Šį įrašą paskyriau vengrų filologo ir istoriko Árpádo Szabó teorijai apie aksiominės-deduktyviosios matematikos atsiradimą Antikinėje Graikijoje. Remdamasis senovės graikų kalbos žodžių reikšmių evoliucijos tyrimu ir istorine to meto matematikos analize Szabó priėjo išvadą, kad matematikos žinių pagrindimo būdą ir formą Euklido Pradmenyse įtakojo filosofų Parmenido ir Zenono dialektika. Ši išvada skiriasi nuo paplitusio požiūrio, kad geometrijos loginį pagrindimą paskatino Platonas (taip rašoma, pavyzdžiui, P. Katiliaus vadovėlyje Geometrijos pagrindai. 1966, 21 pusl.). Vienu iš pagrindinių Szabó teorijoje yra teiginys, kad nebendramačių geometrinių dydžių egzistavimo pagrindimui matematikai pasitelkė Elėjos filosofams priskiriamą reductio ad absurdum argumentą, t.y. įrodymo ,,prieštaros būdu“ prioritetas tenka filosofams, o ne matematikams.
Kadangi 19-ame mūsų eros amžiuje matematika vėl transformavosi į aksiominę-deduktyviąją žinių sistemą, tik kokybiškai naujame lygmenyje, Szabó teorija iš esmės aiškina šiuolaikinės matematikos atsiradimą. Nors matematikos terminų ,,įrodymas“, ,,teorema“, ,,apibrėžimas“ ir ,,aksioma“ šiuolaikinė prasmė gerokai pasikeitė, bet jų atsiradimo aplinkybės yra svarbios ir įdomios. Jos padeda suprasti grynosios matematikos prasmę.
Apie ką čia kalbame?
Terminai ,,įrodymas“, ,,teorema“, ,,apibrėžimas“ ir ,,aksioma“ turi prasmę tokioje matematikoje, kuri vadinama aksiomine-deduktyviąja. Tai logiškai pagrįstų ir tam tikrą struktūrą turinčių matematikos žinių sistema. Dalis tos struktūros teiginių vadinama aksiomomis, o kita dalis vadinama teoremomis. Pirmos rūšies teiginiai (aksiomos) yra laikomi teisingais be pagrindimo, o antros rūšies teiginiai (teoremos) yra įrodinėjami. Apibrėžimai yra sakiniai, kuriais apibūdinamos matematikos sąvokos ir objektai.
Tokią formą turėjo Euklido Pradmenų 13-oje knygų išdėstyta matematika. Vėliau matematika gerokai keitėsi. Bet galiausiai, 19-ame amžiuje, ji vėl įgijo panašią formą. Szabó teorija siekia paaiškinti Euklido matematikos atsiradimą. Pokyčiams suprasti būtų gerai įsivaizduoti matematiką buvusią iki Euklido laikų. Aš pasinaudosiu Pitagoro teorema, kurios skirtingi pagrindimo būdai turėtų iliustruoti matematikos evoliuciją. Priminsiu šią teoremą. Tegul a, b ir c yra trikampio ∆ABC kraštinių ilgiai, kaip šiame paveiksliuke:
Teiginys (Pitagoro taisyklė): jei trikampio ∆ABC kampas C status, tai a2+b2=c2.
Šį teiginį galima tikrinti pamatavus konkretaus stataus trikampio kraštinių ilgius. Tai būtų empirinis pagrindimas arba vadinamoji indukcija. Ar galima Pitagoro taisyklę pagrįsti kitaip? Atsakymas į klausimą yra teigiamas. Bet jis nevienareikšmis.
Babiloniečių matematika ir Pitagoro taisyklė. Senovės Mesopotamijoje ir Egipte matematinių žinių pobūdis gerokai skyrėsi nuo Euklido laikų matematikos. Sunku jį tiksliai apibūdinti, bet mano tikslams pakanka apytikrio vaizdo. Apie Senojo Babilono matematiką rašiau čia.
Pitagoro taisyklę žinojo Senojo Babilono raštininkai gyvenę nuo 2000 iki 1600 m. pr. Kr. g. Be abejonės, ne tokioje formoje kaip aš ją ką tik suformulavau. Senovės babiloniečiai neturėjo trikampio ir kampo sąvokos, nenaudojo jokių algebros elementų, pati taisyklė taikoma kaip tarpinis žingsnis kurioje nors užduotyje, t.y. nėra formuluojama kaip bendra taisyklė. Tai liudija bent aštuoni žinomi jų tekstai, aprašyti Jenso Høyrupo straipsnyje Pythagorean “Rule” and “Theorem” .
Pavyzdžiui, molinėje lentelėje BM 85196 yra užduotis apie į sieną atremptą lazdą. Žinoma, kad lazdos ilgis 30‘ (= 30/60) NINDAN (šumerų matavimo vienetas) ir iš pradžių ji stovivertikaliai atremta į sieną. Kokiu atstumu pasislinks lazdos apatinis galas, kai viršutinis lazdos galas pažemėja 6‘ (=6/60) NINDAN?
Ieškomas atstumas gaunamas pagal Pitagoro taisyklę:
Tai paprasčiausias Pitagoro taisyklės taikymo pavyzdys.
Hóyrupo teigimu (prikabinto teksto 402 pusl.): ,,several of examples (…) leave no daubt that both explicit knowledge of a general rule and of some kind of underlying principle was present“. Ką nors tiksliau pasakyti sunku. Randamos molinės lentelės, kaip taisyklė, priklauso to meto raštininkų mokykloms. Gali būti, kad tokioje institucijoje nebuvo tradicijos raštu aiškinti naudojamų taisyklių. Prisiminkime šių dienų matematikos mokymą mokyklose; dažniausiai, mes mokome vaikus tik metodų, neaiškindami, kodėl tie metodai teisingi.
Apie Pitagoro taisyklės kilmę senajame pasaulyje savo tinklaraštyje spėlioja matematikas Davidas Mumfordas.
Savo išvadą apie skirtumą tarp babiloniečių Pitagoro taisyklės ir Euklido Pradmenų Pitagoro teoremos, Hóyrupas formuluoja taip (405 pusl. op.cit):
There is thus no doubt that the Greek geometers encountered the Pythagorean rule when they started their investigation of what the Near Eastern practical surveyors knew (…). The Greek geometers did not restrict themselves to adoption and digestion; one of their primary aims became to understand why and under which conditions the ”metrical geometry” of the surveyors worked – a process of quasi-Kantian “critique” whose results are summarized in Elements II.1-10. What Elements I.47 presents us with is a similar critique of the Pythagorean rule. This critique transforms the rule into a theorem and shows how it can be established independently of the metrical geometry of Elements II. In order to do that one has to make use not only the definition of the right angle and of the appurtenant postulate, but also of the congruence theorems and thus of that notion of the quantified angle which the Greek geometers had created. Whereas most of the proofs of Elements II are easily stripped of their “critical” dress and reduced to the underlying “naive” procedures as these are described in the Babylonian texts, that of I.47 is therefore fundamentally Greek and wholly incompatible with Old Babylonian mathematical procedures and thought.
Tačiau, tam tikras, ne empirinis, Pitagoro taisyklės pagrindimas buvo žinomas dar iki Euklido Pradmenyse įrodytos Pitagoro taisyklės ir dėl to vadinamos Pitagoro teorema.
,,Įrodymas be žodžių” (proof without words). Šia fraze pastaruosius kelis dešimtmečius matematikai vadina įrodymą, kurį noriu dabar iliustruoti.
Tarkime, kad po lygybės ženklu vaizduojamo stačiojo trikampio kraštinės ir jų ilgiai yra a, b ir c. Lygybės kairėje ir dešinėje pusėse yra du kvadratai, kurių kraštinių ilgiai yra a + b. Šiuos du kvadratus galima padalinti kaip parodyta paveiksle:
Paveikslas (be žodžių) paaiškina, kodėl teisinga Pitagoro taisyklė.
Iš kiekvieno kvadrato atėmus lygias tamsiai nuspalvintas dalis gausime taip pat lygias dalis. Tai rodo, kad kvadratų ant kraštinių a ir b sąjunga yra lygi kvadratui ant kraštinės c. Tokiu būdu, geometriškai, nenaudojant algebros, galima suformuluoti Pitagoro taisyklę.
Šiuolaikinėje matematikoje pateiktas paveikslas nėra Pitagoro taisyklės įrodymas, dėl šiuolaikinės įrodymo sampratos. Tačiau visiškai atmesti tokį pagrindimą negalima. Pavyzdžiui, dėl jo edukacinės reikšmės. Kaip jau minėjau, pastaruosius kelis dešimtmečius vis dažniau kalbama apie ,,įrodymus be žodžių“. Tokio įrodymo atgimimas apžvelgiamas R.L. Millerio straipsnyje On Proofs Without Words .
Tolesnis ,,įrodymo be žodžių“ aptarimas mus nuvestų į šalį. Tik paminėsiu, mano galva, išsamų įvadą į įrodymų prasmės aptarimą: Michael Detlefsen. Proof: Its nature and Significance. In: Proof & Other Dilemmas. Mathematics and Philosophy (Eds. B. Gold and R.A. Simons), 2008.
Mano pateiktos Pitagoro taisyklės paaiškinimo kilmė miglota. Atrodo ji rasta senovės kinų matematiniame tekste Zhou Bi Suan Jing. Esu matęs šį paaiškinimą priskiriant pačiam Pitagorui arba jo pasekėjams. Be to, sprendžiant pagal aštuntąją užduotį Hóyrupo tekste, panašų paaiškinimą galėjo žinoti ir Senovės Babilono raštininkai. Kaip ten bebūtų, vargu ar 5-ojo amžiaus pr. Kr. g. graikų matematikams tokio paaiškinimo nepakako. Todėl klausimas apie perėjimo prie loginio pagrindimo priežastis yra prasmingas. Pirmiausia pažiūrėkime kaip atrodo tas loginis pagrindimas.
Pitagoro taisyklės įrodymas Euklido Pradmenyse. Euklido Pradmenų pirmosios knygos 47 teiginys yra toks (vertimas iš anglų kalbos į lietuvių kalbą mano):
Stačiajame trikampyje, kvadratas ant kraštinės, esančios prieš statųjį kampą, lygus (sumai) kvadratų ant kraštinių, sudarančių statųjį kampą.
Tuo metu, atkarpai nebuvo priskiriamas skaičius – jos ilgis, kaip ir nebuvo naudojamas skaičiaus kėlimas kvadratu ar skaičių sandauga. Teiginio formulavime kvadratas tapatinamas su savo plotu. Todėl teiginys sutampa su anksčiau formuluota Pitagoro taisykle. Teiginio įrodymui tarkime, kad trikampio ABC kampas C yra statusis. Reikia įrodyti, kad kvadratų ACLD ir CBXN (plotų) suma yra lygi kvadratui ABME (jo plotui).
Iš trikampio ABC viršūnės C, lygiagrečiai AE arba BM, brėžiame tiesę iki susikirtimo taške H su kvadrato kraštine EM. Pakanka įrodyti, kad kvadrato ACLD plotas lygus stačiakampio AKHE plotui, o kvadrato CBXN plotas lygus stačiakampio KBMH plotui.
Nubrėžę atkarpas DB ir CE, gauname trikampius ABD ir AEC. Šie trikampiai lygūs. Kadangi trikampio ABC viršūnė C stati, tai LB yra atkarpa, lygiagreti atkarpai DA. Todėl trikampio ABD plotas yra lygus pusei kvadrato ACLD plotui. Dėl brėžimo, atkarpa CH yra lygiagreti atkarpai EA. Todėl trikampio AEC plotas lygus pusei stačiakampio AKHE plotui. Kadangi trikampiai ABD ir AEC lygūs, tai kvadrato ACLD plotas lygus stačiakampio AKHE plotui. Panašiai įrodome, kad kvadrato CBXN plotas lygus stačiakampio KBMH plotui.
Šiame samprotavime aš praleidau brėžiamų figūrų egzistavimo ir jų savybių pagrindimus nurodant į atitinkamus anksčiau įrodytus teiginius ir aksiomas Euklido knygoje. Pilnas įrodymas su nuorodomis yra čia 46 pusl.
Šis Pitagoro teoremos įrodymas yra tipiškas aksiominis-deduktyvus įrodymas. Įrodomo teiginio teisingumas yra grindžiamas aksiomų teisingumu (su sąlyga, kad nebuvo padaryta loginio samprotavimo klaidų).
Taigi, domėsimės priežastimis, kurios vertė graikų matematikus sukurti aksiominę-deduktyvią matematiką.
Aksiominės-deduktyviosios matematikos atsiradimas pagal Szabó
Savo teoriją Árpádas Szabó publikavo 1969 metais knyga vokiečių kalba. Į anglų kalbą ji išversta 1978 metais pavadinimu The Beginnings of Greek mathematics, kurią toliau cituoju. Teorijos elementai buvo publikuoti anksčiau atskirais straipsniais.
Senovės graikų matematikos tyrimas smarkiai skiriasi nuo senovės babiloniečių matematikos tyrimo. Senovės babiloniečių raštininkai savo tekstus rašė molinėse lentelėse ir todėl nemažai jų išliko iki šių dienų. Taigi, senovės babiloniečių tekstus galima tirti originale. Tuo tarpu senovės graikų matematikos originalių tekstų, ypač ankstyvojo laikotarpio iki Euklido, beveik neišliko. Todėl apie senovės graikų matematiką tenka spręsti iš gerokai vėliau parašytų komentarų. Szabó, būdamas senovės graikų tekstų filologas ir mokslo istorikas, gebėjo kritiškai vertinti ne tik vertimą bet ir jo interpretaciją. Didelė jo tyrimų dalis remiasi senovės graikų tekto vertimų interpretacijos kritine analize. Taip pat didelę įtaką jo tyrimams turėjo vengrų akademinė aplinka ir jo draugystė su Imre Lakatosu, kuriam jis dedikavo savo knygos anglišką vertimą (András Máté straipsnis Árpád Szabó and Imre Lakatos, Or the relation between history and philosophy of mathematics. 2006).
Tęsiant toliau, verta prisiminti pagrindinius iki Euklidinio laikotarpio Antikinės Graikijos matematikus ir filosofus, surikiuotus pagal amžių (vardai nesulietuvinti kaip tekste):
Thalesas iš Mileto (apie 624-547 m. pr. Kr. g., pirmasis žinomas graikų filosofas ir matematikas)
Anaximenes iš Mileto (apie 585-528 m. pr. Kr. g.)
Pythagoras iš Samoso (apie 570-495 m. pr. Kr. g.)
Parmenidesas iš Elea (apie 515-460 m. pr. Kr. g.)
Zeno iš Elea (apie 490-430 m. pr. Kr. g., Parmenideso mokinys, aporijų autorius)
Hippasusas iš Metapontum (penktas amžius pr. Kr. g., Pythagoro mokinys)
Hippocrates iš Chios (apie 470-410 m. pr. Kr. g.)
Plato (apie 427-347 m. pr. Kr. g.)
Eudoxus iš Cnidus (apie 408-355 m. pr. Kr. g., Plato mokinys)
Aristotle (apie 384-322 m. pr. Kr. g.)
Autolycus iš Pitane (apie 360-290 m. pr. Kr. g., pirmasis graikų matematikas, kurio darbai išliko)
Euclidas iš Alexandria (apie 300 m. pr. Kr. g., ,,Pradmenų“ autorius ir nėra kitų patikimų biografinių žinių apie jį)
Taigi, Szabó tikslas išsiaiškinti kaip atsirado aksiominė-deduktyvioji matematika. Knygos įvade jis rašo (22 pusl.):
[T]here is no doubt that the axiomatic foundations of mathematics laid down by Euclid in the Elements are the culmination of a lengthy pre-Euclidean development. Previous historians only drew upon Aristotle, who lived just before Euclid, or at best on Plato to explain this process. They never even contemplated the idea that Greek ‘axiomatics’ could have originated in a still earlier time. Vague ‘interactions’ between the Pythagoreans and Eleatics had also been conjectured (by Tannery, for example, and by Rey – one of his followers), although no one had determined precisely what these ‘interactions’ comprised, nor which side might have gained the most from them. The idea that the founding of this science on definitions and axioms is attributable to the Eleatics has not been considered previously. Yet this is what I hope to prove in the sequel, mainly by analysing the history of concepts.
Čia ne tik matematikos pagrindų idėjos prioriteto klausimas. Remdamasis Elėjiečių dialektika, aksiominės-deduktyviosios sistemos prasmę Szabó aiškina kitaip negu Aristotelis.
Szabó knygą sudaro trys dalys:
- The early history of the theory of irrationals. Remiantis kai kurių matematinių terminų reikšmės ir teksto interpretavimo kritine analize (nagrinėjant Platono dialogą Theaetetus), formuluojama hipotezė, jog nebendramačių dydžių egzistavimo klausimas iškilo sprendžiant geometrinių dydžių proporcijų problemas. Kritiškai įvertinti požiūriai, jog nebendramačių dydžių egzistavimo faktas sukėlė krizę pitagoriečių pasaulėžiūroje ir sumenkino aritmetikos reikšmę lyginant su geometrija.
- The pre-Euclidean theory of proportions. Proporcijų teorijos terminai ir sąvokos atsirado pitagoriečių muzikos teorijoje, bet pagrindinis jos taikymas vyko aritmetikoje ir geometrijoje. Šios teorijos taikymas pagilino geometrinių figūrų panašumo problemos supratimą ir nebendramačių dydžių problemos suvokimą.
- The construction of mathematics within a deductive framework. Argumentuojama, jog įrodymas prieštaros būdu ir aksiomų sistemos idėja nusižiūrėti iš elėjiečių dialektikos, bet geometrijos pagrindimas vystėsi atsiribojant nuo elėjiečių filosofijos. Šią dalį toliau komentuoju smulkiau.
Įrodymo sampratos evoliucija graikų matematikoje. Trečioji knygos dalis pradedama matematinio termino įrodymas analize senovės graikų matematikoje (185-199 pusl.). Szabó siekia išsiaiškinti iš kur kilo poreikis įrodinėti matematikos teiginius ir kaip senovės graikų matematikai išsiugdė gebėjimą įrodynėti, kuriuo žavimės ir šiandien. Kitas klausimas apie priežastis, kurios paskatino radikaliai keistis įrodymo sampratai: nuo intuityvaus ir vaizdinio iki loginio, suvokiamo tik protu.
Bendrinėje graikų kalboje žodis įrodymas δείϰνυμι (deiknymi) turėjo kelias reikšmes: (1) parodyti, nurodyti; (2) padaryti žinomu (ypač žodžiais), paaiškinti; (3) parodyti, įrodyti. Matyt pirmoji reikšmė yra originali, nes ji labiausiai konkreti. Szabó siekia išsiaiškinti, kaip ši originali įrodymo reikšmė tapo tokiu matematiniu terminu, kokiu jis naudojamas Euklido Pradmenyse.
Szabó skiria dvi įrodymo rūšis: pagrįstą vaizdu, intuicija ir loginį samprotavimą. Šias dvi įrodymų rūšis iliustruoja mano anksčiau pateikti du Pitagoro taisyklės įrodymai. Szabó pateikia daug kitų pavyzdžių iliustruodamas aiškią įrodymo sampratos transformaciją. Jis pastebi, kad ši transformacija susijusi su noru matematinį faktą įrodyti kaip galima bendresnėje formoje (apibendrinti), pereinant iš jutiminės vaizdinės sferos į grynojo mąstymo sritį, nuo vaizdų matymo akimis prie protu suvokiamų idėjų. Teigiama, kad bendri aritmetikos teiginiai įrodomi remiantis sąvokų apibrėžimais (pavyzdžiui, skaičiaus), kuriais išreiškiamos aritmetikos objektų savybės. Tai yra fakto konstatavimas. Kodėl įvyko transformacija? – klausia Szabó (197 pusl.):
It seems that new kinds of proof appeared at the same time as Greek mathematics was becoming anti-empirical and anti-visual. We have yet to examine how such proofs, which aimed at providing something more than visual evidence, came into being.
Nebendramačių atkarpų egzistavimo įrodymas. Toliau (199-216 pusl.) Szabó argumentuoja, kad nebendramačių geometrinių dydžių (magnitudes) egzistavimo įrodymas paskatino perėjimą prie deduktyvaus samprotavimo (įrodymo prieštaros būdu) ir empirinių argumentų atsisakymo matematikoje. Pabandysiu trumpai išdėstyti šio reikalo esmę.
Nenorėdamas šioje vietoje nukrypti nuo temos į šalį, apibrėšiu nebendramatiškumą tik atkarpoms ir naudosiu šiuolaikines sąvokas.
Apibrėžtis. Atkarpos A ir B yra bendramatės, jei egzistuoja atkarpa V ir natūraliųjų skaičių pora (m,n) tokie, kad
čia 
Nebendramačių atkarpų klausimas iškilo bandant dalinti muzikinius intervalus, t.y. pitagoriečių muzikos teorijoje. Tokį ryšį išreiškia graikų matematikų nustatytas faktas (Proposition X.2 Euklido Pradmenyse), kad du dydžiai yra nebendramačiai jei Euklido algoritmu šiais laikais vadinamas procesas yra begalinis. Šis algoritmas, Szabó vadinamas successive subtraction, leidžia rasti bendrą matą V, jei jis egzistuoja. Pagal šį algoritmą, turėdami dvi atkarpas A ir B, iš didesnės atimame mažesnę ir gauta atkarpa pakeičiame didesniąją. Gauta nauja pora turi tą patį matą. Atimties veiksmą kartojame tol, kol gauname bendrąjį matą. Šis algoritmas tęsis be galo, jei atkarpos neturi bendrojo mato, t.y. jei jos yra nebendramatės.
Szabó teigia (209 pusl.):
My conclusion, therefore, is that neither successive subtraction nor its modern variant, `continued fractions`, can serve as a practical criterion of incommensurability in geometry. Incomensurability is a theoretical concept; it is not an empirical property of geometrical quantities…. I want to argue that there is no practical method which enables us to [decide incummensurability] in every case. We might hope to find intuitive evidence and arguments which, although they would not be accepted as conclusive proof, would convince a mathematician that the process was never going to terminate. The non-mathematician, on the other hand, might well regard these same arguments as a refutation of the very fact which they were intended to demonstrate.
Man atrodo tai yra pati įdomiausia vieta Szabó teorijoje. Šiuo konkrečiu nebendramatiškumo egzistavimo faktu jis atskiria dvi įrodymų rūšis, teigdamas, kad viena jų (praktinė) yra nepakankama teiginiui įrodyti. 210 pusl. jis analizuoja Rademacherio ir Töplitzo 1930 metais pasiūlytą naują nebendramatiškumo geometrinį įrodymą, kuris yra geometrinis ir gana įtikinantis, bet samprotavimas reikalauja begalinio veiksmų skaičiaus.
Dar daugiau Szabó teigia (211 pusl.):
It should be stressed at the outset, of course, that mathematical and non-mathematical patterns of reasoning are radically different. Aristotle makes this point in a passage from the metaphysics which touches on the problem of incommensurability. He remarks that non-mathematicians simply do not believe in the existence of lengths which have no common measure and are therefore perplexed by the incommensurability of the side and diagonal of a square; on the other hand, those who are `well versed in geometry` would be even more perplexed if it could be shown that the side and diagonal of a square do have a common measure. The difference between these two ways of thinking is well illustrated by the difference between mathematical and non-mathematical interpretations of `infinite successive subtraction`.
Šią mintį Szabó paaiškina pasitelkęs Rademacherio ir Töplitzo pavyzdį ir toliau rašo (212 pusl.):
In my opinion, the non-mathematician is right to maintain that the process of successive subtraction will always terminate in practice. This is the reason why Proposition X.2 can only provide a theoretical criterion of incommensurability. It also explains why not ancient mathematicians ever used this proposition to prove the existence of incommensurability…. When the Greeks discovered the existence of incommensurability, they found themselves confronted with a mathematical fact which could not be proved conclusively by practical methods…. It was necessary to turn away from visual evidence and to reject empiricism in mathematics before incommensurable magnitudes could be proved to exist.
Tai koks gi yra pagal senovės graikus patikimas nebendramatiškumo egzistavimo įrodymas?
Teiginys. Tegul A yra bet kuri atkarpa ir tegul B yra kvadrato su kraštine A įstrižainė. Atkarpos A ir B yra nebendramatės.
Įrodymas. Tarkime priešingai, kad nurodytos atkarpos A ir B yra bendramatės, t.y. egzistuoja trečia atkarpa V ir natūraliųjų skaičių pora (m,n) tokie, kad 
m2 = 2n2.
Suprastinę jei reikia, gauname, kad m ir n abu kartu nėra lyginiai. Tačiau pastaroji lygybė rodo, kad m yra lyginis, t.y. m = 2k. Pastarąją lygybę galime perrašyti taip:
(2k)2 = 4k2 = 2n2.
Padalinę iš dviejų, gauname
2k2 = n2.
Pastaroji lygybė rodo, kad n yra lyginis. Gavome, kad abu skaičiai m ir n yra lyginiai – prieštara tam, kad abu kartu nėra lyginiai. Prieštara įrodo, kad prielaida – klaidinga. Todėl atkarpos A ir B yra nebendramatės, ką ir reikėjo įrodyti.
Elėjiečių filosofijos vaidmuo. Nebendramačių atkarpų egzistavimo įrodymas grindžiamas reductio ad absurdum argumentu. Jis suvokiamas protu, bet ne empirine patirtimi ar jutiminiais vaizdais. Sutinku su Szabó, kad nebendramačių atkarpų atradimas galėjo būti susijęs su reductio ad absurdum argumento panaudojimu matematinio teiginio įrodyme ir su empirizmo atsisakymu matematikoje. Klausimas: kaip matematikoje atsirado anti-empirizmas ir netiesioginis įrodymo metodas?
Szabó nuomone, elėjiečių filosofija ,,kalta“ dėl anti-empirizmo ir netiesioginio įrodymo matematikoje atsiradimo (218 pusl.):
I believe that the influence of Eleatic philosophy was responsible for the rejection of empiricism and visual evidence in Greek mathematics, as well as for the introduction of indirect proof. Indeed, I hope to show in the following chapters that the construction of Greek mathematics as deductive system was a result of this same influence and that, had it not been for the philosophy of Parmenides and Zeno, it would not have been possible to build up so ingenious a system as Euclide’s Elements. I will attempt to give a detailed defense of this view below.
Savo ,,tikėjimą“ Szabó grindžia visuma žinomų faktų (kurių nėra daug), kalbos ir terminų evoliucijos analize, įvairių matematikos vystymosi scenarijų tikėtinumo lyginimu, bei ,,sveiko proto“ argumentais. Jis rašo (217 pusl.):
I want to argue that neither anti-empiricism nor the method of indirect proof could have arisen spontaneouslyin mathematics. I do not believe, for example, that mathematicians were prompted solely by their dealing with numbers and geometrical figures to change radically their way of thinking and to adopt an interesting new method of proof; they must have been subjected to some influence from outside mathematics.
Mano paryškinta frazė buvo ir yra kritikuojama kitų matematikos istorikų; ji gali atspindėti autoriaus pasaulėžiūrą (apie tai dar rašau žemiau). Paminėsiu keletą Szabó svarstymo pavyzdžių.
Szabó žiniomis, Parmenido poemoje yra pirmasis žinomas netiesioginio įrodymo naudojimo atvejis. Sutariama, kad pirmieji tokio įrodymo panaudojimai matematikoje yra tik vėlesni. Bet tai nepaneigia nepriklausomo idėjos gimimo galimybės. Tačiau Szabó savo kruopčia analize parodo, kad Euklido Pradmenų aksiominė-deduktyvioji sistema yra Elėjiečių dialektikos taikymo rezultatas.
Elėjiečių dialektika ir Euklido Pradmenų aksiomatika. Gal būt per daug supaprastindamas dėl trumpumo, suformuluosiu aksiominio metodo vaidmens alternatyvas; turėčiau kalbėti apie tris akiomų rūšis naudojamas Euklido Pradmenyse. Taigi, ar aksiomos yra akyvaizdžios tiesos, ar laikinos hipotezės (prielaidos), kurių teisingumą lemia iš jų gaunamos išvados? Šiuo klausimu mokslo kontekste pasisakė Aristotelis savo veikale Posterior Analytics. Jo požiūris, pritaikytas matematikai, reiškė aksiomų vaidmens pirmąjį variantą ir yra dažnokai priskiriamas Euklidui. Kita vertus, manoma, kad aksiominį metodą matematikoje naudojo dar Hippocrates iš Chios (iki Aristotelio), bet jo tekstų neišliko. Be to, abejonės dėl penktojo postulato (lygiagrečios tiesės) akyvaizdumo taip pat nepariama pirmojo varianto.
Szabó, nagrinėdamas Platono dialogus, parodo, kad matematika taikė dialektikos samprotavimo formas – hipotezių kėlimas ir prieštaros metodas. Jis rašo (246 pusl.):
The fragments of early Greek mathematics which modern scholarship has recently been able to recover also seem to indicate that hypotheseis and the method of indirect proof were used in the fifth century. … Although it is generally agreed nowadays that most of the propositions in Book VII of the Elements date back to the fifth century B.C. and that there are in a sense `loan words` which were taken over from dialectic, their earliest field of application. If we wanted to interpret this as a reflection of some relationship between the two fields, we would have to say that mathematics was at least in one respect a branch of dialectics. It seems reasonable to suppose that mathematicians made such extensive use of dialectical terms because mathematics itself grew out of the more ancient subject of dialectic.
Perėjimas prie abstrakčių objektų graikų matematikoje. Kodėl graikų matematikoje pereita prie idealių matematinių objektų? Trumpas atsakymas – to reikalavo dedukcinis samprotavimo metodas. Teiginių neprieštaringumas (consistency) yra kriterijus pagal kurį vertinamas pačios hipotezės arba jos neiginio teisingumas. Toks samprotavimas yra įmanomas tik grynojo mąstymo srityje. Jutimais suvokiami objektai nuolat kinta ir šia prasme yra prieštaringi. Todėl tokie objektai negalėjo būti Parmenido filosofijos sritimi, o vėliau ir dialektiką perėmusios matematikos sritimi. Grynojo mąstymo srityje arba metafizikos srityje objektais yra idealios esybės apibūdinamos savo savybėmis.
Šiaip jau manoma, kad abstrakcijos matematikoje yra Platono formų ir esinių analogai. Iš to, kas sakoma išeitų, kad dėl perėjimo prie abstrakčių objektų matematikoje kalti elėjiečiai. Savo dialoge ,,Parmenidas“ Platonas patvirtina, kad, atmesdamas jutiminius pojūčius ir naudodamas netiesioginį samprotavimą pradedant hipotezėmis, jis sekė elėjiečiais. Dialogo herojus Parmenidas mini Zenoną, kuris savo aporijose nuolat naudojo dialektinį samprotavimą. Szabó rašo (253 pusl.):
The reason why Parmenides insists that both hypotheseis have to be considered should be obvious. Since all sense perception, and with it all physical experience, must on principle be rejected as false or unreliable, no empirical test can be devised to check whether or not an assertion is correct. The validity of a statement can be demonstrated in only one way. The consequences of both the statement in question and its negation must be examined to see which of them contains a contradiction. Once this has been determined, the statement must be rejected or accepted, depending upon whether it or its negation leads to inconsistence. Every indirect proof, when carried out in full, utilizes this method of investigating a pair of hypotheseis; furthermore, the whole of Plato’s dialectic is based upon it. There is no doubt that by the fifth century B. C. the procedure described above was already being widely used in arithmetic. The proposition that the One is indivisible, for example, could not have been established without using a pair of hypotheseis in the manner prescribed by Parmenides.
Vieneto apibrėžtis Euklido Pradmenyse (VII def. 1) labai panaši į Parmenido būties sampratą. Gali būti, kad vieneto nedalomumas turi tas pačias priežastis kaip ir Parmenido būties nedalomumas (261 pusl.). Dar daugiau, Szabó bando įtikinti, kad ankstyvoji graikų aritmetika sukurta elėjiečių filosofijos pagrindu.
Zenono aporijų įtaka matematikos aksiomoms. Tačiau deduktyviosios matematikos kūrimas elėjiečių filosofijos pagrindu nereiškia vien idėjų perėmimą (įrodymas prieštaros metodu, anti-empirizmas, vieneto nedalomumas ir pan.). Matematikos pagrindams kurti reikėjo naujų idėjų. Skaičiaus samprata kaip vieneto daugis (VII def. 2) reiškė nedalomumo ribų peržengimą abstrakcijose. Kitu pavyzdžiu yra pirmieji trys postulatai (reikalavimai) Euklido Pradmenyse, kuriais įteisinama tam tikra judėjimo forma – teorinė (abstrakti) galimybė nubrėžti tiesę ir apskritimą. Prisiminkime, kad panašiu metu, kai manomai buvo suformuluoti šie postulatai, judėjimo negalimumą tikrovėje savo aporijomis įrodinėjo Zenonas. Tuo tarpu Euklido Pradmenų trečioji aksiomų grupė (čia vadinamos common notions) suformuluotos taip, kad būtų išvengta Zenono paradoksų (3.24 ir 3.25 skyreliai). Apibendrindamas savo svarstymus apie Euklido trečiąją aksiomų grupę, Szabó rašo (301 pusl.):
The axioms for equality which appear in the Elements are empirical assertions based upon experience with finite sets. Their validity is guaranteed only by sensory evidence; hence they could not have been accepted by the Eleatics, who required that all knowledge be obtained by purely intellectual means and without appealing to the senses. These principles were originally called demands (άξιώματα) because the other party in a dialectical debate had reservations about accepting them as a basis for further inquiry or, in other words, because their acceptance could only be demanded. (Euclid’s axioms were no less incompatible with Eleatic teaching than these postulates were).
After Plato’s time, however, the essentials of Eleatic dialectic were no longer very well understood; hence the ancient term άξίωμα acquired a new meaning. Since it had always been used to refer to a group of principles which, from the viewpoint of common sense, were evidently valid, it came now to denote those statements whose truth was “accepted as a matter of course.” (Efforts were even made to justify the new meaning on etymological grounds.) Aristotle’s dismissal of Zeno’s paradoxes as mere sophistries undoubtedly helped to make this change possible. As a matter of fact, Aristotle seems to have been the ancient world’s leading proponent of the idea that mathematics has to be based on “evidently true, indisputable and simple foundations”.
We can now see why the old name άξιώματα was replaced in texts of the Elements by the phrase ϰοιναί ἔννοιαι. Tannery believed that it became necessary to make this substitution when the stoics began using the word άξίωμα to mean any declarative statement. In my opinion, however, he failed to mention the major reason why axiomata gave way to koinai ennoiai. The latter term was preferred to the former mostly because it better described the new (Aristotelian) conception of `axiom`; one would be even less inlined to doubt the `evident truth` of axioms if they were called common notions (ϰοιναί ἔννοιαι). Thus, in the course of the time, the dialectical origins of both the term άξίωμα and the kind of principle which it had been used to denote were almost completely forgotten.
Geometrijos vystymasis atskiria graikų matematiką nuo elėjiečių filosofijos. Pagal Szabó, elėjiečių argumentas reductio ad absurdum padėjo matematikams išspręsti geometrinių figūrų nebendramatiškumo egzistavimo įrodymo problemą. Tačiau visa to meto graikų geometrija, skirtingai nuo aritmetikos, visiškai neatitiko elėjiečių filosofijos. Erdvė, kaip ir bet kuris geometrinis dydis (magnitude), turi begalinio dalumo savybę. Skirtingai nuo nedalomo vieneto, nėra mažiausio dydžio. Geometrinės figūros paprastai konstruojamos naudojant taško ar kito dydžio judėjimą. Tačiau, pagal elėjiečius, nei erdvė, nei judėjimas, neatitinka samprotavimų neprieštaringumo reikalavimų. Todėl erdvė negali būti elėjiečių įsivaizduojamų teorinių žinių objektu. Nors jie sutinka, kad erdvė ir judėjimas yra suvokiami jutimais ir priklauso tikėjimo sričiai. Teorinės žinios negali būti grindžiamos jutimais. Tai užkerta kelią geometrijai įsiterpti tarp teorinių žinių.
Szabó tvirtinimu, graikų matematika įgyjo deduktyviąją formą siekdama atsisakyti jutimais ir empirika grindžiamų samprotavimų geometrijoje. Jis rašo (315 pusl.):
In my opinion, the Greeks may very well have been led to devise axiomatic foundations (initially just for geometry) as a response to the difficulties described above. They must have felt the need to lay down certain empirical facts which were indispensible to the construction of a science of space, even though these facts did not satisfy the Eleatic requirement that knowledge be acquired in a purely intellectual way. Their first task was to make it clear that the forms of geometry (lines, points of intersection, angles, figures, etc.) were not all the same as those perceived by the senses, true geometrical forms were ideal entities (like numbers) whose visible counterparts served only to represent them. The definitions were intended to eliminate as many sensible features as possible from geometry, and the axioms and postulates discussed earlier were also aimed at making the foundations of this science purely abstract.
Apibendrindamas, Szabó teigia (317 pusl.):
My claim is that the construction of mathematics as deductive system came about because of certain problems encountered in geometry. It is true that Eleatic doctrine can be applied more easily to arithmetic than to geometry and that the Greeks therefore regarded arithmetic as the superior science; however this ranking was only a theoretical one. Euclid’s mathematics is predominantly geometrical in character; even his arithmetic takes a geometrical form. This should not surprise us in view of the fact that the problems which caused mathematicians to break with Eleatic philosophy came principally from geometry and the outcome of this break was a theoretical foundation for geometry.
Trečiąją (paskutiniąją) knygos dalį Szabó baigia aptardamas kelis klausimus. Paskutinis jų apie santykį tarp Platono filosofijos ir deduktyviosios matematikos. Iki šiol dominuoja požiūris, kad deduktyvioji matematika atsirado dėka ,,Platono reformos“ matematikoje. Visa ši Szabó knyga atskleidžia visiškai kitokį santykį tarp Platono filosofijos ir deduktyviosios matematikos. Jis rašo (326 pusl.):
None of the above, however, gives us any reason to think that Plato’s teaching inspired mathematicians to undertake a thorough-going reform of their subject. In fact, as far as I can see, there is no evidence at all to support this idea. The claim that “Plato was the first person to obtain a clear understanding of the strictly methodical technique of elementary construction and, in so doing, he contributed greatly to the development of positive mathematical research” seems to me to be nothing more than an unfounded and rather arbitrary modern conjecture.
Šioje vietoje baigiu ne visai nuoseklią Szabó knygos The Beginnings of Greek mathematics apžvalgą. Paminėjau ir pacitavau tik tai, kas man šiuo metu atrodė svarbiausia. Įrašą tęsiu keliais pasvarstymais apie matematikos istoriją.
Dvi matematikos kilmės interpretacijos: kaip istorija ir kaip palikimas
Daugelis šio įrašo teiginių apie senovės graikų matematiką man pasirodė nauji, atsargiai kalbant. Szabó piešiamas matematikos atsiradimo paveikslas mane įtikina. Tuo labiau, kad jis patvirtina mano turimą nuojautą apie matematikos ir filosofijos galimas sąsajas per Zenono aporijas.
Pastaruoju mane stebina tai, kad visuomenei rašantys apie matematikos istoriją retai užsimena apie kitokį tų pačių dalykų interpretavimą. Kalbant apie senovės graikų matematiką, aš išskirčiau tris tekstų grupes: šaltiniai ir jų komentarai parašyti eiliniam skaitytojui (kaip man) nežinoma kalba ir todėl jam neperskaitomi, matematikos istorikų akademinio turinio darbai, bei visuomenei skirti matematikos istorijos tekstai. Mane stebina turinio skirtumo egzistavimas tarp antros ir trečios grupės tekstų. Sakyčiau, kad visuomenei (kuriai priskiriu ir matematikus) skirtuose matematikos istorijos darbuose vyrauja ,,fasadinė“ matematikos istorija. Šioje ,,fasadinėje“ istorijoje dominuoja lyginimas su teisinga laikoma šiuolaikine matematika. Istoriniai įvykiai vertinami lyg žinant teisingus atsakymus, pamokomai.
Antros grupės tekstuose istorija gerokai įvairesnė. Mano aptariama Szabó knyga priklauso būtent tokiems tekstams. Kaip rašo pats autorius: „It should perhaps be mentioned that this book is not intended to be an introduction to Greek mathematics for the general reader; its aim is to bring the problems associated with early history of deductive science to the attention of classical scholars, and historians and philosophers of science.“ Šios knygos vokiškas originalas, yra autoriaus parašytas maždaug 1956-1966 metais akademiniuose žurnaluose publikuotų straipsnių pagrindu.
Kaip Szabó teoriją vertina kiti matematikos istorikai? Trumpas atsakymas – vertina rimtai. Tą rodo tiek teigiami, tiek ir neigiami vertinimai. 1967 metais publikuotame rinkinyje Problems in the Philosophy of mathematics (redagavo Imre Lakatos) yra Szabó teorijai skirta diskusija pavadinimu Greek dialectic and Euclid‘s axiomatic. Szabó labai trumpai pasisakė trimis klausimais: ryšiai tarp dialektikos ir Euklido Pradmenų struktūros; netiesioginio įrodymo aptarimas; apie vieną Euklido aksiomą, suformuluotą tam, kad apeiti Zenono paradoksus. Diskusijoje savo komentarus išsakė W.C. Kneale, L. Kalmár, A. Robinson, J.R. Lucas, P. Bernays, G.J. Whitrow ir K.R. Popper. Diskusija patvirtina, kad Szabó teorija vertinama labai rimtai.
Szabó teorija paskatino diskusijas ir matematikos istorijos metodologijos klausimais. Szabó teigė, kad Euklido Pradmenų antrosios knygos teiginiai turi grynai geometrinę prigimtį, atmesdamas algebrinę interpretaciją ir babiloniečių kilmės hipotezę. Tą jis pagrindžia mano pristatomos knygos priede. Iki šiol matematikos istorijos tekstuose galima sutikti terminą ,,geometrinė algebra“, kuriuo apibūdinami Pradmenų antrosios knygos teiginiai. Pavyzdžiui, Euklido Pradmenų antrosios knygos ketvirtas teiginys apibūdina kvadrato išskaidymą: jei atkarpa AB yra padalinta į dvi atkarpas AC ir CB, tai kvadratas AE yra lygus kvadratų HF ir CK , bei dviejų lygių stačiakampių AG ir GE sumai.
Labai dažnai šis teiginys interpretuojamas kaip algebrinė lygybė (a+b)2 = a2 + 2ab + b2. Diskusija dėl interpretacijos ir termino ,,geometrinė algebra“ nušviečiama čia ir čia.
Šių konkrečių matematinių rezultatų interpretavimo ginčas iliustruoja du skirtingus požiūrius į matematikos istoriją ir, gal būt, į istorijos vaidmenį apskritai. Atrodo, kad iki šiol dominuoja jau mano minėtas požiūris, kad matematika vystosi progreso keliu, vis tobulėdama, o dabartinė matematika yra geriausia, ką žmogaus protas galėjo pasiekti šioje srityje. Ši nuostata taikoma matematikos istorijai siekia atskleisti tik šiuolaikinės matematikos požiūrį ir ignoruoti egzistavusias, bet dėl įvairių priežasčių prarastas alternatyvas.
Šį požiūrį išsako matematikas Davidas Mumfordas mano minėtame tekste Pythagoras’s rule:
My personal experience reading Archimedes for the first time illustrates my bias: after getting past his specific words and the idiosyncrasies of the mathematical culture he worked in, I felt an amazing certainty that I could follow his thought process. I knew how my mathematical contemporaries reasoned and his whole way of doing math fit hand-in-glove with my own experience. I was reconstructing a rich picture of Archimedes based on my prior. Here he was working out a Riemann sum for an integral, here he was making the irritating estimates needed to establish convergence. I am aware that historians would say I am not reading him for what he says but am distorting his words using my modern understanding of math. I cannot disprove this but I disagree. I take math to be a fixed set of problems and results, independent of culture just as metallurgy is a fixed set of facts that can be used to analyze ancient swords.
Atrodo, kad tą patį dviejų požiūrių skirtumą aprašo matematikos istorikas I. Grattan-Guinnessas straipsnyje The mathematics of the past: distinguishing its history from our heritage. Straipsnio santraukoje jis rašo:
[Mathematicians] attention to history is concerned with heritage: that is, how did we get here? Old results are modernized in order to show their current place; but the historical context is ignored and thereby often distorted. By contrast, the historian is concerned with what happened in the past, whatever be the modern situation. Each approach is perfectly legitimate, but they are often confused.
Naudodamas Grattan-Guinnesso terminologiją, sakyčiau, kad matematikos istorijos tekstuose visuomenei, t.y. mano minėtos trečiosios grupės tekstuose, dominuoja rūpinimasis palikimu, o ne istorija. Gerai būtų turėti galimybę rinktis kokius tekstus skaityti.
Koks geras straipsnis!