Į kompetencijų plėtotę orientuotas ugdymas

Orientacija į kompetencijų plėtotę yra ugdymo programų reformos kryptis (angl. „competence-based“ approaches to teaching and learning or just competency-based education). Tokios reformos prasidėjo maždaug nuo 1990-ųjų daugelyje pasaulio šalių. Jų turinys skirtingose šalyse nebuvo vienodas.  Tokiomis reformomis bandyta atsisakyti orientuoti ugdymą į žinių perdavimą, kuris tapatinamas su žinių atsiminimu ir jų taikymu be supratimo. Vietoje to siekiama dalykų programas ,,integruoti“ ir kurti tokią aplinką klasėje, kuri padeda mokiniams žinias ,,konstruoti“, patiems jas atrasti ir suprasti. Po to norima tas žinias taip dekontekstualizuoti, kad jas galima būtų naudoti nepažįstamose situacijose. Tokia orientacija teigia siekianti aktyvaus mokymosi, o ankstesnė žinių perdavimo orientacija vadinama pasyviu mokymu. 2008 metų programų atnaujinimas Lietuvoje vyko vadovaujantis šia ideologija. 

Šiuo metu vykstantis bendrojo ugdymo programų atnaujinimas taip pat orientuotas į kompetencijų plėtotę. Dabartinis atnaujinimas remiasi pernai patvirtintomis Gairėmis ( 2019) . Šių gairių 40-ame paragrafe rašoma: 

Dalyko turinys sudaro sąlygas ugdytis kompetencijas, bendrojoje programoje jis pateikiamas nuosekliai, atsižvelgiant į atitinkamo mokslo akademinę logiką, metodologiją ir paisant mokinių amžiaus tarpsnio ypatumų.

Taigi dalyko turinys turėtų atsižvelgti į atitinkamos mokslo disciplinos akademinę logiką. 2008 metų programų atnaujinimas sankcionavo akademinės logikos ignoravimą. Mokyklinėje matematikoje šis aspektas turi fundamentalią reikšmę. Nuo jo priklauso ar skatinsime matematinį samprotavimą (įrodymą) dalyko turinyje, ar jį ignoruosime. 

Problema ta, kad pokyčiai klasėje gali atsirasti tik tada, kai dauguma mokytojų pritars pokyčiams ir sugebės gilinti ugdymo turinį. Tam reikia iš esmės keisti vadovėlių turinį ir mokytojų rengimo bei kvalifikacijos kėlimo programas. Nei seni vadovėliai, nei ankstesnė mokytojų patirtis nėra pakankami vidutinių gabumų vaiką motyvuoti giliam mokymuisi. Be to, švietimo ekspertų požiūriai esminiais ugdymo klausimais yra labai skirtingi. Jie skiriasi ir dėl kompetencijų. 

Šiame įraše aiškinuosi savo požiūrį į dalykines kompetencijas mokyklinės matematikos kontekste. 

Kompetencijos sampratos

Palyginsiu dvi kompetencijos sampratas: bendrąją kompetenciją ir dalykinę kompetenciją. Tai yra lyginimas to, kas įtvirtinta naujuoju įstatymu (į kompetencijų plėtotę orientuotas bendrųjų programų atnaujinimas, [Gairės, 2019] su tuo, ką dalykinių kompetencijų srityje per daugelį dešimtmečių nuveikė dalis užsienio mokslininkų (danų kompetencijų projektas, [Niss, Höjgaard;  2011, 2019]). Priminsiu, kad įvairūs dalykinės kompetencijos variantai ir jų raidos apibūdinimai yra naudojami mūsų ugdymo bendrosiose programose seniai ir mokytojams yra girdėti.

Matematinė kompetencija (angl. competency) yra aiškiai atpažįstama ir svarbi matematinio kompetentingumo (angl. competence) sudedamoji dalis. Pagal Niss ir Höjgaard  (2019), kompetentingumas apibūdina būdą, kuriuo reaguojama į esamos situacijos iššūkius. Tiksliau.

Apibrėžtis K. Kompetentingumas yra individo įžvalgus pasirengimas atitinkamai veikti atsiliepiant į esamos situacijos iššūkius (angl. Competence is someone‘s insightfull readiness to act appropriately in response to the challenges of given situations).

Šnekamojoje kalboje ,,pasirengimas“ gali būti pažintinis, emocinis, valingas. Šioje apibrėžtyje apsiribojama tik pažintine reikšme. Pirmąja kompetentingumo apibrėžties charakteristika yra ta, kad ji nukreipta į veiksmą. Antrąja jo charakteristika yra ta, kad pasirengimas veikti yra įžvalgus. Trečiąja kompetentingumo charakteristika yra ta, kad iššūkiai gali būti labai įvairūs savo prigimtimi ir individualūs.
Toliau kompetentingumas pavadintas matematiniu, jei reaguojama į tas situacijas, kurių iššūkiai savo prigimtimi yra matematiniai.

Apibrėžtis MK. Matematinis kompetentingumas yra individo įžvalgus pasirengimas atitinkamai veikti atsiliepiant į su esama situacija susijusius įvairiausius matematinius iššūkius (angl. Mathematical competence is someone‘s insightful readiness to act appropriately in response to all kinds of mathematical challenges pertaining to given situations).

Apibendrinant, kito dalyko kompetentingumą gausime priklausomai nuo iššūkių prigimties. Pagal danų kompetencijų projektą, matematinis kompetentingumas turi aštuonias sudedamąsias dalis vadinamas matematinėmis kompetencijomis. Tarp jų yra tų, kurios atitinka bendrųjų kompetencijų sudedamąsias dalis.

Pagal Gaires (2019, 27-as paragrafas), bendroji kompetencija yra ,,gebėjimas atlikti tam tikrą veiklą, remiantis įgytų žinių, mokėjimų, įgūdžių, vertybinių nuostatu visuma“. Lyginant su kompetentingumu (apibrėžtis K), turime du svarbius skirtumus. Pirmas skirtumas, bendroji kompetencija orientuota atlikti tam tikrą veiklą. Gairėse įvardintos šešios bendrosios kompetencijos. Ne visos jų apibrėžtos pagal aiškiai įvardintą veiklą. Antras skirtumas, bendroji kompetencija remiasi įgytų žinių, mokėjimų, įgūdžių, vertybinių nuostatų visuma. Matematinis kompetentingumas (apibrėžtis MK) skiriasi abiem šiais atžvilgiais. Jis orientuotas į pažintinę veiklą, kurioje yra matematinių aspektų ir remiasi tik matematika. Bet iš esmės tiek bendroji kompetencija, tiek kompetentingumas vertina gebėjimą veikti.

Gairėse įvardintos šešios bendrosios kompetencijos. Ne visuose jų apibrėžimuose matoma į kokią veiklą jos orientuotos. Dalis jų orientuota į asmens savybes ir vertybes. Kita problema yra ta, kad bendrosios kompetencijos apima ir tokią veiklą ar savybes, kurios tiesiogiai nepriklauso nuo mokyklos. Kitame skyrelyje šiuo aspektu detaliau apibūdinta pažinimo kompetencija.

Kuo skiriasi kompetentingumas ir raštingumas? Konkretumo dėlei palyginkime matematikos dalyko kontekste. Matematinio raštingumo esmė yra individo gebėjimas naudoti matematiką kasdieninio gyvenimo reikaluose. Šiai raštingumo funkcijai reikalingas matematinis kompetentingumas bet ne visa apimtimi. Kompetentingumas yra apie patį dalyką ir neapsiriboja dalyko taikymu ar kasdieninio gyvenimo reikalais.

Kai kurios bendrųjų kompetencijų sudedamosios dalys iš esmės sutampa su atitinkamomis dalykinėmis kompetencijomis. Pavyzdžiui, kritinis mąstymas matematikoje iš esmės sutampa su matematiniu samprotavimu. Tikėtina, kad kritinis mąstymas ir kai kurie kiti gebėjimai sutampa su atitinkamomis kitų dalykų kompetencijomis.

Pažinimo kompetencija ir kritinis mąstymas

Šių metų pavasarį kompetencijų aprašo rengėjų grupėje dirbau su pažinimo kompetencija. Čia paaiškinu pasiūlytus keitimus.

Pagal Gairių (2019) 33-ią paragrafą, ,,pažinimo kompetencija – tai motyvacija ir gebėjimai pažinti save ir pasaulį remiantis žiniomis, tyrinėjant ir apmąstant patirtį.“  Ši kompetencija apima žymiai platesnę sritį už formalųjį ugdymą. Ją galima struktūruoti remiantis evoliucija grindžiama prieiga, kurią išplėtojo evoliucinė pedagoginė psichologija (Geary, 2002 ). Pagal šią prieigą yra dvi bendros pažintinių gebėjimų klasės, biologiškai pirminės ir biologiškai antrinės. Biologiškai pirminiai pažintiniai gebėjimai evoliucionavo dėl natūraliosios ir lyčių atrankos. Biologiškai antriniai pažintiniai gebėjimai papildo pirmuosius, jie įgyjami siekiant kitų tikslų ir atsiranda tik esant specialiam kultūriniam kontekstui. Gairėse pateikiamas pažintinės kompetencijos apibūdinimas neskiria šių dviejų klasių, nors jų skirtumas turi svarbias pasekmes bandant suprasti vaiko pažintinių gebėjimų vystymąsi ir pasiekimus mokykloje.

Remiantis evoliucija grindžiama prieiga protas turi įgimtų savybių. Vaizdžiai kalbant, vaiko protas turi įgimtus pastolius padedančius lengvai konstruoti tam tikras žinias ir gebėjimus. Tarp jų yra klausymas, kalbėjimas gimtąja kalba, veidų atpažinimas, bendravimas ir kita. Tokie gebėjimai yra biologiškai pirminiais. Juos vaikas įsisavina nesąmoningai ir be didelių pastangų. Vaikui žaidžiant ir tyrinėjant aplinką pastolių daugėja. Tačiau skaityti, rašyti ir skaičiuoti padedančių įgimtų pastolių vaikas neturi. Tokie gebėjimai susiję su kultūra ir yra biologiškai antriniais. Jiems įsisavinti vaikas neturi įgimtos motyvacijos, o žaidimai ir tyrinėjimai nėra pakankamos priemonės. Kontekstas kuriame plėtojami biologiškai antriniai gebėjimai yra mokykla. Šiuo požiūriu mokykla yra evoliuciją ir kultūrą siejantis tiltas.

Evoliucija nesuteikė mūsų protui savybių, kurios įgalintų mokyklines žinias įsisavinti be jokių pastangų. Tuo tarpu svarbiausios mokyklinės žinios, būdamos biologiškai antrinėmis, yra kokybiškai skirtingos. Naivu tikėtis, kad mokyklines žinias vaikas konstruos pats, jei tik jam bus sudaryta tinkama aplinka. Skirtingai nuo biologiškai pirminių žinių įsisavinimo, mokykloje kryptingas instruktažas gali būti neišvengiama priemonė.  Šiuo atžvilgiu mūsų švietimo reformos ideologinė prielaida, laisvojo ugdymo humanistinė paradigma, prieštarauja evoliucinės pedagoginės psichologijos išvadoms.

Mane pasiekė pažinimo kompetencijos ugdymui rekomenduojamas tekstas paimtas iš svetainės ,,Ugdymo sodai“.  Jame nurodyti pažinimo kompetenciją sudarantys gebėjimai (suvokti, suprasti, rinkti duomenis ir t.t.) yra bendro pobūdžio ir priskirtini biologiškai pirminiams gebėjimams. Tekste nurodyti trys pavyzdžiai yra pirmojo žinių gylio lygmens (iš keturių pagal Webb skalę). Siūlymas naudoti skaitmenines priemones neturi perspektyvų ugdyti gilesnių žinių, būtinų 21-ojo amžiaus kompetencijoms ugdyti.   

Dėl minėtų priežasčių pasiūliau susiaurinti pažinimo kompetencijos sampratą. Gairėse esantį tekstą siūliau keisti taip:

,,Mokyklinio pažinimo kompetencija – tai motyvacija ir gebėjimai pažinti save ir pasaulį įgyjami įsisavinant žmonijos kultūrinę patirtį. Ji apima dalyko žinias ir gebėjimus, kritinio mąstymo, problemų sprendimo, mokėjimo mokytis gebėjimus. Mokyklinis pažinimas reikalauja valios pastangų ir atkaklumo, o motyvacija mokykliniam pažinimui gali būti ir vidinė, ir išorinė kildinama iš bendrų visuomenės poreikių.“

Kodėl taip? Gairių apibrėžimo pirmame sakinyje esanti frazė ,,remiantis žiniomis, tyrinėjant ir apmąstant patirtį“ nurodo būdą, kuriuo įgyjamas pažinimas. Pagal LKŽ žodžio ,,žinios“ antrąją reikšmę, toks pažinimas apima visą žmogaus gyvenimo laikotarpį, įskaitant kūdikystę. Tyrinėjimais ir patirties apmąstymais  įgyjami biologiškai pirminiai pažintiniai gebėjimai, bet nėra tinkami biologiškai antriniams pažintiniams gebėjimams. Tuo tarpu mus domina tik biologiškai antriniai pažintiniai gebėjimai, t.y. gebėjimai paprastai įgyjami mokykloje. Dėl tos pačios priežasties trečiame sakinyje rašoma apie valios pastangas, atkaklumą ir motyvacijos tipus. Kompetencija pavadinta mokyklinio pažinimo, nes frazė ,,pažinimo kompetencija“ jau turi jai priskirtą prasmę ir yra naudojama švietimo dokumentuose bei edukologų darbuose.

Bendru kompetencijų grupės sutarimu visą pažinimo kompetenciją padalinome į keturias dalis (sandus): dalyko žinios ir gebėjimai; kritinis mąstymas; problemų sprendimas; mokėjimas mokytis. Tokį pasirinkimą lėmė tradicijos ir bendras supratimas to, kas svarbiausia mokykliniame pažinime. Pažinimo kompetencijos pirma dalis apie žinias. Kitos trys dalys vienaip ar kitaip susijusios su mąstymu.

Kritinio mąstymo dalis sudėtingiausia, nes ji turi daug daug skirtingų supratimo variantų. Pavyzdžiui, kritinis mąstymas siejamas su asmens gebėjimu komunikuoti ir analitiškai mąstyti identifikuojant ir sprendžiant vietos problemas, su savos nuomonės turėjimu, su gebėjimu matyti reiškinį skirtingais aspektais.  Lietuvoje aukštesnio lygio mąstymo ugdymo priemone dažnai laikomas konkursinių, olimpiadinių uždavinių sprendimas. Paminėsiu Emily R. Lay straipsnį   (2011),  kuriame apžvelgiami skirtingi kritinio mąstymo supratimo variantai. Jame išskirtos trys interpretacijų prieigų grupės:

• filosofinė; 
• kognityvinės psichologijos; 
• edukologinė. 

Pastaroji susijusi su Bloom‘o taksonomija. Buvo pasirinkta antroji prieiga, t.y. neurodidaktikos siūlomą interpretaciją. Pagal tokią interpretaciją jūs mąstote kritiškai, jei

• mąstymo rezultatu yra kažkas naujo, t.y. nėra kartojamos buvusios situacijos išvados iš atminties;
• mąstoma savo iniciatyva, t.y. nedarote tai, kas kieno nors liepta;
• mąstymas veiksmingas (efektyvus), t.y. laikotės tam tikrų susitarimų ir todėl mąstymo rezultatas gali būti naudingas.

Tokiais susitarimais gali būti ,,problemos nagrinėjimas iš skirtingų pusių“, ,,siūlomus veiksmus pagrįsti“, ,,neleisti jausmams užvaldyti protą“.  Mąstymo veikmingumas skirtingai suprantamas skirtingose srityse. Bendru neuromokslininkų sutarimu ugdymo turinio žinios yra esminės kritinio mąstymo veiksmingumui. 

Daniel Willingham (2019) rekomenduoja keturių dalių planą kaip mokykloje ugdyti kritinį mąstymą:

1. kiekvienam dalykui identifikuoti kritinio mąstymo gebėjimų sąrašą;
2. kiekvienam dalykui apibrėžti jo turinį;
3. suplanuoti tvarką pagal kurią būtų mokomos žinios ir gebėjimai;
4. suplanuoti žinias ir gebėjimus, kurie kasmet būtų peržiūrimi iš naujo.

Toliau kritinio mąstymo, problemų sprendimo ir kitas 21-ojo amžiaus kompetencijas nagrinėjame matematikos dalyko kontekste.

Mokyklinės matematikos episteminės žinios ir vertybių ugdymas

Gairių (2019) 28.1 paragrafe rašoma, kad ,,žinios yra dalykinės, tarpdalykinės, procedūrinės ir episteminės. Dalykinės žinios apima sąvokas, išsamų turinį, kurio mokomasi konkretaus dalyko, pavyzdžiui, matematikos, lietuvių kalbos, pamokose. Tarpdalykinės žinios sieja vieno dalyko turinį su kitų dalykų turiniu. Procedūrinės žinios apima supratimą, kaip atlikti veiksmą tam tikra seka. Procedūrinės žinios gali būti susijusios su viena sritimi arba gali apimti daugiau sričių. Episteminės žinios – tai supratimas, kaip mąsto ir dirba tam tikros srities ekspertai ir tyrėjai (matematikai, istorikai, gamtininkai ir kt.). Jos leidžia mokiniui praplėsti srities arba dalyko žinias, padeda jam suprasti, kodėl reikia mokytis dalyko, kur ir kaip galima pritaikyti tos srities žinias”.

Matematikos epistemines žinias atskleidžia danų projektu sukurtas matematinių kompetencijų rinkinys. Čia parengta pagal atnaujintą projekto variantą (Niss ir Höjgaard, 2019). Toliau aprašytos aštuonios matematinės kompetencijos įveiklina (angl. enact) mokyklinės matematikos žinias.

1. Matematinio mąstymo kompetencija – įsitraukimas į matematinį tyrimą. Ji apima matematikai būdingų bendro pobūdžio klausimų supratimą, jų formulavimo (kėlimo) gebėjimą ir galimų atsakymų į juos prigimties įsivaizdavimą. Kompetencija apima matematikos sąvokų ir terminų apimties priklausomybės nuo skirtingo konteksto supratimą, gebėjimą skirti įvairias matematikos sakinių formas ir jų vaidmenį (apibrėžimus, implikacijas, visuotinumo ir egzistavimo tvirtinimus, teiginius apie atskirus atvejus ir hipotezes), o taip pat gebėjimą orientuotis tarp loginių jungtukų ir kvantorių tokiuose sakiniuose, jiems esant teiginiais arba predikatais. Galiausiai kompetencija apima gebėjimą ,,abstrahuoti” sąvokas, teorijas ir ,,apibendrinti” (teoremų ar kitų formuluočių) teiginius ir procesus matematinėje veikloje.
2. Matematinių uždavinių nagrinėjimo kompetencija – matematinių uždavinių sudarymas ir sprendimas. Ji apima gebėjimą sudaryti (identifikuoti, aprašyti, apibrėžti ir formuluoti) ir išspręsti įvairių rūšių matematinius uždavinius priklausančius vienai ar kelioms matematikos sritims, o taip pat apima gebėjimą kritiškai analizuoti ir įvertinti savo ir kito bandymus išspręsti uždavinius. Pagrindiniu šios kompetencijos aspektu yra gebėjimas sugalvoti ir įgyvendinti matematinio uždavinio sprendimo strategiją.
3. Matematinio modeliavimo kompetencija – ne-matematinio konteksto ir situacijų modelių analizė ir konstravimas. Ji apima matematinius modelius ir modeliavimą, t.y. apima tokią matematiką, kuri naudojama ne-matematiniams klausimams, kontekstams ir situacijoms nagrinėti. Gebėjimas sukonstruoti tokį matematinį modelį, taip pat kritiškai analizuoti ir įvertinti egzistuojančius arba pasiūlytus modelius, imant domėn modeliuojamos ne-matematinės srities tikslus, duomenis, faktus savybes ir ypatybes yra šios kompetencijos šerdis. Ji apima jungimą ir orientavimąsi tarp pagrindinių modeliuojamos aplinkos procesų įvairiose jų pasireiškimo formose.
4. Matematinio samprotavimo kompetencija – matematinio teiginio pagrindimo vertinimas ir konstravimas. Jos esmė yra raštu arba žodžiu suformuluotą matematinį teiginį pagrindžiančio argumento (teiginių grandinė susieta išvada) analizė ir konstravimas. Ši kompetencija apima tiek matematinio teiginio pagrindimo konstravimą, tiek ir egzistuojančio arba pasiūlyto pagrindimo bandymų analizę ir vertinimą. Kompetencija apima platų pagrindimų formų spektrą, pradedant pavyzdžių (arba kontr-pavyzdžių) pateikimą ir apžvalgą, įskaitant euristiką ir lokalią dedukciją, baigiant aksiomomis ir logine dedukcija paremtu griežtu įrodymu.
5. Matematinės reprezentacijos kompetencija – nagrinėja skirtingas matematinio objekto reprezentacijas. Ji apima gebėjimą interpretuoti, o taip pat vieną matematinio objekto, reiškinio, sąryšio ir proceso reprezentaciją paversti kita iš plataus jų spektro (išreikštų žodžiu, medžiaga, simboliais, lentele, grafiku, diagrama ar vaizdu), o taip pat gebėjimą reflektyviai rinktis ir naudotis vieną ar kelias tokias reprezentacijas nagrinėjant matematines situacijas ir užduotis. Ši kompetencija taip pat apima apibrėžimo sričių ir ribų palyginimą tarp duotos situacijos galimų reprezentacijų, įskaitant jų stipriąsias ir silpnąsias puses. 
6. Matematinio simbolizmo ir formalizmo kompetencija – matematinių simbolių ir formalizmo naudojimas. Šios kompetencijos pagrindinėmis dalimis yra gebėjimas pasitelkti matematinius simbolius, simbolinius reiškinius ir transformacijas, ir su jais elgtis pagal atitinkamas taisykles bei teorinį kontekstą. Suvokimo atžvilgiu, ši kompetencija susijusi su jau turimų simbolinių reiškinių, transformacijų ir formalizmo iššifravimu bei interpretavimu, o kūrimo atžvilgiu koncentruojamasi į matematiniams kontekstams ir situacijoms būdingų simbolių ir formalizmo įvedimą bei naudojimą.
7. Matematinio komunikavimo kompetencija – komunikavimas matematikos viduje, su ja ir apie ją. Kompetencijos branduolį sudaro individo gebėjimas užsiimti matematiniu komunikavimu raštu, žodžiu, vaizdu ar gestais įvairiuose žanruose, stiliuose ir išraiškose, o taip pat įvairiuose konceptualumo, teorinio ir techninio tikslumo lygiuose arba kaip kito pranešėjo vertėjas, arba kaip pats aktyvus, konstruktyvus pranešėjas.
8. Matematinių priemonių ir įrankių kompetencija – materialių priemonių ir įrankių naudojimas matematinei veiklai. Ši kompetencija koncentruojasi apie materialių priemonių ir įrankių naudojimą matematinei veiklai, pradedant konkrečiais fiziniais objektais ir instrumentais, įskaitant specialiai paruoštą popierių ir diagramas, baigiant platų skaitmeninių technologijų spektrą skirtų vaizduoti ir palengvinti matematinį darbą. Kompetencijos branduolį sudaro individo gebėjimas konstruktyviai panaudoti tokias priemones ir įrankius matematiniam darbui, o taip pat kritiškai vertinti save ir kitus tokioje veikloje, atsižvelgiant į skirtingų priemonių, įrankių prieinamumą ir ribotumą bei jų pasirinkimą tuo pagrindu.

Apie vertybes ugdomas tokia mokykline matematika, kurioje vertinamas matematinis samprotavimas.

Alano J. Bishopo matematinio ugdymo teorija grindžiama prielaida, kad matematika yra kultūros reiškinys ir nuolatinio vystymosi rezultatas. Dar konkrečiau, Bishopas naudoja Leslie A. Whiteo požiūrį į kultūrą, kaip į evoliucinį procesą. Pagal L.A. Whiteą, kultūra atsirado kartu su žmogumi (maždaug prieš milijoną metų) ir šį atsiradimą lėmė žmogaus gebėjimas kaupti patirtį ir tobulinti naudojamus įrankius. L.A. Whiteas mano, kad tokio žmogaus gebėjimo priežastimi buvo simbolizmas ir artikuliuota kalba.  Primityviosios kultūros pagrindinis vaidmuo – padaryti žmogaus gyvenimą saugesniu ir kuo ilgiau trunkančiu. Savo vaidmenį kultūra atliko būdama tarpininku tarp žmogaus ir jo aplinkos. L.A. Whiteas, kaip ir jo pasekėjai, skyrė keturias kultūros dalis (komponentes): ideologinę, kurią sudaro žmogaus tikėjimai, ideologijos, filosofijos; sociologinę, kurią sudaro papročiai, institucijos, taisyklės, tarpusavio bendravimo normos ir panašiai; sentimentaliąją, kurią sudarė požiūriai, jausmai, elgsena; technologinę, grindžiamą simbolizmu. Pastaroji kultūros dalis – technologinis vystymasis – apsprendžia likusias tris kultūros dalis.

 A.J. Bishopas savo 1991  metų knygoje, naudodamas Whiteo schemą, į matematiką žvelgė kaip į simbolinę technologiją, kuri formuoja ideologinius, sociologinius ir sentimentaliuosius kultūros aspektus.  Būdama kultūros esmine dalimi, matematika yra tam tikrų vertybių šaltinis ir jų rezultatas.  A.J. Bishopas nurodo šešias vertybių grupes:  

1. Racionalizmas besireiškiantis argumentavimu, samprotavimu, loginio mąstymu ir aiškinimu. Pastaroji vertybė, be abejonės, svarbiausia matematiniame ugdyme. Racionalizmas susijęs su teorija ir teoretizavimu. Racionalizmo vertybės skatinimas klasėje vyksta tada, kai
   • Mokiniai skatinami pagrįsti teiginį;
   • Diskutuojama klasėje;
   • Pabrėžiamas matematinis įrodymas;
   • Pateikiami įrodymų pavyzdžiai iš matematikos istorijos (pavyzdžiui, skirtingi Pitagoro teoremos įrodymai).
2. Objektyvizmas besireiškiantis konkretizavimu, simbolizavimu ir matematikos idėjų taikymu. Matematinė veikla suvokiama kaip nekintama. Objektyvizmo vertybės skatinimas klasėje vyksta tada, kai
   • Siūloma mokiniams patiems sugalvoti savo simbolius ir terminologiją prieš tai, kai jie supažindinami su klasikiniais variantais;
   • Algebriniams reiškiniams iliustruoti naudojami geometriniai piešiniai;
   • Kai mokiniai supažindinami su skirtingose kultūrose naudotais skaitmenimis;
   • Kai aiškinama paprastumo ir glaustumo svarba pasirenkant simbolius.
3. Kontrolė besireiškianti matematikos žinių galios įgijimu įsisavinant taisykles, faktus, procedūras ir nustatytus kriterijus. Ugdo saugumo jausmą įgyjant matematikos žinias. Kontrolės vertybės skatinimas klasėje vyksta tada, kai
   • Ne tik nurodomas teisingas atsakymas, bet ir patikrinamas jo teisingumas bei priežastys dėl kurių kiti atsakymai nėra teisingi;
   • Skatinamas standartinių skaičiavimo taisyklių ir metodų veikimo priežasties nagrinėjimas ir supratimas;
   • Pateikiami mokomų matematikos idėjų taikymo visuomenėje pavyzdžiai.
4. Progresas besireiškiantis matematikos idėjų kaita ir vystymusi, iškeliant alternatyvias teorijas ir abejojant pripažintomis idėjomis. Progreso vertybės skatinimas klasėje vyksta tada, kai
   • Nurodote alternatyvius ir netradicinius sprendimo metodus paaiškindami jų veikimą;
   • Skatinate mokinius apibendrinti atskirų pavyzdžių idėjas;
   • Motyvuojate mokinius pasakodami jiems matematikos idėjų vystymosi pavyzdžius istorijos eigoje.
5. Atvirumas besireiškiantis žinių demokratiškumu, autoritetų nebuvimu, rėmimusi tik įrodymais, pagrindimais ir paaiškinimais. Atvirumo vertybės skatinimas klasėje vyksta tada, kai
   • Mokiniai skatinami apginti ir pagrįsti savo atsakymus viešai prieš klasę;
   • Mokiniai skatinami kurti plakatus, kuriuose atspindimos jų idėjos;
   • Padedate mokiniams kurti savo laikraščius ar tinklaraščius, kuriuose jie gali reikšti savo idėjas.
6. Paslaptingumas besireiškiantis abstraktumu, matematikos idėjų mįslingumu ir matematikos žinių nužmoginta kilme. Paslaptingumo vertybės skatinimas klasėje vyksta tada, kai
   • Pasakojama apie praeityje egzistavusias principines matematikos problemas, pavyzdžiui, apie neigiamų skaičių ,,paiešką“ arba nulio atsiradimo istoriją;
   • Skatinama mokinių matematinė vaizduotė naudojant paveikslus, meno kūrinius, begalybės vaizdinius ir panašiai.

Išvardintos šešios vertybių grupės sudarytos taip, kad kiekviena jų turi savo priešingybę vienoje iš trijų kultūros komponenčių. Pirmoji vertybių pora, racionalizmas ir objektyvizmas, atspindi matematikos žinių ideologiją (matematikos vertybių ideologinė komponentė). Antroji vertybių pora, kontrolė ir progresas, atspindi ryšį tarp visuomenės ir matematikos žinių. Trečioji vertybių pora, atvirumas ir paslaptingumas, atspindi ryšį tarp individo ir matematikos žinių (matematikos vertybių sociologinė komponentė).

Mokytojai ir aplinka perduoda matematikos vertybes netiesiogiai ir nesąmoningai. Vieniems studentams ,,netyčia“ įskiepijama baimė, kad matematikos mokymasis sunaikins jų kūrybines galias. Kiti studentai, priešingai, pradeda įtarti ir jausti, kad matematika yra panaši į filosofiją. Mokytojo kalbėjimas apie matematiką  nesąmoningai išreiškia vieną arba kitą jo intuityvią filosofinę nuostatą apie matematinius objektus (platonizmą arba nominalizmą). Pavyzdžiui, ,,taškas skaičių tiesėje žymi (reiškia, nusako, nurodo ir pan.) realųjį skaičių“, arba ,,taškas skaičių tiesėje yra realusis skaičius“.  Kitaip tariant, mokytojas nesąmoningai perduoda savo tikėjimą apie tai, kad matematiniai objektai yra kažkokie metafiziniai objektai arba matematiniai objektai yra simboliai ar ženklai ir daugiau nieko.

Kompetencijų raidos aprašymas

Kompetencijų integravimą į ugdymo turinį galima suskaidyti į tris dalis: kompetencijų prigimties supratimas, kompetencijų raidos aprašymas ir kompetencijų įgijimo vertinimas (E. Care et all, 2018). Galima sakyti, kad iki šiol aptarinėjome pirmąją dalį. Šis skyrelis skirtas antrajai daliai. Apie trečiąją dalį kol kas nieko.

Pradėsiu nuo bandymų integruoti dalykines kompetencijas į matematikos programą, kuriuos atlieka danai (Danish School of Education, Aarhus University). Analogiškas projektas vykdomas su gamtos mokslų dalyko ir danų kalbos mokymu. Matematikos kompetencijų raida grindžiama mums gerai pažįstama kompetencijų lentele (žr. 1 Pav). Tačiau danai ją naudoja realiai planuoti ir rengti matematikos pamokas. Be to, skirtingai nuo mūsų, ankstesniame skyrelyje pristatyti danų matematikos kompetencijų aprašai siekia matematikos mokymo gilumo. Tokiu atveju kompetencijomis grįstas mokymas įgyja prasmę. Pagal kompetencijų lentelę priklausomai nuo pasirinktos dalyko temos mokytojas mato kokias reikėtų ugdyti kompetencijas. Tuo būdu turinio mokymas įgauna papildomą tikslo pasirinkimo dimensiją. Plačiau apie tai T. Højgaard, J. Sølberg (2019) straipsnyje.

1 Pav. Iš T. Højgaard, J. Sølberg (2019).

Toliau rašau apie bandymus integruoti bendrąsias kompetencijas. Kalbant trumpai, tokios integracijos kaip čia minėtas danų projektas, bendrųjų kompetencijų atveju nėra pasiekta. Wašingtone veikiančio The Brooking Institution darbuotojų apžvalgos išvadose teigiama (E. Care et all, 2018; 33 pusl.):

Challenge 2. Although learning progressions are available for traditional learning domains, such as mathematics and science, a reasonable sequence of learning 21CS does not exist.

Kas šioje srityje pasiekta kai kuriose anglakalbėse šalyse apžvelgiama Weldon (2019) straipsnyje.  

Australų ugdymo turinys (Australian Curriculum. Assessment and Reporting Authority [ACARA]) turi septynias bendrąsias kompetencijas (general capabilities). ACARA numato du kompetencijų integravimo į ugdymo turinį būdus (E. Care et all, 2018; 30 pusl). Pirma, atitinkamose dalyko ugdymo programos vietose nurodytos susijusios kompetencijos. Antra, kiekvienai iš kompetencijų parengtos mokymosi raidos išklotinės (learning continuum). Kaip pavyzdį toliau pateikiu kritinio ir kūrybinio mąstymo kompetencijos mokymosi raidos išklotinės dalį (2 Pav.).

2 Pav. Kritinio ir kūrybinio mąstymo kompetencijos mokymosi raidos išklotinės dalis

Visa kompetencija turi keturis skyrius (sub-sections) ir kiekvienas iš jų turi dar po tris elementus (sub-elements). Kiekvienas elementas turi šešis mokymosi raidos lygmenis. Kaip pavyzdį pateikiu vieno iš elementų mokymosi raidos išklotinę (3 Pav).

3 Pav. vieno elemento mokymosi raidos išklotinė

Šeši raidos lygmenys nėra susieti su konkrečiu mokinio amžiumi ar klase.

Šis kompetencijos raidos aprašo pavyzdys iliustruoja idėją – raida atskleidžia kompetencijos savybės laipsnišką sudėtingumo didėjimą. Bendrosios kompetencijos savybė išreiškiama bendro pobūdžio sąvokomis, o jos raida išreiškiama tam tikra sudėtingumo kitimo logika. Kai kurios švietimo sistemos tokias raidos išklotines naudoja moksleivių savarankiškam įsivertinimui.

Prancūzų mokslininkas G. Vergnaud‘as[1] sukūrė sąvokų lauko teoriją (the theory of conceptual fields), kuri apibrėžia ir analizuoja matematinės kompetencijos sudėtingumo raidą (Vergnaud, 2009). Jis teigia, kad Piaget kognityvinės raidos stadijos nėra adekvačios apibūdinti mokyklinės matematikos sąvokų sudėtingumo raidai. Čia cituojamą straipsnį jis pradeda taip:

Science is reduction. But not all reductions are fruitful. It is more or less accepted today that Piaget provided a superb contribution to the psychology of development, when behaviourists had not been able to do so. Nevertheless he was slowed down in the analysis of the mathematical contents by his fascination for logic and his hope to be able to reduce to logical structures the progressive complexity gained by children: for instance, his analysis of the ‘formal stage’ led him to identify the group of INRC transformations as the characteristic that would account for the understanding of proportionality by children. By doing so he did not pay enough attention to the contents that are specific to mathematics, namely the properties of functions.

 Vergnaud‘o teorija pastaruosius dešimtmečius taikoma sunkių matematikos sąvokų didaktiniam apibūdinimui. Ne tik matematikos, fizikos bei kitų dalykų sąvokoms. Jei ir įmanoma atskleisti, kaip dalyko turinys augina mokinio bendrąsias kompetencijas, tai tokiam darbui reikia didelių intelektualinių ir laiko resursų.

Pastabos: [1] G. Vergnaud‘as apgynė psichologijos disertaciją vadovaujamas J. Piaget. Jis yra vienu iš prancūzų matematikos mokymo mokyklos įkūrėju.