Sau 032021
 

Šiame įraše komentuojamas pradinio ir pagrindinio ugdymo matematikos bendrosios programos projektas, paskelbtas 2020-12-14.

Mano nuomone, programoje yra trys svarbūs dalykai. Pirma, formuluojamas programos tikslas – ugdyti matematinį raštingumą, atitinka faktinį programos mokymosi turinį.  Antra, lyginant su ankstesniais atnaujinamos programos projektais, dabartinio programos projekto mokymosi turinyje yra keletas sakinių galinčių paskatinti matematinio samprotavimo ugdymą. Trečia, programoje naudojami bendri terminai (matematikos sąvoka, apibrėžimas, teiginys, supratimas, samprotavimas, įrodyti, pagrįsti) yra skirtingai suprantami netgi lietuviškos didaktikos tekstuose. Jei norime kalbėti apie tą pačią programą, reikalinga nuoroda į matematikos didaktikos šaltinį padėsiantį vienareikšmiškai interpretuoti minimų terminų prasmes. Šis atsiliepimas parašytas terminus interpretuojant pagal V. Sičiūnienės knygą ,,Matematikos didaktika“.

Mano komentaras grindžiamas metodologine aplinka, pagal kurią skirtingos visuomenės grupės turi skirtingus švietimo tikslus, priklausančius nuo turimų ideologijų ir interesų (P. Ernest ; 123 pusl). Būdai, kuriais siekiami švietimo tikslai, taip pat turi visuomeninį kontekstą. Taigi, skirtingi matematikos mokymo tikslai ir mokymo turinys išreiškia skirtingų visuomenės grupių ideologijas ir interesus.

Mano požiūrį į švietimą atitinka dviejų ideologijų elementai: matematika yra esminė kultūros dalis (senieji humanistai, angl. the old humanists in P. Ernest; 168 pusl.) ir matematikos esmę gali suprasti visi (visuomenės švietėjai, angl. the public educators in P. Ernest 197 pusl.). Kaip alternatyva, programos tikslu galėtų būti matematikos kompetencijų danų prasme ugdymas (liepos 26 d. įrašas šiame tinklaraštyje). Amerikiečių   Common Core galėtų būti alternatyvi įgyvendinta programa.

Tęsiant komentarą, pirmasis programos svarbus bruožas yra aiški jos ideologinė kryptis, jei minėti terminai interpretuojami mano siūlomu būdu. Ši ideologija atitinka tai, kas pasaulyje vadinama progresyviąja pedagogika (the progressive educators in P. Ernest 181 pusl). Ji dominuoja mūsų edukologinėje literatūroje.

Ideologinė priklausomybė išreiškiama programos tikslo formuluote:

Tikslas – sudaryti prielaidas ugdytis matematinį raštingumą, kuris šiame dokumente suprantamas kaip įgytas gebėjimas matematiškai samprotauti, taikyti ir interpretuoti matematiką sprendžiant problemas įvairiuose realiuose, aktualiuose ir mokiniams suprantamuose kontekstuose.

Taip matematinis raštingumas suprantamas ne tik šioje programoje. Palyginimui pacituosime EBPO organizuojamo tarptautinio mokinių pasiekimų tyrimo PISA 2021 (23 skirsnis) matematinio raštingumo sampratą:

Mathematical literacy is an individual’s capacity to reason mathematically and to formulate, employ, and interpret mathematics to solve problems in a variety of real-world contexts. It includes concepts, procedures, facts and tools to describe, explain and predict phenomena. It assists individuals to know the role that mathematics plays in the world and to make the well-founded judgments and decisions needed by constructive, engaged and reflective 21st century citizens

Matematinis raštingumas yra matematinis kompetentingumas ir jo taikymas realaus pasaulio uždaviniams spręsti. Bet ne matematinio kompetentingumo ugdymas, pavyzdžiui, kaip tai formuluojama danų kompetencijų projekte [Niss, Höjgaard;  2019 ].  

Ką žinome apie matematinį raštingumą? Matematinis raštingumas (angl. mathematical literacy) nėra tas pats, kas matematika. Pavyzdžiui, Pietų Afrikos mokyklose 2006 metais matematinis raštingumas įvestas kaip atskiras dalykas ir alternatyva matematikai, kurio mokomasi 10-12 klasėse. Matematinio raštingumo dalyko turinį sudaro matematikos taikymai realiame gyvenime  siekiant išugdyti besimokančiojo pasitikėjimą savimi, skaičių jausmą, erdvinį mąstymą,  gebėjimą interpretuoti ir kritiškai vertinti kasdienines situacijas, bei spręsti problemas. Šis dalykas rekomenduojamas mokiniams turintiems silpną matematikos mokymosi patirtį, kompetenciją ir pasitikėjimą.

Edukologinėje literatūroje rašoma (J. Dudaitė ; 183 pusl): ,,Matematika yra apibendrinanti, abstrakti, nepriklausoma nuo konteksto ir nuo visuomenės, apolitinė, tiksli, nuspėjama. Matematinis raštingumas – atvirkščiai: konkretus, realaus konteksto, priklausantis nuo visuomenės, politinis, aproksimuojantis, nenuspėjamas“. Konkretumo matematinio raštingumo sampratai suteikė  E. Jablonka  analizė (žiūrėti  M. Niss, E. Jablonka). Jos teigimu tenka pripažinti, kad matematinis raštingumas negali būti apibrėžtas matematikos žinių terminais. Faktiškai matematinis raštingumas apibūdina matematikos žinių paskirtį. Ši sąvoka yra apie individo pasirengimą naudoti matematikos žinias praktinėje veikloje už  matematikos ribų.  Skirtingose šalyse požiūriai į matematinį  raštingumą priklauso nuo švietimo tikslų. E. Jablonka klasifikavo šiuos požiūrius į penkias kategorijas.

PISA 2021 naudojama matematinio raštingumo samprata paaiškina, kodėl pastaruoju metu Lietuvoje yra toleruojamas kalbėjimas apie matematinį samprotavimą, o kartais ir skatinamas. Mokinių pasiekimai PISA reitinguose nuolat laikomi siekiamybe Lietuvos vyriausybių programose ir kituose svarbiuose Lietuvos švietimo dokumentuose.

2008 metų programoje matematinio raštingumo siekiama tik vidurinio ugdymo bendrajame  kurse. Tuo tarpu išplėstinis kursas skirtas mokinių žinių ir suvokimo bei gebėjimų gilinimui. Neaišku, kaip bus su atnaujintos programos išplėstiniu kursu, jei nuo pirmos iki dešimtos klasės mokiniai siekia tik matematinio raštingumo. 2008 metų matematinio ugdymo programa deklaravo  labai supaprastintą matematikos kompetencijų danų prasme variantą. Pagal vadovėlius, matematikos turinys orientavosi į bazines žinias ir matematinį raštingumą be aukštesnės eilės mąstymo gebėjimų ugdymo. Dabartinis programos atnaujinimas iš esmės adekvačiai apibūdina dabar egzistuojančią matematikos mokymo praktiką. Šia prasme yra teigiamas programos bruožas.

Antrasis svarbus programos bruožas – mokymosi turinyje yra keletas frazių galinčių paskatinti matematinio samprotavimo ugdymą. Pirmos klasės skyreliuose 1.1.1, 1.1.2 ir antros klasės skyrelyje 1.1.2 yra frazė ,,skaitmens vietos vertė”. Spėju, kad ši frazė reiškia matematinį terminą ,,pozicinė skaitmens reikšmė” (angl. place value of a digit). Ši sąvoka yra dešimtainės skaičiavimo sistemos pagrindas. Tačiau pačios dešimtainės skaičiavimo sistemos aptarimas, pagal programą, vyksta tik penktoje klasėje (1.1.1 skyrelis).  Pozicinė skaitmens reikšmė naudojama pagrįsti keturias natūraliųjų skaičių aritmetikos standartines procedūras (veiksmus atliekamus stulpeliu).  Tai viena iš svarbiausių pradinio matematinio ugdymo sąvokų. Ji būtina norint suprasti aritmetikos pagrindus. Iki šiol mūsų pradiniame ugdyme ši sąvoka yra ignoruojama. Nors ir paminėta programoje, neaišku ar bus išnaudojamos jos potencialios galimybės. Viskas priklausys nuo mokytojų kvalifikacijos kėlimo organizavimo ir naujų vadovėlių kokybės. Be to, kaip minėjau, dešimtainė skaičiavimo sistema turėtų būti aptariama tik penktoje klasėje.

Sunkiausia mokyklinės matematikos dalis, lemianti viso likusio matematinio ugdymo rezultatus, – paprastųjų trupmenų aritmetika – numatoma nagrinėti penktoje klasėje. Tai antroji nauja svarbi mokymosi turinio dalis. Lig šiol, mūsų vadovėliuose, tai buvo daroma šeštoje klasėje, po to, kai penktoje klasėje mokomasi dešimtainių trupmenų aritmetikos. Šiame projekte vis dar dominuoja mūsų tradicijos. Pavyzdžiui, paprastųjų trupmenų daugyba ir aritmetinių veiksmų dėsniai paprastosioms trupmenoms išsiaiškinami naudojant vaizdinius modelius, penktoje klasėje (sic).  Na, o dešimtainės trupmenos pradedamos aiškintis ketvirtos klasės 1.4.1 skyrelyje ,,prekių ir paslaugų kainos“.

Mokymosi turinys geriausiai parodo, kaip programoje suprantamas matematinis samprotavimas. Tradiciškai mūsų mokymo turinyje nėra išryškintos mokyklinės matematikos pagrindinės idėjos ir sąvokos. Svarbios sąvokos ir paprasčiausi žymėjimai programoje traktuojami vienodai ir vardinami pakaitomis. Programos spiralinė struktūra – grįžimas ir kartojimas to, kas buvo anksčiau – sustiprina dalyko logika grindžiamos struktūros trūkumą. Tai yra paaiškinama požiūriu į matematiką ir jos vaidmens suvokimu švietime.

Trečiasis svarbus programos bruožas – terminų daugiaprasmiškumas. Palyginsime prasmes suteikiamas keletui minėtų sąvokų skirtinguose matematikos didaktikos vadovėliuose.

[Matematikos] sąvoka – žodžiu (jų grupe) išreikštas apibendrintas daiktų ar reiškinių apibūdinimas [V. Sičiūnienė; 51 pusl].

Šis matematikos sąvokos apibūdinimas nesiskiria nuo ne matematikos sąvokų apibūdinimo. Jis atitinka progresyviosios pedagogikos požiūrį į mokyklinę matematiką [P. Ernest; 188 pusl]. Šiuo atveju, apibrėžiant matematinį terminą, leidžiama ir rekomenduojama nesilaikyti matematikos apibrėžimams būdingo griežtumo. 

Mokyklinėje matematikoje sąvokos yra apibrėžiamos įvairiai: klasikiniu apibrėžimu, genetiniu apibrėžimu ir pateikiant sąvokos aprašymą. [….] Kartais vienu sakiniu pateikiamas sąvokos apibrėžimas esti labai painus, sunkiai mokiniams suprantamas. Tada jį galima (o kartais ir tikslinga) pakeisti sąvokos aprašymu [V. Sičiūnienė; 52 pusl].

Teiginio samprata mūsų didaktikoje atspindi skirtingus požiūrius į logiką. Vienas jų yra tradicinis arba Aritstotelio logikai būdingas požiūris.

Tačiau ne bet koks sakinys yra teiginys. Teiginiui būdinga tam tikra struktūra. Teiginyje visada nurodomas subjektas (apie ką kalbama), jungiamasis žodelis ir predikatas (kas kalbama, teigiama apie subjektą) [V. Sičiūnienė; 57 pusl].

Kitame didaktikos tekste [A. Ažubalis] minėtiems terminams suteikiama skirtinga prasmė. Matematikos sąvoka siejama ne su daiktais ir reiškiniais, bet su jų esminėmis savybėmis.

Kaip logikos objektas,  sąvoka yra mąstymo forma, išreiškianti esminius ir bendruosius objektų požymius [A. Ažubalis; 24 pusl]. Matematinės sąvokos yra realaus pasaulio esminių savybių, formų ir kiekybinių santykių atspindys žmogaus sąmonėje [A. Ažubalis; 61 pusl].

Savo ruožtu, toks sąvokos apibrėžimas reikalauja tam tikro griežtumo.

Kadangi sąvoka – mąstymo forma, tai būtina tiksliai skirti formalų loginį sąvokos apibrėžimą ir jos formavimą mokinių sąmonėje. […] Kai kurie mokytojai painioja aiškinančiuosius aprašymus ir loginius apibrėžimus, pirmuosius laikydami pastaraisiais. Aiškinantieji aprašymai nėra matematiniai teiginiai, jie nenaudojami kaip argumentai įrodymuose, kaip tikrieji loginiai apibrėžimai. Todėl nereikia versti mokinių išmokti tuos aprašymus, pakanka, kad jie mokėtų atpasakoti savais žodžiais. O apibrėžimus mokiniai turi mokėti formuluoti tiksliai [A. Ažubalis].

Tuo tarpu teiginys suprantamas G. Frege suteikta sąvokinio turinio [angl. conceptual content] prasme. 

Teiginiu vadinamas bet kuris sakinys, kuris teisingas arba klaidingas. Iš gramatinių sakinių teiginiais laikomi tiesioginiai sakiniai. Teiginių logikoje teiginys nedalomas į sudėtines dalis, jis nagrinėjamas kaip vieninga nedaloma visuma [Ažubalis; 37 pusl].

Šiuose didaktikos tekstuose suteikiamos skirtingos prasmės ir kitiems bendriems matematikos terminams. Žmonėms, naudojantiems skirtingas terminų sampratas, ta pati matematinio ugdymo programa suprantama skirtingai.

Matematikos sąvokų sampratas užsienio šalių mokslininkų darbuose apžvelgsime kituose įrašuose.

 

 Leave a Reply

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

(required)

(required)