Kas svarbaus vyksta mokyklinėje matematikoje?

Savo atsakymą į šį klausimą pasiūliau Lietuvos matematikos mokytojų asociacijos vaizdo konferencijoje rugpjūčio 24 dieną. Mano galva pastaruoju metu svarbiausi yra šie dalykai:

• Matematinio ugdymo programų atnaujinimas, jų orientacija į kompetencijų plėtotę. Ką tai reiškia?
• Matematikos brandos egzaminų rezultatai. Kaip turėtume reaguoti?
• Baigiamas kurti kokybiškai naujas mokyklinės matematikos turinys. Prasideda naujas to turinio atnaujinimo etapas. Ar dalyvausime?

Ką reiškia programų orientacija į kompetencijų plėtotę?

Orientacija į kompetencijų plėtotę yra ugdymo programų reformos kryptis, vykstanti įvairiose pasaulio šalyse nuo 1990 metų. Tokiomis reformomis bandoma atsisakyti orientuoti ugdymą į žinių perdavimą, kuris tapatinamas su žinių atsiminimu ir jų taikymu be supratimo. Vietoje to siekiama dalykų programas ,,integruoti“ ir kurti tokią aplinką klasėje, kuri padeda mokiniams žinias ,,konstruoti“, patiems jas atrasti ir suprasti. Toks programų atnaujinimas pas mus vyko 2008 metais.

Dabartinis programų atnaujinimas vyksta vadovaujantis panašiomis taisyklėmis. Tačiau yra ir skirtumų. Dabartinis [Gairių]  40 punktas atrodo taip:

Dalyko turinys sudaro sąlygas ugdytis kompetencijas, bendrojoje programoje jis pateikiamas nuosekliai, atsižvelgiant į atitinkamo mokslo akademinę logiką, metodologiją ir paisant mokinių amžiaus tarpsnio ypatumų.

Reikalavimas matematikos dalykui atsižvelgti į ,,atitinkamo mokslo akademinę logiką“ reiškia matematinio samprotavimo principų laikymąsi mokyklinėje matematikoje.  Lietuvoje šiuo metu neturime tokios mokyklinės matematikos. Reikia skirti tris dalykus: programa; turinys; mokytojo pasirengimas. Sukurti pageidaujamą programą yra pats lengviausias reikalas. Matematikos atveju programą atitinkantis dalyko turinys ir mokytojo pasirengimas dirbti yra patys sudėtingiausi ir jų atnaujinimas nėra numatytas.

Dabartinėse Gairėse numatyta ugdymą orientuoti pagal šias kompetencijas:

• Pažinimo kompetencija (dalyko žinios ir gebėjimai, kritinis mąstymas, problemų sprendimas, mokėjimas mokytis).
• Socialinė, emocinė ir sveikos gyvensenos kompetencija.
• Kūrybiškumo kompetencija.
• Pilietinė kompetencija.
• Kultūrinė kompetencija.
• Komunikavimo kompetencija.

Šios kompetencijos traktuojamos kaip bendrosios ta prasme, kad joms sudaromi raidos aprašai visoms 12 klasių ir visiems dalykams bendrai. Mano nuomone, toks kelias nėra geras. Paprasčiau būtų, pirma, šias kompetencijas interpretuoti atskiruose dalykuose ir tik po to išskleisti jų raidą per viso mokymosi trukmę. Matyt pasirinktas kelias yra gaires rengusių žmonių kompromiso pasekmė.

Skirtingų požiūrių į programų atnaujinimą egzistavimą patvirtina siūlymai keisti ir papildyti dabartinius kompetencijų aprašus. Iliustracijai pacituosiu vieną siūlymą. Pagal jį kompetencijų aprašuose neigiamai vertinami ,,dalyko žinios ir gebėjimai“. Cituoju: ,,Apraše dominuoja žinojimo perėmimo, bet ne savarankiško jų konstravimo (atradimo, apibendrinimo, konceptualizavimo) aspektas.“ Rekomenduojama papildyti pažinimo kompetencijos aprašą ,,Mokomojo tyrimo sandu, kuriam būdinga raiška:

• mokinys – įvertina ir įvardija įgytų žinių bei patirties ir naujos mokymosi situacijos prieštarą, formuluoja tyrimo tikslą, uždavinius ir hipotezę; ………..“

 ,,Savarankiškas mokomasis tyrimas“ yra kontraversinis mokymo metodas. PISA tarptautiniai mokinių pasiekimų tyrimai atskleidžia neigiamą tokio metodo koreliaciją su mokinių pasiekimais. Mokytojo vadovaujamas ,,mokomasis tyrimas“, priešingai, turi teigiamą koreliaciją su mokinių pasiekimais. Mokinių gebėjimas atskleisti naujas žinias yra apribotas jų žinių horizontu. Jie negali kelti tyrimo klausimų, kurie nepatenka į jų žinojimo sritį. Aiškinimo autoriai H.Komatsu ir J. Rappleye naudoja šias iliustracijas [A PISA paradox?]:

Paveikslėlio (a) dalyje apskritimo viduje taškais pažymėti mokiniui žinomi faktai (juodi) ir nežinomi faktai (balti). Mokinys gali formuluoti tyrimo tikslą remdamasis tik tais faktais, jam žinomais ir nežinomais, kurie yra apskritimo viduje. Tokio mokymosi rezultatas neišvengiamai ribotas ir neišeina už mokinio pažinimo horizonto. Kitaip tariant dėka savarankiško tyrimo mokinio žinių horizontas nesiplečia.

Kitaip tą patį aiškinimą iliustruoja paveikslėlio (b) dalis. Tarkim, kad mokinys nežino kas yra lošimo kauliukas. Tai ką jis mato yra to kauliuko dvimatė projekcija plokštumoje. Šioje projekcijoje jis mato sugrupuotas tris taškų aibės. Tokiu atveju jis net įtarti negali kokios kitos taškų aibės galėtų būti šio nupiešto daikto kitoje pusėje.

Cituojami siūlymai taisyti aprašus iliustruoja norą tęsti švietimo reformas remiantis progresyviosios pedagogikos idėjomis.

Kaip reaguoti į šių metų matematikos brandos egzaminų rezultatus?

Palyginkime šių metų matematikos brandos egzamino rezultatus su ankstesnių metų rezultatais.

(Lentelę sudarė Bronius Skūpas)

Nesunku pastebėti tendencijas: neišlaikiusiųjų dalis didėja, o aukščiausius įvertinimus gavusių mokinių dalis mažėja. Lentelė rodo, kad mokinių matematiniai pasiekimai blogėja nuosekliai. Tai verčia abejoti versija pagal kurią rezultatai prasti todėl, kad egzaminai netinkamai parengti.

Mano teigimu, mokinių matematinių pasiekimų priežastimi yra dominuojanti požiūrio į ugdymą ideologija. Konkrečiai – pažeistas žinių perteikimo ir asmenybės ugdymo balansas, supriešinant mokymą ir mokymąsi. Teiginį šiek tiek paaiškina minėtas savarankiško mokomojo tyrimo kontraversiškumas mokykloje.  Plačiau apie švietimo ideologijos vaidmenį matematikos mokymui rašau straipsnyje [Kodėl mokome tokios matematikos, kokios mokome?].

Švietimo ideologija yra netiesioginė priežastis; ji lemia ką ir kaip mokome. Tiesioginėmis priežastimis yra mokyklinės matematikos turinys arba tai, ką mokome matematikos pamokose ir mokytojo pasirengimas mokyti.

Šių metų rugpjūčio 14 dieną ministerijoje vykusiame susirinkime pasiūliau keletą dalykų, kurių turėtume imtis reaguodami į egzamino rezultatus. Šiuos dalykus suskirsčiau tokiomis kryptimis:

• Požiūris į ugdymą.
• Požiūris į matematiką.
• Matematikos mokymo moksliniai tyrimai.
• Matematikos mokytojus rengiančių dėstytojų ugdymas.
• Matematikos mokytojų kvalifikacija.
• Matematikos mokytojų rengimas.
• Matematikos turinys ir jos mokymo programa.
• Matematikos mokymo(si) procesas.
• Mokyklos baigimo koncepcija.

Konkretūs siūlymai įvardinti pristatymo skaidrėse [pristatymas].  Tai tik mano siūlymai. Klausimas matematikos mokytojų bendruomenei: Kaip ji mano esant teisinga reaguoti į 2020 metų matematikos brandos egzamino rezultatus?

Gal taip: ,,Panaikinti matematikos egzaminus, o matematikos mokyti tik gabius vaikus“ Taip siūlo humanitaras Ramūnas Čičelis straipsnyje ,,Matematinis reitingavimas: tarp žmonijos ir gyvūnijos“ (Kauno diena, 2020 rugpjūčio 21).

O gal taip: ,,Tris kartus didinkime matematikos mokytojų atlyginimus“. Taip siūlo  politologas Kęstutis Girnius (DELFI, 2020 rugpjūčio 10).

Ar bandysime atnaujinti mokyklinės matematikos turinį?

Jei reikėtų įvardinti pasaulyje svarbiausią šių metų įvykį švietime, tai juo laikyčiau kokybiškai naujo mokyklinės matematikos turinio pasirodymą. Ši mokyklinė matematika paiso matematinio samprotavimo principus ir suderinta su mokinio mąstymo galimybėmis. Ji nėra paprasta akademinės matematikos dalis, bet turi esmines jos savybes ir nagrinėja tradicinius mokyklinės matematikos dalykus. Naudojant metaforą, tokia mokyklinė matematika yra akademinės matematikos veikiantis žaislinis modelis. Trumpas jos fragmentas susijęs su trupmenų aritmetika yra aptartas 2013 metų gairėse [čia].

Samprotavimas matematikoje reikalauja sąvokų apibrėžimo.  Sąvokos matematinį apibrėžimą sudaro minimalus savybių skaičius, kurio pakanka įrodant visas likusias sąvokos savybes. Be to, apibrėžimas sąvoką apibūdina vienareikšmiškai. Pirmas matematinio samprotavimo principas yra

kiekviena sąvoka yra apibrėžiama.

 Iliustruosiu tai trupmenos sąvokos pavyzdžiu.

Apie trupmeną visuose mūsų vadovėliuose parašoma panašiai. Pavyzdžiui, trupmena reiškiama dydžio dalimi. Vietoje dydžio taip pat pasakoma daikto, visumos, vieneto ar panašiai. Nei vienas iš šių ir kitų apibūdinimų vadovėliuose nėra naudojamas trupmenų aritmetikai pagrįsti.

Laikant trupmenos  vietos skaičių tiesėje nurodymą apibrėžtimi, visi trupmenų aritmetikos faktai yra įrodomi.  Išsamų aprašymą galima rasti 2013 gairių priede [čia].

Visi matematinio samprotavimo principai:

• kiekviena sąvoka yra apibrėžiama;
• kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma;
• kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu;
• kiekviena nauja sąvoka formuojama turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalimi;
• matematikos žinios yra orientuotos į tikslą ir sprendžia kurią nors problemą.

Kitas klausimas matematikos mokytojų bendruomenei: Imsimės atnaujinti mokyklinės matematikos turinį ar ne?

Gal gyvensime kaip Vilniaus vicemeras Vytautas Mitalas galvoja:

,,Matematikos mokytojas atkeliavęs iš 1800-ųjų metų visai neblogai ir šiandien susitvarkytų su iššūkiu, jei atsistotų prieš moksleivius, paimtų kreidą ir stovėdamas prie lentos galėtų paaiškinti kaip ten viskas vyksta“ (pasakyta 2020 liepos 21 dieną).

Suprask, mokyklinė matematika nepasikeitė per pastaruosius 220 metų. Aš tuo abejočiau.

Šiuolaikinis matematikos mokytojas yra tikras savo dalyko profesionalas. Jo žinios yra unikalios. Jei norime, kad mokinys matematiką atrastų, tai mokytojo vaidmuo klasėje turėtų būti didžiausias. Mokytojas turi skatinti vaikus aktyviai veiklai, padėti atsikratyti baimės klysti, pastebėti klaidas ir akimirksniu jas paaiškinti, nuspėti kaip mokinys mąsto ir gebėti padėti jam išeiti iš bet kokios keblios padėties. Toks matematikos mokymas reikalauja specialių mokyklinės matematikos žinių (tokių žinių neturi net matematikai mokslininkai). Tokioms specialioms žinioms įgyti reikalinga matematinio samprotavimo principais grįsta mokyklinė matematika.      

Pabaigai

Noriu palinkėti mokytojams ryžto viešai kalbėti apie savo dalyko problemas. Jei nebus girdimas mūsų balsas, liks balsas tų, kurie ragina atsisakyti matematikos mokymo kaip bendrojo išsilavinimo, paliekant matematikos mokymą tik gabiems vaikams. Arba balsas tų, kurie ragina integruoti matematiką į kitus dalykus ir tuo būdu jos išvengti.

Galbūt kai kurie mūsų nemėgsta diskusijų. Tačiau neišeidami iš komforto zonos vargu ar išsaugosime matematiką kitoms kartoms.

Siūlau konferencijai išreikšti savo požiūrius į tai, kas svarbaus vyksta mokyklinėje matematikoje.