Grd 172014
 

Funkcijos grafiko liestinės sąvoka naudojama mokyklinėje matematikoje kai kalbama apie funkcijos išvestinę. Funkcijos išvestinė yra jos reikšmių ir argumentų skirtumo santykio riba. Dabartinėje mokyklinėje matematikoje riba paprastai nėra apibrėžiama, apsiribojama jos intuityviu aiškinimu. Siekiant didesnio aiškumo išvestinės apibrėžimas siejamas su ,,funkcijos kitimo greičio” interpretacija arba su funkcijos grafiko liestinės krypties koeficiento interpretacija. Momentinio greičio interpretacijos naudojimas apibrėžiant išvestinę vargiai yra pateisinamas, ypač mokyklinėje matematikoje. Tačiau liestinės sąvoka gali būti naudinga kai ji pati apibrėžiama nesinaudojant ribos intuityvia samprata.  Šiame įraše pabandžiau paaiškinti Irl C. Brivenso straipsnyje What a Tangent Line is When it isn’t a Limit pasiūlytą funkcijos grafiko liestinės sampratą, kaip ,,geriausią tiesinę aproksimaciją taške” (tiksli Apibrėžtis yra žemiau).

 Šį tekstą skiriu matematikos mokytojams, nes būtent jiems ši tema turėtų būti labiausiai aktuali. Aš nemanau, kad samprotavimai apie Brivenso liestinės apibrėžimą galėtų būti tiesiogiai naudojami pamokose. Aš manau, kad mokytojai turėtų gebėti patys nuspręsti kokiu būdu reikia pateikti medžiagą, kad ji būtų suprantama mokiniui. Bet prieš pasirinkdami mokytojai turėtų suprasti galimo aiškinimo stipriąsias ir silpnąsias puses. Įrašo gale yra didaktinio pobūdžio pastaba.

Šiuo įrašu tęsiu savo bandymus aiškinantis samprotavimų loginį tikslumą elementariojoje matematikoje (žr. ankstesnius įrašus  kintamasis dydis ir ribaišvestinėtrupmenos sąvoka). 

 Liestinės samprata mūsų matematikos vadovėliuose

  Tiesą sakant, aš žinau vienintelį matematikos vadovėlį, kuriame funkcijos grafiko liestinė yra apibrėžiama. Kituose mano matytuose vadovėliuose funkcijos grafiko liestinė visai neaiškinama, pateikiant liestinės lygtį kaip jos apibrėžimą, arba aiškinimui naudojami konkrečių situacijų piešiniai. Liestinės apibrėžimas lygtimi yra tik dar vienas faktas, kurį mokinys turi įsiminti be supratimo ir konteksto.

Dėmesio nekreipimas į liestinės apibrėžimą yra tik vienas mažas faktas iš bendro mūsų mokyklinės matematikos gyvenimo. Kuo toliau, tuo labiau mokyklinės matematikos turinys susinamas atsisakant abstrakčių objektų logiškai tikslaus apibrėžimo ir tą turinį verčiant daugybe mažai tarpusavyje susijusių faktų ir receptų suvestine. Tokiu būdu mes jau ilgą laiką tęsiame požiūrio į matematiką kaip į abstrakčių objektų pasaulį naikinimą. Vienas jaunas kolega vakar pasakė man labai simptomišką pavyzdį iš savo mokyklinės patirties. Jam buvo neaišku, kuo skiriasi atkarpa nuo tiesės, nes brėžiant tiesę ant popieriaus ar bet kur kitur  ji lyg ir turėtų turėti galus, t.y. nesiskirti nuo atkarpos.  Tai rodo, kad mokiniai gali neįtarti egzistuojant abstrakcijų pasaulį, skirtingą nuo realaus apčiuopiamo pasaulio.

Verta prisiminti šių metų brandos egzaminų užduočių formuluotėse buvusių klaidų. Vienoje iš jų tiesė ir atkarpa buvo žymima tuo pačiu simboliu.  Patyrusiam matematikui tai nesukelia jokių problemų. Tačiau mes neturėtume būti atlaidūs klaidoms mokyklinės matematikos turinyje.

Minėtą vienintelį vadovėlį parengė Vilius Stakėnas ir autorių kolektyvas.  Čia yra vadovėlio reikalingo puslapio kopija:

Šiame puslapyje matome kreivės, o tuo pačiu ir funkcijos grafiko, liestinės apibrėžimą naudojant intuityvią ribinės tiesės sampratą. Apibrėžime kalbama apie tiesės artėjimą į (ribinę) tiesę. Apie tokį artėjimą, kaip ir skaičių atveju, tiksliau nieko nepasakoma.

Toliau vadovėlyje išvedama liestinės lygtis ir parodoma, kad liestinės egzistavimas ekvivalentus funkcijos išvestinės egzistavimui, kuri tokiu atveju yra liestinės krypties koeficientas. Tokia liestinės apibrėžtis iš esmės sutampa su funkcijos išvestinės apibrėžtimi. Tiek, kiek ,,artėjimas” suprantamas intuityviai, abi sąvokos yra vienodai netikslios. Kitaip tariant, nei viena jų negali būti panaudota geriau suprasti kitą. Tačiau abu apibrėžimai turi prasmę siekiant palyginti skirtingų sričių sąvokas.

 Liestinės apibrėžtis tiesiogiai nesinaudojant ribos sąvoka

Priminsiu toliau naudojamų sąvokų sampratas. Funkcija Latex formula, kaip paprastai, yra tam tikras sąryšis siejantis dvi skaičių aibes, t.y. matematinės analizės sąvoka. Atvirame intervale Latex formula apibrėžtos funkci
jos Latex formula grafikas yra aibė taškų Latex formula geometrinėje plokštumoje su koordinačių sistema, t.y. analizinės geometrijos sąvoka. Tiesė Latex formula geometrinėje plokštumoje yra ir taip pat žymimos funkcijos Latex formula su reikšmėmis Latex formula grafikas, čia Latex formula yra fiksuoti skaičiai, o Latex formula yra kintamasis žymintis realųjį skaičių. Mokykloje tokia funkcija paprastai vadinama tiesine. Aš naudoju kitą jos pavadinimą – afininė funkcija, kuri tampa tiesine funkcija kai Latex formula. Tegul Latex formula yra intervalo Latex formula elementas ir funkcija Latex formula yra apibrėžta intervale Latex formula. Per plokštumos tašką Latex formula einanti tiesė Latex formula yra grafikas funkcijos su reikšmėmis Latex formula. Paprastai Latex formula vadinama tiesės Latex formula lygtimi, o Latex formula vadinamas tiesės krypties koefcientu.  

Minėtame Bivenso straipsnyje siūloma toliau formuluojama funckijos grafiko liestinės samprata.

Apibrėžtis. Tarkime, kad Latex formula yra atvirame intervale Latex formula apibrėžta funkcija, Latex formula ir Latex formula yra funkcijos Latex formula grafiko taškas. Tiesė Latex formula nubrėžta per tašką Latex formula vadinama funkcijos Latex formula grafiko liestine taške Latex formula, jei su kiekviena kita tiese Latex formula nubrėžta per tašką Latex formula egzistuoja toks skaičius Latex formula, kad

Latex formula

 Kitaip tariant, funkcijos Latex formula grafiko liestine taške Latex formula yra tiesė Latex formula, esanti funkcijos Latex formula geriausia tiesine aproksimacija taške Latex formula.

 Naudojant šį apibrėžimą, nesunku įsitikinti, kad funkcijos Latex formula grafikas neturi liestinės taške Latex formula (žr. žemiau esantį funkcijos grafiką). Pakanka pastebėti, kad bet kuriam kandidatui į liestinę arba tiesė Latex formula arba tiesė Latex formula geriau aproksimuoja funkciją Latex formula iš vienos kurios nors pusės. Pavyzdžiui, jei tartume, kad liestine yra horizontalioji x-ų ašis, t.y. Latex formula visiems x, tai pagal (1) gauname nelygybę Latex formula visiems Latex formula su kažkuriuo Latex formula, kas yra neteisinga.

Kitas pavyzdys. Jei Latex formula yra afininė funkcija, t.y. jei jos grafikas yra tiesė, tai ji pati yra liestinė kiekviename grafiko taške ir ši liestinė yra vienintelė.

Teorema. Jei funkcijos grafikas turi liestinę taške, tai ji yra vienintelė.

Įrodymas. Tarkime, kad funkcijos Latex formula grafikas kuriame nors taške Latex formula turi dvi skirtingas liestines Latex formula ir Latex formula. Tada galioja lygybė

Latex formula

visiems x iš taško c aplinkos. Naudojantis modulio apibrėžtimi ir tuo, kad Latex formula kai Latex formula, gauname, kad Latex formula. Taigi taško Latex formula aplinkoje Latex formula yra afininė. Dėl afininės funkcijos grafiko liestinės vienaties, Latex formula – prieštara įrodanti teoremos teiginį. QED 

Dabar įrodysime svarbiausią faktą apie liestinės ir išvestinės sąvokų ekvivalentumą. Teoremos įrodyme naudojame ribos apibrėžimą ε-δ kalba, o ne intuityvią ,,artėjimo” sampratą.

Teorema.Tarkime, kad Latex formula yra atvirame intervale Latex formula apibrėžta funkcija, Latex formula ir tiesė Latex formula eina per tašką Latex formula. Tiesė Latex formula yra funkcijos Latex formula grafiko liestinė taške Latex formula tada ir tik tada, kai funkcija Latex formula yra diferencijuojama taške Latex formula ir išvestinė Latex formula yra tiesės Latex formula krypties koeficientas.

Įrodymas.  Tarkime, kad lygtimi Latex formula apibrėžta tiesė Latex formula yra funkcijos Latex formula grafiko liestinė taške Latex formula. Įrodysime, kad funkcija Latex formula yra diferencijuojama taške Latex formula ir Latex formula, t.y. 

Latex formula

 Tegul Latex formula. Tarkime, kad Latex formula ir Latex formula yra dvi tiesės apibrėžtos lygtimis Latex formula ir   Latex formula, atitinkamai. Remiantis liestinės apibrėžtimi egzistuoja toks skaičius Latex formula, kad nelygybės

Latex formula

galioja visiems Latex formula. Pirma tarkime, kad Latex formula. Tada  Latex formula. Naudomi modulio apibrėžimą ir (2) nelygybes, gauname Latex formula.  Pastarosiose nelygybėse atimdami Latex formula ir dalindami iš Latex formula gauname

Latex formula

Šią nelygybę lygiai taip pat gauname ir tuo atveju, kai Latex formula. Kadangi Latex formula yra laisvai pasirinktas, išvestinė Latex formula egzistuoja ir lygi Latex formula. Pirmoji teoremos implikacija įrodyta.

Dabar tarkime, kad egzistuoja išvestinė Latex formula ir tiesė Latex formula apibrėžta lygtimi Latex formula. Įrodysime, kad Latex formula yra funkcijos Latex formula grafiko liestinė taške Latex formula. Tegul Latex formula yra tiesė apibrėžta lygtimi Latex formula ir jos krypties koeficientas Latex formula. Pakanka įrodyti, kad nelygybė

Latex formula

galioja visiems Latex formula su kuriuo nors Latex formula. Iš tikro, su bet kuriuo Latex formula, pridėdami ir atimdami Latex formula, gauname

Latex formula 

Įstatę gautą nelygybę į (3) ir pertvarkę gauname (1) nelygybę. Dabar įrodysime (3).  Kadangi egzistuoja išvestinė Latex formula, egzistuoja toks skaičius Latex formula, kad nelygybė

Latex formula

galioja visiems Latex formula. Padauginę abi nelygybės puses iš Latex formula, gauname, kad nelygybė

Latex formula

galioja visiems Latex formula,  t.y. (3) galioja visiems Latex formula iš  taško Latex formula aplinkos Latex formula. Kadangi Latex formula yra laisvai pasirinkta tiesė einanti per tašką Latex formula, antroji teoremos implikacija ir tuo pačiu visa teorema yra įrodyta. QED

Daugiau pavyzdžių ir faktų apie Brivenso liestinės sampratą yra jo straipsnyje.

Pastaba. Pastarasis įrodymas atskleidžia kaip Brivenso liestinės apibrėžime netiesiogiai naudojama ribos samprata ε-δ kalba. Pakanka tiesę Latex formula išreikšti lygtimi

Latex formula

Jei Latex formula, tai liestinės Apibrėžties (1) nelygybė virsta nelygybėmis

Latex formula 

Ši pastaba galėtų būti toliau tikslinama ir gal būt panaudojama didaktikos tikslams.

  2 Responses to “Mokyklinės matematikos turinys: funkcijos grafiko liestinė”

  1. Keletas pastabų:

    a) Kiek pamenu pirmus susidūrimus su funkcijos išvestine, tai momentinio greičio interpretacija gerokai padėjo, nors kol kas negaliu atkurti tuometinės minties eigos. Gal visai ne taip blogai.

    b) O su liestine tada turėjau problemų; geometrinė interpretacija kaip kirstinių riba buvo lyg ir aiški, bet negalėjau nepriklausomai galvoti apie liestinę, kaip ji ten liečiasi. Kaip dabar suprantu, kažką nerišliai klausinėjau savęs kaip čia apie tą liestinę galvoti, nepriklausomai nuo ribos, t.y. kai “ji nėra riba”. Tada aišku kyla problemų dėl x modulio funkcijos taške 0. Formaliai lyg ir aišku, bet žiūri juk x ašis kuo ramiausiai liečia taške 0, o dar pažiūrėjus atrodo lyg ir daugybę liestinių turi tame taške. Žodžiu, šioje vietoje supratimas nekoks, tinkamas tik egzaminams laikyti :)

    c) Galvoju, būtų naudinga pažiūrėti ir istoriškai, kaip traktuojama liestinė – juk nuo graikų laikų apie tai galvota.

  2. Iš tikro, įdomu sužinoti apie liestinės sampratos istorinę evoliucija.
    Šiuo klausima galima pasiremti Viliaus Stakėno matematikos istorijos konspektu.
    Jame yra skyrius pavadinta 11 tema. Kreivės ir jų liestinės.
    Nukopijavau šią temą čia:

    http://www.mif.vu.lt/katedros/matinf/asm/vs/pask/mathist/mh11.pdf

    Kaip rašo Vilius, Euklido Pradmenyse liestinės sąvoka siejama tik su apskritimu. Liestinės klausimas pradėtas intensyviai nagrinėti tik 17 amžiuje kartu su judėjimo problemomis.

    Savo įraše aš aptariu tik tokias kreives, kurios yra funkcijos grafikai. Todėl liestinės apibūdinimas siejamas su funkcija.

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>