Grd 282015
 

Šį ir ankstesnius įrašus apie mokyklinės matematikos turinį skiriu matematikos mokytojui. Juose skirtingais aspektais kalbama apie tradicines elementariosios matematikos sąvokas neatsisakant samprotavimų loginio tikslumo. Šiame įraše pagrindinį dėmesį skiriu J. Marsdeno ir A. Weinsteino pasiūlytai išvestinės sampratai iš  knygos Calculus Unlimited (1981). Jų išvestinė ypatinga tuo, kad apibrėžime naudojamos paprasčiausios funkcijų savybės ir nėra naudojama Latex formula ribos samprata. Nepaisant to, Marsdeno-Weinsteino išvestinė ekvivalenti tradicinei išvestinei, kuri yra skirtuminio santykio riba išreiškiama  Latex formula terminais. Anksčiau apie kitas išvestinės formas rašiau čia ir čia

Motyvacija Marsdeno-Weinsteino išvestinės apibrėžimui. Tarkime, kad objektas juda išilgai tiesės kuria nors kryptimi. Jo judėjimą galima apibūdinti funkcija f išreiškiančia priklausomybę tarp nueito kelio y ir judėjimo laiko x, t.y. y = f(x).  Paprasčiausią judėjimą apibūdina afininė funkcija. Būtent, tegul d ir m yra realieji skaičiai. Funkcija L su reikšmėmis L(x) = d + m x kiekvienam xR vadinama afinine. Mokyklinėje matematikoje funkcija L vadinama tiesine, nes jos grafikas tiesė. Analizinėje geometrijoje L(x) vadinama tiesės L lygtimi, o m vadinamas šios tiesės krypties koeficientu

Sakoma, kad objekto judėjimas yra tolygus, jei jo padėties priklausomybę nuo laiko išreiškianti funkcija yra afininė. Tolygaus judėjimo greičiu vadinamas jį išreiškainčios afininės funkcijos krypties koeficientas. Šis greitis nepriklauso nuo laiko arba, kitaip tariant, yra pastovus. Mus domina klausimas: kaip apibūdinti netolygaus judėjimo greitį?

Atsakant į šį klausimą reikia sugalvotį taisyklę, kuri kiekvienam laiko momentui priskirtų judėjimo kintamumą apibūdinantį skaičių. Tokia taisyklė vadinama momentiniu greičiu. Netolygiai judančio objekto momentinio greičio taisyklę fiksuotu laiko momentu galima bandyti įvertinti netolygų judėjimą lyginant su tolygiu judėjimu.

Tarkime, kad automobilis A juda netolygiai trijų juostų kelyje vidurine juosta. Vertinsime A automobilio momentinį greitį 12 valandą.   Jo judėjimą lyginsime su pirmąja ir trečiąja juostomis tolygiai judančiais automobiliais B ir C. B automobilio greitis 100 km/h ir C automobilio greitis 95 km/h. Tarsime, kad 12 valandą visi trys automobiliai susilygino kelyje. Iki 12 valandos ir po 12 valandos automobilių padėtį vaizduoja piešinys:

         piešinys

Šio vertinimo rezultatu yra faktas, kad A automobilio momentinis greitis 12 valandą buvo tarp 95 km/h ir 100 km/h. Tikslinant vertinimą reikėtų keisti tolygiai judančių B ir C automobilių greičius.

Apibendrinant šį vertinimą tarkime, kad netolygiai judančio automobilio A nueito kelio priklausomybę nuo laiko išreiškia funkcija f, o tolygiai judančius automobilius B ir C apibūdina afininės funkcijos L1 ir L2, atitinkamai. Iki 12 valandos A ir B automobilių nueito kelio skirtumas išreiškiamas funkcijų skirtumo f – L1 reikšme buvo neigiamas, A ir C automobilių nueito kelio skirtumas f – L2 buvo teigiamas. Po 12 valandos šių skirtumų ženklai pasikeitė. Toks vertinimas gali būti tęsiamas mažinant tolygiai judančių automobilių greičių skirtumą. Jei pavyksta šį skirtumą sumažinti iki vieno skaičiaus, tai jis ir galėtų būti netolygiai judančio automobilio momentinis greitis.

Marsdenas ir Weinsteinas panaudojo šį momentinio greičio vertinimo būdą apibrėždami savo funkcijos išvestinės variantą.

Marsdeno-Weinsteino išvestinė. Pagrindine funkcijos savybe naudojama apibrėžiant išvestinę yra jos ženklo pasikeitimas kertant Latex formula-ų ašį.

Apibrėžtis. Tegul Latex formula yra funkcija iš R į R ir Latex formula yra realusis skaičius. Sakoma, kad taške Latex formula funkcija Latex formula keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą, jei egzistuoja toks atvirasis intervalas Latex formula kuriam priklauso Latex formula ir teisingi du teiginiai (implikacijos):

(1)   jei Latex formula tai Latex formula  ir (2)   jei Latex formula tai Latex formula   

Atvirkščiai, sakoma, kad taške Latex formula funkcija Latex formula keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą, jei egzistuoja toks atvirasis intervalas Latex formula kuriam priklauso Latex formula ir teisingi du teiginiai (implikacijos):

(1)   jei Latex formula tai Latex formula  ir (2)   jei Latex formula tai Latex formula   

Tegul Latex formula yra funkcija ir Latex formula yra realusis skaičius priklausantis Latex formula apibrėžimo sričiai. Jei Latex formula yra afininė funkcija su reikšmėmis Latex formula kiekvienam Latex formulaR, tai jos grafikas eina per tašką Latex formula kai  Latex formula. Sakysime, kad funkcija Latex formula su reikšmėmis Latex formula yra afininė funkcija per tašką  Latex formula

Apibrėžtis. Tegul Latex formula yra funkcija iš R į R, Latex formula yra realusis skaičius ir Latex formula, Latex formula, yra rinkinys afininių funkcijų per tašką Latex formula Sakysime, kad funkcija Latex formula diferencijuojama Marsdeno-Weinsteino prasme taške Latex formula  jei egzistuoja toks realusis skaičius Latex formula, kuriam teisingi du teiginiai:

(1)   kiekvienam Latex formula taške Latex formula funkcija Latex formula keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą ir

(2)   kiekvienam Latex formula taške Latex formula funkcija Latex formula keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą.

Skaičių Latex formula apibrėžtą šiais dviem teiginiais, vadinsime funkcijos Latex formula MW-išvestine taške Latex formula ir žymėsime Latex formula

 grafikas

MW-išvestinė, jei egzistuoja, yra vienintelė. Iš tikro, jei yra du skirtingi skaičiai Latex formula ir Latex formula tenkinantys MW-išvestinės apibrėžimą, tai skaičius Latex formula lygus Latex formula yra tarp Latex formula ir Latex formula. Tokiu atveju funkcija Latex formula taške Latex formula turėtų keisti ženklą iš teigiamo į neigiamą ir iš neigiamo į teigiamą, kas yra neįmanoma.

Paprasčiausi MW-išvestinės skaičiavimo pavyzdžiai. Marsdeno ir Weinsteino knygoje Calculus Unlimited yra daug MW-išvestinės skaičiavimo pavyzdžių. Taip pat ir jos taikymo pavyzdžių tiriant funkcijas. Čia apsiriboju paprasčiausiu pavyzdžiu norėdamas tik iliustruoti sąvokos naudojimą.

Tarkime, kad Latex formula yra funkcija su reikšmėmis Latex formula visiems Latex formula ir Latex formula yra realusis skaičius. Rasime šios funkcijos MW-išvestinę taške Latex formula. Šiuo atveju funkcija Latex formula įgyja reikšmes

Latex formula

Ši funkcija taške Latex formula keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą kai Latex formula arba kai Latex formula Kadangi ši savybė turi būti teisinga kiekvienam Latex formula tai turi būti teisinga nelygybė Latex formula  Atvirkščiai, ši funkcija taške Latex formula keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą kai Latex formula arba kai Latex formula Kadangi ši savybė turi būti teisinga kiekvienam Latex formula tai turi būti teisinga nelygybė Latex formula Taigi, reikšmė Latex formula yra funkcijos Latex formula MW-išvestinė taške Latex formula

Sudėtingesniems pavyzdžiams, tokiems kaip Latex formula verta prieš tai įsisavinti tolydumo sąvoką.

MW-išvestinė ir Weierstrasso išvestinė. Geriausiai naują sąvoką paaiškina jos palyginimas su jau žinoma sąvoka. Įprasta išvestinė yra apibrėžiama kaip riba Weierstrasso prasme, arba, kaip dar sakoma, riba Latex formula terminais. Priminsiu šią sąvoką.

Apibrėžtis. Tegul Latex formula yra funkcija iš R į R ir Latex formula yra realusis skaičius. Sakoma, kad Latex formula diferencijuojama (Weierstrass‘o prasme) taške Latex formula jei egzistuoja toks realusis skaičius Latex formula kuriam teisingas teiginys: kiekvienam Latex formula egzistuoja toks Latex formula, kad bet kuriam Latex formula teisinga implikacija

jei Latex formula tai  Latex formula

Kitaip tariant, jei egzistuoja riba Latex formula Jei Latex formula diferencijuojama taške Latex formula tai riba (skaičius Latex formula) vadinama funkcijos Latex formula išvestine taške Latex formula ir žymima Latex formula

Teorema. Tegul Latex formula yra funkcija iš R į R ir Latex formula yra realusis skaičius. Skaičių Latex formula apibūdinantys teiginiai (i) ir (ii) yra ekvivalentūs, čia

(i)     egzistuoja MW-išvestinė Latex formula ir lygi Latex formula

(ii)   egzistuoja išvestinė Latex formula ir lygi Latex formula

Įrodymas. Pirma, įrodysime implikaciją iš (i) į (ii). Tarkime, kad egzistuoja MW-išvestinė Latex formula ir lygi Latex formula Tegul Latex formula ir Latex formula Pagal prielaidos pirmąją dalį, egzistuoja taško Latex formula aplinka Latex formula kurioje funkcija Latex formula keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą. Tegul Latex formula Kai Latex formula tai

Latex formula arba Latex formula

Kadangi Latex formula tai, padalinę pastarąją nelygybę iš Latex formula ir pertvarką, gauname

Latex formula

Kai Latex formula tai

Latex formula arba Latex formula

Padalinę pastarąją nelygybę iš Latex formula ir pertvarką, gauname tą pačią (1) nelygybę. Taigi, (1) nelygybė teisinga tiems Latex formula, kuriems Latex formula

Tegul Latex formula  Panašiai naudodami prielaidos antrąją dalį, gauname tokį Latex formula kad nelygybė

 Latex formula

teisinga tiems Latex formula kuriems Latex formula  Tegul Latex formula Tada, apjungę (1) ir (2) nelygybes, gauname, kad  nelygybė

Latex formula

teisinga  tiems Latex formula kuriems Latex formula Teiginys (ii) įrodytas.

Antra, įrodysime implikaciją iš (ii) į  (i). Tarkime, kad egzistuoja išvestinė Latex formula ir lygi Latex formula Pasirinktam Latex formula įvertinsime funkcijų skirtumo Latex formula ženklą taško Latex formula aplinkoje. Tegul Latex formula ir Latex formula Pagal prielaidą egzistuoja toks Latex formula kad nelygybė

Latex formula

teisinga visiems Latex formula kuriems Latex formula Tegul Latex formula Tada Latex formula ir, daugindami (3) nelygybę iš Latex formula gauname

Latex formula arba Latex formula

Tegul Latex formula Tada Latex formula ir, daugindami (3) nelygybę iš Latex formula gauname

Latex formula arba Latex formula

Gavome, kad taško Latex formula aplinkoje Latex formula funkcija Latex formula  keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą, t.y. galioja MW išvestinės pirmoji dalis. Kai Latex formula imdami Latex formula ir panašiai samprotaudami gauname, kad  taško Latex formula aplinkoje funkcija Latex formula keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą, t.y. galioja MW išvestinės antroji dalis. Teiginys (i) ir, tuo pačiu, teorema yra įrodyti.

MW-išvestinė ir funkcijos grafiko liestinė. Prieš metus įkėliau įrašą, kuriame priminiau apie Irl C. Bivenso pasiūlytą funkcijos grafiko liestinės apibūdinimą. Įraše parodyta, kad funkcijos grafikas turi liestinę taške tada ir tik tada, kai egzistuoja išvestinė tame taške.  Šis faktas kartu su pastarąja teorema įrodo, kad funkcijos grafiko liestinės egzistavimas taške taip pat ekvivalentus MW-išvestinės tame taške egzistavimui. Norint geriau suprasti išvestinę galima bandyti tiesiogiai palyginti liestinės egzistavimą su Marsdeno-Weinsteino išvestine. Priminsiu liestinės sąvoką.

Apibrėžtis. Tegul Latex formula yra funkcija iš R į R ir Latex formula yra realusis skaičius. Tiesė Latex formula nubrėžta per tašką Latex formula vadinama funkcijos Latex formula grafiko liestine taške Latex formula, jei su kiekviena kita tiese Latex formula einančia per tašką Latex formula egzistuoja tokia taško Latex formula aplinka Latex formula kad nelygybė

Latex formula

teisinga kiekvienam Latex formula

Kaip jau minėta, jau įrodytų faktų išvada yra teiginys

Išvada. Tegul Latex formula yra funkcija iš R į R ir Latex formula yra realusis skaičius. Skaičių Latex formula  apibūdinantys teiginiai (i) ir (ii) yra ekvivalentūs, čia

(i)     egzistuoja MW-išvestinė Latex formula ir lygi Latex formula;

(ii)   kiekvienam skaičiui Latex formula egzistuoja tokia taško Latex formula aplinka Latex formula kad nelygybė

Latex formula

            teisinga kiekvienam Latex formula

Kitos lemos įrodymas rodo, kad galima tiesiogiai įrodyti pastarosios išvados implikaciją iš (ii) į  (i).

Lema. Tegul Latex formula yra funkcija iš R į R, Latex formula yra realieji skaičiai ir Latex formula Tarkime, kad visiems Latex formula iš taško Latex formula aplinkos Latex formula teisinga (4) nelygybė. Tada funkcijų skirtumas Latex formula taško Latex formula aplinkoje Latex formula keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą.

Įrodymas. Kiekvienam skaičiui Latex formula teisinga tapatybė

Latex formula

Parodysime, kad (4) nelygybė, pastaroji tapatybė ir jos paskutiniojo nario ženklas apsprendžia skirtumo Latex formula ženklą. Tegul Latex formula Tokiems Latex formula ir Latex formula teisinga nelygybė

Latex formula

Norėdami įrodyti, kad Latex formula tarkime, kad teisinga priešinga nelygybė Latex formula Naudodami (6) nelygybę ir (5) tapatybę, gauname Latex formula  Panaudojus šiuos reikšmių ženklus vertinant modulius, (4) nelygybė įgyja išraišką

  Latex formula

Suprastinę, gauname nelygybę Latex formula kuri prieštarauja (6) nelygybei. Todėl nelygybė Latex formula teisinga atveju Latex formula

Tegul Latex formula Lyginant su (6), tokiems Latex formula ir Latex formula teisinga kita nelygybė

Latex formula

Norėdami įrodyti, kad Latex formula tarkime, kad teisinga priešinga nelygybė Latex formula Naudodami (7) nelygybę ir (5) tapatybę, gauname Latex formula  Panaudojus šiuos reikšmių ženklus vertinant modulius, (4) nelygybė įgyja išraišką

Latex formula

Suprastinę, gauname nelygybę Latex formula kuri prieštarauja (7) nelygybei. Todėl nelygybė Latex formula teisinga atveju Latex formula Lema įrodyta.

Analogiška lema įrodoma atveju Latex formula Abi šios lemos įrodo išvados implikaciją iš (ii) į  (i) tiesiogiai. Kol kas man nepavyko tiesiogiai įrodyti priešingos implikacijos.

Kokia MW-išvestinės prasmė? Kadangi tai ne pirmas ir gal būt ne paskutinis mano įrašas skirtas išvestinės sąvokai, galima klausti kokia prasmė yra nagrinėti dar ir dar vieną ekvivalenčią sąvoką.  JMarsdenas ir AWeinsteinas savo išvestinės sampratos vertę mato tame, kad jos apibrėžime tiesiogiai nenaudojama riba K. Weierstrasso prasme. Paplitusi nuomonė, kad pirmą kartą susipažįstančiam su analize žmogui, tris loginius kvantorius apimantis teiginys gali kelti sunkumų. MW-išvestinėje tokia teiginio forma yra užslėpta. Savo knygoje Calculus Unlimited autoriai parodo savo išvestinės sampratos galią įrodydami pagrindinius analizės faktus.  

Mano nuomone, sąvokos naudingumas priklauso nuo įvairiausių aplinkybių ir poreikių. Aš vertinu MW-išvestinę kaip dar vieną funkcijos tyrimo priemonę ir aspektą. Kuo tokių priemonių daugiau, tuo geriau suprantamas matematinis objektas. Matematikos istorija rodo, kad išvestinės idėja rutuliavosi ilgai, kas patvirtina objekto ir sąvokos fundamentalumą. Kaip dažnai matematikoje tokiais atvejais atsitinka, bendras sutarimas dėl sąvokos apibrėžimo ateina po ilgo evoliucijos laikotarpio. J. V. Grabiner savo istorinėje apžvalgoje rašo:

Historically speaking, there were four steps in the development of today’s concept of the derivative, which I list here in chronological order. The derivative was first used; it was then discovered; it was then explored and developed; and it was finally defined. That is, examples of what we now recognize as derivatives first were used on an ad hoc basis in solving particular problems; then the general concept lying behind these uses was identified (as part of the invention of the calculus); then many properties of the derivative were explained and developed in applications both to mathematics and to physics; and finally, a rigorous definition was given and the concept of derivative was embedded in a rigorous theory.

Tiesą sakant, vargu ar yra pasiektas tas bendras sutarimas dėl išvestinės sąvokos. Jos samprata priklauso nuo ne mažiau fundamentalių tolydumo ir diskretumo, baigtinumo ir begalinumo sąvokų. Dėl jų ginčai neblėsta.

 

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>