Prieš kurį laiką Pakruojo Švietimos centras pasikvietė mane vesti seminarą matematikos mokytojams, kuris įvyko vakar. Aš pasiūliau seminarą skirti aritmetikos mokymo klausimams. Šia tema jau vedžiau seminarą gegužės mėnesį Vilniuje MTC. Kodėl tiek daug dėmesio skiriu aritmetikai? Atrodytų, kad tai nėra pati sunkiausia mokyklinės matematikos dalis. Paprastai rūpinamasi, kaip suprantamiau paaiškinti analizės pagrindų ir algebros sąvokas. Mano nuomone, taip elgtis, reiškia kovoti su pasekmėmis. Baigiamosiose klasėse dalis mokinių jau yra praradę viltį suprasti matematiką ir dažnas jos nekenčia ar bijo. Nereikia specialių tyrimų norint įsitikinti, kad tokių mokinių tikrai turime ir nemažai. Tam, kad sumažinti ar net išvengti tokių reiškinių vyresnėse klasėse, reikia rūpintis pradinių klasių matematikos mokymo turiniu.
Mano nuomone, dabartinė matematikos mokymo prasta padėtis atsirado todėl, kad yra ignoruojami du pagrindiniai elementariosios matematikos bruožai. Pirma, matematikos turinį sudarančios dalys yra tampriai tarpusavyje susiję. Antra, nuo pirmos iki paskutinės klasės mokomas elementariosios matematikos turinys palaipsniui tampa vis abstraktesnis. Tam, kad mokinys sugebėtų įsisavinti tokią matematiką, būtina ugdyti jo gebėjimus samprotauti apie abstrakčius dalykus. Tokį gebėjimą vadinu samprotavimų loginiu tikslumu. Loginiu vadinu todėl, kad abstrakčios savokos siejamos loginiais ryšiais. Tokiam samprotavimui ugdyti nepakanka realaus pasaulio pavyzdžių.
Kalbant konkrečiau, mokykloje mokiniai nuosekliai susipažįsta su natūraliaisiais skaičiais, racionaliaisiais skaičiais, algebra ir analizės elementais (dėl aiškinimo trumpumo ignoruoju geometriją ir kitas sritis). Tokia seka matematikos žinios tampa vis abstraktesnėmis. Trupmenos šioje žinių sekoje užima ypatingai svarbią vietą, nes jų įsisavinimas yra daug sunkesnis už žinių apie natūraliuosius skaičius įsisavinimą. Aritmetinius veiksmus su trupmenomis yra neįmanoma adekvačiai paaiškinti apsiribojant realaus pasaulio pavyzdžiais. Dažniausiai žinias apie trupmenas tenka įsiminti be supratimo. Dėl to vėliau atsiranda problemos su algebros ir kitų matematikos žinių supratimu.
Matematikos supratimas reiškia loginių ryšių tarp sąvokų suvokimą. Matematikos procedūras paaiškinantys loginiai ryšiai suteikia mokiniams matematikos prasmę. Ignoruojant minėtus du elementariosios matematikos bruožus (žinių tarpusavio susietumą ir jų abstraktumo didėjimą), prarandama galimybė paaiškinti matematikos faktus. Matematika tampa vis labiau nesuprantama ir prarandama motyvacija jos mokytis.
Seminare kalbėjome apie tai, kaip suteikti daugiau prasmės aritmetikai. Beprasme ji yra tada, kai mokoma nesirūpinant sąvokų apibrėžimų loginiu tikslumu, vengiant aritmetikos veiksmų pagrindimo ir nesiejant naujų žinių su ankstesnėmis. Trumpai tariant, kai neatsakoma į klausimą: Kodėl? Dėl šių priežasčių aritmetika tampa nesuprantamų, tarpusavyje nesusijusių procedūrų ir metodų rinkiniu. Tokiais atvejais negalime tikėtis, kad mokiniai nepraras motyvacijos mokytis matematikos ir išvengs baimės matematikai atsiradimo.
Šiame seminare bandėmeme aiškintis ir suprasti aritmetikos procedūras naudodami tikslius apibrėžimus ir samprotavimų loginį tikslumą. Tačiau seminarą pradėjau primindamas samprotavimų vaidmenį geometrijoje. Čia pateikiu tik seminaro pirmosios dalies santrauką.
Samprotavimai geometrijoje. Manoma, kad Talesas iš Mileto (624—548 prieš Kr.) pirmasis savo teiginius apie geometrines figūras grindė samprotavimu. Autentiškų jo rašto darbų neišliko. Todėl galima tik spėlioti apie jo samprotavimo būdus. Talesui iš Mileto prisikiriami teiginiai (pagal Anglin, 13 pusl. ir Wikipedia Thales‘ theorem):
- Lygiašonio trikampio pagrindo kampai lygūs;
Nubrėžus pusiaukampinę kampui A, gauname du trikampius CAD ir DAB. Šių trikampių po dvi kraštines ir kampai tarp jų yra lygūs. Mokiniui galima pasiūlyti vieną trikampį uždėti ant kito ir pastebėti, kad trikampiai lygūs (taip samprotavo Euklidas). Todėl pradinio trimapio ABC pagrindo kampai taip pat lygūs. - Trikampio kampų suma yra lygi
;
Nubrėžus tiesę, lygiagrečią trikampio ABC pagrindui AB, gauname brėžinyje nurodytus lygius kampus. Taip galima padaryti reikalingą išvadą. - Kampas įbrėžtas į pusapskritimį yra status (Taleso teorema).
Šis faktas buvo žinomas jau anksčiau egiptiečiams, babiloniečiams ir gal būt kitoms civilizacijoms. Talesas pirmasis pasiūlė šio teiginio įrodymą besiremianti 1 ir 2 teiginiais. Būtent, kadangi , tai
(žiūrėk piešinį). Šis pavyzdys iliustruoja įrodymo idėją. Įrodymas yra matematinis argumentas, kuriuo pagrindžiamas teiginio teisingumas. Įrodymas paaiškina kodėl teoremos teiginys yra teisingas.
Spėjama, kad Pitagoro laikais atsirado samprotavimas, vadinams įrodymu prieštaros būdu. Jis grindžiamas logikos faktu, kad arba pats teiginys arba jam priešingas teiginys privalo būti teisingas (negalimo trečiojo dėsnis).
Apibrėžtis. Atkarpos A ir B yra bendramatės, jei egzistuoja atkarpa V ir natūraliųjų skaičių pora (m,n) tokie, kad
čia 
Teiginys. Tegul A yra bet kuri atkarpa ir tegul B yra kvadrato su kraštine A įstrižainė. Atkarpos A ir B yra nebendramatės.
Įrodymas. Tarkime priešingai, kad nurodytos atkarpos A ir B yra bendramatės, t.y. egzistuoja trečia atkarpa V ir natūraliųjų skaičių pora (m,n) tokie, kad 
m2 = 2n2.
Suprastinę jei reikia, gauname, kad m ir n abu kartu nėra lyginiai. Tačiau pastaroji lygybė rodo, kad m yra lyginis, t.y. m = 2k. Pastarąją lygybę galime perrašyti taip:
(2k)2 = 4k2 = 2n2.
Padalinę iš dviejų, gauname
2k2 = n2.
Pastaroji lygybė rodo, kad n yra lyginis. Gavome, kad abu skaičiai m ir n yra lyginiai – prieštara tam, kad abu kartu nėra lyginiai. Prieštara įrodo, kad prielaida – klaidinga. Todėl atkarpos A ir B yra nebendramatės, ką ir reikėjo įrodyti.
Įrodymo forma evoliucionavo kartu su matematika. Pavyzdžiui, idėja įrodyme naudoti aksiomas realizuota Euklido Pagrinduose. Talio teoremos apibendrinimas Pagrindų 3 knygos 31 teiginys apie įbrėžtą ir centrinį kampus ir jos įrodymas įgijo griežtesnę formą. Viduriniais amžiais ir iki maždaug 19 amžiaus, įrodymo svarba ir samprotavimų griežtumas gerokai sumenko. Tai buvo susiję su išaugusia matematikos svarba gamtos tyrimuose. Tačiau 19 amžiuje matematikoje įvyko radikalūs pokyčiai. Intuityvų skaičiaus supratimą keitė logiškai pagrįsta skaičių sistemos samprata. Įrodymas vėl tapo skiriamuoju matematikos bruožu.
Daugelis tyrėjų ir matematikos ugdymo programų rekomenduoja, kad įrodymo idėja ir ją atitinkanti veikla būtų vykdoma mokyklinės matematikos kontekste (cituoju iš A.J. Stylianides). Būdamas loginiu samprotavimu, įrodymas remiasi pagrindiniais teiginių logikos dėsniais. Tinkamai organizuota mokyklinė matematika galėtų būti idealia priemone ugdyti loginį samprotavimą. Tačiau pirmiausia įrodymo idėja turėtų būti suprasta ir priimta mokytojų. Tik jie gali nuspręsti konkrečioje aplinkoje kokia įrodymo forma prieinama mūsų mokiniams. Įrodymas ne tik padaro suprantamais matematikos faktus ir algoritmus. Supratimas savo ruožtu skatina motyvaciją domėtis matematika.
Mūsų mokyklose akcentuojamas gebėjimas spręsti problemas ir uždavinius realiame pasaulyje. Įrodymas yra taip pat problemos ar uždavinio sprendimas tik kitame – matematikos – kontekste. Dažniausiai matematikos faktas yra suprantamas tik tada, kai suprantamas jo įrodymas. Vengdami loginio samprotavimo mokykloje esame priversti riboti mokymą pačiomis skurdžiausiomis priemonėmis – realaus pasaulio iliustracijomis ir pavyzdžiais. Mūsų matematikos vadovėliai tapo iliustruoto pasaulio albumais.
Aritmetika. Tai matematikos sritis, kurioje nagrinėjami skaičiai ir veiksmai su skaičiais. Pradedant natūraliaisiais ir baigiant realiaisiais skaičiais. Šis pavadinimas nėra naudojamas mūsų matematinio ugdymo programose. Mes taip pat nenaudojame algebros ir analizės pavadinimų, bet naudojame geometrijos, statistikos ir tikimybių teorijos sričių pavadinimus. Pagrindinio ugdymo dokumentuose, vietoje aritmetikos, rašoma apie ,,veiklos sritį: Skaičiai ir skaičiavimai“. Todėl verta apžvelgti aritmetikos evoliuciją ir jos dabartinę padėtį.
Skaičių ir jų kilmės istorija yra labai turtinga. Pirmosios žinios priskirtinos skaičiavimui atsirado ir vystėsi kartu su žmogaus kultūra (prieš milijoną metų?). Pirmos mus pasiekusios rašytinės žinios apie skaičius siekia apie 2000-sius metus prieš mūsų erą (Rindu papirusas). Turime išsamią apžvalgą lietuviškai G. Ifrah. Universalioji skaičių istorija.
Žinioms apie skaičius būdinga atskirų faktų ir skaičiavimo metodų forma, naudojama praktinėje veikloje (komercija, statyba ir pan.). Senovės Graikijoje tokios praktinės žinios apie skaičius, susijusios su skaičiavimo technika, buvo vadinamos logistika. Graikų kalba logós reiškė skaičiavimą. Nepraktinio pobūdžio žinios apie skaičius, dabar sakytume teorinio pobūdžio žinios, senovės Graikijoje vadintos aritmetika. Pavyzdžiui, pirmosios žinios apie pirminius skaičius ir jų savybes priskiriamos to meto aritmetikai.
Žodis aritmetika kildinamas iš graikų kalbos arithmetiké, kurį sudaro žodžiai arithmós, skaičius, ir techné, mokslas (pagal Gullbergo knygą Mathematics). Enciklopedijoje Britannica rašoma:
Arithmetic (a term derived from the Greek word arithmos, “number”) refers generally to the elementary aspects of the theory of numbers, arts of mensuration (measurement), and numerical computation (that is, the processes of addition, subtraction, multiplication, division, raising to powers, and extraction of roots). Its meaning, however, has not been uniform in mathematical usage. An eminent German mathematician, Carl Friedrich Gauss, in Disquisitiones Arithmeticae (1801), and certain modern-day mathematicians have used the term to include more advanced topics.
Įdomus Schwartzmano knygoje The Words of Mathematics siūlomas šio termino apibūdinimas:
arithmetic (noun, adjective): from the Greek arithmos “number”, from the Indo-European root ar- “to fit together.” A related borrowing from Greek is aristocrat, presumably a person in whom the best qualities are fitted together. Arithmetic must once have been conceived of as fitting things together, or arranging or counting them. An arith-métic (emphasis on 3rd syllable) series is one in which each term is a fixed number apart from adjacent terms, just as the counting numbers of arithmetic are equally spaced.
Skyrimas tarp logistikos ir aritmetikos tęsėsi Europoje ir viduriniais amžiais, beveik iki 16 amžiaus pradžios. Maždaug nuo tada aritmetikos terminas reiškė tiek praktines tiek teorines žinias apie skaičius, o logistika tapo karyboje naudojamu terminu (100 pusl. Gullbergo knygoje). Nuo 19 amžiaus sudėtingesnės žinios apie skaičius pradėtos vadinti skaičių teorija, atskiriant šią matematikos sritį nuo aritmetikos.
Pirmasis spausdintas aritmetikos vadovėlis, pavadintas Treviso Arithmetic, pasirodė 1478 metais. Jis buvo skirtas praktinio skaičiavimo svarankiškam mokymuisi. Didaktiniu požiūriu naujo tipo geometrijos mokymui skirtą vadovėlį 1667 metais parašė prancūzų teologas, filosofas ir matematikas Antoine Arnauldas (1612-1694). Euklido tekstą jis pertvarkė didaktiniu atžvilgiu ir savo vadovėlį pavadino Les Nouveaux Éléments de Géométrie (Naujieji geometrijos elementai). Arnauldas kritikavo Euklido samprotavimus kaip miglotus ir nenatūralius. Pavyzdžiui, Pitagoro teoremą jis siūlė įrodinėti remiantis anksčiau René Descarteso (1596-1650) pasiūlyta geometrijos aritmetizacija.
Stačiajame trikampyje ABC, nubrėžę statmenį iš viršūnės C, gauname tris panašius trikampius. Iš jų panašumo gauname tris lygybes:
Pertvarkę šias lygybes gauname Pitagoro teoremą:
Skirtingai nei vėlesni vadovėliai, pirmieji du Arnauldo vadovėlio leidimai buvo anonimiški (be nurodyto autoriaus).
Dabartinė skaičiaus samprata atsirado tik 19 amžiuje ir yra grindžiama aibės sąvoka bei aksiomomis (Peano aksiomos, realiųjų skaičių aibės aksiomos). Šios žinios apie skaičius vadinamos teorine aritmetika ir mokyklose paprastai nėra nagrinėjamos, nes laikomos esant per daug abstrakčiomis ir sudėtingomis mokiniams. Tačiau būtų idealu, jei šias žinias išmanytų matematikos mokytojas.
Iki 19 a. matematika universitete, kolegijose ir vidurinėse mokyklose buvo dėstoma lotynų kalba. Žinoma, kad 1830 metais Jeronimas Stanevičius (1793 – po 1854) buvo parašęs aritmetikos vadovėlį žemaitiškai (85 pusl. J. Kubiliaus knygutėje ,,Antanas Baranauskas ir matematika“).
Aritmetikos mokymas Lietuvos mokyklose apžvelgiamas A. Ažubalio knygoje ,,Matematika lietuviškoje mokykloje“. Aritmetikos terminas buvo naudojamas ir tarybiniais laikais.
Mokyklinės matematikos turiniui priklausančios žinios apie skaičius vadinamos elementariąja aritmetika arba tiesiog aritmetika. Elementariosios aritmetikos faktų aiškinimą ir jų pagrindimą vadinu prasmingąja aritmetika.
Aritmetika ir matematinis mąstymas. Aritmetika yra hierarchinę struktūrą sudarančios elementariosios matematikos pagrindine dalimi. Be aritmetikos sąvokų gilaus supratimo neįmanomas algebros ir kitų elementariosios matematikos sričių supratimas. Sėkmingas aritmetikos įsisavinimas turėtų remtis supratimu, kaip veikia mokinio protas jam bandant suprasti matematikos sąvokas.
Šiuolaikinės matematinio mąstymo teorijos grindžiamos principu, kad matematikos supratimas remiasi tam tikrais mentaliniais mechanizmais formuojančiais specialias mentalines struktūras. Kiekvienai matematikos sąvokai formuojasi jai atitinkanti mentalinė struktūra. Paprasčiausios tokios struktūros naudojamos kitų, sudėtingesnes matematikos sąvokas atitinkančių, mentalinių struktūrų formavimuisi. Todėl sėkmingam matematikos mokymuisi, greta atmintimi besiremiančiu mokymusi, labai svarbus yra aritmetikos sąvokinis supratimas.
Egzistuoja keletas požiūrių į mentalinių struktūrų formavimąsi, besiskiriančių subtiliais ir mūsų svarstymams nesvarbiais niuansais. Šių požiūrių esmė yra ta, kad matematinės sąvokos supratimas vystosi palaipsniui atliekant tam tikro pobūdžio veiklas. Pirma, matematinė sąvoka įsisavinama atliekant vieno matematinio objekto pertvarkymą (action) į kitą matematinį objektą. Kartojant ir apmąstant tokį pertvarkymą, jis tampa procesu vadinama mentaline struktūra. Procesas leidžia įsivaizduoti veiksmą tiesiogiai neatliekant pertvarkymo. Antra, procesas yra įsisavinamas atliekant su juo įvairius veiksmus tol, kol jis tampa panašiu į mentalinį objektą. Taigi, procesas tampa objektu. Tai yra dalis sudėtingo mechanizmo, kurį aprašo matematiko Ed Dubinsky sukurta teorija vadinama APOS (trumpinys: actions, processes, objects, schemes).
APOS teoriją iliustruosime trupmenų dalybos sąvokos supratimo pavyzdžiu. Dalinant skaičius suprantamas kaip objektas, o dalyba atsako į klausimą: Kiek daug šio objekto yra dalinyje? Aptarkime konkrečios trupmenos 2/3 atvejį. Kaip paprastai, trupmenos aiškinimas pradedamas picos dalinimo pavyzdžiu. Būtent, dalindami picą į tris lygias dalis ir imdami dvi gautas dalis sakome, kad tai yra trupmenos 2/3 iliustracija. Jei mokinys trupmeną suvokia tik kaip tokią dalinimo veiklą, tai jis turi pertvarkymo (action) sampratą. Kartojant tokią veiklą ir ją apmąstant, mokinys gali suformuoti mentalinį procesą, kuriuo jis įsivaizduoja bet kokio objekto dalinimą į tris lygias dalis ir dviejų gautų dalių jungimą. Tai yra trupmenos 2/3 kaip proceso supratimas ir dauguma mokinių neturi su tuo didelių problemų.
Antrasis trupmenos suvokimo etapas yra santykinai sunkus. Tam, kad, pavyzdžiui, 7 dalinti iš 2/3, reikia atsakyti į klausimą: Kiek daug 2/3 yra skaičiuje 7? Tokiu atveju 2/3 turėtų būti įsivaizduojamas ne kaip procesas bet kaip objektas. Priešingu atveju neįmanoma atsakyti į suformuluotą klausimą. Mentalinio proceso 2/3 keitimas mentaliniu objektu 2/3 gali būti sudėtingas ir kai kuriems mokiniams reikalaujantis pagalbos.
Yra pasiūlyta keletas būdų kaip iš mentalinio proceso formuoti mentalinį objektą. Šiame seminare aiškinamės tokį trupmenos supratimą, kuriuo ji apibrėžiama kaip skaitmuo (tiksliau kalbant, kaip matematinio objekto – racionaliojo skaičiaus – simbolinė išraiška), tuo papildydami įprastą trupmenos aiškinimą remiantis įvairiais realaus pasaulio pavyzdžiais. Tuo pačiu aiškinamės kaip atitinkamos sąvokos apibrėžimas padeda suprasti aritmetikos veiksmų su trupmenomis taisykles.
Mūsų aptartą mentalinio proceso ir mentalinio objekto konstravimą galima lyginti su mokymu kai bandoma atsakyti į du klausimus: Kaip atlikti skaičiavimo veiksmą? ir Kodėl šis veiksmas duoda teisingą rezultatą? Kitaip kalbant, aritmetikos supratimas pasiekiamas atsakant į du klausimus:
žinoti ,,kaip?“ ir suprasti ,,kodėl?“.
Mokykliniuose vadovėliuose klausimas ,,kodėl?“ paprastai nėra nei formuluojamas nei, tuo labiau, atsakomas. Tą patį galima pasakyti ir apie knygas mokytojams, bei mokytojų ruošimą universitete. Mano nuomone, atsakymas į klausimą ,,kodėl?“ suteikia aritmetikai prasmę, o mokiniui – motyvaciją mokytis matematikos.
Plačiau ir kvalifikuotai apie matematinį mąstymą rašoma pirmoje ir paskutinėje cituojamos literatūros sąrašo knygose.
Liping Ma mokytojų žinių tyrimai. Aritmetikos sąvokų prasmės supratimo problemą gerai iliustruoja Liping Ma knyga Knowing and Teaching Elementary Mathematics. Knygoje pristatomas Kinijos ir JAV matematikos mokytojų elementariosios matematikos žinių gilumo tyrimas. Tyrimui naudojami matematikos sąvokų ir algoritmų aiškinimo klasėje įrašai. Šių dviejų šalių matematinio raštingumo tarptautinio tyrimo rezultatai labai skirtingi. Knygoje pateikto mokytojų darbo tyrimo pristatymas nepalieka abejonių dėl mokinių rezultatų skirtingumo tiesioginių priežasčių.
Trumpai apžvelgsiu Liping Ma knygos trečią skyrių, kuriame aptariami rezultatai gauti stebint kaip mokytojai aiškina tą patį trupmenų dalybos pavyzdį:
Kiekvienas mokytojas turėjo atlikti nurodytą dalybos veiksmą ir iliustruoti šio veiksmo prasmę. 43% JAV mokytojų nurodytą veiksmą atliko sėkmingai, bet nei vienas jų nesuprato šio veiksmo prasmės. Tik vienas jų sugebėjo pasiūlyti korektišką veiksmo iliustraciją.
Pavyzdžiui, teisingai veiksmą atlikęs amerikiečių mokytojas aiškino:
Mišrųjį skaičių 
Kai kurie amerikiečių mokytojai visiškai negalėjo prisiminti dviejų trupmenų dalybos algoritmo.
Visi Kinijos mokytojai nurodytą veiksmą atliko teisingai. Dauguma jų nurodytą veiksmą išreiškė fraze: ,,Dalyba iš skaičiaus yra ekvivalenti daugybai iš atvirkštinio skaičiaus“. Keletas Kinijos mokytojų netgi paaiškino kodėl dauginimas iš atvirkštinės trupmenos duoda reikalingą rezultatą Pavyzdžiui, vienas mokytojas priminė natūraliųjų skaičių dalybos savybę n : m = nk : mk.
Mūsų penktokai žino ,,dalmens reikšmės išsaugojimo taisyklę“. Būtent, padauginus dalinį ir daliklį iš to paties skaičiaus dalmuo nesikeičia. Pavyzdžiui, dalinant 10 iš 2 dalmuo yra 5. Padauginę 10 ir 2, pavyzdžiui, iš 6 gausime 60 ir 12. Dalindami kiekvienos poros pirmąjį skaičių iš antrojo gauname tą patį dalmenį, 5. Toliau, jei dalinį ir daliklį padauginsime iš atvirkštinio dalikliui, tai gautos poros antras skaičius taps 1. Kadangi dalinimas iš vieneto nekeičia dalinio, 1 galime atmesti. Gausime, kad dalinimas yra lygus dauginimui iš atvirkštinio dalikliui. Tą patį atliksime trupmenų dalybai
Toks aiškinimas padeda mokiniui suprasti siūlomo algoritmo prasmę.
Dauginimas iš atvirkštinio skaičiaus yra standartinis dalybos iš skaičiaus algoritmas. Kinijos mokytojai be šio standartinio algoritmo pasiūlė tris alternatyvius algoritmus šiam konkrečiam pavyzdžiui (A).
Alternatyvūs (A) pavyzdžio skaičiavimai. Pirmoji alternatyva – dalyba naudojant dešimtainės trupmenos išraiškas. Daugiau kaip trečdalis Kinijos mokytojų pastebėjo, kad (A) užduotis gali būti atlikta paprasčiau pavertus trupmenas dešimtainėmis. Būtent
Tiesa, toks skaičiavimas ne visada gali būti paprastesnis. Be to, dešimtainių trupmenų naudojimas priklauso nuo to, kurioje programos vietoje yra ši tema.
Antroji alternatyva – distributyvumo dėsnio naudojimas. Distributyvumo dėsnis tai lygybė
Šį dėsnį galima panaudoti mišrią trupmeną 
Šį alternatyvų skaičiavimą pasiūlė septyni Kinijos mokytojai.
Trečioji alternatyva: ,,visai nebūtina dauginti“. Trys Kinijos mokytojai pasiūlė originalų skaičiavimą pagal formulę
Kodėl ši formulė teisinga? Pagal apibrėžimą skaičių 
Abi šios lygybės puses padauginę iš b ir padalinę iš m gauname
Dar kartą panaudoję dalybos apibrėžimą, skaičiaus k išraišką ir tai, kad trupmena yra dalyba, gauname (B) formulę. Panaudoję (B) formulę pavyzdžiui (A), gauname
Reikia pastebėti, kad ši alternatyva yra nesudėtingas skaičiavimas tik šiuo atveju, kai skaitiklyje ir vardiklyje galioja dalyba be liekanos.
Beveik visi Kinijos mokytojai nurodė bent vieną korektišką situaciją iliustruojančią veiksmo prasmę. Jų situacijos pasižymėjo didele įvairove ir nekasdieniškumu, bei rėmėsi puikiu savo dalyko išmanymu.
Cituoju Liping Ma knygos trečio skyriaus išvadą (82 pusl.):
Matematikos sąvokų ir procedūrų iliustravimas yra įprasta didaktinė priemonė. Dauguma JAV mokytojų stengėsi iliustruoti trupmenų dalybos taisyklę realaus pasaulio pavyzdžiais. Kinijos mokytojų iliustravimui naudotos situacijos įvairesnės ir mažiau tiesiogiai susijusios su mokinių kasdienybe. Nekelia abejonių, kad mokyklinės matematikos turinio sąsaja su užklasiniu pasauliu padeda įprasminti matematiką. Tačiau naujo matematinio turinio ,,realusis pasaulis“ savaime nesukuria. Nepaisant gero mokinių kasdienybės išmanymo, nepaisant tvirto nusiteikimo remtis mokinių patirtimi, bet gerai nežinant tai, ką norima iliustruoti, neįmanoma pasiūlyti konceptualiai korektiškos iliustracijos.
Matematikos mokymo problemos. Mano nuomone, sunkiausia problema yra elementariosios matematikos pagrindų kurso nebuvimas ruošiant būsimus matematikos mokytojus ir keliant dirbančių mokytojų kvalifikaciją. Šio seminaro turinys yra tokio kurso skirto aritmetikai iliustracija. Kita problema yra matematikos idėjų istorijos ir matematikos filosofijos kursų nebuvimas ruošiant būsimus matematikos mokytojus ir keliant dirbančių mokytojų kvalifikaciją. Taip pat nėra tokio pobūdžio literatūros mokytojams. Matematikos programa ir matematikos vadovėliai yra mažiau svarbūs ta prasme, kad geras mokytojas gali apsieiti be jų.
Kita sunki problema yra brandos egzaminų sureikšminimas, mokymas egzaminams ir mokytojų vertinimas pagal mokinių rezultatus.
Kitos problemos ir jų priežastys:
- tradicija, elementariosios matematikos pagrindų kursų nebuvo iki šiol;
- požiūris, jog prasmės supratimas atsiranda savaime;
- požiūris, jog prasmės supratimas nesiruošiantiems tapti matematikais nėra būtinas;
- mokytojo turimos elementariosios matematikos žinios nėra gilios;
- matematinio ugdymo turinys yra per daug platus ir seklus;
- matematikų ir matematikos mokytojų bendruomenės nutolo viena nuo kitos.
Sprendžiant klausimą koks turėtų būti matematinis ugdymas, pasirinkimas yra racionalus kai jis yra pagrįstas pakankamai išsamia informacija apie mokyklinę matematiką pasaulyje. Deja, Lietuvoje neturime galimybių ir, matyt, poreikio dalintis informacija apie pasaulinę patirtį sprendžiant matematinio švietimo problemas. Gali būti, kad nemažą problemos dalį sudaro kalbos barjeras.
Mano nuomone, prioritetine veikla turėtų būti matematikos mokytojų įtraukimas į savišvietą. Dėl švietimo svarbos nesupratimo mūsų šalyje, beveik nebeturime jaunų žmonių norinčių tapti matematikos mokytojais. Matematikos mokytojas tampa tikru profesionalu, kai jis žino apie mokomą dalyką daug daugiau negu būtina matematikos pamokai pravesti pagal numatytą programą. Klausimas ,,kiek daug?“ yra sudėtingas. Tai iliustruoja žemiau cituojama H. Howello disertacija. Gilus mokyklinės matematikos išmanymas suteikia naują kokybę matematikos mokymui. Mokytojas yra svarbiausia matematikos mokymo grandis.
Mokytojų klausimai ir mano komentarai. Prieš seminarą mokytojai pasiūlė pakomentuoti šiuos klausimus:
- Kaip galime motyvuoti ir sudominti mokinius domėtis matematika, Jūsų patirtis, pavyzdžiai. Kuo daugiau Jūsų praktinių pastebėjimų, gyvenimiškos patirties šiuo aktualiu mums moyvacijos klausimu.
- Jūs nemažai laiko praleidote užsienyje kaip ten yra sprendžiamos nenorinčių mokytis problemos: gal jie paliekami likimo valiai ir dirbama tik su norinčiais mokytis mokiniais. Jūsų pastebėjimai.
- Kaip mokytojai turėtų mokyti matematiką (matematiniai terminai per pamokas)?
- Jūsų nuomonė, pastebėjimai – matematikos ugdymo turinys turėtų būti kuo platesnis, kuo daugiau temų ar vis dėlto gal būt mažiau temų bet gilesnis suvokimas atskirų dalykų?
- Dabar yra akcentuojami tam tikrų katų ypatumai ( X, Y ir Z kartos ypatumai mokantis) Jūsų mintys gal būt pastebėjimai ar matematikos mokyme aktualu tam tikrų kartų ypatumai, o gal tas kartų klausimas nėra toks aktualus?
Mano nuomone, absoliuti dauguma mokinių pirmoje klasėje turi norą mokytis matematikos. Motyvacija mokytis matematikos prarandama mokykloje palaipsniui. Motyvacijos praradimas turėtų būti juntamas tarp 6-7 klasės mokinių ir vėlesnėse klasėse tokių mokinių turėtų tik daugėti. Aš manau, kad didžiausią įtaką tam turi problemos susijusios su trupmenų įsisavinimu. Neturint gerų pagrindų aritmetikoje, algebra ir kitos elementariosios matematikos sritys lieka nesuprantamomis. Visas šis seminaras skirtas tam, kas turėtų padėti išvengti motyvacijos praradimą. Sprendžiant pagal tekstą Motivating Struggling Math Students literatūros sąraše, iš esmės tą patį siūlo Amerikos matematikos mokytojų nacionalinė taryba (matyt mūsų LMMA atitikmuo).
Vis tiek lieka klausimas, kaip grąžinti jau prarastą motyvaciją. Sprendžiant pagal siūlomų priemonių gausą ir įvairovę ką tik minėtame tekste (taip pat ir daugybėje kitų randamų internete), vieno recepto nėra. Aš pats bandyčiau įtikinti mokinius, kad sėkmę matematikoje lemia ne ,,įgimti gabumai“, bet sunkus darbas. Reikėtų skatinti nesigėdinti savo klaidų, nes iš jų galima išmokti daugiausiai.
Mano nuomone, dirbti reikia su visais mokiniais. Bet darbas su tais, kuriems vidutinis lygis yra per sunkus ir kuriems jis yra per lengvas, turėtų būti skirtingas. Matyt mūsų švietimo sistemos tokiam darbui nesudaro sąlygų.
Mano, kaip dėstytojo patirtis rodo, kad geriausiai matematika įsisavinama nuolat kalbantis su mokiniais, siekiant tikrinti jų supratimą neformaliai.
Dabartinėje matematikos mokymo situacijoje, matematikos mokymo turinys turėtų būti siaurinamas ir grąžinamas samprotavimo ugdymas. Bet tai daryti reikėtų labai apgalvotai. Maždaug prieš 15 metų pradėtas skatinimas atsisakyti ,,bereikalingo formalizmo” matematikos mokyme buvo klaida.
Mano nuomone, matematikos mokymui aktuali dabartinės kartos mokinių problema yra dėmesio sutelkimo trukmė. Matematikai yra svarbu sugebėti pakankamai ilgai dirbti prie to paties klausimo. Tačiau šiuolaikinių technologijų netvarkingas naudojimas neskatina dėmesio sutelkimą.
Cituojamas literatūra
- I. Arnon, J. Cottrill, E. Dubinsky, A. Oktaç, S. Roa Fuentes, M. Trigueros, K. Weller. APOS Theory: A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education. Springer, 2014.
- A. Ažubalis. Matematika lietuviškoje mokykloje (XIX a. per. – 1940). Vilnius, Žiburio leidykla, 1997.
- J. Gullberg. Mathematics. From the Birth of Numbers. W.W. Norton & Company, 1997.
- H. Howell. Characterizing mathematical knowledge for secondary teaching: a case from high school algebra. PhD Thesis, New York University, 2012. http://gradworks.umi.com/35/44/3544000.html
- G. Ifrah. Universalioji skaičių istorija. Kaip skaičiai ir skaičiavimas atskleidžia žmogaus išradingumą. Žara, 2013.
- J. Kubilius. ,,Antanas Baranauskas ir matematika“. MII, Vilnius, 2001. http://www.mif.vu.lt/ttsk/bylos/ku/files/abar.pdf
- Liping Ma. Knowing and Teaching Elementary Mathematics. Teachers‘ Understanding of Fundamental Mathematics in China and The United States. Anniversary addition. Routledge, 2010.
- Motivating Struggling Math Students. Resesrach Brief. http://oregongearup.org/files/research-briefs/motivatingmathstudents.pdf
- Steven Schwartzman. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. 1996.
- A.J. Stylianides. Proof and proving in school mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, vol 38, Nor 3, (2007), pp 289-321.
- David Tall. How Humans Learn to Think Mathematically. Exploring the Three Worlds of Mathematics. Cambridge University Press, 2013.