Mokyklinė matematika: graikų versus babiloniečių matematika

Tiek ŠMM dokumentuose, tiek viešose diskusijose matematinio ugdymo rezultatai vertinami remiantis mūsų šalies penkiolikamečių pasiekimais tarptautiniame PISA tyrime. Tai nėra blogai, bet absoliučiai nepakankama norint užčiuopti prastų rezultatų priežastis ir susidaryti pilnesnį vaizdą apie matematikos kaip kultūrinio reiškinio vietą visuomenėje. Šiame įraše, pasitelkdamas analogiją iš matematikos istorijos, teigiu, kad mūsų mokyklinė matematika, savo tikslų ir metodų atžvilgiu, primena babiloniečių matematiką, bet ne graikų matematiką. Taip pat bandau paaiškinti ką tai reiškia ir kaip tokią padėtį keisti jei to panorėtume. Manau, kad šie svarstymai svarbūs ne tik matematiniam ugdymui, bet ir visai mūsų švietimo sistemai. 

Matematika ir jos vaidmuo visuomenėje per daugelį tūkstančių metų keitėsi labai netolygiai ir jos istorija yra labai turtinga įvairaus pobūdžio pavyzdžiais. Kai kurios situacijos smarkiai keitėsi ir po kurio laiko kartojosi. Pavyzdžiui, naujųjų amžių Europoje matematinis griežtumas gerokai sumažėjo lyginant su antikos laikais. 19 šimtmetyje griežtumo standartų švytuoklė pakrypo į priešingą pusę kai loginis matematikos pagrįstumas tapo aukso standartu ir tokiu jis išlieka iki dabar. Tuo tarpu mokyklinė matematika pastarąjį šimtmetį daugelyje šalių keitėsi labai mažai. Dar 20 amžiaus pradžioje apie tai kalbėjo matematikas Felix Klein. Pastarojo laikotarpio mokyklinio ugdymo kaita daugelyje šalių panaši į blaškymąsi, o dabartinės visuomenės žinios apie šiuolaikinę matematiką yra aiškiai nepakankamos.  Neretai galima išgirsti: ,,Visos šalys turi problemų švietime ir tai yra normalu”. Manau, kad šis požiūris pavojingas nusiraminimas. Problemų švietime sprendimas trunka dešimtmečius, net jei sprendžiamos rimtai.  Be to, nėra universalių sprendimų. Kiekvienos šalies sprendimus lemia jos kultūrinis išsivystymas.

Matematikos vystymasis Lietuvoje vyko labai nepalankiomis aplinkybėmis. Pradedant jėzuitų švietimo sampratos diegimu, po to carinės Rusijos įvykdytas universiteto uždarymas, tarpukario Lietuvos laikais buvo imtasi priemonių plėsti matematinį lavinimą ir šiek tiek pasistūmėta sovietinės Lietuvos laikais. Tačiau ir tas įgytas įdirbis dabar yra visiškai išsekęs tiek pačioje matematikoje tiek ir mokyklinėje matematikoje. Geriausi mūsų rezultatai pasiekti užklasinėje (neformalioje) matematinėje veikloje kasmet paruošiant bent keletą vaikų tarptautinėms matematikos olimpiadoms. Tačiau ir šioje srityje galima pastebėti, kad olimpiadininkus paruošia vis mažiau skirtingų mokyklų ir mokytojų. Liko viena-dvi reguliariai olimpiadininkus paruošiančios mokyklos. Tokią padėtį lemia visuomenės požiūris į matematiką ir jos vietą kultūroje. Kaip jau teigiau, ši padėtis yra panaši į tą, kuri buvo Babilono civilizacijos laikais (Babylon).

 Graikų versus babiloniečių matematika

 Pagrindinis bruožas skiriantis graikų ir babiloniečių matematiką yra dedukcinis samprotavimas. Kitaip tariant, įrodymo naudojimas matematiniuose samprotavimuose atsirado tik senovės graikų kultūroje. Ši savybė tapo ypač aktualia šiais laikais. S.G. Krantzas savo 2007  metų straipsnyje  The History and Concept of Mathematical Proof  rašo:

A mathematician is a master of critical thinking, of analysis, and of deductive reasoning. These skills travel well, and can be applied in a large variety of situations—and in many different disciplines. Today, mathematical skills are being put to good use in medicine, physics, law, commerce, Internet design, engineering, chemistry, biological science, social science, anthropology, genetics, warfare, cryptography, plastic surgery, security analysis, data manipulation, computer science, and in many other disciplines and endeavors as well.

The unique feature that sets mathematics apart from other sciences, from philosophy, and indeed from all other forms of intellectual discourse, is the use of rigorous proof. It is the proof concept that makes the subject cohere, that gives it its timelessness, and that enables it to travel well.

 There is no other scientific or analytical discipline that uses proof as readily and routinely as does mathematics. This is the device that makes theoretical mathematics special: the tightly knit chain of reasoning, following strict logical rules, that leads inexorably to a particular conclusion. It is proof that is our device for establishing the absolute and irrevocable truth of statements in our subject. This is the reason that we can depend on mathematics that was done by Euclid 2300 years ago as readily as we believe in the mathematics that is done today. No other discipline can make such an assertion.

Istorikai nedrįsta tiksliai apibūdinti dedukcinio samprotavimo atsiradimo pradžią. Neretai tokio samprotavimo pirmtaku yra nurodomas graikų filosofas Thales iš Mileto.  Tačiau jis nepaliko rašytinių tekstų, kurie leistų tai patvirtinti. Bet vieningai sutariama, kad pitagoriečių mokykla jau naudojo dedukcinį samprotavimą. Gerai žinomas pavyzdys yra Pitagoro teoremos apie stačiojo trikampio kraštinių ilgius įrodymas. Pats faktas, kad stačiojo trikampio statiniai a ir b susiję su įžambine c sąryšiu buvo žinomas dar babiloniečių matematikams. Manoma, kad šio fakto pagrįstumas rėmėsi tuo, ką dabar vadiname eksperimentu arba empiriniu patvirtinimu. Pitagoro skaičių savybę jie naudojo statybose kai reikėjo nustatyti statųjį kampą (žr. The history of the Pythagorean theorem).

Dar daugiau, manoma, kad babiloniečiams buvo žinomi daugelis matematikos faktų, kurie vėliau tapo teoremomis pagrįstomis remiantis postulatais ir aksiomomis. Apie babiloniečių matematiką rašoma (cdli: wiki):

At the outset, it should be mentioned that Babylonian mathematics was largely an applied science. Unlike classical Greek mathematics, Babylonian mathematics was not centered around geometric figures or abstract proofs of mathematical theorems. Instead, it focused on practical problems that could be solved algorithmically. Many texts from that era are simply multiplication tables of various sizes, designed to aid scribes in performing complicated arithmetic. Other texts describe fairly realistic situations that might arise in economic exchanges or engineering endeavors, such as constructing dams, canals, and brick walls. There are many examples of texts dealing with more general geometric or algebraic problems, but they are usually stated in terms of concrete situations such as the division of a field or distribution of rations, and are always discussed using specific values.

Thus there are very few instances of Babylonian ‘proofs,’ or even instruction tablets that outline a general method for solving a class of problems. This is not to say that Babylonian mathematicians did not understand the abstract principles behind their solutions; they simply thought of them in the context of concrete examples, similar to the way a mechanic might think of physics principles in terms of an automobile.

Taigi, mes galime žinoti ir praktiškai naudoti daugelį matematikos faktų. Tačiau šių faktų loginis pagrįstumas yra skirtingas dalykas. Paprasčiausia universitetų dėstytojų patirtis rodo, kad mūsų moksleiviai neretai net nėra girdėję apie įrodymo sąvoką, arba ją supranta savaip. Abstraktaus loginio samprotavimo gebėjimas tapo retenybe tarp mūsų žmonių. Tuo labiau keista, kad jau daugelį metų vos ne kiekvienas apie švietimą kalbantis žmogus pradeda nuo kritinio mąstymo ir analizės gebėjimų svarbos bendrajame ugdyme. Tokiais atvejais knieti paklausti kaip jie tai supranta. Atrodo, kad kritiškumas ir analizė siejami išimtinai su praktika ir ekonomine nauda. 

Praktinė nauda kaip prioritetas švietime

 Tarp dabartinės LR vyriausybės prioritetų 56 numeriu pažymėtas punktas: ,,Siekiant skatinti inovacijų kultūros formavimąsi, parengti pasiūlymus dėl technologinių gebėjimų, gamtos ir tiksliųjų mokslų srities mokinių gabumų ugdymo bendrojo ugdymo mokyklose“.  

 Inovacija yra naujų arba iš esmės patobulintų produktų (prekių ar paslaugų) arba procesų, naujų rinkodaros arba organizacinių metodų diegimas verslo praktikoje, organizacijoje arba plėtojant išorės ryšius. (cit. iš LRV nutarimo DĖL LIETUVOS INOVACIJŲ PLĖTROS 2014–2020 METŲ PROGRAMOS PATVIRTINIMO).  Trumpai kalbant,  inovacija yra ne tai, ką sukuria novatorius, inovacija – tai, ką priima rinka. Tai yra svarbus inovacijos sampratos aspektas. Inovatoriais yra ne matematikai ir ne fundamentaliųjų mokslų atstovai. Kadangi jų rezultatai yra tiesiogiai nepritaikomi rinkai, jie tampa ne tik nereikalingi, bet ir nuostolingi kai siekiama greitos naudos. Pavyzdžiui, Google paieškos sistema yra neblogos inovacijos pavyzdys. Be šios sistemos dauguma mūsų jaunų žmonių taptų nežiniukais. Tačiau mažai kam žinoma, kad Google veikimo pagrindą sudaro universitetinės matematikos žinios.

Pagal žodžio reikšmę, tarp inovacijų kūrimo ir diegimo specialistų  turėtų būti socialinių mokslų atstovai, nes jie turi ir kuria priemones tiriančias visuomenę ir jos poreikius.  Tuo labiau, kad socialinių mokslų atstovai turėtų geriau išmanyti ,,inovacijų kultūros” reikalus. Tuo tarpu mūsų švietimo politikų nuomone, mes turime per daug visuomenės tyrėjų. Manoma, kad mums labiausiai reikia žmonių, išmanančių technologijas – inžinierių. Šią nuomonę mūsų politikai grindžia kitose šalyse populiaria STEM politika. Ji suprantama taip, kad bendrasis ugdymas turi būti siejamas su profesijų pasiūlos ir paklausos santykio reguliavimu. Kitaip tariant, bendrasis ugdymas turi būti siejamas su ,,specialiuoju ugdymu”, t.y. reikalingų specialistų ruošimu.

Praktinės naudos troškimas paaiškina daugelio sąvokų sampratos keistenybių. Pavyzdžiui, žinių ekonomikos ekspertų nuomone, kūrybiškumas prieštarauja ,,žinių kalimui” bendrajame ugdyme. Tarp kitų STEM politikos entuziastų man nepavyko aptikti požiūrio, kuriuo kritinis mąstymas būtų siejamas su samprotavimų loginių tikslumu matematikoje. Dažniausiai apie kritinį mąstymą kalbama bendrai, nesiejant su kokiu nors konkrečiu tos sąvokos turiniu. Suprask, turi būti kritiškas viskam, kas jau yra sukurta. Iš čia nesunku padaryti sau išvada, kad žinios yra nereikalingas balastas kūrybiškumui.

Praktinė nauda nėra blogai, ypač kai apie ją kalba vyriausybė ir politikai. Blogai yra tada, kai siekiama tik praktinės naudos ir iki kadencijos pabaigos. Praktinę naudą yra lengviau parodyti rinkėjams prieš sekančius rinkimus. Švietimas yra ta sritis, kuri vienintelė turi galią kurti naudą iš mūsuose esančių ,,resursų”. Bet dažnai ta nauda pasirodo tik ,,ilguoju laikotarpiu”. Naudos švietime siekimas ,,artimuoju laikotarpiu” rizikuoja tapti ekonominės krizės šaltiniu. Politikai suprantantys ir gebantys siekti naudos ,,ilguoju laikotarpiu” paprastai vadinami valstybininkais (rizikuoju būti sukritikuotas, nes Lietuvoje valstybininko sąvoka turi savą, lietuvišką, reikšmę). Tačiau mes jų neturime (žr. P.S.).  

Kadangi praktinės naudos reikia greitai, o daromus pakeitimus švietimo sistemoje reikia kažkaip pagrįsti, tai vienintelė išeitis yra greiti ir todėl dažniausiai paviršutiniai tyrimai.  ŠMM viceministrė S. Kauzonienė teigia, kad ,,Lietuvos laukia svarbūs iššūkiai – pasirengimas tapti OECD šalimi, todėl labai svarbu dalyvauti tarptautiniuose tyrimuose. 2015 metais vyks 15-mečių skaitymo, gamtamokslinio, matematinio raštingumo ir dar du  nauji – Problemų sprendimo bendradarbiaujant ir Finansinio raštingumo tyrimai. Nauja tai, kad visos užduotys bus elektroninės ir mokiniai atliks užduotis kompiuteriuose.” Pridursiu, ne tik dalyvauti, bet ir nebūti žemiausioje ,,lygoje”.  Tarp kitko, kas gali paneigti, kad PISA tyrimuose dalyvaujame ne todėl, kad mums rūpi išsiaiškinti bendrojo ugdymo kokybę, bet todėl, kad norime tapti OECD šalimi.

Bendrojo ugdymo kokybės tyrimai

Grįžtu prie prie to, nuo ko pradėjau šį įrašą. Iš esmės, PISA tyrimų rezultatai yra mūsų švietimo politikos vienintelis argumentas kalbant apie bendrojo ugdymo kokybę.  Šių tyrimų rezultatai ne tik naudojami vertinti ugdymo kokybę, bet būsimi pasiekimai šiuose tyrimuose yra naudojami politinių priemonių efektyvumui matuoti.

Taip elgiasi ne tik mūsų šalis ir jau senai. Šį reiškinį R. Alexanderis apibūdino taip (12 pusl.):

It seems to me that PISA panic, PISA-driven regulation, and the narrowing of the evidential and explanatory frameworks for international comparison all demonstrates not only a catastrophyc loss of judgement and trust but also a serious decline in national self-belief. 

Tai yra viena iš straipsnio išvadų. Straipsnio 4-ame puslapyje Alexanderis suformulavo tris skirtingų šalių švietimo sistemų kokybės lyginimo tipus. Pirmo tipo: tokie didelio masto mokinių pasiekimų tyrimai kaip PISA, TIMSS ir daugybė kitų. Antro tipo: pirmojo tipo tyrimuose gautų rezultatų panaudojimas siūlant politinius sprendimus dėl mokyklų lyderių, mokytojų kvalifikaciją, programas ar egzaminus. Trečio tipo: moksliniai tyrimai apimantys atskirų švietimų sistemų detalų tyrimą, darbo mokyklose ir klasėse lyginimą, kultūrinių ir socialinių faktorių įtakos tyrimą, istorinio lyginamojo pobūdžio tyrimai ir panašiai.

Paprastai trečiojo tipo tyrimų tikslas yra siekimas suprasti švietimo sistemą, o ne kopijuoti, kaip daroma naudojant pirmo ir antro tipo tyrimus.   Trečiojo tipo rezultatai dažniausiai lieka nežinomi politikams ir visuomenei. Be to, jie yra žymiai silpniau finansuojami nei pirmo ir antro tipo tyrimai. Didele problema yra tai, kad antrojo tipo lyginamosios studijos pagrindžia politikams reikalingus sprendimus naudojant tik patvirtinančius duomenis. Pavyzdžiui, politikai paprastai ignoruoja tuos tyrimo rezultatus rodančius, kad švietimo sistemos kokybę įtakoja šalyje esama socialinės (ne)lygybės padėtis. Naudojami tik tie duomenys, kurie neprieštarauja norimoms išvadoms. 

Kita pirmojo ir antrojo tipo tyrimų naudojimo ypatybė yra apsiribojimas tik tyrimų rezultatus tiesiogiai įtakojančiais faktoriais. Pavyzdžiui, matematikos mokytojai ruošiami spręsti PISA užduotis tam, kad galėtų šias žinias perduoti mokiniams (žr. čia). Apie tokiu reiškinius užsimena ir Alexanderis:

Is it not at least possible that this whole current PISA-led obsession does a grave injustice to those countries, schools and teachers that care no less passionately about educational standards but for whom standards mean more than test performance? Ultimately, therefore, are we doing an injustice, in the otherwise commendable cause of raising standards, to the cause of education itself?

Kitas edukologas Heinz-Dieter Meyer taip atsiliepia apie PISA tyrimus:

One of the trends that is changing education on a global scale is the effort to measure and rank the quality of all school systems around the world using a single yardstick—one developed by the Organization for Economic Cooperation and Development, OECD, called PISA, which takes the quantitative assessment of school systems to a whole new level.
It is in fact, I believe, a very dangerous trend—dangerous
–in that it judges a huge cultural and historical variety of educational practices around the world using ONE single yardstick;
–in that this yardstick is derived from what the OECD claims to be requirements of economic competitiveness;
–and in that it is carried out by an organization not like Unesco or the UN—which are tied to democratic process through clear constitutional processes—but by an essentially  private club, an organization of the rich nations in the world, that are NOT accountable to the people, even though they undertake their assessments in the name of accountability.

Šiame straipsnyje The Return of the Drill: the Decline of the Humanities and the Ascent of Managerialism in Education jo autoius Heinz-Dieter Meyer siekia pagrįsti teiginį: kuo lengviau švietimo sistemos aspektas yra patikimai išmatuojamas standartinėmis metrikomis, tuo mažiau jis svarbus. Atvirkščiai: kuo daugiau visas švietimas laikomas išmatuojamu, tuo daugiau mes

1. iškraipome švietimo procesą akcentuodami išmatuojamus aspektus lyginant su neišmatuojamais;
2. transformuojame švietimą į daugelį amžių dominavusį švietimą grindžiamą muštru. 

Manau, kad kad šie vertinimai prasmingi tokiai švietimo sistemai, kurioje matematinis ugdymas grindžiamas graikų matematikos pavyzdžiu. Babiloniečių tipo matematinis ugdymas atitinka PISA tyrimų tikslus.

 Tikslas ir konkrečios jo siekimo priemonės

Nenoriu veltis į bendrų švietimo tikslų aptarimą.  Pastaruoju metu šios diskusijos sukasi išimtinai apie vertybes. Čia apsiribosiu matematinio ugdymo artimiausiais tikslais.

Jei nesame patenkinti babiloniečių matematikos tikslais ir norime palaipsniui keistis link graikų matematikos, tai turėtume siekti matematikos mokymo turinio praktiškumą papildyti samprotavimų loginio tikslumo ugdymu. Pastarajame sakinyje akcentuojame žodį papildyti. Kalbant matematinio ugdymo tikslų terminais, pasaulio pažinimo tikslas matematiniame ugdyme siūlomas papildyti matematikos pažinimo tikslu. Taip siekiamybė yra formuluojama matematinio ugdymo gairėse.  Vertinant gaires tenka girdėti, kad ši siekiamybė papildyti yra suprantama ar interpretuojama kaip siūlymas dabartinį matematinio ugdymo turinį keisti šiuolaikine matematika. Manau, kad taip pasireiškia netikėjimas, jog pratinti vaikus prie abstraktaus loginio mąstymo galima ir reikia dar mokykloje. Tokiam netikėjimui svarbią įtaką daro žinių ir diskusijų matematikos vaidmens visuomenėje ir matematinio ugdymo klausimais stoka.

Pirmiausia reikėtų siekti įgyvendinti dvi priemones. Pirma, skatinti mokytojus kelti savo kvalifikaciją. Mokytojai turi lėšų ,,krepšelį”, kurį gali skirti kam nori. Šios lėšos neretai naudojamos ne kvalifikacijos kėlimui. Be to, pastaruoju metu mokytojo ,,krepšelio” dydis tik mažėjo.  Antra, skatinti akademinę bendruomenę padėti mokytojams kelti kvalifikaciją.  Matematikos ir gamtos mokslų atveju, be akademinės bendruomenės įsitraukimo nėra įmanoma įvertinti atitinkamų disciplinų lygio mūsų bendrojo lavinimo mokyklose. Kitos priemonės – ugdymo tikslų svarstymas, mokymo programų pertvarkymas, atitinkamų vadovėlių rašymas ir kita – gali būti įgyvendinamos antroje eilėje. Pirmoje eilėje reikia žadinti susivokimą ir entuziazmą mokytojų ir akademikų bendruomenėse. Man atrodo, kad kažkas panašaus  dabar vyksta literatūros mokytojų ir humanitarų bendruomenėse. Matematikos ir gamtos mokslų mokyklinių disciplinų aptarimas vyksta  spengiančioje tyloje.

 Man atrodo, kad sunkiausias uždavinys yra sugebėti paskatinti matematikus ir gamtos mokslų atstovus rimtai domėtis mokykliniais reikalais. Tam nepakanka vien finansinių ar karjeros svertų. Tam reikia nemažos praktikos, žinių ir gebėjimų bandant mokyti vaikus taip, kad jie suprastų. Tam taip pat reikia gilaus ir plataus savo profesinės srities pažinimo. Bet finansinius ar karjeros svertus naudoti būtina.  

Kitas nemažiau sunkus uždavinys yra gebėjimas įtakoti mūsų švietimo politikus. Sėkmingos tokios veiklos pavyzdžiu yra Lietuvos šachmatų federacija. Su didžiausiomis Lietuvos politinėmis partijomis ji sudarė sutartį, kuria įsipareigojama įtraukti šachmatus į mokyklos programą (žr. Šachmatai pamažu skinasi kelią į Lietuvos mokyklas, DELFI, 2013 gegužės 30 d). Dabar rengiamoje ,,Gamtos mokslų, technologijų, inžinerijos ir matematikos ugdymo plėtotės strategijos koncepcijoje” numatoma šachmatus naudoti modernizuojant ugdymo turinį. Jie yra vienintelė koncepcijoje numatoma mąstymą skatinanti priemonė. Tiesa, neaišku ar mokytojai mokys vaikus žaisti šachmatais, ar … atvirkščiai (žr. Šachmatai mokyklose lavins mąstymą ar siurbs Europos sąjungos lėšas? ALFA, 2014 balandžio 19 d). Kaip ten bebūtų, ŠMM atstovai tikisi, kad ateityje šachmatai pakeis bent dalį matematikos pamokų. Tai rodo, kad elementarus lobistinis rūpinimasis gali pasiekti tikslą. Klausimas, ar tuo būsime patenkinti?

P.S. (2015 sausio 6): Mano svarstymus apie valstybininkų neturėjimo problemą Lietuvoje papildo ši ištrauka iš interviu su buvusiu premjero patarėju S. Jakeliūnu:

– Esate nusivylęs, kad per dvejus metus nepasiekėte rezultatų?

– Ne. Iš pradžių būta nusivylimo ir netgi šoko dėl nesprendžiamų problemų ir šimtus milijonų kainuojančių nuostolių. Tačiau iš arti pamatęs, kas ir kaip vyksta, galiu realiai vertinti ir matyti, ką galima ir ko negalima išspręsti, kokios yra problemos Lietuvoje. Pagrindinės problemos ne finansinės, o politinės. Nes politikai yra nekompetentingi ir nemotyvuoti spęsti ilgalaikes problemas.

– Nes gyvena nuo rinkimų iki rinkimų?

– Taip, mes tai seniai žinome. Ir, deja, jie neatsako už problemų neišsprendimą. Vienas pavyzdžių – ekonominė krizė 2009–2010 metais. Jau baigiame ją pamiršti, tačiau ji kilo ne Jungtinėse Valstijose, o čia, Lietuvoje. Jos priežasčių neįvardijimas ir išvadų napadarymas nulėmė ir dabartines problemas.

– Esame ne kartą kalbėję su ekspertais apie tai. Jie sako, kad politikai nemąsto toli į priekį, nesprendžia ilgalaikių problemų. Ar tai esminė viešojo sektoriaus problema? Gal tai kompetencijos stoka?

– Politinėje sistemoje trūksta ir kompetencijos, ir atsakomybės, todėl sunku tikėtis, kad bus vykdomos svarbios reformos – mokesčių, pensijų, švietimo. Valstybės valdymas turėtų būti konkurencingas. Be to, yra ir dar viena didžiulė bėda – žmonių skaičiaus mažėjimas Lietuvoje. Jis turi būti sustabdytas, reikia daugiau jaunų žmonių, turi keistis jų kokybė. Tačiau tai nulemia žmonių išsilavinimas ir politinė aplinka. Taigi, minėtos problemos yra susijusios, jas būtina įvardinti ir spręsti, nes būdų yra. Tačiau tai gali padaryti tik kitos kokybės politikai.