Mokyklinės matematikos turinio gilinimas. Kaip tai įmanoma?

 Ką reiškia mokyklinės matematikos turinio gilinimas?

 Dabartinė mokyklinė matematika yra mažai ar visai nesusijusių formulių, faktų ir sričių rinkinys. Pavyzdžiui, natūralieji skaičiai ir trupmenos pateikiami kaip skirtingi objektai. Aritmetiniai veiksmai su jais aiškinami lyg būtų visiškai skirtingos prigimties. Kalbant apie trupmenas siekiama pasakyti kaip galima daugiau skirtingų savybių, kurios atrodo tarpusavyje nesusijusios (vieneto dalis, santykis, dalumas, proporcija ir t.t.). Dažniausiai mokoma kaip rasti teisingą atsakymą naudojant reikalingą procedūrą.Įrodymu (jei apie jį užsimenama) laikomas formalus samprotavimas, reikalingas teiginio teisingumui patvirtinti, o ne jam suprasti. Dėl šių priežasčių matematikos mokymasis grindžiamas atmintimi.Didelės dalies mokinių žemi pažymiai rodytų, kad jau dabartinis matematikos turinys yra jiems per daug sudėtingas. Esant tokiai situacijai, kalbėjimas apie mokyklinės matematikos gilinimą gali atrodyti kaip realybės mokykloje nesuvokimas.

 Trumpai kalbant, turinio mokyklinėje matematikoje gilinimą sudaro:

• supratimas, kaip tikslas;
• samprotavimas, kaip diskursas;
• prasmė, kaip rezultatas.

Toliau bandysiu paaiškinti, ką tai reiškia.

 Taigi, ką reiškia supratimas? Manau, kad dalis mokytojų supratimu laiko mokinio gebėjimą atlikti visus procedūros žingsnius ir gauti ,,teisingą“ atsakymą. Toks supratimas pasiekiamas mokantis procedūras mintinai.

 Viduramžiais dalyko supratimas reiškė gebėjimą jį mokyti. Šia prasme supratimas įmanomas tik mokytojui. Matyt tada iš mokinio nebuvo tikimasi dalyko supratimo.

 Šiuolaikinis neuromokslas teigia, kad dalyko supratimas yra ryšių su ankstesniu žinojimu mezgimas.Mokyklinėje matematikoje supratimas pasireiškia gebėjimu naudoti procedūrą naujoje situacijoje, kai sąvoka atpažįstama naujame kontekste.

 Kaip konkrečiai pasireiškia mokyklinės matematikos supratimas? Galima sakyti, kad sąvoka yra suprasta kai ji atpažįstama skirtinguose kontekstuose. Pavyzdžiui, lygybės sąvokos (ne)supratimas užduotyje: įrašyti reikalingą skaičių pabrauktoje vietoje

 3 + 6 + 8 = __ + 9.

Vienas dalykas yra suprasti, kad lygybė reiškia kairėje ir dešinėje jos pusėse esančių objektų ar reiškinių tapatumą, nepriklausomai nuo to kaip jie yra išreikšti. Kitas reikalas yra gebėjimas teisingai atlikti šią konkrečią užduotį. Tam pakanka žinoti kokius veiksmus reikia atlikti, kad gauti atsakymą. Tam lygybės sąvokos supratimas nėra būtinas. Ar lygybės sąvoka suprantama pasireiškia gebėjime atlikti šiek tiek pakeistą užduotį: įrašyti reikalingą skaičių pabrauktoje vietoje

3 · 5 · 7 = __ · 9.

Žinant tik ankstesnės užduoties atsakymui gauti reikalingus veiksmus, naujoji užduotis greičiausiai nebus atlikta. Tuo tarpu lygybės sąvokos supratimas sufleruoja kokius veiksmus reikia atlikti norint gauti teisingą atsakymą. Antroji užduotis iliustruoja konteksto pasikeitimą. Lygybės sąvoka yra suprantama, kai bet kuriame kontekste yra aišku kas turi būti atlikta, kad lygybė būtų teisinga.

Panašiai procedūra ar teiginys yra suprasti, jei jie atpažįstami ir pritaikomi skirtinguose kontekstuose. Pavyzdžiui, dviženklių skaičių daugybos stulpeliu supratimas reiškia gebėjimą paaiškinti kodėl atlikus reikalingus veiksmus gaunamas teisingas rezultatas. Konteksto pasikeitimą iliustruoja kitokia dviženklių skaičių dauginimo procedūra ir gebėjimas paaiškinti kodėl ji veikia. Pitagoro teoremos supratimas taip pat reiškia sugebėjimą skirtingose situacijose atpažinti galimybę pritaikyti šią teoremą ieškant nežinomų dydžių ar siekiant nustatyti nežinomus santykius tarp dydžių.

Mokyklinės matematikos kontekste samprotavimas įmanomas, jei

• kiekviena sąvoka yra apibrėžiama;
• kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma;
• kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu;
• kiekviena nauja sąvoka formuojama turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalimi;
• matematikos žinios yra orientuotos į tikslą, fundamentalias sąvokas ir sprendžia kurią nors problemą.

Matematinis samprotavimas siekia supratimo, aiškumo, tikslumo ir tuo skiriasi nuo mokymosi, kuriame svarbu tik gebėjimas naudotis standartiniais algoritmais, nesuprantant jų prasmės. Lyginant su universitetine matematika, mokyklinė matematika turi atitikti vaiko amžiaus galimybes suvokti abstrakcijas ir turi skirti didesnį dėmesį logikai matematikos kontekste. Taisyklingi logikos naudojimo įpročiai geriausiai formuojasi jauname amžiuje.

Turint adekvatų matematikos diskursą, jos turinio gilinimas yra matematikos supratimo siekimas. Klausimas ,,Kaip?“ yra papildomas klausimu ,,Kodėl?“. Matematikos mokymo gilinimas reiškia ne tik mokymąsi atlikti procedūras, bet ir  sąvokinio supratimo siekimą. Supratimas suteikia dalykui prasmę. Prasmė savo ruožtu skatina motyvaciją gilintis į dalyką, ir tuo būdu gerina pažangumą daugumai mokinių.

Kodėl vis daugiau pasaulio šalių siekia gilinti matematikos mokymo turinį?

Apie tai, kad kitos pasaulio šalys siekia gilinti matematikos mokymo turinį liudija Ekonominio bendradarbiavimo ir plėtros organizacijos (EBPO) veikla mokyklinės matematikos srityje. Pirma, nesenai darbą pradėjo mokyklinės matematikos turinio analizės 2030 grupė. Jos tikslu yra skirtingų šalių matematikos programų ir vadovėlių lyginimas siekiant sukurti matematikos mokymo gilinimo rekomendacijas.  Antra, būsimame tarptautiniame tyrime PISA 2021 ketvirtis užduočių turėtų būti grindžiamos matematiniu samprotavimu. Toli priekyje mokyklinės matematikos gilinimo srityje yra kaimyninė Lenkija.

Priežastys dėl kurių gilinamas matematikos turinys yra šios:

• dėl technologijų tobulėjimo gebėjimas tik atlikti matematines procedūras tampa neaktualus;
• mokinių pažangumą lemiančių priežasčių tyrimo rezultatai;
• tradicinių profesijų nykimas ir poreikis ugdyti XXI-ajam amžiui reikalingas kompetencijas.

EBPO požiūrio į mokyklinę matematiką naujumas pasireiškia grynosios matematikos svarbos pripažinime lyginant su matematikos taikymu. Grynosios matematikos svarbos pripažinimas yra keletą dešimtmečių trukusios tarptautinių tyrimų statistinės analizės išvada. Šių tyrimų rezultatai rodo, kad mokinių pažintis su grynąja matematika ir jų pasiekimai matematikoje yra stipriai susiję ir šis ryšys stiprėja, kai sunkėja matematikos užduotys.

[originalas: The results show that exposure to pure mathematics has a strong association with performance that tends to increase as the difficulty of mathematics problems increases.]

Ryšys tarp mokinių pažinties su grynąja matematika ir jų pasiekimais, bei mokinių pažinties su taikomąja matematika ir jų pasiekimais išreiškiamas kiekybiškai. Pavyzdžiui, pažinties su grynąja matematika indekso padidėjimas vienu vienetu, Lietuvos vidutinio moksleivio įvertinimą PISA pasiekimų skalėje padidina 36 taškais. Tuo tarpu, pažinties su taikomąja matematika indekso padidėjimas vienu vienetu, Lietuvos vidutinio moksleivio įvertinimą PISA pasiekimų skalėje padidina tik 8 taškais.   

Mokinių pažintis su grynąja matematika matuojama jų deklaruota patirtimi su tomis matematikos užduotimis, kurios sprendžiamos pamokų metu mokykloje, ir kurioms reikia algebros žinių (tiesinės ir kvadratinės lygtys).  Ši patirtis įvertinama indeksu vadinama normuota skale (jos nuliu yra OECD vidurkis, o standartinis nuokrypis lygus vienam).

Mokinių pažintis su taikomąja matematika matuojama jų deklaruota patirtimi atitinkamomis matematikos užduotimis, kurios sprendžiamos pamokų metu mokykloje. Užduoties pavyzdys: naudojant traukinių tvarkaraštį, apskaičiuoti kaip ilgai reikia keliauti traukiniu iš vienos vietos į kitą. Kitos užduoties pavyzdys: apskaičiuoti kiek padidės kompiuterio kaina, jei į ją bus įskaičiuoti mokesčiai. Pažintis su taikomąja matematika taip pat įvertinama analogiška normuota skale, vadinama indeksu.

Pav. pagal William H. Schmidt.

 Analogiška diagrama siejanti grynosios matematikos indeksą su matematiniu raštingumu turi skirtingą formą – tiesinę funkciją. Kuo daugiau grynosios matematikos tuo rezultatai geresni nepriklausomai nuo grynosios matematikos kiekio. Rezultatai statistiškai reikšmingi  visoms tirtoms šalims.

EBPO matematikos turinio analizės 2030 požiūriu matematika turėtų būti grindžiama matematiniu samprotavimu ir problemų sprendimu. Noriu atkreipti dėmesį į tai, kad ,,problemų sprendimo“ kompetencija EBPO dokumentuose ir Lietuvos bendrojo ugdymo programoje turi labai skirtingas prasmes. Pagal EBPO problemų sprendimas yra sprendimų paieška sudėtingose ir kompleksinėse situacijose. Tai gebėjimas užsiimti pažintine paieška siekiant suprasti ir išspręsti tokias situacijas, kurios nėra aiškios metodų ir sprendimų atžvilgiu. Problemų sprendimas yra daugiaplanis ir daugiamatis, apima tarpasmeninių, vidinių asmeninių ir socialinių santykių sritis. Tuo tarpu mūsų bendrosiose programose problemų sprendimas, iš esmės, reiškia žinomų metodų taikymą sprendžiant uždavinius, bei gebėjimą įvertinti savo žinias.

Visas mokyklinės matematikos turinys turėtų koncentruotis apie šešias pagrindines idėjas:

• Skaičių sistema ir jų algebrinės savybės;
• Matematika kaip abstrakčių sąvokų ir simbolinių išraiškų sistema;
• Matematika kaip hierarchinė struktūra;
• Funkciniais sąryšiais tarp dydžių;
• Matematinis modeliavimas kaip akiniai į realųjį pasaulį;
• Dispersija kaip statistikos esmė.

Tai reiškia, kad kiekvienoje temoje siekiama parodyti, kaip nagrinėjami klausimai susiję su bent viena iš šešių idėjų.

Tarptautiniame penkiolikamečių pažangumo tyrime PISA yra du svarbūs pokyčiai. Pirma, pataisyta matematinio raštingumo samprata. Naujoje jos versijoje akcentuojamas matematinis samprotavimas:

 Mathematical literacy is an individual’s capacity to reason mathematically and to formulate, employ, and interpret mathematics to solve problems in a variety of real-world contexts. It includes concepts, procedures, facts and tools to describe, explain and predict phenomena. It assists individuals to know the role that mathematics plays in the world and to make the well-founded judgments and decisions needed by constructive, engaged and reflective 21st Century citizens.

Antra,  numatyta, kad būsimame tyrime PISA 2021 ketvirtadalis užduočių bus susiję su matematiniu samprotavimu. Tokios užduoties pavyzdžiu yra prašymas paaiškinti nurodytų dviejų dviženklių skaičių sandaugą išreikštą trimis skirtingais nestandartiniais būdais. 

Kitas užduoties pavyzdys:

Remiantis daugiau kaip 100 metų miesto istorija žinoma, jog kas dieną yra vienas šansas iš penkių, kad netoli miesto esančiame miške gyvenantys rudieji lokiai pasirodo žmonėms prie miesto šiukšlyno. Jūsų mobilusis telefonas gavo miesto žinutę, kad lokiai pasirodė vakar. Todėl nusprendėte nebandyti pamatyti lokių sekančias keturias dienas.

1. Ar toks sprendimas išmintingas; kodėl taip arba kodėl ne?
2. Kaip planuotumėte kelionės laiką jei norėtumėte pamatyti lokius?

Apibendrinant galima sakyti, kad matematikos taikymai lieka vienu iš mokyklinės matematikos tikslų. Tačiau, gilinant grynąją matematiką, jos taikymai gali būti žymiai sudėtingesni ir įvairesni.

Kaip mokiniui įmanoma suprasti matematiką?

Siekis gilinti mokyklinės matematikos programą būtų sunkiai suprantamas ir pateisinamas, jei tuo pačiu metu negalvotume apie efektyvius tokiai programai mokymo(si) metodus. Atnaujintas matematikos turinys turėtų būti prieinamas absoliučiai daugumai vaikų ir, be abejo, visiems mokytojams. Apie mokytojams skirtą elementariąją matematiką rašau ir kalbu senai. Pirmosios pastabos šia tema yra dar 2013 metais skelbtose gairėse, skirtose matematiniam ugdymui bendrojo ugdymo mokykloje. Pastaruoju metu rašau ir kalbu apie mokymo(si) metodus grindžiamus naujausiais rezultatais gautais tiriant žmogaus smegenų veiklą mokantis matematikos. Tokie rezultatai padeda suprasti kaip vyksta mokymasis žmogaus smegenyse, kas padeda ir kas tam trukdo. Pastaruosius kelis dešimtmečius, atsižvelgdami į smegenų veiklos mechanizmą, mokslininkai aktyviai  ieško efektyvių matematikos mokymo(si) metodų.

Trumpai kalbant, neuromokslų teorijos formuoja požiūrį į ugdymą, kuris skiriasi nuo mūsų edukologijos mokslo požiūrio. Edukologijoje požiūris į ugdymą išreiškiamas iš esmės dviem skirtingomis paradigmomis: mokymo ir mokymosi. Pirmoji paradigma laikoma tradicine  ir pasenusia, o antroji paradigma laikoma šiuolaikine. Perėjimas iš mokymo paradigmos į mokymosi paradigmą yra kelis dešimtmečius vykstančios švietimo reformos teorinis pagrindas. Tai kas vyksta realioje klasėje dažniausiai labai skiriasi nuo edukologijos mokslo teorinių konstrukcijų. Savo tyrimuose edukologai pripažįsta mokytojų darbe esant jų teorijos požiūriu paradoksalių reiškinių.

Mokymo ir mokymosi paradigmos yra Lietuvoje adaptuotos pasaulyje paplitusių mokymo teorijų versijos. Skirtumas yra tas, kad mūsų mokytojai nežino labai gausios abiejų paradigmų kritikos ir joms prieštaraujančių tyrimų rezultatų. Pavyzdžiui, 2013 metų PISA tyrimo rezultatai parodė, kad ,,tyrimais grindžiamas mokymas“ nėra pats geriausias. Tiksliau kalbant jis neigiamai koreliuoja su mokinių pasiekimais gamtos mokslų srityje (raudonai apibraukta lentelės apačioje). Tuo tarpu teigiamą koreliaciją turi ,,mokytojo vadovaujamas mokymas“ (raudonai apibraukta lentelės viršuje). 

Žinios apie žmogaus smegenų veiklos mechanizmą padeda suprasti kodėl daugelis dabar populiarių mokymosi metodų nėra efektyvūs.

Žmogaus proto vystymąsi evoliucijos eigoje aiškinantys mokslininkai teigia, kad protas turi įgimtų savybių. Vaizdžiai kalbant, vaiko protas turi įgimtus pastolius padedančius lengvai konstruoti tam tikras žinias ir gebėjimus. Tarp jų yra klausymas, kalbėjimas gimtąja kalba, veidų atpažinimas, bendravimas ir kita. Tokios žinios yra biologiškai pirminėmis. Jas vaikas įsisavina nesąmoningai ir be didelių pastangų. Vaikui žaidžiant ir tyrinėjant aplinką pastolių daugėja. Tačiau skaityti, rašyti, skaičiuoti padedančių įgimtų pastolių vaikas neturi. Tokios žinios susijusios su kultūra ir yra biologiškai antrinėmis. Joms įsisavinti vaikas neturi įgimtos motyvacijos, o žaidimai ir tyrinėjimai nėra pakankamos priemonės. Kontekstas kuriame įsisavinamos biologiškai antrinės žinios yra mokykla. Šiuo požiūriu mokykla yra evoliuciją ir kultūrą siejantis tiltas.

Evoliucija nesuteikė mūsų protui savybių, kurios įgalintų mokyklines žinias įsisavinti be jokių pastangų. Tuo tarpu svarbiausios mokyklinės žinios, būdamos biologiškai antrinėmis, yra kokybiškai skirtingos. Naivu tikėtis, kad mokyklines žinias vaikas konstruos pats, jei tik jam bus sudaryta tinkama aplinka. Skirtingai nuo biologiškai pirminių žinių įsisavinimo, mokytojo kryptingas mokymas gali būti neišvengiama priemonė.  Šiuo atžvilgiu mūsų edukologų įgyvendinama mokymosi paradigma, prieštarauja evoliucinės proto vystymosi teorijos išvadoms (evolutionary educational psychology; D. Geary).

Dar daugiau mokymosi paradigmai prieštaraujančių argumentų suteikia pažintinės įkrovos teorija (cognitive load theory; Sweller). Už žmogaus pažintinę veiklą yra atsakingi ilgoji atmintis ir darbinė atmintis. Visą ką žmogus moka yra ilgojoje atmintyje. Bet kurio mokymo tikslu yra ilgosios atminties keitimas. Jei ilgoji atmintis nepakito, tai nieko nebuvo išmokta. Tačiau sąmoningai apžvelgti ar tiesiogiai keisti ilgąją atminti žmogus negali. Sąmoninga veikla vyksta tik per darbinę atmintį. Darbinė atmintis turi dvi svarbias savybes. Pirma, naujos informacijos kiekis darbinėje atmintyje ir jos saugojimo laikas yra labai riboti. Pavyzdžiui, neatkartojama informacija darbinėje atmintyje išlieka iki 30 sekundžių. Antra, informacija atėjusi į darbinę atmintį iš ilgosios atminties savo kiekiu ir išsaugojimo trukme yra neribota. Tuo metu kai darbinė atmintis naudojama naujos informacijos paieškai, ji nėra pasiekiama ir negali prisidėti prie žinių kaupimo ilgojoje atmintyje.

Pažintinės įkrovos teorijos požiūriu vieni mokymo būdai yra labiau efektyvūs, kiti mažiau. Žmogaus pažintinė struktūra leidžia prognozuoti, kad išspręstais pavyzdžiais (worked example) grindžiamas mokymas naujokui yra efektyvesnis už problemų sprendimu grindžiamą mokymą. Šią prognozę empiriškai pagrindžia išspręsto pavyzdžio efektas (worked example effect). Taip vadinamas eksperimento rezultatas, kada problemą sprendžiantis mokinys vėliau analogiškas problemas naujoje situacijoje sprendžia blogiau už tą, kuris mokėsi nagrinėdamas analogišką išspręstą pavyzdį. Prisiminkime, gebėjimas panaudoti išmoktą procedūrą naujoje situacijoje reiškia jos supratimą! 

Kaip išspręsto pavyzdžio efektą aiškina pažintinės įkrovos teorija? Tarkime, kad problemą bando spręsti naujokas, nežinantis panašios problemos sprendimo. Tokiu atveju jo darbinė atmintis neranda ilgojoje atmintyje nieko tokio, kas galėtų padėti rasti sprendimą. Lieka vienintelis dalykas – aklai ieškoti kelio link sprendimo. Tokia paieška sąmoningai užsiima darbinė atmintis. Dėl darbinės atminties ribotumo paieškos procesas nepalieka jokios kitos veiklos galimybių įskaitant naujos informacijos kaupimą ilgojoje atmintyje. Tokiu būdu naujokas gali ilgą laiką užsiimti sprendimo paieška ir nieko iš to neišmokti.

Tuo tarpu išspręsto pavyzdžio nagrinėjimas atlaisvina darbinę atmintį, nes nereikia ieškoti sprendimo. Šiuo atveju darbinė atminties  nukreipta sprendimo žingsnių aiškinimuisi ir įsisavintos informacijos perkėlimui į ilgąją atmintį. Naujokas mokosi atpažinti esminius problemos sprendimo žingsnius. Taip naujokas plečia tam tikrų uždavinių sprendimo metodų bagažą ir gilina savo žinias. Išspręstu pavyzdžiu  grįstas naujokų mokymas pastoviai pranoksta mokymą, kuriame užduoties sprendimą ieško pats mokinys. 

Išspręsto pavyzdžio efekto aiškinime svarbu tai, kad sprendėjas yra naujokas, o ne ekspertas. Jei besimokančiojo žinių bagažas didėja, tai išspręsto pavyzdžio efektas dingsta ir galiausiai pasikeičia priešingu. Tai reiškia, kad problemos sprendimas turinčiam pakankamą kompetenciją yra efektyvesnė mokymosi priemonė už išspręsto pavyzdžio nagrinėjimą. Taip yra todėl, kad, turinčiam pakankamą kompetenciją spręsti problemą, išspręsto pavyzdžio nagrinėjimas yra didesnė našta darbinei atminčiai negu žinomo sprendimo radimas ilgojoje atmintyje. Šis efektyvumo pasikeitimas į priešingą išlieka ir tada, kai vietoje išspręsto pavyzdžio nagrinėjimo  naudojamas bet kuris kryptingas mokymas. Tai vadinama ,,kompetencijos pasikeitimo efektu“ („expertise reversal effect“). Šis efektas pateisina vadovavimąsi sveiku protu, kai kryptingas naujoko mokymas, jam įgyjant kompetenciją, keičiamas minimalia pagalba tam, kad įtvirtinti įgytas žinias.

Išvados

Anksčiau ar vėliau mokyklinės matematikos programą teks gilinti, bet dabar to daryti mes nesame pasiruošę.

• Pirma, parinkdami mokymo turinį mokytojai labiausiai linkę vadovautis Bendrosiomis programomis (beveik visi) ir vadovėliais (keturi penktadaliai).
• Antra, neturime priemonių ir laiko masiniu būdu reikšmingai kelti matematikos mokytojų kvalifikaciją.
• Trečia, programos gilinimas turėtų užtrukti ne trumpiau kaip 10 metų ir pradėti reikėtų nuo pilotinių mokyklų.

Ateityje turėtume keisti matematikos mokytojų rengimo studijų programą.

• Pirma, tokios programos dalimi turėtų būti elementarioji matematika paruošianti būsimą mokytoją pagilintai matematikos programai.
• Antra, tokios programos dalimi turėtų būti neuromokslų pasiekimai edukologijos srityje.
• Trečia, reikėtų atsisakyti stereotipo, kad matematiką mokykloje gali mokyti kiekvienas baigęs universitetinės matematikos studijas ir įgijęs pedagoginių žinių.