Sau 222014
 

Pretekstu šiam įrašui yra dviejų fizikų YouTube  paskelbtas video pristatymas pavadintas ASTOUNDING, kuriame jie bando pagrįsti ir paaiškinti lygybę

Latex formula                            (1)

Nuorodą į šį video su trumpu ,,paaiškinimu” išplatino ir mūsų internetinė žiniasklaida (žr. technologijos.lt,   DELFI). Tačiau video pristatymas ir jo ,,paaiškinimas” mūsų žiniasklaidoje pateikti taip lyg nurodyta lygybė teisinga  ir samprotavimuose klaidų nėra. Nenuostabu, kad gerai  matematikos neišmanantis skaitytojas suabejoja savo matematikos žiniomis ir dar labiau įsitvirtina sau mitą, kad matematika yra keista žinių sritis, kurią gali suprasti tik ypatingus (mistinius) gebėjimus turintys žmonės. Nemanau, kad taip siekiama ką nors klaidinti. Tą rodo ir žiniasklaidos tekstų pavadinimai. Internetinis portalas technologijos.lt savo teksto pavadinime panaudojo terminą matemagika. DELFI savo tekstą pavadino matematine  abrakadabra.  Paprasčiausiai visas šis reikalas atskleidžia mūsų visuomenės matematinį neišprusimą ir mažų mažiausiai matematikos populiarinimui tai nepadeda.

Matematiškai tvarkingas pristatymas galėtų būti formuluojamas taip: Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12? Toks klausimas nepretenduoja paaiškinti, kodėl -1/12 yra lygus reiškiniui1+2+3+4+…, arba yra šio reiškinio suma. Lygybė yra prasminga tik tarp dviejų vienareikšmiškai apibrėžtų objektų. Tuo tarpu reiškinio  1+2+3+4+…  prasmė nėra akivaizdi; paprastai apibrėžiama arba numanoma iš konteksto. Matematikoje reiškinys 1+2+3+4+… vadinamas formalia begaline eilute. Žodis ,,formali” vartojamas tada, kai begalinei eilutei nėra priskirta kokia nors reikšmė arba ji nėra žinoma. Šiuolaikinėje matematikoje paprastai su begaline eilute siejamas skaičius yra jos dalinių sumų riba, jei tokia egzistuoja, ir toks skaičius vadinamas begalinės eilutės suma. Šia, standartine prasme,  teiginys (1), be abejonės, yra neteisingas. Tačiau yra prasmė kalbėti apie reikšmės priskirimą 1+2+3+4+…, kuria nors nestandartine prasme. Tokių prasmių yra keletas (tam tikros funkcijos analizinis pratęsimas arba diverguojančių eilučių sumavimo metodas) ir jos iš tikro mūsų nagrinėjamam reiškiniui1+2+3+4+…  priskiria reikšmę -1/12. Bet tai yra kas kita negu tvirtinti ,,begalinės sumos” lygybę konkrečiam skaičiui, t.y. (1).

Paaiškinsiu išsamiau. Tarkime, kad Latex formula yra natūraliųjų skaičių aibė ir Latex formula yra skaičių seka. Priminsiu, kad skaičių seka yra kuria nors tvarka sunumeruoti skaičiai. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibės Latex formula elementai, sunumeruoti didėjimo tvarka, sudaro seką Latex formula, kurios bendrasis narys Latex formula kiekvienam Latex formula. Tiksliau, skaičių seka yra natūraliųjų skaičių aibėje apibrėžta funkcija ir jos žymėjimas Latex formula yra šios funkcijos reikšmių pavaizdavimas.

Skaičių sekos Latex formula eilutė yra šios sekos narių sumos išraiška žymima

Latex formula             arba        Latex formula,                     (2)

ir vadinama formalia eilute. Sudarykime naują seką Latex formula, kurios nariais yra skaičiai

Latex formula, … Latex formula

vadinami sekos Latex formula dalinėmis sumomis.  Jei egzistuoja riba (standartine prasme)

Latex formula

tai sakoma, kad eilutė (2) konverguoja ir dalinių sumų riba S vadinama eilutės (2) suma. Šiuo atveju rašoma

Latex formula

Mūsų atveju, reiškinys 1+2+3+4+… yra sekos, kurios nariais yra natūralieji skaičiai išdėstyti didėjimo tvarka, formali eilutė. Šios eilutės dalinė suma yra

Latex formula

tai yra baigtinės aritmetinės progresijos suma. Be abejonės, šių dalinių sumų riba neegzistuoja. Tokiu atveju sakoma, kad eilutė diverguoja arba eilutė nesumuojama. Taigi, standartine prasme formali eilutė 1+2+3+.. sumos neturi.

Norėdamas kaip galima greičiau pereiti prie reikalo, pradėsiu nuo gerokai bendresnių faktų priminimo. Jei realusis skaičius Latex formula, tai eilutė

Latex formula           (3)

konverguoja (absoliučiai) ir šios eilutės suma apibrėžia Eulerio funkciją Latex formula. Kai Latex formula, Eulerio funkcijos reikšmė yra Latex formula, t.y. teisinga lygybė

Latex formula.

Pastebėkime, kad atveju Latex formula (3) lygybės dešinėje pusėje esanti išraiška tampa 1+2+3+…. Taigi, nors ši formali eilutė diverguoja, galima bandyti ,,pratęsti” funkcijos Latex formula apibrėžimą į sritį, kuriai priklauso -1. Klausimas: Kokias Eulerio funkcijos savybes norėtume išsaugoti ,,pratęstoje” funkcijoje. Matematikoje ,,geriausiomis” funkcijomis laikomos tos, kurios yra ne tik pačios diferencijuojamos, bet jų išvestinės yra diferencijuojamos, ir antrųjų išvestinių išvestinės diferencijuojamos ir t.t., sakoma, kad tokios funkcijos yra be galo daug kartų diferencijuojamos. Tokios funkcijos (su papildoma sąlyga, kad jų Tayloro eilutė konverguoja lokaliai) vadinamos analizinėmis. Jei turime funkciją Latex formula, apibrėžtą atvirame realiųjų skaičių intervale Latex formula, tai funkcija Latex formula apibrėžta didesnėje srityje Latex formula  (pavyzdžiui, visoje kompleksinių skaičių aibėje Latex formula ir tokia, kad Latex formula visiems Latex formula vadinama funkcijos Latex formula tęsiniu. Pasirodo, kad Eulerio funkcija Latex formula turi tęsinį Latex formula į visą kompleksinę plokštumą iš kurios išmestas taškas su koordinatėmis (1,0) ir funkcija Latex formula yra analizinė visoje savo apibrėžimo srityje. Be to, toks tęsinys yra vienintelis, vadinamas analiziniu tęsiniu, žymimas ta pačia raide Latex formula (vietoje Latex formula) ir vadinamas (tas tęsinys) Riemanno dzeta funkcija.

Daugiau apie Riemanno dzeta funkcijos konstrukciją ir jos svarbą galima išgirsti šiame 20 min. trukmės video pristatyme: The Riemann Hypothesis.

 Taigi, Bernhardas Riemannas 1859 (šiame   darbe) įrodė, kad (3) formule apibrėžtą Eulerio funkciją galima pratęsti priskiriant naujas reikšmes kai Latex formula yra bet kuris kompleksinis skaičius nelygus vienetui. Atskiru atveju ši funkcija turi reikšmes kai Latex formula ir t.t. Be to, šios funkcijos reikšmės yra Latex formula, Latex formula, Latex formula ir dar bendriau

Latex formula     kai      Latex formula,

čia Latex formula yra Bernoulli skaičiai. Turėdami Riemanno funkciją Latex formula galime apibrėžti formalios eilutės (3) ,,sumą” kompleksiniams skaičiams Latex formula. Tai ir yra nestandartinė formalios eilutės (3) sumos apibrėžtis kai Latex formula. Taigi, pagal šį apibrėžimą gauname tokias keistas lygybes

Latex formula          (4)

Latex formula             (5)

Latex formula              (6)

Latex formula             (7)

kai Latex formula. Standartine prasme kairėje esančios formalios eilutės diverguoja. Taigi, klausimo ,,Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12?” atsakymas: Tai yra vienintelės analizinės funkcijos, sutampančios su Eulerio funkcija (3) intervale Latex formula,  reikšmė taške Latex formula. Šio įrašo pradžioje minimas ir YouTube paskelbtas fizikų pristatymas ASTOUNDING sukėlė nemažą nepasitenkinimo bangą. Pacituosiu tinklaraščio Moses supposes įrašą THE 1+2+3+…=-1/12 BONANZA, kuriame siūlomas analizinio tęsinio vaizdingas aiškinimas:

Here is analytic continuation by imperfect analogy: I have a car that can drive on many roads, but not up snow-covered mountains; I buy a tank exoskeleton for my car that I can drive my car into and now my car-tank can go everywhere my car could go and up snow-covered mountains, too. I would never say that my car can drive up snow-covered mountains, but my car-tank can. This is the idea of analytic continuation. Here, our car is a function of a complex number {s},

\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}

which is defined only on the subset of the complex numbers where the real part of {s}is {>1}. We want to plug {s=-1} into this formula, but have no sensical way of doing that yet so we construct a car-tank, a function {\widehat\zeta(s)} which is defined on a larger region that includes {s=-1} and is equal to {\zeta} where both are defined. The function {\widehat \zeta} is the analytic continuation of {\zeta}. If we evaluate {\widehat\zeta} at {s=-1} we get {-1/12}. The original {\zeta} is not defined at {s=-1} and the extension {\widehat\zeta} is not defined by the formula {\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-s}} around {s=-1} so the best we can do is say

\displaystyle \widehat \zeta(-1)=-1/12

and

\displaystyle \widehat\zeta(s)=\zeta(s)

for values of {s} with real part {>1}. If we take  1+2+3+\dots to mean \widehat\zeta(-1), then the original statement is true, but that’s obviously not what we mean by 1+2+3+\dots in calculus so the uproar is completely justified. So, analytic continuation is one way to get the infinite series {\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-s}} up the mountain to {s=-1} without pissing everyone off.  [pajuodinta mano]

Tačiau suteikiamas reikšmes (4), (5), (6) ir (7) galima paaiškinti ir be analizinio tęsinio sąvokos, naudojant diverguojančių eilučių sumavimo teoriją. Detalus paaiškinimas yra Terence Tao tinklaraščio  What’s new  2010 m. balandžio 10 d. įraše The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. Naudodamasis šiuo įrašu pateiksiu tik vieną pastebėjimą. Vienas iš būdų nagrinėti diverguojančias eilutes yra jų dalinių sumų Latex formula keitimas suglodintomis sumomis Latex formula, čia funkcija Latex formula turi kompaktišką apibrėžimo sritį ir nulyje lygi vienetui, Latex formula yra laisvas kintamasis, gali būti natūralusis skaičius.  Jei nagrinėjama pradinė eilutė konverguoja (mūsų atveju kai Latex formula), tai suglodinta suma konverguoja į paradinės eilutės sumą kai Latex formula neaprėžtai didėja (,,konverguoja į begalybę”). Todėl nagrinėjama suglodintų sumų asimptotinis elgesys kai Latex formula neaprėžtai didėja. Terence Tao minėtame savo tinklaraščio įraše parodo tokius sąryšius:

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Latex formula,

čia Latex formula ir Latex formula yra Archimedo daugiklis

Latex formula

Lygindami pastaruosius keturis sąryšius su (4), (5), (6) ir (7) galime pastebėti, kad analizinio tęsinio reikšmės sutampa su atitinkamų suglodintų sumų asimptotinių skleidinių pastoviaisiais nariais. Terence Tao taip pat parodo, kad toks sutapimas neatsitiktinis ir tai yra dar vienas argumentas nestandartiniam reikšmių priskirimui diverguojančioms eilutėms.

Dabar galima pasižiūrėti minėtąjį fizikų pristatymą ASTOUNDING:

Nenuostabu, kad daugelis žmonių pasipiktino tokiu aiškinimu. Kažkas panašaus būtų jei fizikos dėsnius aiškintų astrologas remdamasis savo fantazija. Šiame pristatyme daroma tipiška klaida atliekant įvairius veiksmus su diverguojančiomis eilutėmis. Tokiu būdu galima įrodyti ir nebūtinai iš esmės teisingus rezultatus, kaip šiuo atveju. Internete netruko pasirodyti nemažai pasipiktinusių žmonių tekstų. Toliau pateikiu keletą iš jų, kuriuose aiškinamos ir atitaisomos klaidos.

Astronomo Phil Plait tinklaraščio įrašas Follow up: The Infinite Series and the Mind-Blowing Result 2014 sausio 18 d.

Fiziko Dr. SkySkull tinklaraščio įrašas Infinite series: not quite as weird as some would say  2014 sausio 18 d.

Fiziko G.M. Martin tinklaraščio Of Prime Interest įrašas  More Infinite Series Madness.  2014 sausio 19 d.

Evelyn Lamb tinklaraščio Roots of Unity įrašas  Does 1+2+3… Really Equal -1/12?  2014 sausio 20 d.

Fiziko Luboš Motl tinklaraščio The reference frame įrašas Sum of integers and oversold common sense. 2014 sausio 18 d. Autorius rašo apie fizikinę intuiciją, kuri įgalina suteikti konkrečias reikšmes standartine prasme diverguojančioms formalioms eilutėms. Įdomūs svarstymai.

Fiziko Luboš Motl tinklaraščio The reference frame įrašas Eta function and sum of positive integers. 2014 sausio 20 d. Kita įdomi fizikinio argumento iliustracija.

Fiziko Luboš Motl tinklaraščio The reference frame įrašas A recursive evaluation of zeta of negative integers. 2014 sausio 21 d.

PS. Šio įrašo preteksu yra fizikų darbas. Dauguma mano aukščiau cituojami autoriai taip pat nėra matematikai. Tai iliustruoja liūdną faktą – matematikai mažai arba visai nesirūpina savo veiklos rezultatų aiškinimu nematematikams, deja.

PPS.  Praėjus keturiems metams, 2018 sausio 13, internete susidūriau su matematiko video demaskuojančiu Numberphile video:  Numberphile v. Math: the truth about 1+2+3+…=-1/12

 

  One Response to “Kodėl reiškiniui 1+2+3+4+… priskiriame reikšmę -1/12?”

  1. Labas vakaras.
    Labai džiaugiuosi, kad Jūs pastebėjote internete pasirodžiusį filmuką ir jo sukeltą rezonansą. Turbūt, kaip Matematikui, šis filmukas sužadino įvairius jausmus, bet nepaisant to, Jūs sugebėjote išlikti ramus ir išsamiai bei analiziškai paaiškinti šią problemą, kai tuo tarpu kituose tinklaraščiuose būta ir sarkazmo – automobilio ir tanko-automobilio palyginimas, bei užbaigiantis komentaras “without pissing everyone off”. Žmonės yra skirtingi. Kiekvienas į tą patį įvykį reaguojame kitaip. Nesakau, kad “mioalter” reagavo pernelyg aštriai. Tiesą pasakius, man patiko jo požiūris, kuris gina Matematiką. Tačiau, didesnė problema (mano nuomone) yra ta, jog dauguma žmonių nesidomi Matematika, nuo jos atsiriboja, o Matematikai įdeda per mažai pastangų, kad “mirtingiesiems” padėtų atverti duris į šį nuostabų pasaulį. Suprantu, kad Jūsų nuomonė panaši. Taip pat nežinau ar pastebėjote, bet tas pats “YouTube” kanalas, kuris įkėlė “ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12″ filmuką pasidalino ir kitu, man labiau patinkančiu filmuku “http://www.youtube.com/watch?v=Yexc19j3TjE” (Why do people hate mathematics?). Nežinau ar šio kanalo autorius norėjo parodyti Matematikams, jog jiems reikia nestovėti rankų sudėjus ir paprastus žmones geriau supažindinti su Matematika, sukeldamas pasipiktinimo bangą, o po jos įkeldamas šį filmuką. O gal tai tik sutapimas.
    Pabaigiant noriu pasakyti, kad pats bandžiau surasti fizikų padarytą klaidą. Tiesa, neskyriau tam daug laiko, tik pusvalandį grįžtant iš fakulteto namo. Ir su savo žiniomis bei sugebėjimais negalėjau paaiškinti kur klaida, nors buvau užtikrintas, jog ji yra. Priėjau tik vieną išvadą, jog klaida turėtų būti susijusi su eilutės konvergavimu, jog begalinei eilutei augant, jos suma negali sustoti ties viena reikšme, o ypač neigiama. Šis fizikų filmukas, bandė sugriauti mano matematinius pamatus (tai ką žinau ir tai ką jie “parodo” filmuke – prieštaravimai), džiaugiuosi, jog nepavyko, bet gaila, jog negalėčiau savo sesei paaiškinti (analiziškai), kodėl fizikai suklydo ir kur jų klaida, nes pats tik paviršutiniškai suprantu Eulerio eilutės ir kompleksinių skaičių panaudojimą.
    Tačiau, kaip bebūtų, tikiuosi, kad Jūsų tinklaraštis nesustos gyvavęs, o Matematika nebus sugriuvusi pilis, kurios pakraštiniai fortai nedirba kartu su centrine citadele.

    PS. Nesistengiu kritikuoti, tačiau Jūs padarėte keletą spausdinimo klaidų:
    “koverguoja ir salutinių sumų” – aiškiai norėjote parašyti dalinių, tačiau paspaudėte s klavišą.
    “(vietoje (Riemanno dzeta funkcijos ženklas)” – čia nėra užbaigiami skliaustai, trūksta “)”
    “funkcija tur reikšmes” – turbūt norėjote parašyti “turi”

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>