Kodėl mes mokomės matematikos?

Dažnas iš mūsų sakys, kad mokykloje matematikos mokomės todėl, kad jos reikės gyvenime. Taip manydami nuolankiai ,,kalame“ taisykles, bandome įsiminti beprasmes formules, sprendžiame keistus ir nuobodžius uždavinius. Taip darome, nes tai darė mūsų tėvai ir manome, kad mokyklinės matematikos žinių kartais prisireikia paprasčiausiose gyvenimiškose situacijose. Pavyzdžiui, atsiskaitant kasoje už perkamas prekes mes kartais norime susiskaičiuoti savo pinigus ir laukiamą grąžą.  Iš kažinkur atsiradęs įsitikinimas, kad tam tikras matematikos žinių minimumas yra būtinas, verčia mus nuolankiai kentėti ir, esant pirmai progai, atsisakyti matematikos mokymosi.

Tie, kam mokyklinės matematikos žinios nebuvo kančia, neretai nusprendžia susieti savo likimą su ,,techniška“ profesija.  Manome, kad tokios profesijos reikalauja aritmetikos, geometrijos, o kartais ir algebros žinių, kurios mums mokykloje atrodė gana lengvos. Tai tampa pagrindiniu motyvu pasirenkant savo universitetinių studijų objektu fizinius arba technologinius mokslus.

Tie, kas matematikos moko universitete taip pat sakys, kad jos mokome todėl, kad daugelis mokslo sričių be matematikos negali išsiversti. Pavyzdžiui, be matematikos yra neįsivaizduojamos fizika, chemija, biologija, finansų matematika, draudimo matematika, ekonometrija, ekonomika ir t.t. Tai vis su ,,realiu pasauliu“ susijusios veiklos sritys dėl kurių gilesnio įsisavinimo mes studijuojame matematiką universitete.

Daugeliu atvejų matematika suprantama kaip tam tikrų metodų ir procedūrų rinkinys naudojamas kaip įrankis kitai – prasmingai – veiklai. Na o matematikos mokomės todėl, kad ji reikalinga renkantis norimą ,,technišką“ profesiją.Vis mažiau tarp mūsų yra tokių, kurie grynosios matematikos studijas ir jos tyrimus laiko savaime prasminga ir visuomenei naudinga veikla.

Tačiau yra ir kitas atsakymas į šio įrašo pavadinime formuluojamą klausimą. Matematikos mokomės todėl, kad ji efektyviai padeda formuoti mūsų mąstymą. Mąstymo ugdymui įtakos turi daugelis veiklų, bet matematikos mokymasis tai daro geriausiai. Bet tik tuo atveju, kai matematika suprantama tuo, kuo ji iš tikro yra, ne taisyklių ir procedūrų rinkinys, o loginiais ryšiais susietų abstrakčių objektų pasaulis. Matematikos pasaulio pažinimas įmanomas ugdant vadinamąjį matematinį mąstymą. Apie jį rašiau kovo 30 dienos įraše ir  rugpjūčio 30 dienos  įraše, pastarajame gausiai cituodamas Keithą Devliną.

Matematikos mokymasis dėl mąstymo ne tik grąžina motyvaciją, kurią žlugdo matematikos nesupratimas. Bet, kas dar svarbiau, toks mokymasis suteikia mums šiais laikais ypač vertinamus kūrybinio analitinio darbo gebėjimus. Šie gebėjimai nėra susaistyti tik su ,,techniškomis“ profesijomis. Šie gebėjimai leidžia mums formuluoti ir spręsti tokias ,,realaus pasaulio“ problemas, kurių sprendimas nėra žinomas. Tai visiškai skirtingo lygio gebėjimas, nei tas, kurį ugdome dabar, mokyklinę matematiką naudodami pažinti pasaulį.

Požiūris, kad matematika ugdo mąstymą, nėra naujas. Toks matematikos mokymosi pagrindimas yra netgi labai senas. Priežasčių, kodėl pastaruoju metu šis matematikos mokymosi motyvas ignoruojamas, matyt yra ne viena. Visos jos vienaip ar kitaip kuria mitologiją apie matematiką. Svarbu yra tai, kad mąstymo ugdymo matematikos pagalba ignoravimas neretai žlugdo motyvaciją mokytis  matematikos, o taip pat mūsų piliečių galimybes savo gyvenimą padaryti mažiau paviršutinišku ir daugiau prasmingu. Šiame įraše bandau pateikti keletą pavyzdžių rodančių, kaip mitologija apie matematiką valdo mūsų švietimo ir mokslo politiką.

Matematikos mokymo(si) tikslo suvokimas ir pasirinkimas nėra vien Lietuvos problema. Su šia problema susiduria matyt dauguma pasaulio šalių, mažų ir didelių. Nesenai perskaičiau amerikiečių matematiko  Underwood Dudley puikų tekstą What is mathematics for? Notices of the AMS, May 2010. Teksto autorius tikina neradęs patvirtinimo to, kad elementarioji matematika iš tikro yra naudinga amerikiečių gyvenime ir jų profesinėje veikloje. Jei taip būtų, tai kodėl mes naudojame tuos pačius primityvius tekstinius uždavinius ir nuolat skundžiamės nerasdami naujų su ,,realiu pasauliu“ susijusių uždavinių. Tačiau absoliuti dauguma amerikiečių šventai tiki, kad algebros reikia mokytis mokykloje visiems, nes jos reikės gyvenime. Reikalavimai plėsti matematinio ugdymo programą nemažėja. Man tokia padėtis labai pažįstama.  Dudley įsitikinęs, kad „mathematics develops the power to reason“ , o amerikiečių visuomenė intuityviai tai jaučia.  Dudley rašo (612 pusl.):

[Mathematics] shows, better than any other subject, how reason can lead to truth. Of course, other sciences exhibit the power of reason, but there’s all that overhead—ferrous and ferric, dynes and ergs—that has to be dealt with. In mathematics, there is nothing standing between the problem and the reasoning.

Economists reason as well, but sometimes two economists reason to two different conclusions. Philosophers reason, but never come to any conclusion. In mathematics problems can be solved, using reason, and the solutions can be checked and shown to be correct. Reasoning needs to be learned, and mathematics is the best way to learn it.

People grasp this, perhaps not consciously, and hence want their children to undergo mathematics.

 Savo tekstą Dudley baigia tokiais žodžiais:

What mathematics education is for is not for jobs. It is to teach the race to reason. It does not, heaven knows, always succeed, but it is the best method that we have. It is not the only road to the goal, but there is none better. Furthermore, it is worth teaching. Were I given to hyperbole I would say that mathematics is the most glorious creation of the human intellect, but I am not given to hyperbole so I will not say that. However, when I am before a bar of judgment, heavenly or otherwise, and asked to justify my life, I will draw myself up proudly and say, “I was one of the stewards of mathematics, and it came to no harm in my care.” I will not say, “I helped people get jobs.”

Tačiau toks požiūris į matematikos mokymo(si) tikslą yra labai retas mūsų visuomenėse. Švietimo politikos priemonės ir dokumentai, bei žiniasklaisdos komentarai rodo, kad matematikos nauda suprantama labai praktiškai: matematika padeda įgyti esą ekonomikos vystymuisi reikalingas technines profesijas. Žema matematikos mokymo(si) motyvacija aiškinama tuo, kad matematika nepakankamai siejama su ,,realaus pasaulio“ problemų sprendimu. Taip mano ne tik švietimo politikai ir žiniasklaidos žmonės. Tokio požiūrio laikosi ir valdžiai įtakingi kai kurie matematikų bendruomenės atstovai.

Apie motyvacijos trūkumą mokytis matematikos, gamtos mokslų ir technologijų dažnai rašo pasaulyje didelę įtaką turintis dienraštis The New York Times. Šio dienraščio gruodžio 8 d. redakcinis tekstas Who Says Math Has To Be Boring? ir video pristatymas Math for Real Life skirtas matematikos mokymo reformos klausimams.  Šiame straipsnyje komentuojamos keturios matematinio ugdymo reformos kryptys: (1) lankstesnė matematinio ugdymo programa; (2) labai ankstyvas susipažinimas su skaičiais; (3) geresnis mokytojų ruošimas; (4) patirtis su realiuoju pasauliu. Daugiausia dėmesio skiriama paskutiniai krypčiai.

Psichologas, dirbantis matematinio ugdymo srityje, Danielas Willinghamas savo tinklaraštyje pakomentavo šį The New York Times tekstą: What the NY Times Doesn’t Know About Math Instruction.  Jis rašo, kad: The editorial ignores the fact that (1) and (4) will be meaningless without (2) and (3). And it grossly underestimates the difficulty of implementing (2) and (3).  Kaip visada, siūlomi problemų sprendimo būdai priklauso nuo tų problemų priežasčių suvokimo.

Matematika paprastai mokoma kaip taisyklių ir procedūrų rinkinys, bandant viską atsiminti. Bet matematika nėra taisyklių ir procedūrų rinkinys. Svarbiausiu matematikos bruožu yra samprotavimų loginis tikslumas. Apie tai nuosekliai ir išsamiai aiškinama mūsų matematinio ugdymo gairėse. Šiose gairėse teigiama, kad pagrindine problema yra ta, kad mokyklinės matematikos turinyje ir jos mokyme nėra matematikai būdingo  samprotavimų loginio tikslumo. Tą pačią problemą ir jos sprendimo būdą Willinghamas įžvelgia ir amerikiečių matematikos ugdyme:

American kids are okay (not great) on math facts and okay (not great) on algorithms. On conceptual understanding, they are terrible. A student can get by for a time by memorizing algorithms and when they are to be applied, but eventually, not understanding what you’re doing catches up with you, meaning it affects your success in math. 

But lacking conceptual understanding makes people hate math long before that. What could be more boring than executing algorithms you don’t understand? And if you don’t understand what you’re doing, why wouldn’tyou conclude „I’m not really good at math?“

Savo įrašą Willinghamas baigia tokiais žodžiais:

We need to pay much closer attention to preschool and to early elementary grades. That will entail developing methods of helping children understand the conceptual side of math—methods we now lack. It will also entail professional development to train teachers in the conceptual side of math. 

The size of this undertaking is massive. But it directly addresses the issue encapsulated in the editorial’s title: “Who Says Math Has to Be Boring?” The editorial focuses on the idea that it’s boring to do things without knowing why you’re doing them. So the proffered solution is real-world application. But I think a worse problem is not understanding how math works, being asked to execute algorithms with no understanding of what is really happening. That’s a heavier lift but will ultimately be more rewarding. 

Sąvokinis matematikos suvokimas ir matematinis mąstymas yra tie patys dalykai. Būtent šių dalykų ugdymas galėtų tapti realiu motyvu ir tikslu mokytis matematikos.

Tikiuosi neilgai trukus parašyti šio įrašo tęsinį apie matematikos mitologija besiremiančią mūsų švietimo ir mokslo politiką.

PS (2013 gruodžio 20 d). Švietimo ir mokslo politikai geriau skirti atskirą įrašą. O šį įrašą tik papildysiu apžvelgdamas kelių teorinės fizikos atstovų pasisakymus apie tai, kodėl žmonės nesimoko matematikos ir kodėl taip yra. Gruodžio 15 dieną Sabina Hossenfelder savo tinklaraštyje parašė tekstą Mathematics, the language of nature. What are you sinking about? Jai pritaria ir ją papildo Luboš Motl savo tekste  Math is the language of the true culture of modern times.

Remdamasi savo patirtimi, Sabina daro išvadą, kad žmonės nesimoko matematikos todėl, kad jos jiems nereikia. Žmonės meluoja išdidžiai sakydami, kad jie prastai išmano matematiką, nes jie neturi tam polinkio. Greičiausiai ne talente yra problema, o tingėjime prisiversti mokytis tai, kame nemato prasmės. Sabina rašo:

    I think that most people are also lying when they say they were always bad at math. They most likely weren’t bad, they were just lazy, never made an effort and got away with it, just as I did with my spotty Latin. The human brain is energetically highly efficient, but the downside is the inertia we feel when having to learn something new, the inertia that’s asking “Is it worth it? Wouldn’t I be better off hitting on that guy because he looks like he’ll be able to bring home food for a family?”

Tačiau žmonės mokosi daug dalykų, kurių jiems niekada nereikia. Tai kodėl vengiama mokytis matematikos. Sabina mano, kad taip yra todėl, kad viešojoje erdvėje, įskaitant ir mokslo populiarinimą, vengiama kalbėti apie matematiką. Kada paskutinį kartą skaitėte ar girdėjote matematiką pasakojant apie savo žinojimo sritį? Neapgaudinėkime savęs sakydami, kad taip yra todėl, kad mes vis tiek nesuprasime. Nesuprasdami mes skaitome ir girdime apie daugybę kitų sričių problemas. Mūsų nusistatymą atžvilgiu matematikos formuoja socialinė aplinka ir kultūra.