Informatinis mąstymas ir matematinis samprotavimas

Švietimo ir mokslo ministerija pastaruoju metu bando atnaujinti pradinio, pagrindinio ir vidurinio ugdymo bendrąsias programas visoms dvylikai klasių. Pagal planą atnaujintas programas numatoma diegti pilotinėse mokyklose nuo 2019 metų rugsėjo mėnesio ir visose mokyklose nuo 2022 metų rugsėjo. Svetainėje mokykla 2030 paskelbtas ,,Bendrųjų programų atnaujinimo gairių“ projekto svarstymas. 

Visos programos yra suskirstytos į aštuonias ugdymo sritis, sudarytas iš giminingų arba artimų pagal turinį mokymosi dalykų. Gairių projekto 12 puslapyje yra visų sričių sąrašas. Ten pat toliau rašoma:

Ugdymo sričiai priklausančių dalykų mokymas(is) padeda mokiniams įgyti žinių, gebėjimų ir nuostatų, išsiugdyti holistinį požiūrį į gamtos, visuomenės ir kultūros reiškinius. Ugdymo srities dalykų turinys kiek įmanoma integruojamas tarpusavyje (paryškinta mano).

Dar toliau tame pačiame Gairių projekto 12 puslapyje paaiškinama kaip konkrečiai vienai sričiai rengiama programa. Vienos ugdymo srities programą rengia viena ekspertų grupė. Tai atskleidė sustabdytas ekspertų paslaugų pirkimo viešasis konkursas.

Toks ilgas įvadas skirtas paaiškinti kontekstą, kuriame vykdomas matematikos ir informatikos (informacinės technologijos) dalykų jungimas į bendrą sritį – matematinis ugdymas. Lietuvoje ši pertvarka nėra viešai aptarta (už informatikų bendruomenės ir ŠMM ribų), o galimos pasekmės nežinomos. Nėra visapusiškos užsienio šalių patirties šiais klausimais apžvalgos. Nėra išdiskutuoti informatinio mąstymo ir matematinio samprotavimo ugdymo panašumai bei skirtumai. Nėra jos palygintos ugdymo tikslų aspektu.

Tekstą rašau kaip įžangą į viešą diskusiją. Noriu parodyti, kad matematikos ir informatikos jungimo į vieną sritį prielaidos yra klaidingos. Matematika nėra manipuliavimas simboliais pagal taisykles. Todėl jos lyginimas su programavimu nėra korektiškas. Algoritminio samprotavimo matematikoje sureikšminimas ignoruoja mokyklinės matematikos orientaciją spręsti būtent nerutinines ir nestandartines problemas. Dabartinėje mokyklinėje matematikoje dominuojantis procedūrų mokymasis mintinai yra paskutinių jos reformų rezultatas, kurį keisti ir taip bus labai sunku.  

Toliau paminėta literatūra ir keliami klausimai yra tik ledkalnio viršūnė. Bet jau dabar man susidarė nuomonė, kad informatika (computer science) ir skaitmeninis raštingumas (digital literacy) yra labai svarbi ir savarankiška nauja ugdymo sritis greta kalbinio ir matematinio ugdymo. Informatikų bendruomenės noras šlietis prie matematikų yra ėjimas lengviausiu keliu, lyg ir nesirūpinant skaitmeninio raštingumo plėtra kitose ugdymo srityse bei visuomenėje.

Mitas apie matematiką kaip manipuliavimą simboliais

Atliekant mokyklinės matematikos užduotį galima išskirti dvi veiklos rūšis. Pirma, užduoties supratimas ir sprendimo būdo paieška. Antra, pasirinkto sprendimo būdo pagrindimas. Tarkime, kad reikia išspręsti lygtį

su konkrečiomis a, b ir c reikšmėmis. Pirmiausia mokinys bando interpretuoti simbolius ir sugalvoti lygties sprendimo būdą. Jam reikia suprasti, kas yra lygtis, kokį vaidmenį vaidina skaičiai ir raidės, kas yra lygties sprendinys ir panašiai. Toliau mokinys svarsto kokias panašias lygtis jau sugeba spręsti ir spėja, kokiu būdu duotą lygtį pertvarkyti į paprastesnę neprarandant galimų sprendinių. Galiausiai jis pertvarko pradinę lygtį į lygtį

rasdamas tinkamus T ir L. Pastarosios lygties pavidalas leidžia nuspręsti ar pradinė lygtis turi bent vieną sprendinį ir, jei taip, rasti juos. Be to, turint tokį lygties pavidalą, nesunku pavaizduoti grafiką funkcijos, kurios reikšmėmis yra pradinės lygties kairioji pusė. Toks sprendimo būdas suteikia daugiau informacijos apie pradinę lygtį nei konkrečių sprendinio reikšmių radimas.

Trumpai aprašytąjį užduoties atlikimo būdą galima vadinti spėjimu ir pagrindimu. Spėjama, kad pradinę lygtį galima supaprastinti. Algebrinės išraiškos pertvarkymas išsaugant visas jos savybes yra spėjimo pagrindimas. Tai gerokai supaprastintas matematinės veiklos mokykloje aiškinimas. Žymiai adekvatesnė ir labiau niuansuota yra, pavyzdžiui, Harel, G. (2008) pasiūlyta matematinės veiklos mokykloje teorija.

Neretai mokykloje akcentuojamas ne spėjimas ir pagrindimas, bet užduoties atsakymas. Sprendžiant kvadratinę lygtį atsakymu vadinama lygties sprendinio formulė  

ir konkrečios reikšmės apskaičiavimas įstačius raidžių a, b ir c reikšmes. Sureikšminant atsakymą, kvadratinės lygties sprendimu tampa formulės reikšmės skaičiavimas. Tokiu atveju pakanka prisiminti kvadratinės lygties sprendinių formulę. Taip kuriama iliuzija, kad matematika yra manipuliavimas simboliais pagal tam tikras taisykles, nesirūpinant atliekamų veiksmų prasme.

Šis pavyzdys iliustruoja skirtingus matematikos mokymo tikslus. Matematikos galima mokyti siekiant parengti mokinį spręsti problemas, kurių sprendimas nėra žinomas. Tam tikslui siekiama supažindinti su matematinio mąstymo pagrindinėmis idėjomis. Kvadratinės lygties sprendimo pirmuoju būdu iliustravome tipišką matematinio mąstymo būdą – spėjimą ir pagrindimą. Mokyklinės matematikos reformų dėka pagrindimas arba matematinis samprotavimas yra eliminuoti iš mokyklinės matematikos turinio. Faktiškai matematikos mokome tam, kad mokinys sugebėtų taikyti standartines formules ir procedūras ,,kasdieniniame gyvenime“. Kai nesistengiama pagrįsti formules ir procedūras formuojasi požiūris, kad matematika yra manipuliavimas simboliais pagal tam tikras taisykles. Atsiradus informacinėms technologijoms matematikos mokymo jos ,,taikymo kasdieniniame gyvenime“ tikslas praranda prasmę, nes jį dar geriau gali realizuoti informatika.

Manipuliavimo simboliais pagal taisykles aspektas yra svarbus kai matematika lyginama su programavimu. Aktyviausias tokio lyginimo atstovas yra Conradas Wolframas. Savo TED paskaitoje 2010 metais, kvadratinės lygties šaknų skaičiavimą naudojant formulę jis pateikia kaip matematinės veiklos iliustraciją. Wolframas įsitikinęs, kad kompiuterio naudojimas matematikos pamokose atlaisvintų mokytoją užsiimti matematikai aktualesne tema – loginio mąstymo ugdymu. Jo argumento silpnumas glūdi prielaidoje, kad manipuliavimas simboliais pagal taisykles vaidina labai svarbų vaidmenį matematikos pamokose.  

Šių metų paskaitoje  „Fixing maths education for 21st century“ Conradas Wolframas toliau plėtoja tą patį argumentą. Pagal jį informatinis mąstymas turėtų būti matematikos mokymo tikslu. Apie 80% dabartinio matematikos turinio turėtų būti išmesta, kaip nereikalinga. Programavimas turėtų tapti informatinio mąstymo išraiška matematikoje. Dabartines elementarias ,,kasdieninio gyvenimo“ problemas mokantis matematikos turėtų keisti sunkios problemos jau pradiniame ugdyme, nes tik jos galėtų motyvuoti mokinį. Tokioms problemoms spręsti jis siūlo jas … abstrahuoti ir formuluoti kaip matematinį klausimą, kurį turėtų išspręsti kompiuteris. Čia matoma dar viena spraga jo argumente – gebėti abstrahuoti ir gebėti naudotis matematikos žiniomis mokinys turėtų savaime. Panašiai mąsto daug žmonių, kam reikalinga mokyti žinias, jei jas galima laisvai rasti internete.

Deja, matematikos mokymas pasitelkiant ir sureikšminant manipuliavimą simboliais pagal taisykles iš tikro dominuoja dabartinėje mokykloje. Bet taip neturėtų būti. Matematinis samprotavimas kaip tik yra tai, kas nėra daroma automatiškai, rutiniškai. Matematinis samprotavimas yra siekis į matematinį objektą pažvelgti kitu aspektu. Efektyvus matematinio samprotavimo ugdymas reiškia, kad akcentas turėtų būti kitoje vietoje, ne skaičiavime. Bet be skaičiavimo procedūrų supratimo sunkiai įmanomas sudėtingesnių dalykų supratimas. Jei skaičiavimą rankomis pakeisime skaičiavimu kompiuteriu, tai prarasime svarbų matematinio samprotavimo ugdymo įrankį.  

Manipuliavimo simboliais tariama svarba matematikoje naudojasi kiti Wolframo pasekėjai. Pavyzdžiui informatikos pedagogas Miles Berry savo tinklaraščio įraše Computational thinking and mathematical reasoning. Jis eina dar toliau teigdamas, kad akademinė matematika atspindi dvi veiklos rūšis – mąstymą apie problemą ir manipuliavimą simboliais pagal taisykles. Jis rašo:  

More generally, we might see that most, indeed perhaps all, mathematics mirrors these two stages – thinking about problems and then manipulating symbols according to rules (i.e. a more sophisticated version of working things out). The formalist view of mathematics is that mathematics consists of the consequences of certain string manipulation rules: for example Euclidean geometry can be thought of as those statements which can be formed by manipulating geometric axioms according to the laws of inference. However, even within this formalist paradigm, practical, useful mathematics demands some thinking about which particular manipulations of strings will take us towards the solution of the problem facing us.

 Pagal Berry šiokio tokio mąstymo reikalauja tik praktinei veiklai naudinga matematika.

Toliau Berry aiškina, kad požiūris į matematiką kaip į manipuliavimą simboliais veiklą pagimdė informatiką. Iki 1940-ųjų terminu ,,kompiuteris“ buvo vadinamas žmogus, kuris atlikdavo skaičiavimo paslaugas už atlygį. Maždaug tuo metu mašininio skaičiavimo teorinius pagrindus matematikoje sukūrė Alanas Tiuringas ir Alonzo Church. Pagal Berry, matematikos ir informatikos siejimas nuo pradinio ugdymo neturėtų mus stebinti.

Lietuvoje turime daugybę Conrado Wolframo minčių pasekėjų ir įgyvendintojų, taip pat tarp dirbančių Švietimo ir mokslo ministerijoje. Tuščios vietos nebūna. Jei apie matematiką nekalba patys matematikai, tai už juos pasistengia kiti. Taip gimsta mitai. Šį kartą mitas, kad matematika yra manipuliavimas simboliais pagal nusistatytas taisykles.

                     Informatinio mąstymo samprata ir jo ugdymas

Literatūros apie informatinį mąstymą (toliau IM) švietimo kontekste apžvalgą pradedu 2016 metais publikuota Europos Komisijos inicijuota studija Bocconi, S. et al. (2016).   Developing computational thinking in compulsory education – Implications for policy and practice. Studijoje svarstomi klausimai:

• Kokia galėtų būti IM apibrėžtis tarp kitų XXI-ojo amžiaus kompetencijų?
• Kokios yra IM pagrindinės sąvokos, gebėjimai ir charakteristikos?
• Koks yra IM ryšis su programavimu bendrajame ugdyme?
• Kaip parengti mokytojus gebančius klasėje efektyviai integruoti IM?
• Ar IM turi būti konkrečios srities dalimi (pavyzdžiui, ar informacinių technologijų, ar STEM dalimi, ar priklauso visoms sritims)?
• Kaip vertinti pasiekimus įsisavinant IM?
• Ko reikia plėtojant IM bendrųjų programų kontekste?

Apžvelgsime atsakymus tik į kelis iš šių klausimų.

Informatinio mąstymo apibrėžtis. IM terminą apibrėžė Jeannette M. Wing (2006): ,,IM susijęs su problemų sprendimu, sistemų kūrimu ir žmogaus elgsenos supratimu naudojant fundamentalias informatikos sąvokas. IM apima platų informatikos įvairovę atspindinčių intelektinių priemonių ratą.“ 

Originalo kalba: Computational thinking involves solving problems, designing systems, and understanding human behavior, by drawing on the concepts fundamental to computer science. Computational thinking includes a range of mental tools that reflect the breadth of the field of computer science.

Minėtas J.M. Wing straipsnis paskatino diskusiją apie IM prasmę ir IM reikšmę švietimui. 2011 metais J.M. Wing pasiūlė naują apibrėžimą: ,,IM yra mąstymo procesas, kuriuo problemos ir jų sprendimai formuluojami taip, kad tiems sprendimams galima būtų suteikti formą tinkamą naudotis informacinėmis technologijomis.“

Originalo kalba: Computational thinking is the thought process involved in formulating problems and their solutions so that the solutions are represented in a form that can be effectively carried out by an information-processing agent. 

Taigi, IM yra nuo technologijų nepriklausantis mąstymo procesas. Kita vertus, IM  yra specialaus tipo problemų sprendimas. Pastarasis J.M. Wing apibrėžimas tapo tolesnių diskusijų atspirties tašku.  Tačiau literatūroje sutinkami ir kitokie IM apibrėžimai.

Kitu reikšmingu atspirties tašku tolesnėse diskusijose tapo IM apibrėžimas, kurį pasiūlė The Computer Science Teachers Association and the International Society for Technology in Education (CSTA & ISTE, 2009, p. 1). Šiame apibrėžime yra išvardintos IM dalis veiklos požiūriu. IM yra problemų sprendimo procesas, kuriam būdinga:

• Toks problemų formulavimas, kuris įgalina jas spręsti naudojant kompiuterius ir kitas priemones;
• Logiškai organizuoti ir analizuoti duomenis;
• Duomenų vaizdavimas tokiomis abstrakcijomis, kaip modeliavimas ir kompiuterinis simuliavimas;
• Sprendimų automatizavimas naudojant algoritminį mąstymą (nuoseklią žingsnių seką);
• Galimų sprendimų identifikavimas, analizavimas ir įgyvendinimas siekiant efektyviausiu būdu pasirinkti žingsnių kombinacijas ir resursus;
• Apibendrinant ir perkeliant šį problemų sprendimo procesą plačiai problemų klasei.

Originalo kalba: Computational Thinking (CT) is a problem-solving process that includes (but is not limited to) the following characteristics:

• Formulating problems in a way that enables us to use a computer and other tools to help solve them;
• Logically organizing and analysing data;
• Representing data through abstractions such as models and simulations;
• Automating solutions through algorithmic thinking (a series of ordered steps);
• Identifying, analysing, and implementing possible solutions with the goal of achieving the most efficient and effective combination of steps and resources;
• Generalizing and transferring this problem-solving process to a wide variety of problems.

 Šiais apibrėžimais atskleidžiamas faktas, kad IM yra už programavimo ir technologijų slypintis savarankiškas mąstymo tipas. IM akcentuoja su informacinėmis technologijomis susijusių bazinių sąvokų supratimą, bet ne tokių technologijų naudą.

Daugelyje straipsnių nagrinėjama nauda, kurią gali duoti  IM integravimas į bendrąjį ugdymą. Tikima, kad IM įgalina jaunus žmones spręsti problemas mąstant naujoviškai (Lee et al., 2011), išsiugdyti gebėjimą atrasti, kurti ir taikyti (Allan et al., 2010), arba suprasti technologijų galimybes.

Bocconi et al. (2016) studijoje cituojami ekspertai, kurie nurodo IM ryšius su daugeliu formaliojo ugdymo sričių. Pavyzdžiui, aptariamas IM ryšys su kalba, ne tik kaip kompiuterių naudojimas, bet kaip būdas komunikuoti ir kalbėti apie informacines technologijas. 

M. Letonsaari (2018) gilinasi į IM prasmę pažinimo kontekste.

Informatinis mąstymas kaip kompetencija. Nepaisant IM apibrėžimų įvairovės skirtingi autoriai įvardija tuos pačius su IM siejamus gebėjimus ir bazines sąvokas. Bocconi et al (2016, 17 pusl.) studijoje išskirtos šios sąvokos ir gebėjimai:

• abstrakcija, kaip neesminių detalių atmetimas (įvardijamas kaip svarbiausias mąstymo būdas);
• algoritmai, kaip konkrečių žingsnių problemos sprendime įvardijimas;
• problemų skaidymas (dekompozicija) į dalis ir jas sprendžiant atskirai;
• apibendrinimas, kaip dėsningumų, panašumų ir ryšių aptikimas;
• klaidų paieška ir radimas testuojant;
• rūpinimasis procedūros efektyvumu;
• analizė ir logika;
• iteracinis, rekursinis ir lygiagretus mąstymai
• simbolizmo naudojimas.

Kai kuriuose straipsniuose įvardijamos ir su IM susiję nuostatos, polinkiai ir savybės:

• pasitikėjimas susidūrus su sudėtingumu;
• atkaklumas dirbant su sunkiomis problemomis;
• gebėjimas įveikti neapibrėžtumą;
• gebėjimas dirbti su atviro pobūdžio (open-ended) problemomis;
• gebėjimas dirbti komandoje.

Šie pastebėjimai rodo, kad IM gali būti vertinamas kaip kompetencija.

Informatinio mąstymo integravimas į formalųjį švietimą. Toliau greta Bocconi, S. et al. (2016) studijos cituosime jos tęsinį Bocconi, S. et al. (2018) ataskaita. Ataskaitoje tais pačiais aspektais tiriamos keturios šalys: Suomija, Švedija, Danija ir Norvegija.

Taigi, dėl kokių priežasčių skirtingose pasaulio šalyse IM tampa formaliojo švietimo dalimi. Šios priežastys kartojasi. Tai iliustruoja Bocconi, S. et al. (2016) studijos 4 lentelė.

Bocconi, S. et al. (2018) ataskaitoje IM įtraukimo į šiaurės šalių formalųjį švietimą priežastys nurodytos 1 lentelėje.

Apibendrinant daroma išvada, kad daugumoje pasaulio šalių, ne tik Europoje, IM ugdomas formaliajame švietime siekiant gerinti visuomenės narių skaitmeninį raštingumą (digital literacy). IM laikomas skaitmeninio raštingumo teoriniu pagrindu. 

Kitas klausimas: Kaip konkrečiai formaliajame švietime ugdomas IM? Ar IM ugdomas kaip savarankiškas dalykas, ar integruotas su kitais dalykais? Kitoje Bocconi, S. et al. (2016) studijos 5 lentelėje parodyta to meto padėtis kai kuriose Europos šalyse, įskaitant Lietuvą. Matome, kad Suomija ir Prancūzija IM integravo su matematika.

Suomijoje programavimas mokomas ir algoritminis mąstymas ugdomas matematikos dalyke (1-9 klasės) ir darbuose (7-9 klasės). Suomių moksleiviai yra mokomi programavimo kaip įrankio naudojamo daugelyje sričių. Siekiama, kad mokiniai suprastų kas yra programavimas, o ne tik gebėtų programuoti (Deruy, 2017). Prancūzijoje taip pat programavimui ir technologijoms reikalingas algoritmų supratimas ir kūrimas ugdomas mokantis matematikos. Kitose šalyse, įskaitant Singapūrą ir Japoniją, IM ugdomas savarankiškuose informacinių technologijų dalykuose.

Šiaurės šalyse IM ugdomas taip, kaip nurodoma Bocconi, S. et al. (2018) ataskaitos lentelėje 2 žemiau. Pagal šią lentelę, Suomija ir Švedija IM integruoja derindama tarpdalykinį ir vieno dalyko variantus. Pastarasis variantas – integravimas į matematiką – dominuoja. Tuo tarpu Danija ir Norvegija renkasi atskiro dalyko – informatikos – variantą. 

Šiuo metu daugiau kaip 20 Europos šalių integruoja IM ir programavimą į formalųjį švietimą. Šis uždavinys yra prioritetu Anglijoje, Prancūzijoje, Suomijoje, Airijoje, Maltoje ir Lenkijoje. Šiaurės šalių ataskaitoje nurodoma, kad IM ir/arba programavimas turėtų būti platesnės skaitmeninės kompetencijos dalimi.

IM ugdymas formaliajame švietime kelia daugybę kitokių klausimų. Pavyzdžiui, ar gebėjimas programuoti padeda mokymuisi kitose srityse, tarkim, matematikoje (transfer of cognitive skill)?  Tokias viltis skatina Seymour‘o Papert‘o entuziazmas ir darbai. Neretai IM siūloma ugdyti tam, kad sudominti matematika. Bet ar ne paprasčiau domėjimąsi matematika skatinti pačios matematikos uždaviniais (Kengūra) ir matematikos idėjų istorija?

Atsitiktinis ir nepilnas literatūros sąrašas

• Allan, W. et al. (2010). Computational Thinking for Youth. ITEST Small Working Group on Computational Thinking. 
• Bocconi, S. et al. (2016). Developing computational thinking in compulsory education – Implications for policy and practice. EUR 28295 EN.
• Bocconi, S. et al. (2018). The Nordic approach to introducing computational thinking and programming in compulsory education. Report prepared for the Nordic@BETT2018 Steering Group.
• Dagiene, V., Stupuriene, G. (2016). Informatics Concepts and Computational Thinking in K-12 Education: A Lithuanian Perspective. J. Inform. Processing, 24, 732-739.
• Deruy, E.  (2017). In Finland, Kids learn Computer Science Without Computers.
• Lee, I. et al. (2011). Computational thinking for youth in practice. ACM Inroads, 2(1), 32-37.
• Harel, G. (2008). What is Mathematics? A Pedagogical Answer to a Philosophical Question.
• Letonsaari (2018). Extended Cognition Hypothesis Applied to Computational Thinking in Computer Science Education.
• Scherer, R. et al (2018). The Cognitive Benefits of Learning Computer Programming: A Meta-Analysis of Transfer Effects. J. Educational Psychology.
• Wing, J. M. (2006). Computational thinking. Commun. ACM 51, 58-60.
• Wing, J. M. (2008). Computational thinking and thinking about computing. Phil. Trans. R. Soc. A, 366, 37717-3725.