Ar pakanka įvesti privalomą matematikos egzaminą abiturientams?

Pramonininkų nuomone, privalomas matematikos egzaminas abiturientams padėtų spręsti per ankstyvo moksleivių profiliavimo problemą, – teigiama DELFI straipsnyje. Tokiu būdu tikimasi padidinti tiksliųjų mokslų specialistų skaičių mūsų šalyje. Mano nuomone, siekiant motyvuoti moksleivius domėtis matematika, viena ši priemonė gali turėti priešingas pasekmes. Jau dabar frazė: ,,Aš paprasčiausiai nemėgstu matematikos“ labai dažnai pasakoma su pasididžiavimu. Arba, laikoma geru tonu sakyti: ,,Aš esu visai negabus matematikai“. Esant dabartinei matematikos mokymosi praktikai ir kai mokomasi tik tai, kas bus klausiama egzamine, privalomas brandos egzaminas gali dar labiau padidinti moksleivių antipatiją matematikai.

Šį rudenį, prieš pradedant matematinės analizės paskaitas universiteto pirmakursiams, nusprendėme pasitikrinti jų mokyklinės matematikos žinias nevertindami atsakimų ir nereikalaudami nurodyti pavardės. Naujieji studentai buvo prašomi paaiškinti kaip jie supranta kas yra natūralusis skaičius, racionalusis skaičius, iracionalusis skaičius, aibių sankirta ir sąjunga, skaičių seka ir panašiai. Viso 10 klausimų apie mokyklinės matematikos sąvokas ir vienas klausimas apie tai, kas, jų nuomone, yra matematika.  Nei vienas klausimas apie sąvokas nebuvo atsakytas tiksliai. Atsakymus gal būt galima būtų pavadinti labai paviršutiniškais, pateikiant tik konkrečius sąvokos pavyzdžius. Sunkiausiomis pasirodė ribos, išvestinės ir funkcijos sąvokos, nes dauguma naujųjų studentų net nebandė kažkaip jų aiškinti.

Deja, universiteto matematikos dėstytojams tokie studentų atsakymai yra įprastas dalykas. Taip pat puikiai žinoma, kad matematinio ugdymo bendrojoje programoje ribos sąvoka nėra minima.  Tačiau reikalaujama žinoti funkcijos išvestinės sąvoką, ją siejant su funkcijos reikšmių kitimo greičiu (sic!). Galima tik stebėtis tokiu programos nenuoseklumu ir spėlioti, kaip mokytojai turėtų apibrėžti išvestinę be ribos ir kaip turėtų būti aiškinama, kas yra greitis. Priminsime, kad realiųjų skaičių aibėje apibrėžtos ir ten pat reikšmes įgyjančios funkcijos išvestinė taške yra riba . Čia yra tik konkrečios ribos žymėjimas ir, be atitinkamo ribos sąvokos apibrėžimo, neturi  matematinės prasmės. Matematikos išplėstinio kurso programos 18 psl. rašoma ,,pavyzdžiais iliustruoti funkcijos ribos sąvoką“ ir ,,žinoti funkcijos išvestinės apibrėžimą (prasmę)“. Programoje nėra numatyta žinoti ribos sąvokos apibrėžimą, o dabartiniuose matematikos vadovėliuose galima sutikti tik intuityvų ribos apibūdinimą (apie tai rašiau čia).

Šiuo ilgoku aiškinimu norėjau parodyti, kaip mūsų vidurinio ugdymo matematikos programa numato tokią matematikos mokymo praktiką, kurioje sąmoningai apeinamos sąvokinės žinios. Kadangi matematikos objektais yra tik abstrakčios sąvokos, sąvokinių žinių ignoravimas reiškia matematikos esmės ignoravimą. Be sąvokų supratimo mokyklinės matematikos žinios yra tik keistų faktų ir nesuprantamų procedūrų rinkinys. Spėju, kad tokia matematikos mokymo praktika yra teisinama įsitikinimu, kad abstrakčios sąvokos yra neprieinamos vidutinių gabumų moksleiviui. Net jei tuo ir tikėti, tai kas belieka daryti moksleiviui turinčiam aukštesnius gabumus ir kaip gali atsiskleisti tokie gabumai?

Kol sąvokinės žinios ir sąvokinis mąstymas yra neprieinami moksleiviui, tol sunku tikėtis pakeisti dabartinio moksleivių nusistatymo prieš matematiką. Matematikos brandos egzaminas, geriausiu atveju, gali vertinti tik procedūrines žinias. Dėl šios priežasties privalomo matematikos egzamino abiturientui įvedimas gali turėti dar blogesnių pasekmių jo motyvacijos atžvilgiu. Prieš toliau ką nors darant, turėtume apsvarstyti kokių tikslų siekiame mokydami mokyklinės matematikos ir pabandyti susivokti, kas yra žinoma apie mokyklinės matematikos žinias.

Apie matematikos mokymo tikslus rašiau čia. Šiame įraše norėčiau trumpai apžvelgti kognityvinių mokslų išvadas apie mokyklinės matematikos žinias remdamasis D.T. Willinghamo straipsniu Is It True That Some People Just Can’t Do Math?  Trumpai atsakydamas į pavadinimu suformuluotą klausimą, autorius teigia: ,,Nors kai kurių žmonių matematiniai gebėjimai yra geresni už kitų, kaip ir bet kurioje kitoje veikloje vieni yra geresni už kitus, absoliuti dauguma žmonių yra pajėgi įsisavinti visą K-12 matematikos kursą“, t.y. visą JAV vidurinės mokyklos matematikos kursą, kuriame nėra eliminuojamos sąvokinės žinios.

Kalbant apie matematikos žinias, pirmiausia reikėtų atskirti matematikos žinias, įgyjamas naudojantis įgimtais gebėjimais. Per pastaruosius 20 metų tyrimais nustatyta, kad (1) žmonės gimsta su gebėjimu suvokti mažą skaičių, ir (2) nuo gimimo žmonės turi pojūtį, kad skaičius ir erdvė yra susiję. Tai yra labai elementarūs matematikos gebėjimai, kuriais remiasi tolesnis nuoseklus ir lėtas mokyklinės matematikos žinių perdavimas.

Mokykliniame matematikos mokyme kognityvinis mokslas išskiria trijų tipų žinias: faktines, procedūrines ir sąvokines. Faktinėmis yra tos matematikos žinios, kurios randasi mūsų atmintyje ir iš ten iškyla akimirksniu, kai jų prisireikia. Pavyzdžiui, taip atsitinka kai sudedame mažus skaičius: 2+2. Svarbus faktinių žinių požymis yra jų naudojimo automatizmas: labai greitas ir nereikalaujantis pastangų. Faktinių žinių turėjimas gelbsti sprendžiant sudėtingesnes matematikos užduotis, kurių sprendimas reikalauja keletos paprastų veiksmų kombinavimo. Kuo daugiau atmintyje turime faktinių žinių, tuo lengviau sprendžiame sudėtingas užduotis.

Procedūrines žinias sudaro žinojimas kaip spręsti sudėtingesnes užduotis, reikalaujančias atlikti tam tikrų veiksmų seką. Pavyzdžiui, dviejų didelių skaičių dauginimo ar dalinimo metodai yra procedūrinių žinių pavyzdys. Tuo tarpu sąvokinės žinios yra tų pačių faktinių ir procedūrinių žinių prasmės supratimas. Pavyzdžiui,  absoliuti dauguma abiturientų žino elementariųjų funkcijų išvestinių reikšmes: . Tačiau beveik ta pati absoliuti dauguma mūsų moksleivių nesupranta, kaip šios išvestinių reikšmės gaunamos naudojant išvestinės apibrėžimą.

Prieš keletą dešimtmečių JAV vyko vadinamieji ,,matematikos karai“, kuriuose susikirto du priešingi požiūriai į procedūrinių ir sąvokinių žinių būtinumą mokantis mokyklinės matematikos. Vieni teigė, kad pakanka vien tik matematikos procedūrinių žinių, nesuvokiant veiksmų atlikimo prasmės. Kitas kraštutinumas reiškė sąvokinių žinių pakankamumą tikint, kad kiekvienu atveju įmanoma gauti reikalingas procedūras. Labiau kontraversinis buvo ginčas dėl to,  kokiu santykiu šios dvi žinių rūšys turi būti mokomos mokykloje. Willinghamo teigimu,  šiuo metu JAV dominuoja požiūris, jog sėkmingas matematikos mokymas neįmanomas atskiriant vieną žinių rūšį nuo kitos; abi turi būti mokomos kartu.

Atrodytų, kad procedūrinių ir sąvokinių žinių kaupimas kartu yra visiškai natūralus dalykas. Faktas yra tas, kad žymiai sunkiau įgyjamos sąvokinės žinios negu procedūrinės ir faktinės žinios. Problema ta, kad sąvokinės žinios įgyjamos tik nuosekliai naudojant jau suprantamas sąvokas. Pavyzdžiui, išvestinės sąvokos neįmanoma suprasti neturint jau pakankamo paprastesnių abstrakčių sąvokų supratimo patirties. Naujų sąvokų mokymosi sėkmė priklauso nuo jau turimų sąvokų bagažo dydžio. Naujai sąvokai suprasti reikalinga perprasti daug tą sąvoką iliustruojančių pavyzdžių, kurie atskleistų sąvoką apibrėžiančias savybes. Gebėjimas identifikuoti abstrakčius objektus tik pagal jų savybes iš esmės skiriasi nuo realaus ar konkretaus pasaulio suvokimo. Tai pasiekiama absoliučiai žmonių daugumai, bet labai individualiai ir reikalauja skirtingų pastangų.

Čia aprašytos sąvokinių žinių įgyjimo problemos nėra vien tik Lietuvos matematikos mokymo praktikos problemos. Įvairiu mastu jos egzistuoja visose valstybėse. Skiriasi visuomeninis problemų pripažinimo ir supratimo lygis. Jų sprendimą lemia mokytojų ruošimo sistemos ir kultūrinė aplinka (žr. čia). Pavyzdžiui,  praeitą mėnesį labai garsus anglų matematikas Timothy Gowersas savo tinklaraštyje su didele nuostaba aprašė  moksleivių negebėjimą apskaičiuoti išvestinę pagal apibrėžimą. Deja, tenka pripažinti, kad  matematikų bendruomenės yra labai nutolusios nuo mokyklinės matematikos problemų. Tą galiu patvirtinti ir apie Lietuvos matematikus.