnalu. Kai kurie jų turi Impact Factor.

Išvados:

o   Klausimas ,,kodėl?“ yra svarbiausias matematikoje, o atsakymas į šį klausimą ieškomas samprotavimo būdu. Motyvacija mokytis matematikos atsiranda ją suprantant. Todėl turime siekti supažindinti vaikus su šiais matematikos bruožais.

o   Siekimas mokyti matematiką kaip pasaulio pažinimą, kasdieninio gyvenimo problemų sprendimą, fiziškai ar vizualiai pavaizduojamą yra bandymas apgauti save ir kitus. Kelis pastaruosius dešimtmečius mes kopijavome selektyviai pasirinktas priemones kitose šalyse pagal savo įsivaizduojamą matematikos vaidmenį visuomenėje. Nenuostabu, kad turime tas pačias pasekmes.

o   Lietuvoje beveik nėra profesionalų dirbančių matematikos turinio srityje (su išimtimis, pvz. LEU doc.dr. Vaiva Grabauskienė). Todėl šiuo metu nėra galimybių tinkamai ruošti matematikos mokytojus. Taip pat neturime tinkamų matematikos vadovėlių.

o   Kokiu bus matematikos mokymas Lietuvoje ateityje priklauso nuo to ar sugebėsime sustoti, pažvelgti į save kritiškai ir pagalvoti kokia kryptimi turime eiti, jei norime išlikti pilnaverte tauta. Nuoširdus klaidų pripažinimas yra būtina sąlyga jas taisyti. Matematinio švietimo padėtis yra tokia bloga, kad jai ištaisyti reikia mobilizuoti visas galimybes ir išteklius.

o   Matematika yra loginė struktūra. Jos grąžinimui į mokyklos turinį ir tolesniam tobulinimui reikia daug laiko. Pirmiausia turime sudaryti sąlygas atsirasti matematikos mokymo profesionalams. Toliau reikalinga paruošti detalų sąvokų loginės struktūros medį, paruošti medžiagą mokytojams, parašyti naujus vadovėlius pradedant pradiniu ugdymu ir atlikti eksperimentus mokyklose. Reforma gali vykti tik palaipsniui.

 Matematikos mokytojų žinios ir jų ruošimas skirtingose švietimo sistemose.

Lietuvoje, ruošiant matematikos mokytojus daroma prielaida, kad aukštosios matematikos žinios yra pakankamos įgyti dalykines kompetencijas. Tikima, kad aukštoji matematika savaime suteikia mokytojui elementariosios matematikos žinias. Tyrimai rodo, kad šiuolaikinės algebros supratimas neturi reikšmingos koreliacijos su mokinių pasiekimais mokyklinėje algebroje. Tuo tarpu mokytojų žinios apie realiųjų skaičių sistemas turi reikšmingą teigiamą koreliaciją su mokinių pasiekimais mokyklinėje algebroje. Kiti tyrimai parodė, kad matematikos bakalaurą turintys matematikos mokytojai negali mokiniui suprantama kalba paaiškinti, pavyzdžiui, aritmetikos veiksmų su trupmenomis. Nenuostabu, nes universitete racionalieji skaičiai ir jų aritmetika apibrėžiami aksiomomis arba konstruojami naudojant ekvivalentumo klases. Šios žinios netinka racionaliuosius skaičius aiškinti 5-oje ar 6-je klasėje. 

Paprastai, matematiką universitete baigęs mokytojas, elementariąją matematiką moko taip, kaip jis pats buvo mokomas kai mokėsi mokykloje, t.y. procedūras moko mintinai, be paaiškinimų. Norint ugdyti matematinį samprotavimą atsiranda būtinumas ne tik gebėti paaiškinti standartines procedūras, bet ir būti pasiruošusiam atsakyti į bet kurį su matematiniu samprotavimu susijusį klausimą. Tokie klausimai nebūtinai susiję su procedūromis. Pavyzdžiui, klasėje gali iškilti būtinumas atsakyti į klausimą: ar visada trupmena yra tarp trupmenų ir ? Mokiniai nesunkiai gali patikrinti, ar ši savybė teisinga kiekvienu konkrečiu atveju. Po to jie gali paklausti mokytojo ar tai garantuoja, kad ta pati savybė teisinga bet kuriai kitai konkrečiai trupmenų porai.

Pastaraisiais dešimtmečiais sparčiai plėtojama taikomosios matematikos sritis, kurios tyrimo objektu yra matematikos žinios, kurios reikalingos matematikos mokytojui (G.J. Stylianides, A.J. Stylianides, 2010 ). Šios srities tyrimo objektu yra ,,matematika mokytojams“ (angl. Mathematics for Teaching).  Ji yra platesnė už matematikos mokymo turinį ir skiriasi nuo akademinės matematikos. ,,Matematikos žinios mokytojams“ (angl. Mathematics Knowledge for Teaching) apibūdina tą matematikos žinių turinį, kuris reikalingas matematikos mokytojui.

Ruošiant būsimus ir esamus matematikos mokytojus studijų programoje turi būti Matematikos žinios mokytojams. Lietuvoje tai tampa problema, kai mokytojai ruošiami pagal gretutinių studijų programą. Tokiu atveju ,,matematika mokytojams“ neturi galimybių tapti nei pagrindinių matematikos studijų, nei papildomų dalyko pedagogikos studijų mokomuoju dalyku. Tokių studijų skelbimas esant ,,geriausių mokytojų“ kalve yra priešlaikinis.

Ne mažesnė problema yra pradinių klasių mokytojai, kurie ruošiami dėstytojų neturinčių matematinio išsilavinimo. Tokia praktika Lietuvoje priimta jau daug metų. Toks sprendimas priimtas nepaisant to, kad būtent pirmose mokyklos klasėse (ne)padedami matematinio ugdymo pagrindai.  Be to, kaip rodo toliau aptariamas tyrimas, tokia pradinukų mokytojų ruošimo praktika yra netinkama vienareikšmiškai.

2008 metais atliktas 17 šalių pradinių klasių matematiko mokytojų matematikos turinio žinių priklausomybės nuo jų paruošimo pobūdžio tyrimas ( S.L. Senk et al, 2012 ). Tyrime dalyvavo  šalys, kurių švietimos sistemos yra skirtingos savo pasiekimais: Botsvana, Kanada (tik keturios provincijos), Čile, Kinų Taipėjus, Gruzija, Vokietija, Malaizija, Norvegija, Omanas, Filipinai, Lenkija, Rusija, Singapūras, Ispanija, Šveicarija, Tailandas ir JAV. Kiekviena iš šalių turi skirtingas  mokytojų ruošimo programas (nuoseklias, lygiagrečias, skirtingos trukmės).  Be to, mokytojų ruošimo programos suskirstytos į keturias grupes: trys pradinio bendrojo paruošimo (generalist) ir pradinio su matematikos specializacija (primary mathematics specialists). Tirtos mokytojų  matematikos turinio žinios ir matematikos pedagoginio turinio žinios naudojant testų teorija (Item Response Theory).

Tyrimo išvada: matuojant matematikos turinio žinias, matematikos specializaciją turintys pradinių klasių mokytojai aukštą įvertinimą gauna dažniau už bendrojo paruošimo mokytojus.

[originalas: Primary teachers prepared to be mathematics specialists tend to score higher on measures of MCK or MPCK than those prepared to be generalists.]