Santrauka. Mūsų matematinio ugdymo programos vienu iš mokymo tikslų įvardija realaus pasaulio pažinimą matematikos priemonėmis. Sprendžiant pagal šiame tekste aptariamą dydžio ir skaičiaus sąvokų neapibrėžtumą (tapatinimą) visame mokyklinės matematikos turinyje, kyla abejonės dėl tokio tikslo įgyvendinamumo galimybių. Be to, ignoruodami dydžio, santykio ir proporcijos kilmės aplinkybes mes nepasinaudojame galimybe paaiškinti kai kurių procedūrų prasmę.
Pavyzdys
Matematikos vadovėliuose apibrėžiamos dydžio, santykio ir proporcijos sąvokos kelia pagrįstų klausimų. Kaip pavyzdį pacituosiu ištrauką iš vieno vadovėlio (pajuodinta mano).
Gyvenime daugelis dydžių priklauso vienas nuo kito, t.y. vienam kintant, kinta ir kitas. Tai gali būti laikas ir nueitas kelias, produktų kiekis ir kaina.
Iliustracija
Už šešis apelsinus Buratinas sumokėjo devynis pinigėlius, o už keturis persikus – šešis pinigėlius. Pardavėjas sakė, kad kiekvienas vaisius kainuoja tiek pat. Ar tai tiesa?
Apskaičiuokime vieno vaisiaus kainą.
Vienas apelsinas kainuoja 9 : 6 = 1,5 (pinigėlio).
Vienas persikas kainuoja 6 : 4 = 1,5 (pinigėlio).
Kadangi abu dalmenys lygūs, tai galime parašyti lygybes:
9 : 6 = 6 : 4 arba 
Dviejų skaičių dalmenį kartais vadiname santykiu. Taigi galime sakyti, kad 9 ir 6 santykis lygus 6 ir 4 santykiui.
Dviejų santykių lygybė vadinama proporcija.
Proporcija turi tokią svarbią savybę:
Proporcijos kraštinių narių sandauga lygi jos vidurinių narių sandaugai.
[Kitaip sakant, jei turime proporciją a : b = c : d, tai a ⋅ d = b ⋅ c.]
Pirmas komentaras. Šioje citatoje santykis apibrėžtas skaičiams. Santykiu pavadintas skaičių dalmuo. Jau turima savoka (dalmuo) pavadinama kitu žodžiu (santykiu). Tai lyg ir prieštarautų matematikos turinio tikslingumui. Šioje vietoje praleidžiame progą kalbėti apie matematinės realybės ir realaus pasaulio skirtumus. Būtų įdomu pamatyti kaip dabartiniuose mūsų fizikos vadovėliuose kalbama apie dydžių santykius. Apie senesnius fizikos vadovėlius žemiau pateiksiu vieną citatą.
Antras komentaras. Abu santykiai cituojamoje ištraukoje gauti iš dydžių. Pirmajam santykiui gauti 9 pinigėliai pakeisti skaičiumi 9, o 6 apelsinai pakeisti skaičiumi 6. Tuo būdu imami realaus pasaulio objektai ir jie pakeičiami matematiniais objektais. Apie dydžius užsimenama, bet apibrėžiant santykio sąvoką jie ignoruojami.
Trečias komentaras. Jei remtis dydžių dimensijų teorijos taisyklėmis, tai dydžių santykio dimensija lygi dydžių dimensijų santykiui. Tokiu atveju gautume:
9 pinigėliai : 6 apelsinai = 1,5 pinigėliai / apelsinai
6 pinigėliai : 4 persikai = 1,5 pinigėliai / persikai
Abu santykiai turi skirtingas išvestines dimensijas. Tokiu atveju cituojamos ištraukos teiginys apie santykių lygybę kelia abejones.
Ketvirtas komentaras. Cituojamos ištraukos samprotavimą galima pataisyti. Pirma, apibrėžti tos pačios rūšies dydžių A ir B turinčių skaitines reikšmes a ir b santykį
A : B = 
Taip apibrėžto santykio reikšmė yra skaičius (nebūtinai racionalusis), kuris neturi dimensijos. Antra, norėdami apskaičiuoti vieno apelsino kainą, jos skaitinę išraišką žymėkime x. Tada sudarome proporciją:
6 apelsinai : 1 apelsinas = 
Naudodami cituojamoje ištraukoje suformuluota svarbiausia proporcijos savybe gauname lygybę 6 x = 9. Todėl vieno apelsino kaina yra 1,5 pinigėlio. Taip pat skaičiuodami persikų santykį gauname, kad vieno persiko kaina lygi vieno apelsino kainai.
Išvada. Cituojamos ištraukos pavyzdys yra ne motyvacija sąvokoms, bet sąvokų rezultatas. Klausimas dėl sąvokų motyvacijos lieka atviru. Madden (2018) siūlo atsigręžti į matematikos istoriją ir kurti vaikams suprantamą požiūrį į dydžius.
Apie skaičių, dydį, santykį ir proporciją graikų matematikoje
Visas šias sąvokas Euklidas naudoja savo Pagrindų knygoje (apie 300 m. Pr. K.g.). Dauguma jų yra apibrėžta. Bet kitaip nei dabar yra įprasta. Skaičiais (ἀριθμός (arithmos)) vadinami tik natūralieji skaičiai 2,3,4,….. Pagrindų 7-oje knygoje:
Def. 1. A unit is that by virtue of which each of the things that exist is called one.
Def. 2. A number is a multitude composed of units.
Pitagorui aptikus nebendramačių atkarpų egzistavimą ir neturint realiųjų skaičių, nebuvo įmanoma apibrėžti dviejų atkarpų santykį pasirenkant matavimo vienetą ir išreiškiant jų ilgius realiaisiais skaičiais. Panaši problema varžė figūrų plotų ir kūnų tūrių santykių skaičiavimą. Šią problemą išsprendė Platono mokinys Eudoksas iš Knido (Eudoxus, 410/408 – 355/347 m. Kr. g.).
Dydžių (μεγέθη (megethe), angl. magnitudes) santykis (λόγος (logos), angl. ratio) apibrėžtas 5-oje Pradmenų knygoje abstrakčiu būdu.
Def. 1. A magnitude is a part of a magnitude, the less of the greater, when it measures the greater.
Def. 2. The greater is a multiple of the less when it is measured by the less.
Def. 3.A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.
Def. 4. Magnitudes are said to have a ratio to one another which can, when multiplied, exceed one another.
Def. 5. Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when, if any equimultiples whatever are taken of the first and third, and any equimultiples whatever of the second and fourth, the former equimultiples alike exceed, are alike equal to, or alike fall short of, the latter equimultiples respectively taken in corresponding order.
Def. 6. Let magnitudes which have the same ratio be called proportional.
Taigi, dydžiai sudarantys lygius santykius vadinami proporcingais (ἀνάλογον (analogon), angl. in proportion).
Naudojant šiuolaikinę matematinę kalbą 5 apibrėžtis atrodo taip. Tegul A, B, C, D yra dydžiai. Sakoma, kad dydžių poros (A,B) santykis yra lygus dydžių poros (C,D) santykiui, t.y. (A,B) ir (C,D) yra proporcingi, jei
visiems n,m ∈ Ν mA <, =, > nB, kai mC <, =, > nD.
Dydžio sąvoka nėra tiksliai apibrėžiama. Skirtingai nuo diskrečiųjų skaičių, dydžiai yra be galo dalūs ir naudojami geometrijoje. Pagal Grattan-Guinness, Euklidas nagrinėja dešimt rūšių dydžių: linija – tiesė ir lankas, sritis – plokštumos stačiakampis su tiesiomis ar lenktomis kraštinėmis, piramidės ir sferos paviršius, kubas ir nupjauto rutulio kūnas, kampas – plokštumos ir erdvės kreivinis. Daugiau apie dydžius pasakoma apibrėžiant leistinus veiksmus su jais. Pavyzdžiui, tos pačios rūšies skirtingus dydžius galima palyginti, galima sudėti dydžius priklausomai nuo jų rūšies.
Jei santykiai apibrėžti tik tos pačios rūšies dydžiams, tai proporcijos teorija buvo taikoma lyginant skirtingos rūšies dydžių santykius. Pavyzdžiui, pagal 6 knygos Teiginį 1, jei du trikampiai turi lygias aukštines, tai jų plotų santykis yra lygus jų pagrindų ilgių santykiui: A : B = a : b.
Labai didele problema yra tai, kad senovės graikai neapibrėžė dviejų santykių santykį (Zeeman, 2008). Tai turėjo reikšmingas pasekmes visai senovės graikų matematikai.
1) Kadangi jie negalėjo apibrėžti (AB : AD) : (CB : CD), tai jie negalėjo sukurti projektyvinės geometrijos.
2) Kadangi jie negalėjo apibrėžti santykų sandaugos (a:b)(c:d) = (a:b):(d:c), tai jie negalėjo sukurti grupių teorijos.
3) Kadangi jie negalėjo apibrėžti pagreičio
Pagreitis = greičio pokytis / laikas,
tai jie negalėjo sukurti dinamikos teorijos.
Pagal Zeeman (2008), graikai darė klaidą reikalaudami dydžių sistemai adityvios struktūros. Jis pasiūlė savąjį problemos sprendimą, pakeisdamas toliau aptariamą Hölderio dydžių aksiomatiką ir pasiūlydamas naują santykių aksiomatiką.
Hölderio aksiominis santykio apibrėžimas
Išnagrinėjęs Euklido padarytas prielaidas apie dydžius, Hölderis performulavo jas kaip ,,matavimo aksiomas”. Jos atrodo taip.
- Lyginimas. Duoti tos pačios rūšies objektai yra arba ekvivalentūs (kaip tos rūšies nariai), arba, priešingu atveju, vienas yra didesnis už kitą. Be to, jei A yra didesnis už B ir B yra didesnis už C, tai A yra didesnis už C.
- Sudėtis ir atimtis. Duotus tos pačios rūšies objektus galime sudėti gaudami didesnį tos pačios rūšies objektą. Pavyzdžiui, ilgį turinčius daiktus galime sujungti vieną galą su kitu galu. Mažesnį dydį galima atimti iš tos pačios rūšies didesnio dydžio. Be to, dydžių sudėtis ir atimtis turi šias savybes:
(a) Sudėtis nepriklauso nuo jungimo tvarkos (asociatyvumas ir komutatyvumas);
(b) Atimtis yra atvirkštinis veiksmas sudėčiai;
(c) Pridėdami tą patį dydį prie kitų dviejų dydžių išsaugome tvarką. Tas pats teisinga dydžių atimčiai. Jei du dydžiai yra ekvivalentūs, tai pridėdami ir atimdami prie jų tą patį dydį išsaugome ekvivalentumą.
3. Dvigubinimas ir kartotinių sudarymas. Galima padaryti kaip norimai daug to paties dydžio kopijų. Vienodus dydžius galime sudėti kiek norime kartų, dvigubus, trigubus ir bet kokio kartotinumo dydžius.
Pastaba. Jei sudėsime m dydžio A kopijų, tai gautą dydį žymėsime mA. Iš pirmųjų trijų aksiomų gauname tokias išvadas: kiekvienam natūraliajam m, jei A < B (atitinkamai, A = B, A > B), tai mA < mB (atitinkamai, mA = mB, mA > mB). Pagal pirmą aksiomą, bet kuriems dviems dydžiams A ir B, teisingas lygiai vienas iš trijų sąryšių A < B, A = B, A > B. Todėl, jei su kuriuo nors m mA < mB (atitinkamai, mA = mB, mA > mB), tai A < B (atitinkamai, A = B, A > B).
Graikų matematikoje be galo maži dydžiai nebuvo toleruojami.
Def. 4. Magnitudes are said to have a ratio to one another which can, when multiplied, exceed one another.
Todėl Hölderis įtraukė Archimedo aksiomą.
4. Esant vienam dydžiui mažesniam už kitą, padauginus jį iš tam tikro daugiklio mažesnis dydis tampa didesniu
Tarkime G yra vienos rūšies objektų aibė, kurioje < ir + sąryšiai tenkina Hölderio išvardintas savybes. Bet kuriems nenuliniams aibės G elementams A ir B apibrėžkime skaičių
[A:B] :=
Priskyrimas 
Dydis pagal A.N. Kolmogorovą
Tos pačios rūšies dydžių sistemoje D galima apibrėžti nelygybę < ir sumą + taip, kad galioja teiginiai:
1) bet kuriems D elementams a ir b galioja vienas ir tik vienas iš trijų sąryšių: arba a=b, arba a< b, arba b < a;
2) jei a < b ir b < c, tai a < c;
3) bet kuriems dviems D elementams a ir b egzistuoja vienintelis D elementas c = a + b;
4) a + b = b + a;
5) (a + b) + c = a + ( b + c);
6) a + b > a;
7) jei a > b, tai vienas ir tik vienas D elementas, kuriam b + c = a;
8) koks bebūtų D elementas a ir natūralusis skaičius n, egzistuoja toks D elementas b, kad nb = a;
9) bet kuriems dviems D elementams a ir b, egzistuoja toks natūralusis skaičius n, kad a < nb.
Pagal Kolmogorovą, šiomis 9 savybėmis yra pagrįsta senovės graikų dydžių matavimų teorija.
Jei pasirinktume kurį nors ilgį l kaip vienetą, tai visų ilgių esančių racionaliame santykyje su l sistema D‘ tenkina savybes 1) – 9). Nebendramačių atkarpų egzistavimas rodo, kad sistema D‘ neapima visų ilgių sistemą D.
Norint gauti užbaigtą dydžių teoriją, greta savybių 1) – 9) reikalinga vienokia ar kitokia tolydumo savybė. Pavyzdžiui
10) Jei dydžių seka a1 < a2 < …. < ….. < b2 < b1 turi savybę, kad bn – an < c bet kuriam dydžiui c ir visiems pakankamai dideliems n, tai egzistuoja dydis x, kuris yrs didesnis už visus an ir mažesnis už visus bn.
Savybės 1) – 10) pilnai apibrėžia šiuolaikinę teigiamų skaliarinių dydžių teoriją. Jei dydžių sistemoje D pasirinktume vienetinį dydį l, tai visi kiti sistemos dydžiai išreiškiami lygybe a = αl, čia α teigiamas realusis skaičius.
Atkarpos ilgio sąvoka pagal Liubomirą Kulviecą
Dar 1960 Kulviecas rašė:
Su fizikinių dydžių sąvokų apibrėžimo problema nuolat susiduria kiekvienas fizikos dėstytojas – vidurinės mokyklos mokytojas, aukštosios mokyklos dėstytojas ar fizikos vadovėlio autorius. Deja, kiekvienas iš jų šią problemą sprendžia savaip, remdamasis vienokiomis ar kitokiomis fizikos kurso dėstymo tradicijomis ir savo nuosavomis pažiūromis. Ir pasidaro taip, kad negalima rasti nė vieno fizikinių dydžių apibrėžimo būdo, kuris būtų visų pripažintas: vienos ir tos pačios sąvokos yra apibrėžiamos skirtingai, kartais net klaidingai. Suprantama, kad tokia padėtis jau seniai atkreipė dėmesį kai kurių fizikų, kurie įvairiomis progomis, dažniausia vadovėlių ar žurnalų puslapiuose, vienam ar kitam apibrėžimo būdui nepritardavo arba dėl jo pareikšdavo savo samprotavimus. Dėl to dabar galima kalbėti apie tris pagrindinius fizikinių dydžių apibrėžimo būdus.
Toliau savo 1960 metų straipsnyje Kulviecas tą ir daro. Čia pacituosiu jo 1994 metų tekstą, kuriame yra jo pasiūlyta atkarpos ilgio sąvoka. Pagal jį ilgis nėra skaičius. Tačiau ilgis turi skaitinę reikšmę gaunamą pasirinkus ilgio matavimo vienetą.
Tegul E yra geometrinė tiesė ir (A,B) yra du skirtingi šios tiesės taškai. (Uždara) atkarpa [A,B] vadinsiu aibę {x E: x=A, x yra tarp A ir B, x=B}, o A ir B vadinsiu atkarpos [A,B] galais.
Apibrėžtis. Taškų pora (A,B) 
Saryšis V yra ekvivalentumo sąryšis Descarteso sandaugoje 
Apibrėžtis. l(a) < l(b), jei nuo bet kurio tiesės E taško O skriestuvu atidėjus (į tą pačią tiesės E pusę) taškų poras (O,A) ir (O,B), vienokias su atkarpų a ir b galų poromis, taškas B atsidurs tarp taškų O ir C.
Apibrėžtis. Tegul a ir b yra atkarpos. Šių atkarpų jungtimi vadinsiu atkarpą c=G(a,b), jei nuo bet kurio tiesės E taško O skriestuvu atidėjus (į tą pačią tiesės E pusę) taškų poras (O,B) ir (B,C), vienokias su atkarpų a ir b galų poromis, atkarpos c galų pora bus vienokia su taškų pora (O,C). Atkarpų a ir b ilgių suma yra jų jungties G(a,b) ilgis, t.y. l(a)+l(b) = l(G(a,b)).
Kulvieco teigimu, taip sukonstruotas atkarpos ilgis tenkina Kolmogorovo pasiūlytos dydžių sistemos savybes.
Vietoje išvados
Aš įsivaizduoju, kad tai, kas čia parašyta apie dydžius yra milžiniško ledkalnio viršūnėlė. Tad turiu vienintelį pasiūlymą – toliau aiškintis.
Literatūra
o I. Grattan-Guinness. Numbers, Magnitudes, Ratios and Proportions in Euclid’s Elements: How Did He Handle Them? Historia Mathematica 23 (1996), 355-375.
o Hölder, O. (1901). Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass. Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physikaliche Classe, 53, 1–64. English translation in Journal of Mathematical Psychology, 40, (1996).
o A.N. Kolmogorov. Veličina (rusiškai). Didžioji Tarybinė Enciklopedija.
o L. Kulviecas. Apie fizikinių dydžių sąvokų apibrėžimą. Vilniaus Valstybinio Pedagoginio Instituto Mokslo Darbai, X t. 1960, 95-119.
o L. Kulviecas. Apie fizikinių dydžių apibrėžimus, paremtus abstrakcijos principu. I. Vilniaus pedagoginis universitetas, Preprintas, 1994.
o J.J. Madden. Knowing Ratio and Proportion for Teaching. Y. Li et al. (eds.), Mathematics Matters in Education, Advances in STEM Education, pp. 93-116. Springer 2018 DOI 10.1007/978-3-319-61434-2_5
o E.C. Zeeman. What’s wrong with Euclid Book V. Bull. London Math. Soc. 40 (2008) 1–17